2023-2024学年山东省泰安市岱岳区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含答案）

这是一份2023-2024学年山东省泰安市岱岳区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法不正确的是( )
A. 买一张电影票，座位号为奇数是不确定事件
B. 连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上
C. 从一个装有2个红球，2个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件
D. 掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性．
2.若a>b，则下列不等式中成立的是( )
A. a−5>b−5B. a5−b
3.某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为( )
A. 12
B. 15
C. 18
D. 110
4.不等式组−4x−8>−x+13x≤x+52的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，直线l//m，等边△ABC的两个顶点A，B分别在直线l和m上，若∠CAD=27°，则∠CBE的度数是( )
A. 27°
B. 33°
C. 63°
D. 73°
6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人
共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为( )
A. x3=y+2x2+9=yB. x3=y−2x−92=yC. x3=y+2x−92=yD. x3=y−2x2−9=y
7.如图所示，一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)与正比例函数y=mx(m是常数，m≠0)的图象相交于点M(1,2)，下列判断错误的是( )
A. 关于x的方程mx=kx+b的解是x=1
B. 关于x的不等式mx1
C. 当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大
D. 关于x，y的方程组y−mx=0y−kx=b的解是x=−1y=2
8.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是( )
A. 5B. 2C. 5D. 3
9.某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，小鱼妈妈假设某一商品的定价为x，并列出不等式为0.7×(2x−100)<1000，那么小鱼告诉妈妈的信息是( )
A. 买两件等值的商品可减100元，再打3折，最后不到1000元
B. 买两件等值的商品可打3折，再减100元，最后不到1000元
C. 买两件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元
D. 买两件等值的商品可打7折，再减100元，最后不到1000元
10.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于12EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D.若∠B=45°，∠C=2∠CAD，则∠BAE的度数为( )
A. 15°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了400次球，发现180次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为______个.
12.如图，直线a//b，∠1=63°，∠B=45°，则∠2的度数为______．
13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD=2，BC=______．
14.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索(绳索头与地面接触)退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为______．
15.若关于x的不等式组x≤1x>a有且仅有两个整数解，则a的取值范围为______．
16.如图所示，点A1，A2，A3，…在x轴上，点B1，B2，B3，…在直线y=12x上.已知B1O=B1A2，B1A1⊥x轴，A2B1//A3B2//A4B3，…，A1B1//A2B2//A3B3，OA1=1，则B6的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
(1)解不等式：x+53−1>3x2+2；
(2)解不等式组：5x−2>3(x+1)12x−1≥8−x．
18.(本小题12分)
解方程组：
(1)5x+y=2x−3y=4．
(2)5x−6y=97x−4y=−5．
19.(本小题6分)
在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．
(1)求出摸出的球是黄球的概率；
(2)为了使摸出两种球的概率相同，再放进去9个同样的红球或黄球，那么这9个球中，红球和黄球的数量分别应是多少？
20.(本小题10分)
△ABC中，DF垂直平分线段AB，交AB于点D，EF垂直平分线段BC，交BC于点E，D与EF的交点F恰好在△ABC的一边AC上．
(1)求证：F是AC的中点；
(2)求证：EF//AB．
21.(本小题10分)
某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完.图中的线段AB，OC分别表示该工作室每天的成本y1(单位：元)，收入y2(单位：元)与销售量x(单位；)个)之间的函数关系.求该工作室一天制作工艺品超过多少个时开始盈利？
22.(本小题10分)
如图，是由边长为1个单位的正方形组成的小方格平面，线段AB的两个端点在小方格的格点上(小正方形的顶点)，请你在该方格平面内仅用直尺画出一条线段BC，使AB=BC且AB⊥BC，垂足为点B，并证明作图合理的原因．
23.(本小题12分)
近年来，电动自行车成为人们短距离出行的重要交通工具，但也存在较大安全隐患，骑行时合理佩戴头盔可有效降低安全隐患.某商店购进甲种头盔30个，乙种头盔20个共花费2700元、已知3个甲种头盔的总钱数与4个乙种头盔的总钱数相等．
(1)求甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店第一次进货很快售完，决定再次购进两种型号的头盔80个，且所购甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的2倍，求商店第二次购进头盔最少花费多少钱？
24.(本小题14分)
已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上的一动点(点D不与点B、C重合)，以AD为边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．
问题发现：
如图1，当点D在边BC上时，
(1)请写出BD和CE之间的位置关系为______，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：______．
尝试探究：
(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，(1)中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
拓展延伸：
(3)如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，BC=7，BD=5，求线段ED的长．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.A
5.B
6.B
7.B
8.A
9.C
10.A
11.9
12.108°
13.6
14.(x−3)2+64=x2
15.−1≤a<0
16.(16,8)
17.解：(1)去分母，得：2(x+5)−6>9x+12，
去括号，得：2x+10−6>9x+12，
移项，得：2x−9x>12−10+6，
合并同类项，得：−7x>8，
系数化为1，得：x<−87；
(2)解不等式5x−2>3(x+1)，得：x>52，
解不等式12x−1≥8−x，得：x≥6，
∴不等式组的解集为x≥6．
18.解：(1)5x+y=2①x−3y=4②，
①×3+②，得16x=10，
解得x=58，
把x=58代入①，得y=−98，
故方程组的解为x=58y=−98；
(2)5x−6y=9①7x−4y=−5②，
①×2−②×3，得−11x=33，
解得x=−3，
把x=−3代入①，得−15−6y=9，
解得y=−4，
故方程组的解为x=−3y=−4．
19.解：(1)∵袋子中装有5个红球和10个黄球，
∴将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球，摸出的球是黄球的概率为105+10=23．
(2)设这9个球中红球有x个，则黄球为(9−x)个，根据题意得：
5+x5+10+9=10+9−x5+10+9，
解得：x=7，
黄球个数为：9−7=2(个)，
答：这9个球中红球有7个，则黄球为2个．
20.证明：(1)如图，连接BF，
∵DF垂直平分线段AB，交AB于点D，EF垂直平分线段BC，交BC于点E，
∴AF=BF，BF=CF，
∴AF=BF=CF，
∴F是AC的中点；
(2)由(1)知，F是AC的中点，
∵EF垂直平分线段BC，
∴点E是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//AB．
21.解：设成本y1与销售量x之间的函数关系为y1=kx1+b1，
将点(0,240)，(60,480)代入，得b1=24060k1+b1=480，
解得：k1=4b1=240，
∴y1=4x+240，
设收入y2与销售量x之间的函数关系为y2=k2x，
将点(60,720)代入得，60k2=720，
解得：k2=12，
∴y2=12x，
当该工作室某一天既不盈利也不亏损时，即y1=y2，
∴4x+240=12x，
解得：x=30，
∴若该工作室某一天既不盈利也不亏损，则这天生产工艺品的个数是30．
22.解：方法一：如图，线段BC即为所求．

证明：由勾股定理得，AB= 22+42=2 5，BC= 22+42=2 5，AC= 62+22=2 10，
∴AB=BC，AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
即AB⊥BC，
∴AB=BC且AB⊥BC．
方法二：如图，将AB绕着点B顺时针旋转90°得到CB，线段BC即为所求，理由如下：
由网格可知：AD=BE，BD=CE，AB=BC，
∴△ABD≌△BCE(SSS)，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CBE+∠ABD=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC．
23.解：(1)设甲种头盔的单价是x元，乙种头盔的单价是y元，
根据题意得：30x+20y=27003x=4y，
解得：x=60y=45．
答：甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是45元；
(2)设商店第二次购进m个甲种头盔，则购进(80−m)个乙种头盔，
根据题意得：m≥2(80−m)，
解得：m≥1603．
∵60>45，
∴甲种头盔的单价大于乙种头盔的单价，
∴购买甲种头盔越少，商店第二次购进头盔的费用越少，
又∵m≥1603，且m为正整数，
∴当m=54时，商店第二次购进头盔的费用越少，最少费用为60×54+45×(80−54)=4410．
答：商店第二次购进头盔最少花费4410元．
24.(1)BD⊥CE，CE+CD=BC；
(2)当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，(1)中BD和CE之间的位置关系BD⊥CE仍然成立，BC和CE、CD之间的数量关为：CE=BC+CD，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE，BD=CE，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
即∠BCE=90°，
∴BC⊥CE，
∴BD⊥CE，
∵BD=BC+CD，
∴CE=BC+CD．
(3)∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ADB=∠AEC，BD=CE=5，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ADB+∠BAD=∠ABC=45°，
∴∠AEC+∠CAE=45°，
∵∠AEC+∠CAE+∠ACB+∠DCE=180°，
∴∠DCE=90°，
∵DC=DB+BC=5+7=12，CE=5，
∴DE= DC2+CE2= 122+52=13．