2023-2024学年甘肃省平凉市静宁县文萃中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省平凉市静宁县文萃中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.与−20°角终边相同的角是( )
A. −300°B. −280°C. 320°D. 340°
2.命题“∀x>0，2x2+x>0”的否定为( )
A. ∀x>0，2x2+x≤0B. ∀x<0，2x2+x≤0
C. ∃x>0，2x2+x<0D. ∃x>0，2x2+x≤0
3.小胡同学用二分法求函数y=f(x)在x∈(1,2)内近似解的过程中，由计算可得f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，则小胡同学在下次应计算的函数值为( )
A. f(0.5)B. f(1.125)C. f(1.25)D. f(1.75)
4.已知4a2+b2=6，则ab的最大值为( )
A. 34B. 32C. 52D. 3
5.已知函数f(3x+1x)=2x1−x2+2，则f(72)=( )
A. 53B. 74C. 3D. 23
6.“m<−17”是“函数f(x)=−3x2+2(1−m)x−5在区间(−∞,6]上单调递增”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知tanα=5，则2sinα+3csα3sinα−2csα=( )
A. 1713B. 1C. 35D. 713
8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=3x2−x+2a+1，若f(2)=13，则a=( )
A. 1B. 3C. −3D. −1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列转化结果正确的是( )
A. 90°化成弧度是π2B. −23π化成角度是−60°
C. −120°化成弧度是−56πD. π10化成角度是18°
10.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(8,14)，则下列说法正确的是( )
A. α=−23B. f(x)是奇函数
C. f(x)是偶函数D. f(x)在(−∞,0)上单调递增
11.下列说法正确的是( )
A. 若ac2B. 若a>b，c>d，则a−c>b−d
C. 若a>b，c>d，则ac>bd
D. 若a>b>0，m>0，则b+ma+m>ba
12.已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足：f(x−y)=f(x)−f(y)+1，且f(1)=0，当x>0时，f(x)<1.则下列选项正确的是( )
A. f(0)=1B. f(2)=−2
C. f(x)−1为奇函数D. f(x)为R上的减函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知sinx=− 22,x∈(0,2π)，则x= ______．
14.函数y=lga(3x+2)+5(a>0且a≠1)的图象恒过定点______．
15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，且f(3)=0，则不等式xf(2x−1)<0的解集为______．
16.已知实数a>0，b>0，且2a+3b=1，则1a+b的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知csα=−2 55，且α为第三象限角．
(1)求sinα，tanα的值；
(2)求sin(5π−α)sin(π2−α)sin(α−π)cs(π+α)cs(π2+α)sin(3π2+α)的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=(4m2−3m)xm2+3m4−1是幂函数，且f(3)(1)求实数m的值；
(2)若f(2a+1)19.(本小题12分)
已知角θ的终边上有一点P(m, 2)(m≠0)，且csθ=m4．
(1)求实数m的值；
(2)求sinθ，tanθ的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=3−x2+2x．
(1)若f(x)≥1，求实数x的取值范围；
(2)求f(x)的值域．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg3(ax2+3x+a+54)(a∈R)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在(−14,−18)上单调递增，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+2x，且f(−2)=1．
(1)证明：f(x)在区间(0,+∞)上单调递减；
(2)若f(x)≤t−12t+1对∀x∈[1,+∞)恒成立，求实数t的取值范围．
答案解析
1.D
【解析】解：因为与−20°角终边相同的角是−20°+360°k，k∈Z，
当k=1时，这个角为340°，
只有选项D满足，其他选项不满足k∈Z．
故选：D．
由终边相同的角的性质即可求解．
本题主要考查终边相同的角，属于基础题．
2.D
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x>0，2x2+x≤0，
故选：D．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.D
【解析】解：根据题意，因为f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，则根应该落在区间(1.5,2)内，
根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即f(1.75)．
故选：D．
根据题意，由二分法的计算方法即可判断．
本题考查函数零点判定定理，注意二分法的应用，属于基础题．
4.B
【解析】解：因为6=4a2+b2≥2⋅2a⋅b，当且仅当2a=b时取等号，
则ab≤32．
故选：B．
由已知结合基本不等式即可直接求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
5.D
【解析】解：令3x+1x=72得x=2，
故f(72)=f(3×2+12)=2×21−22+2=23．
故选：D．
令3x+1x=72得x，代入解析式求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
6.B
【解析】解：若函数f(x)=−3x2+2(1−m)x−5在区间(−∞,6]上单调递增，
则2(1−m)6≥6，解得m≤−17，
因为{m|m<−17}⇒{m|m≤−17}，
因此“m<−17”是“函数f(x)=−3x2+2(1−m)x−5在区间(−∞,6]上单调递增”的充分不必要条件，
故选：B．
根据函数f(x)的单调性可得出关于实数m的不等式，解出m的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题．
7.B
【解析】解：因为tanα=5，
所以2sinα+3csα3sinα−2csα=2tanα+33tanα−2=2×5+33×5−2=1．
故选：B．
由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
8.D
【解析】解：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(−2)=f(2)=3×22+2+2a+1=13，解得a=−1．
故选：D．
由偶函数的性质得f(−2)=13列式求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
9.AD
【解析】解：因为90°=π2rad，所以选项A正确；
因为−23πrad=−120°，所以选项B不正确；
因为−120°=−2π3rad，所以选项C不正确；
因为π10rad=18°，所以选项D正确．
故选：AD．
根据1°=π180(rad)，1(rad)=(180π)°计算判断即可．
本题主要考查了弧度制与角度制的互化，属于基础题．
10.ACD
【解析】解：∵幂函数f(x)=xα的图象经过点(8,14)，
∴8α=14，
解得α=−23，故A正确，
f(x)=x−23=13x2，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(−x)=13(−x)2=13x2=f(x)，
∴f(x)为偶函数，故B错误，C正确，
∵−23<0，∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递增，故D正确，
故选：ACD．
把点(8,14)代入f(x)解析式，求出α的值，进而得到f(x)的解析式，再根据幂函数的性质判断各个选项即可．
本题主要考查了幂函数的性质，属于基础题．
11.AD
【解析】解：因为ac20，所以a当a=1，b=0，c=0，d=−2时，a−c当a=1，b=−1，c=−2，d=−3时，acb+ma+m−ba=(b+m)a−b(a+m)(a+m)a=(a−b)m(a+m)a，又a>b>0，m>0，所以b+ma+m−ba>0，即b+ma+m>ba，故D正确．
故选：AD．
根据不等式的性质即可判断A，举反例即可求解BC，作差法即可判断D．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
12.ACD
【解析】解：对选项A：取x=y=0，则f(0)=f(0)−f(0)+1，故f(0)=1，正确；
对选项B：f(−1)=f(0)−f(1)+1=2，f(2)=f(1)−f(−1)+1=−1，错误；
对选项C：f(−x)=f(0)−f(x)+1=2−f(x)，f(−x)−1=−[f(x)−1]，f(x)−1为奇函数，正确；
对选项D：当x1>x2时，f(x1)−f(x2)=f(x1−x2)−1<0，f(x)是R上的减函数，正确，
故选：ACD．
取x=y=0代入计算得到A正确，计算f(2)=−1，B错误，变换得到f(−x)−1=−[f(x)−1]，C正确，根据函数单调性的定义得到D正确，得到答案．
本题主要考查抽象函数的性质，属于基础题．
13.5π4或7π4
【解析】解：因为sinx=− 22,x∈(0,2π)，
所以x=5π4或7π4．
故答案为：5π4或7π4．
根据任意角三角函数的定义分析求解．
本题考查三角方程的解法，属于基础题．
14.(−13,5)
【解析】解：令3x+2=1，解得x=−13，又y=lga[3×(−13)+2]+5=5，
所以函数y=lga(3x+2)+5(a>0且a≠1)的图象恒过定点(−13,5)．
故答案为：(−13,5)．
令3x+2=1可求出过定点的横坐标，代入函数中可求出其纵坐标，从而可求得结果．
本题考查了对数函数的图像特征与底数的关系，属于基础题．
15.(−∞,−1)∪(0,2)
【解析】解：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(3)=0，
∴f(2x−1)<0即为f(|2x−1|)∴−3<2x−1<3，解得−1f(2x−1)>0即为f(|2x−1|)>f(3)，
∴2x−1<−3或2x−1>3，解得x<−1或x>2．
由xf(2x−1)<0，得x<0f(2x−1)>0或x>0f(2x−1)<0，
解得x<−1或0∴不等式xf(2x−1)<0的解集为(−∞,−1)∪(0,2)．
故答案为：(−∞,−1)∪(0,2)．
由已知分别求出f(2x−1)<0和f(2x−1)>0的解集，问题转化为x<0f(2x−1)>0或x>0f(2x−1)<0求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
16.5+2 6
【解析】解：1a+b=(1a+b)(2a+3b)=2+3ab+2ab+3=5+3ab+2ab≥5+2 6，
当且仅当3ab=2ab时等号成立，
故1a+b的最小值为5+2 6．
故答案为：5+2 6．
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．
17.解：(1)因为sin2α+cs2α=1，csα=−2 55，
所以sinα=± 55，
又α为第三象限角，
所以sinα=− 55，
所以tanα=sinαcsα=12．
(2)由诱导公式化简得：sin(5π−α)sin(π2−α)sin(α−π)cs(π+α)cs(π2+α)sin(3π2+α)=sinαcsα(−sinα)−csα(−sinα)(−csα)=tanα=12．
【解析】本题考查了同角三角函数的基本关系以及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
(1)利用同角三角函数的基本关系求解；
(2)利用诱导公式化简求值．
18.解：(1)因为f(x)=(4m2−3m)xm2+3m4−1是幂函数，
所以4m2−3m=1，
解得m=1或m=−14，
当m=−14时，f(x)=x−98，此时f(3)>f(5)，不符合题意；
当m=1时，f(x)=x34，此时f(3)综上，m=1；
(2)因为f(x)=x34，所以f(x)的定义域为[0,+∞)，且在[0,+∞)上单调递增，
所以f(2a+1)解得−12≤a<13，即实数a的取值范围是[−12,13)．
【解析】(1)由已知f(3)(2)结合幂函数的单调性即可求解不等式．
本题主要考查了幂函数的定义及性质的应用，属于基础题．
19.解：(1)由三角函数的定义有，csθ=m m2+2=m4，解得m=± 14，
故实数m的值为± 14．
(2)①当m= 14时，sinθ= 2 14+2= 24，tanθ= 2 14= 77，
②当m=− 14时，sinθ= 2 14+2= 24，tanθ= 2− 14=− 77．
【解析】本题考查任意角的三角函数的定义，属于中档题．
(1)由已知利用任意角的三角函数的定义可得csθ=m m2+2=m4，进而即可解得m的值．
(2)根据m的值，分类讨论利用任意角的三角函数的定义即可求解．
20.解：(1)因为f(x)=3−x2+2x≥1=30，且y=3x在定义域R内单调递增，
则−x2+2x≥0，解得0≤x≤2，
所以实数x的取值范围是[0,2]．
(2)因为−x2+2x=−(x−1)2+1≤1，当且仅当x=1时等号成立，
且y=3x在定义域R内单调递增，则f(x)=3−x2+2x≤31=3，
又因为f(x)=3−x2+2x>0，所以f(x)的值域为(0,3]．
【解析】(1)根据指数函数单调性可得−x2+2x≥0，结合二次不等式运算求解即可；
(2)根据二次函数分析可知−x2+2x≤1，结合指数函数性质求值域．
本题考查了指数函数的图象与性质应用问题，是基础题．
21.解：(1)若f(x)的定义域为R，
即ax2+3x+a+54>0对x∈R恒成立．
当a≤0时，不符合题意；
当a>0时，Δ<0，
即9−4a(a+54)<0，解得a>1，
所以实数a的取值范围是(1,+∞)；
(2)当a=0时，f(x)=lg3(3x+54)，符合题意；
当a<0时，−32a≥−18,116a+3×(−14)+a+54≥0,
解得a≥−817，所以−817≤a<0；
当a>0时，116a+3×(−14)+a+54≥0,−32a≤−14,解得0综上，实数a的取值范围是[−817,6]．
【解析】(1)根据题意，ax2+3x+a+54>0对x∈R恒成立，讨论a的范围，列出条件解出即可；
(2)讨论a的范围，根据复合函数的单调性的性质结合定义域列出条件，解出即可．
本题考查了复合函数的单调性的判断与应用，属于中档题．
22.解：(1)证明：由f(−2)=1得−2a+2−2=1，解得a=−1，所以f(x)=−x+2x，
任取x1>0，x2>0，且x1又00，1+2x1x2>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减；
(2)由(1)知，f(x)在[1,+∞)上单调递减，所以f(x)max=f(1)=1，
因为f(x)≤t−12t+1对∀x∈[1,+∞)恒成立，所以f(x)max≤t−12t+1，
即1≤t−12t+1，解得−2≤t<−12，
即实数t的取值范围是[−2,−12)．
【解析】(1)由条件列方程求a，再根据减函数的定义证明f(x)在区间(0,+∞)上单调递减；
(2)由条件可得[f(x)]max≤t−12t+1，解不等式求t的取值范围．
本题考查函数单调性的证明，不等式恒成立问题的解题思路，属于中档题．