2024年高考数学真题完全解读（北京卷）

这是一份2024年高考数学真题完全解读（北京卷），共27页。试卷主要包含了筑牢育人根基，凸显德育价值，夯实数学基础，强化能力考查，彰显首都特色，体现创新精神，坚持守正创新，服务考试改革等内容，欢迎下载使用。

2024年北京高考数学卷（以下简称北京卷）在命题思路和特点上展现了其独特之处，充分体现了“立德树人，服务选才，引导教学”的命题指导原则，并在此基础上实现了守正创新。试卷不仅在知识考查上全面而深入，更注重对考生数学素养和思维品质的检验，彰显了首都特色与教育改革的精神。
一、筑牢育人根基，凸显德育价值
北京卷注重将数学知识与德育内容相融合，通过精心设计的题目，使考生在解题过程中感受到数学的德育价值。例如，通过引入古代数学文化元素，让考生了解中华优秀传统文化的博大精深，增强民族自信心和自豪感。同时，试卷还关注劳动教育和美育的考查，使考生在解题过程中体会劳动的价值和数学的美育价值。
二、夯实数学基础，强化能力考查
北京卷在命题上紧扣课标和教材，注重考查考生的数学基础知识、基本技能和基本方法。试卷对主干知识的考查保持了较高比例，同时注重对数学思想方法的考查，引导考生深入理解数学的本质和思想方法。通过对不同层次、不同难度题目的设置，实现对考生思维水平的区分和选拔。
三、彰显首都特色，体现创新精神
北京卷在命题中充分体现了首都特色和创新精神。试卷在题目设计和呈现形式上注重创新，通过设置开放性问题、多项选择问题等，激发考生的探究兴趣和创新思维。同时，试卷还关注对考生可持续学习能力的培养，通过设置具有探究背景的题目，引导考生养成终身学习的意识和能力。
四、坚持守正创新，服务考试改革
北京卷在保持命题稳定性的基础上，不断探索和创新。试卷在命题思路、题目类型和呈现形式上都有所创新，同时注重与教学实践的紧密结合，引导中学数学教学在六个方面“下功夫”，即主干知识的掌握、学科本质的理解、思想方法的领悟、应用探究能力的提升、创新思维的形成以及数学素养的养成。
总的来说，2024年北京高考数学卷在命题上体现了全面育人、选拔人才和引导教学的理念，注重考查考生的数学素养和思维品质，彰显了首都特色和创新精神。同时，试卷也注重与教学实践的紧密结合，为中学数学教学提供了有益的启示和导向。
北京2024年高考数学题目设计在整体结构上与往年保持了一致性，依然注重考查学生对集合、复数、二项式定理、解析几何、立体几何、导数的综合运用等知识点的掌握情况。从题目的难易程度上看，大部分题目设计得相对简单，旨在检验学生的基础知识与基本技能，预计这一部分的分值大约占100分左右。
难题的数量相对较少，但加强了对学生思维能力的考查，强调学科核心素养的导向。容易的题目占据了多数，旨在让不同层次的学生都能得到充分的展示机会。特别是第10、15、19、20、21题，这些题目设置得较为有区分度，能够拉开不同学生之间的水平差距。特别值得一提的是第21题，这道题目以新定义的形式出现，旨在为优秀的人才提供充分展现才华的空间，服务拔尖创新人才的选拔，助推素质教育的发展。整个试卷的设计避免了死记硬背和偏题怪题，引导中学数学教学从总结解题技巧转向培养学生的学科核心素养，体现了高考改革的新方向。
高考一轮复习：回归基础，深化理解（1）选择好复习起点，重视知识产生的过程：在复习过程中，我们不应仅仅满足于对知识点的记忆和背诵，而应深入理解知识的产生过程。这包括了解知识的来源、背景、发展脉络以及其在整个学科体系中的位置和作用。通过追溯知识的根源，我们能够更加全面地掌握知识，增强记忆深度，同时培养我们的思维能力和探索精神。（2）以问题为导向的基础复习：问题导向的复习方法能够帮助我们更加有针对性地进行学习。通过设定问题，我们能够明确自己的学习目标，从而有针对性地查找和解决问题。这种复习方法不仅能够增强我们的学习兴趣和动力，还能够提高我们的学习效率。同时，通过解决问题，我们能够加深对知识点的理解和记忆，形成更加完整和系统的知识体系。（3）重视教材的使用：教材是学科知识的载体，也是我们进行复习的主要工具。因此，在一轮复习中，我们应充分利用教材，深入研读教材内容。通过反复阅读和思考教材内容，我们能够更好地理解和掌握知识点，加深对知识的印象。同时，教材上的例题和习题也是我们进行练习和巩固知识的重要资源。（4）题组教学，变式训练：题组教学和变式训练是提高学生解题能力和思维水平的有效方法。在一轮复习中，我们可以选择典型的例题进行深入的解析和训练。通过题组教学，我们能够了解不同题型的特点和解题方法，形成解题的套路和技巧。同时，通过变式训练，我们能够拓展解题思路和方法，提高解题的灵活性和应变能力。这不仅有助于我们在高考中应对各种题型和难度，还能够培养我们的思维能力和创新精神。
2.提高课堂听课效率：勤动手，多动脑，高效利用高三复习课与评讲课。（1）课前自我检测与预复习：在复习课之前，我们应该进行一番自我检测。通过回顾教材、笔记和之前的作业，梳理出自己已掌握的知识点，同时标出那些还存在疑惑或未掌握的内容。这样的预复习不仅能帮助我们明确听课的目的，还能在听课时更有针对性地吸收知识。（2）动手做题，明确难点:现在的学生手中都会有一本复习资料。在老师讲课之前，我们可以尝试独立完成其中的例题。在解题过程中，我们可能会遇到一些难点或疑惑。这些难点正是我们听课的重点，它们将引导我们更加深入地理解知识，并找出自己的不足。（3）听课有重点，多动脑思考：在听课时，我们要保持高度的专注力，认真听老师讲解每一个知识点和解题技巧。对于课前做题时遇到的难点，要特别留意老师的讲解，并多动脑思考，确保自己完全理解和掌握。此外，我们还要积极参与课堂讨论，发表自己的观点和疑问，与老师和同学共同探讨，以加深对知识点的理解。（4）课后及时巩固与反思：课后，我们要及时巩固所学内容，通过做题、复习笔记等方式加深记忆。同时，我们还要对听课过程进行反思，总结自己的收获和不足，以便在下一节课中更加有针对性地听课。
3.精准纠错，深化反思，完善知识体系（1）在高三的紧张复习阶段，我们需要积极“以错纠错”，即专门收集日常作业中的错误。随着复习的深入，我们将面对几十套甚至上百套的各类试题，每个错误都是我们成长的垫脚石。（2）若在做题时出错较多，建议在试卷上对错题进行标记，并旁边附上简短的评析。随后，妥善保存这些试卷。定期回顾这些“错题笔记”或标记了错题的试卷，将帮助我们有针对性地进行查漏补缺。（3）在阅读参考书时，不妨将精彩之处或错误的题目也做上标记。这样，在再次翻阅时就能有所侧重，实现精准复习。查漏补缺不仅是对知识的回顾，更是对自己思维方式的反思与提升。（4）除了逐一理解不同问题外，更要学会“举一反三”，及时归纳总结。每次订正试卷或作业时，都要在错题旁详细记录错误原因。常见原因包括：①无从下手解题；②概念模糊、理解不透彻；③方法选择不当；④知识点间迁移和综合存在问题；⑤情景设计理解困难；⑥熟练度不够，时间紧迫；⑦粗心大意或计算失误。通过一段时间的自查，建立一份个性化的补差档案，持续边查边改。随着时间的推移，重复犯错的频率会大幅降低。同时，随着自我认识的不断深化，考试时的自信心将增强，紧张情绪也将得到缓解。
2024年高考数学真题完全解读（北京卷）
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【命题意图】本题考查集合的并集运算,考查数学运算的核心素养.难度：易.
【解析】由题意得，故选：A.
【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,所给集合多为不等式集、离散的数集或点集,这种考查方式多年来保持稳定.
【知识链接】
1.求解集合的运算问题的三个步骤：
(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等；
(2)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).
2. 已知，则（ ）．
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查复数的乘法运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：易.
【答案】C
【解析】由题意得，故选：C.
【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,复数题多以单选题、填空题都可能出现,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数相等、复数的几何意义等,二是复数的四则运算运算.
【知识链接】
解复数运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．
3. 圆的圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查由圆的一般方程求出圆心和半径以及圆心到直线的距离公式，数学运算的核心素养。难度：易
【答案】D
【解析】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D.
【点评】今年的直线与圆的位置关系考的比往年要简单，往年着重考查圆有关的最值问题，今年考查的是基础知识的运用，学生易得分。
【知识链接】（1）对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.方程表示以为圆心，以为半径的圆；
（2） 设圆：直线：；圆心到直线的距离.
4. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查二项式展开式的系数问题，数学运算的核心素养。难度：易
【答案】A
【解析】的二项展开式为，
令，解得，故所求即为.故选：A.
【点评】相较于往年，今年的题目在难度上稍有提升，其中新加入了分数指数幂的知识点，为考生带来了新的挑战。然而，从总体方向来看，题目的主要考查点并未改变，仍旧聚焦于二项式展开式的系数问题，旨在检验考生对该知识点的掌握与运用。
【知识链接】二项式展开式的通项公式Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk
5. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查平面向量的数量积运算及命题与逻辑，数学逻辑推理及数学运算的核心素养。难度：易
【答案】B
【解析】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.故选：B.
【点评】平面向量在北京高考数学中占据着重要的必考地位，常以客观题的形式呈现。其考察热点主要集中在平面向量的线性运算及数量积的灵活运用上。这些题目既可以设置成基础题型，帮助学生扎实掌握基础知识点；又可以构造得相当复杂，通过融合平面几何、不等式、三角函数等多个知识领域，对学生的综合应用能力和解题策略提出更高层次的要求。特别是在较难的题目中，平面向量常与其他数学概念相交融，形成综合考察，考验着学生的逻辑思维深度和解题智慧。
【知识链接】1. 对于平面向量数量积的求解，有两种主要方法。当已知向量的模长和夹角时，可以利用公式a·b＝|a||b|cs〈a,b〉来直接计算；而若已知向量的坐标形式，可利用坐标法求解,即若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a·b＝x1x2＋y1y2.
2. 在处理与平面几何相关的平面向量数量积的最值与范围问题时，常用的方法有以下两种。一是通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，再利用函数思想或基本不等式进行求解；二是通过引入角作为变量，将问题转化为求解三角函数的最值或范围问题。这两种方法都能够有效地处理这类问题，并帮助我们找到数量积的最值或范围。
6. 已知，，，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【命题意图】本题考查三角函数最值以及周期性，考查数学运算及逻辑推理的核心素养。难度：中
【答案】B
【解析】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，且，所以.故选：B.
【点评】学生们在解决涉及三角函数最值分析的问题时，可以利用周期性的概念进行深入理解，并结合三角函数最小正周期公式进行计算求解。相较于去年，今年的题目难度虽略有提升，但整体上依然较为友好，易于学生理解和把握，因此学生们在掌握相应知识点的基础上，较容易获得理想的分数。
【知识链接】1.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0,ω≠0),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点．
2.ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的eq \f(1,4)个周期(借助图象很好理解记忆)．
7. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A. B.
C. D.
【命题意图】本题考查对数的运算，考查数学运算及逻辑推理的核心素养。难度:中
【答案】D
【解析】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
【点评】通过将题目背景设置为现实生活情境，我们旨在让考生在解题的同时，深刻体会到数学既源于生活又服务于生活。本题特别强调了比较两个数的大小时，除了常见的作差法外，有时采用作比法可能更为恰当和有效。这样的设计旨在引导考生拓展思维，理解数学在实际问题中的灵活应用。
【知识链接】对数的运算性质(1)lga(M·N)=lgaM+lgaN. (2)lga MN=lgaM-lgaN. (3)lgaMb=blgaM.
8.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A. 1B. 2C. D.
【命题意图】本题考查面面垂直的性质定理，等体积法求点到面的距离，考查直观想象和数学运算的核心素养。难度：中
【答案】D
【解析】如图，底面为正方形，
当相邻的棱长相等时，不妨设，
分别取的中点，连接，
则，且，平面，
可知平面，且平面，
所以平面平面，
过作的垂线，垂足为，即，
由平面平面，平面，
所以平面，
由题意可得：，则，即，
则，可得，
所以四棱锥的高为.
当相对的棱长相等时，不妨设，，
因为，此时不能形成三角形，与题意不符，这样情况不存在.
故选：D.
【点评】与去年相比，去年考察的是空间几何体的棱长之和，而今年的焦点则转向了空间几何体的高，从难度上看，今年的考查点显得更为直接和简单。解题过程中，首先利用面面垂直的性质推导出线面垂直，进而借助等体积法巧妙求解，使得整个解题过程变得清晰且易于操作。
【知识链接】面面垂直的性质定理
9. 已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【命题意图】本题考查指数函数和对数函数的单调性以及基本不等式的运用，考查数学逻辑推理及数学运算的核心素养。难度：中
【答案】A
【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误，
故选：A.
【点评】这道题目巧妙地运用了对数函数与指数函数模型，深入考察了基本不等式的应用。在北京高考中，基本不等式经常与其他数学知识点相互交融，而今年这一结合的方式显得尤为巧妙。题目不仅体现了数学公式的深度，还与函数的凹凸性有着微妙的关联，为考生提供了一次综合运用数学知识的机会。
【知识链接】（1）指数函数的图像及性质
基本不等式: eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0,b>0)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.
10. 已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【命题意图】本题考查集合的表示、函数图像的运用，考查数形结合、逻辑推理及数学运算的核心素养。难度：难
【答案】C
【解析】对任意给定，则，且，
可知，即，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，
如图阴影部分所示，其中，
可知任意两点间距离最大值；阴影部分面积.故选：C.
【点评】这道题目的设计极为巧妙，它巧妙地利用集合中的点集来代表平面图形，进而引导学生结合图像深入分析平面中两点的最值问题。作为选择题的压轴题，它不仅展示了数学的深度和美感，而且相较于去年，难度上有所降低，使得更多学生能够挑战并享受解题的过程。
【知识链接】在运用数形结合的方法时，其核心在于“以形助数”，即在解题过程中，我们应着重培养这种思想意识。这不仅要求我们在脑海中形成清晰的图形形象，而且要做到每当看到数学表达式时，能够迅速联想到相关的图形。这样做能够极大地拓宽我们的解题思路。使用数形结合法的前提是题目中的条件能够明确转化为几何意义，解题时，我们需精准地把握条件、结论与几何图形之间的对应关系，巧妙地利用几何图形中的相关定理和结论来求解问题。
二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分.
11. 已知抛物线，则焦点坐标为________．
【命题意图】本题考查抛物线的基本性质，考查数学运算的核心素养。难度：易
【答案】
【解析】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为.
故答案为：.
【点评】本题重在基础知识的考查，对学生要求不高。
【知识链接】
12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________．
【命题意图】本题考查三角函数的对称性及由单调性求最值，考查数学运算及逻辑推理的核心素养。难度：易
【答案】|
【解析】由题意，从而，
因为，所以的取值范围是，的取值范围是，
当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为.
故答案：.
【点评】通过巧妙地利用三角函数的对称性特性，我们可以建立与之间的关系，进而依托的取值范围，精准地推导出本题的答案。这种解题方法不仅体现了对基础知识点的深入理解和应用，更展现了一种别样的考查视角，使得问题解答过程既富有挑战性又充满智慧。
13. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________．
【命题意图】本题考查双曲线的基本性质及直线与双曲线的位置关系，考查数学运算及数形结合的核心素养。难度：易
【答案】（或，答案不唯一）
【解析】联立，化简并整理得：，
由题意得或，
解得或无解，即，经检验，符合题意.
故答案为：（或，答案不唯一）.
【点评】本题为开放型题目，较去年的13题相比容易很多，直接借助直线与双曲线的位置关系联立方程组，令△=0从而求出k。
【知识链接】
14. 汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为______，升量器的高为________．
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式及圆柱的体积，考查数学运算的核心素养。难度：中
【答案】.
【解析】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则，
故，.故答案为：.
【点评】
【知识链接】（1）圆柱体积V=πr2h(r为底面半径，h为圆柱的高) ；
（2）等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示()符号语言（或者）(为常数，，)
15. 设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是______.
【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项公式及散点图的应用，考查逻辑推理及数学运算的核心素养。难度：难
【答案】①③④
【解析】【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.
【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确.
对于②，取则均为等比数列，
但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，
故②错误.
对于③，设，，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；
若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
当有偶数解，此方程即为，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，
否则，因单调性相反，
方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即
否则，因单调性相反，
方程至多一个奇数解，
因为，不可能同时成立，
故不可能有4个不同的正数解，故③正确.
对于④，因为为单调递增，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故答案为：①③④
【点评】对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
（1）求；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【命题意图】本题考查解三角形,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度：中
【答案】（1）；
（2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均.
【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；
（2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；
【解析】（1）由题意得，因为为钝角，
则，则，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
,
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
【点评】本题把正余弦定理及二倍角公式交汇考查,命题形式与往年基本相同,学生对此类问题训练较多,如运算能力过关,该题得满分应该没有问题.
【知识链接】应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式a＝eq \f(bsin A,sin B),b＝eq \f(asin B,sin A),c＝eq \f(asin C,sin A)或其他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A＝eq \f(asin B,b),sin B＝eq \f(bsin A,a),sin C＝eq \f(csin A,a)或其他相应变形公式求解．
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
17. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
（1）若为线段中点，求证：平面．
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【命题意图】本题考查线面平行的证明及面面所成角的计算,考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养,难度：中
【答案】（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值.
【解析】
（1）取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）
因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为
【点评】北京高考试卷中立体几何解答题一般有2问,第一问多为线面位置关系的证明, 对于线面位置关系的证明,步骤不规范是失分的主要原因,第二问多为利用空间向量线面角或面面角,在高考中立体几何解答题一般难度不大,属于得分题,若利用空间向量求空间角,运算错误是失分主要原因.
【知识链接】证明线面位置关系应注意的问题
(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；
(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；
(3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．
18. 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
【命题意图】本题考查古典概型求概率、离散型随机变量的分布列及数学期望，考查数学运算的核心素养。难度：中
【答案】（1） （2）(i)0.122万元 (ii)万元
【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求.
（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求.
【解析】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得.
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，
由题设中的统计数据可得，
，
，
，
故
故（万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为，
故（万元）
【点评】此题巧妙地以保险单为现实背景，深入生活，探寻数学的踪迹，将数学与日常生活紧密相连。通过这一方式，不仅检验了学生的数学知识，更让他们深切地认识到数学源于生活、服务于生活的真谛。与去年相比，本题难度适中，让学生更容易上手，同时也保持了挑战性，提升了学习的趣味性和实用性。
【知识链接】一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．此外称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
19. 已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．
【命题意图】本题考查椭圆的基本几何性质、直线方程及直线与椭圆的位置关系，考查数学运算及逻辑推理的核心素养。难度：中等偏上
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由题意得，进一步得，由此即可得解；
（2）说明直线斜率存在，设，，联立椭圆方程，由韦达定理有，而，令，即可得解.
【解析】（1）由题意，从而，
所以椭圆方程为，离心率为；
（2）显然直线斜率存在，否则重合，直线斜率不存在与题意不符，
同样直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，
从而设，，
联立，化简并整理得，
由题意，即应满足，
所以，
若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，
所以，在直线方程中令，
得，
所以，
此时应满足，即应满足或，
综上所述，满足题意，此时或.
【点评】与去年情况相类似，今年椭圆解答题再次位于第19题，其难度水平也与去年相近。一般而言，解析几何解答题的第（1）小题被视为较易得分的部分，其难度相对较低。对于考生而言，尽管难题可能难以完全攻克，但争取在容易题目上拿到尽可能多的分数，始终是值得追求的目标。值得注意的是，解析几何解答题的一大特点是其计算量相对较大，这导致部分学生在解题过程中可能因为计算能力不足而出错，甚至因觉得麻烦而选择放弃。然而，实际上，解析几何解答题的第（1）小题通常涉及求圆锥曲线方程或离心率，其难度并不高，因此建议考生不要轻易放弃。对于第（2）小题，虽然其解题思路可能需要一定的思考和推导，但总体来说还是较为容易理解和掌握的。建议考生平时多加练习类似的题目，总结计算规律，以提高解题速度和准确性，确保在这部分能够取得理想的分数。
【知识链接】判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．
例：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：
Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
20. 设函数，直线是曲线在点处的切线．
（1）当时，求的单调区间.
（2）求证：不经过点.
（3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：，，）
【命题意图】本题考查导数的几何意义及导数的综合运用，考查数学运算及逻辑推理的核心素养。难度：难
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）证明见解析 （3）2
【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可；
（2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可；
（3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可.
【解析】（1），
当时，；当，；
在上单调递减，在上单调递增.
则的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），切线的斜率为，
则切线方程为，
将代入则，
即，则，，
令，
假设过，则在存在零点.
，在上单调递增，，
在无零点，与假设矛盾，故直线不过.
（3）时，.
，设与轴交点为，
时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知.所以，
则切线的方程为，
令，则.
，则，
，记，
满足条件的有几个即有几个零点.
，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
因为，
，
所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点，
综上所述，有两个零点，即满足有两个.
【点评】在北京的高考数学考试中，导数解答题常出现在第19题或第20题的位置，这些题目通常以切线为核心展开，无论是探究极值、最值，还是研究零点问题、证明不等式，甚至解决不等式恒成立的问题，多数情况都需要利用导数来分析函数的单调性，进而利用这一单调性来求解。因此，熟练掌握研究函数单调性的方法显得尤为关键，它是解答这些导数题目的重要基石。
【知识链接】曲线的切线问题（在型）
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
21. 已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．
（1）给定数列和序列，写出；
（2）是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
（3）若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．
【命题意图】本题考查数列新定义、命题逻辑及反证法的运用,考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.难度：难.
【答案】（1） （2）不存在符合条件的，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
（1）由题意得；
（2）假设存在符合条件的，可知的第项之和为，第项之和为，
则，而该方程组无解，故假设不成立，
故不存在符合条件的；
（3）我们设序列为，特别规定.
必要性：
若存在序列，使得为常数列.
则，所以
根据的定义，显然有，这里，.
所以不断使用该式就得到，，必要性得证.
充分性：
若.
由已知，为偶数，而，所以也是偶数.
我们设是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列中，使得最小的一个.
上面已经证明，这里，.
从而由可得.
同时，由于总是偶数，所以和的奇偶性保持不变，从而和都是偶数.
下面证明不存在使得.
假设存在，根据对称性，不妨设，，即.
情况1：若，则由和都是偶数，知.
对该数列连续作四次变换后，新的相比原来的减少，这与的最小性矛盾；
情况2：若，不妨设.
情况2-1：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾；
情况2-2：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾.
这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的都有.
假设存在使得，则是奇数，所以都是奇数，设为.
则此时对任意，由可知必有.
而和都是偶数，故集合中的四个元素之和为偶数，对该数列进行一次变换，则该数列成为常数列，新的等于零，比原来的更小，这与的最小性矛盾.
综上，只可能，而，故是常数列，充分性得证.
【点评】本题的新定义问题具有显著的难度和综合性，需要考生运用分类讨论的方法，解题过程要求具备出色的逻辑思维能力。不过，本题分为三个小题，难度的设置上呈现出明显的梯度，这意味着中等成绩的学生有望获得部分分数，但想要取得满分则极具挑战性。换言之，这道题目主要是为了选拔出拔尖创新人才而设计的，对于绝大多数学生来说，难以完全解答是情理之中的事情。将新定义问题作为压轴题，是北京高考一贯的题型特点，旨在通过高难度的挑战来选拔出真正具备数学才能的优秀学生。
【知识链接】新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解. 但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.新定义问题的方法和技巧：(1)可通过举例子的方式,将抽象的定义转化为具体的简单的应用,从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容,如果能清晰描述,那么说明对此信息理解的较为透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体会信息本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广,则要关注此信息与课本中概念的不同之处,以及什么情况下可以使用书上的概念.
题号
分值
题型
考查内容
模块（题目数）
1
4分
选择题
集合的并集运算
集合（共2题）
2
4分
选择题
复数的乘法4运算
复数（共1题）
3
4分
选择题
直线与圆、点到直线的距离
解析几何（共4题）
4
4分
选择题
二项式展开式中的系数
二项式定理（共1题）
5
4分
选择题
平面向量与命题逻辑
平面向量（共1题）
6
4分
选择题
三角函数的最值与周期性
解三角形与三角函数
（共4题）
7
4分
选择题
对数运算
函数（共3题）
8
4分
选择题
空间中点线面的位置关系及空间几何体的高
立体几何（共3题）
9
4分
选择题
指数函数和对数函数的单调性及基本不等式
函数（共3题）
基本不等式（共1题）
10
4分
选择题
借助集合的背景，考查学生数形结合的思想去转化题目中的几何意义
集合（共2题）
函数（共3题）
11
5分
填空题
抛物线的性质
解析几何（共4题）
12
5分
填空题
三角函数的单调性
解三角形与三角函数
（共4题）
13
5分
填空题
双曲线的基本性质
解析几何（共4题）
14
5分
填空题
等比数列的性质及求空间几何体的体积
数列（共3题）
空间几何体的体积（共3题）
15
5分
填空题
利用等差数列、等比数列的散点图特征分析它们之间的性质
数列（共3题）
成对数据分析（共1题）
16
13分
解答题
正余弦定理
解三角形与三角函数
（共4题）
17
13分
解答题
线面平行、面面所成角
立体几何（共3题）
18
14分
解答题
古典概型、离散型随机变量分布列
统计与概率
19
15分
解答题
椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系
解析几何（共4题）
20
15分
解答题
导数的综合运用
导数（共1题）
21
15分
解答题
新定义、数列
数列（共3题）
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
图形语言

符号语言
α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
指数函数
y=ax(a>0，且a≠1)
0a>1
图象


定义域
R
值域
(0，+∞)
性质
过定点
过定点(0，1)，即x=0时，y=1
单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
函数值
的变化
当x>0时，0当x<0时，y>1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0对称性
y=ax与y=1ax的图象关于y轴对称
标准方程
范围
顶点
对称轴
轴
轴
焦点
准线方程
离心率
，越大，抛物线的开口越大
焦半径
通径
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：
焦点弦长
公式
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数