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2024-2025学年河北省衡水市故城县郑口中学高二（上）开学数学试卷（含答案）
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这是一份2024-2025学年河北省衡水市故城县郑口中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足z=21−i+i，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
2.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x2−2x−8<0}，则A∪B=( )
A. {x|−23.若a=lg0.32，b=lg23，c=lg69，则( )
A. c>b>aB. b>c>aC. c>a>bD. a>b>c
4.高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下：73，71，91，80，82，85，106，93，则这组数据的中位数与70%分位数分别为( )
A. 81，95.5B. 81，85C. 83.5，92D. 83.5，91
5.若tanθ=−2，则1+cs2θsin2θ=( )
A. −23B. −32C. −34D. −43
6.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2b2−2a2=3a+18，且c=3，则csB的值为( )
A. 154B. 14C. − 154D. −14
7.已知函数f(x)=2|x−1|,x≤2−x2+6x−6,x>2，且g(x)=f(x)−a，若函数g(x)有3个不同的零点，则实数a的取值范围为( )
A. (1,2)B. (1,3)C. [1,2]D. [1,3]
8.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分(除去两个球缺).如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为V=π3(3R−ℎ)ℎ2，其中R是球的半径，ℎ是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4cm，圆柱的底面圆直径为24cm，则该灯笼的体积为(取π=3)( )
A. 32000cm3B. 33664cm3C. 33792cm3D. 35456cm3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量a=(1, 3),b=(3, 3)，则下列说法正确的是( )
A. |a+b|=2 7B. b⋅(b−a)=6
C. a与b的夹角为π3D. a在b上的投影向量为12b
10.如图1，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，DA=AB=BC=12CD，E为CD中点，将△DAE沿AE折起，使D点到达P的位置(点P不在平面ABCE内)，连接PB，PC(如图2)，则在翻折过程中，下列说法正确的是( )
A. BC//平面PAE
B. PB⊥AE
C. 存在某个位置，使PC⊥平面PAE
D. PB与平面ABCE所成角的取值范围为(0,π2)
11.设函数f(x)的定义域为R，f(x−1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈(−1,1]时，f(x)=−x2+1，则下列结论正确的是( )
A. f(73)=589B. 点(3,0)是函数f(x)的一个对称中心
C. f(x)在(6,8)上为增函数D. 方程f(x)+lgx=0仅有6个实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=lg16x,x≤22f(x−1),x>2则f(4)= ______．
13.甲、乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为60kg，方差为100，乙队体重的平均数为64kg，方差为200，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：3，那么甲、乙两队全部队员的方差等于______．
14.如图，|OA|=|OB|=1，〈OA,OB〉=2π3，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，则CA⋅CB的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x− 3．
(1)求f(x)的图象的对称中心和对称轴；
(2)当x∈[−π3,π3]时，求f(x)的最值．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为12a(csinC+bsinB−asinA)．
(1)求A；
(2)若a=2，且△ABC的周长为5，设D为边BC中点，求AD．
17.(本小题17分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC= 2．
(Ⅰ)求三棱锥P−ABC的体积；
(Ⅱ)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(Ⅲ)设点D在棱PB上，AD=CD，求二面角D−AC−B的正弦值．
18.(本小题17分)
已知定义域为I=(−∞,0)∪(0,+∞)的函数f(x)满足对任意x1，x2∈(−∞,0)∪(0,+∞)，都有f(x1x2)=x1f(x2)+x2f(x1).
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)设g(x)=f(x)x，且x>1时g(x)<0，
①求证：g(x)在(0,+∞)上是减函数；
②求不等式g(2x−1)>g(3x)的解集．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.D
5.B
6.D
7.B
8.B
9.ABD
10.ABD
11.BCD
12.1
13.178
14.[−12,0]
15.解：(1)由题意，得f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x− 3=sin2x+ 3cs2x=2sin(2x+π3)．
令2x+π3=kπ(k∈Z)，解得x=−π6+kπ2(k∈Z)，
所以函数的对称中心为(−π6+kπ2,0)(k∈Z)．
令2x+π3=kπ+π2(k∈Z)，x=kπ2+π12(k∈Z)，
所以函数的对称轴方程为x=kπ2+π12(k∈Z)；
(2)当x∈[−π3,π3]时，2x+π3∈[−π3,π]，
所以sin(2x+π3)∈[− 32,1]，
当2x+π3=−π3即x=−π3时，函数f(x)取得最小值为− 3；
当2x+π3=π2即x=π12时，函数f(x)取得最大值为2．
16.解：(1)依题意，12a(csinC+bsinB−asinA)=12absinC，
所以csinC+bsinB−asinA=bsinC，
由正弦定理可得，c2+b2−a2=bc，
由余弦定理，c2+b2−a2=2bccsA，解得csA=12，
因为A∈(0,π)，所以A=π3；
(2)依题意，b+c=5−a=3，
因为c2+b2−bc=(b+c)2−3bc=a2，解得bc=53，
因为AD=12(AB+AC)，
所以AD2=14(AB+AC)2=b2+c2+bc4=(b+c)2−bc4=32−534=116，
所以AD= 666．
17.(Ⅰ)解：因为AC⊥BC，AC=1，BC= 2，
所以S△ABC=12AC⋅BC=12×1× 2= 22，
因为PA⊥平面ABC，
所以三棱锥P−ABC的体积V=13PA⋅S△ABC=13×1× 22= 26．
(Ⅱ)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面PBC，
所以PA⊥BC，
又AC⊥BC，PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
因为BC⊂平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC．
(Ⅲ)解：过点D作DE⊥AB于E，取AC的中点F，连接EF，EF，
因为PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABC，
又平面PAB∩平面ABC=AB，DE⊂平面PAB，
所以DE⊥平面ABC，DE//PA，
所以DF在平面ABC上的投影为EF，
因为AD=CD，且F是AC的中点，所以DF⊥AC，
所以EF⊥AC，
所以∠DFE是二面角D−AC−B的平面角，
因为EF⊥AC，AC⊥BC，F是AC的中点，所以E是AB的中点，EF=12BC= 22，
又DE//PA，所以D是PB的中点，DE=12PA=12，
在Rt△DEF中，DF= DE2+EF2= 14+24= 32，
所以sin∠DFE=DEDF=12 32= 33，
即二面角D−AC−B的正弦值为 33．
18.解：(1)取x1=x2=1，可得f(1)=0，取x1=x2=−1，可得f(−1)=−12f(1)=0．
取x1=x，x2=−1，可得f(−x)=−f(x)+xf(−1)=−f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)①∵f(x)是奇函数，g(x)=f(x)x是偶函数，
由f(x1x2)=x1f(x2)+x2f(x1).可得有g(x1x2)=g(x2)+g(x1).
设x1>x2>0，则x1x2>1，x>1时g(x)<0，可得g(x1x2)<0．
∴g(x1)=g(x1x2⋅x2)=g(x2)+g(x1x2)∴g(x)在(0,+∞)上是减函数；
②∵g(x)是偶函数且在(0,+∞)上是减函数，∴不等式g(2x−1)>g(3x)的解集⇔2x−1≠03x≠0|2x−1|<|3x|．
⇒x≠12x≠0x>15或x<−1⇒x<−1或>12或15∴不等式g(2x−1)>g(3x)的解集为(−∞,−1)∪(15,12)∪(12,+∞)．
1.已知复数z满足z=21−i+i，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
2.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x2−2x−8<0}，则A∪B=( )
A. {x|−2
A. c>b>aB. b>c>aC. c>a>bD. a>b>c
4.高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下：73，71，91，80，82，85，106，93，则这组数据的中位数与70%分位数分别为( )
A. 81，95.5B. 81，85C. 83.5，92D. 83.5，91
5.若tanθ=−2，则1+cs2θsin2θ=( )
A. −23B. −32C. −34D. −43
6.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2b2−2a2=3a+18，且c=3，则csB的值为( )
A. 154B. 14C. − 154D. −14
7.已知函数f(x)=2|x−1|,x≤2−x2+6x−6,x>2，且g(x)=f(x)−a，若函数g(x)有3个不同的零点，则实数a的取值范围为( )
A. (1,2)B. (1,3)C. [1,2]D. [1,3]
8.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分(除去两个球缺).如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为V=π3(3R−ℎ)ℎ2，其中R是球的半径，ℎ是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4cm，圆柱的底面圆直径为24cm，则该灯笼的体积为(取π=3)( )
A. 32000cm3B. 33664cm3C. 33792cm3D. 35456cm3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量a=(1, 3),b=(3, 3)，则下列说法正确的是( )
A. |a+b|=2 7B. b⋅(b−a)=6
C. a与b的夹角为π3D. a在b上的投影向量为12b
10.如图1，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，DA=AB=BC=12CD，E为CD中点，将△DAE沿AE折起，使D点到达P的位置(点P不在平面ABCE内)，连接PB，PC(如图2)，则在翻折过程中，下列说法正确的是( )
A. BC//平面PAE
B. PB⊥AE
C. 存在某个位置，使PC⊥平面PAE
D. PB与平面ABCE所成角的取值范围为(0,π2)
11.设函数f(x)的定义域为R，f(x−1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈(−1,1]时，f(x)=−x2+1，则下列结论正确的是( )
A. f(73)=589B. 点(3,0)是函数f(x)的一个对称中心
C. f(x)在(6,8)上为增函数D. 方程f(x)+lgx=0仅有6个实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=lg16x,x≤22f(x−1),x>2则f(4)= ______．
13.甲、乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为60kg，方差为100，乙队体重的平均数为64kg，方差为200，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：3，那么甲、乙两队全部队员的方差等于______．
14.如图，|OA|=|OB|=1，〈OA,OB〉=2π3，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，则CA⋅CB的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x− 3．
(1)求f(x)的图象的对称中心和对称轴；
(2)当x∈[−π3,π3]时，求f(x)的最值．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为12a(csinC+bsinB−asinA)．
(1)求A；
(2)若a=2，且△ABC的周长为5，设D为边BC中点，求AD．
17.(本小题17分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC= 2．
(Ⅰ)求三棱锥P−ABC的体积；
(Ⅱ)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(Ⅲ)设点D在棱PB上，AD=CD，求二面角D−AC−B的正弦值．
18.(本小题17分)
已知定义域为I=(−∞,0)∪(0,+∞)的函数f(x)满足对任意x1，x2∈(−∞,0)∪(0,+∞)，都有f(x1x2)=x1f(x2)+x2f(x1).
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)设g(x)=f(x)x，且x>1时g(x)<0，
①求证：g(x)在(0,+∞)上是减函数；
②求不等式g(2x−1)>g(3x)的解集．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.D
5.B
6.D
7.B
8.B
9.ABD
10.ABD
11.BCD
12.1
13.178
14.[−12,0]
15.解：(1)由题意，得f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x− 3=sin2x+ 3cs2x=2sin(2x+π3)．
令2x+π3=kπ(k∈Z)，解得x=−π6+kπ2(k∈Z)，
所以函数的对称中心为(−π6+kπ2,0)(k∈Z)．
令2x+π3=kπ+π2(k∈Z)，x=kπ2+π12(k∈Z)，
所以函数的对称轴方程为x=kπ2+π12(k∈Z)；
(2)当x∈[−π3,π3]时，2x+π3∈[−π3,π]，
所以sin(2x+π3)∈[− 32,1]，
当2x+π3=−π3即x=−π3时，函数f(x)取得最小值为− 3；
当2x+π3=π2即x=π12时，函数f(x)取得最大值为2．
16.解：(1)依题意，12a(csinC+bsinB−asinA)=12absinC，
所以csinC+bsinB−asinA=bsinC，
由正弦定理可得，c2+b2−a2=bc，
由余弦定理，c2+b2−a2=2bccsA，解得csA=12，
因为A∈(0,π)，所以A=π3；
(2)依题意，b+c=5−a=3，
因为c2+b2−bc=(b+c)2−3bc=a2，解得bc=53，
因为AD=12(AB+AC)，
所以AD2=14(AB+AC)2=b2+c2+bc4=(b+c)2−bc4=32−534=116，
所以AD= 666．
17.(Ⅰ)解：因为AC⊥BC，AC=1，BC= 2，
所以S△ABC=12AC⋅BC=12×1× 2= 22，
因为PA⊥平面ABC，
所以三棱锥P−ABC的体积V=13PA⋅S△ABC=13×1× 22= 26．
(Ⅱ)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面PBC，
所以PA⊥BC，
又AC⊥BC，PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
因为BC⊂平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC．
(Ⅲ)解：过点D作DE⊥AB于E，取AC的中点F，连接EF，EF，
因为PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABC，
又平面PAB∩平面ABC=AB，DE⊂平面PAB，
所以DE⊥平面ABC，DE//PA，
所以DF在平面ABC上的投影为EF，
因为AD=CD，且F是AC的中点，所以DF⊥AC，
所以EF⊥AC，
所以∠DFE是二面角D−AC−B的平面角，
因为EF⊥AC，AC⊥BC，F是AC的中点，所以E是AB的中点，EF=12BC= 22，
又DE//PA，所以D是PB的中点，DE=12PA=12，
在Rt△DEF中，DF= DE2+EF2= 14+24= 32，
所以sin∠DFE=DEDF=12 32= 33，
即二面角D−AC−B的正弦值为 33．
18.解：(1)取x1=x2=1，可得f(1)=0，取x1=x2=−1，可得f(−1)=−12f(1)=0．
取x1=x，x2=−1，可得f(−x)=−f(x)+xf(−1)=−f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)①∵f(x)是奇函数，g(x)=f(x)x是偶函数，
由f(x1x2)=x1f(x2)+x2f(x1).可得有g(x1x2)=g(x2)+g(x1).
设x1>x2>0，则x1x2>1，x>1时g(x)<0，可得g(x1x2)<0．
∴g(x1)=g(x1x2⋅x2)=g(x2)+g(x1x2)
②∵g(x)是偶函数且在(0,+∞)上是减函数，∴不等式g(2x−1)>g(3x)的解集⇔2x−1≠03x≠0|2x−1|<|3x|．
⇒x≠12x≠0x>15或x<−1⇒x<−1或>12或15
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