宁夏石嘴山第六中学2023-2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份宁夏石嘴山第六中学2023-2024学年上学期九年级期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．科克曲线
C．斐波那契螺旋D．笛卡尔心形线
2．（3分）关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
3．（3分）如图，下列说法正确的是（ ）
A．线段AB，AC，CD都是⊙O的弦
B．线段AC经过圆心O，线段AC是直径
C．AD＝BD
D．弦AB把圆分成两条弧，其中是劣弧
4．（3分）将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2+4B．y＝﹣（x﹣1）2+4
C．y＝﹣（x+1）2+2D．y＝﹣（x﹣1）2+2
5．（3分）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
6．（3分）一元二次方程（k﹣2）x2+kx+2＝0（k≠2）的根的情况是（ ）
A．该方程有两个不相等的实数根
B．该方程有两个相等的实数根
C．该方程有实数根
D．该方程没有实数根
7．（3分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+2.6．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ）
A．球运行的最大高度是2.43m
B．
C．球会过球网但不会出界
D．球会过球网并会出界
8．（3分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝cB．a＝bC．b＝cD．a＝b＝c
二、填空题：（每题3分，共24分）
9．（3分）已知A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，则a﹣b＝ ．
10．（3分）已知函数y＝（m+1）x|m|+1﹣2x+1是二次函数，则m＝ ．
11．（3分）教师节期间，我校九年级组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．据统计，全组共发了90条祝福短信．如果设九年级组共有x名教师，依题意可列出的方程是 ．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，则k的取值范围为 ．
13．（3分）如图，含30°的三角板ABC绕点B顺时针旋转150°得到△EBD，连接AE，若CB＝4cm，则△ABE的面积为 ．
14．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 ．
15．（3分）已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为17cm，AB＝30cm，CD＝16cm，则AB、CD间的距离为 ．
16．（3分）如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP＝3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为 ．
三、解答题：（共72分）
17．（6分）解下列方程．
（1）2x2﹣4＝3x
（2）2（2x﹣3）＝3x（2x﹣3）
18．（6分）如图，已知直径CD为8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM＝2，求AB的长．
19．（6分）随着环保意识日益深入，我国新能源汽车的生产技术也不断提升．市场上某款新能源汽车1月份的售价为25万元/辆，3月份下降到20.25万元/辆，求该款汽车售价的月平均下降率．
20．（6分）如图，某养羊户想用29米长的围栏设计一个矩形的养牛圈，其中羊圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），MN的长度为15m，为了让围成的羊圈（矩形ABCD）面积达到112m2，请你帮忙计算一下羊圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？最大面积是多少？
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无需说明理由）
22．（8分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象经过A（﹣1，0）、B（4，5）两点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？
（3）当x为何值时，y＞0？
23．（8分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB．
（1）请判断△ACC'的形状，并说明理由．
（2）求∠BAB'的度数．
24．（8分）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式：
（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
25．（8分）某隧道洞的内部截面顶部是抛物线形，现测得地面宽AB＝10m，隧道顶点O到地面AB的距离为5m，
（1）建立适当的平面直角坐标系，并求该抛物线的解析式；
（2）一辆小轿车长4.5米，宽2米，高1.5米，同样大小的小轿车通过该隧洞，最多能并排行驶多少辆？
26．（10分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年宁夏石嘴山六中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共24分）
1．（3分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．科克曲线
C．斐波那契螺旋D．笛卡尔心形线
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（3分）关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】直接把x＝﹣1代入方程x2+3x+a＝0得到关于a的方程，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程得1﹣3+a＝0，
解得a＝2．
故选：C．
3．（3分）如图，下列说法正确的是（ ）
A．线段AB，AC，CD都是⊙O的弦
B．线段AC经过圆心O，线段AC是直径
C．AD＝BD
D．弦AB把圆分成两条弧，其中是劣弧
【分析】根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确定AD＝BD，则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断．
【解答】解：A．线段AB，AC都是⊙O的弦，CD不是，所以A选项不符合题意；
B．线段AC经过圆心O，线段AC是直径，所以B选项符合题意；
C．当点D为AB的中点时，AD＝BD，所以C选项不符合题意；
D． 为优弧，所以D选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2+4B．y＝﹣（x﹣1）2+4
C．y＝﹣（x+1）2+2D．y＝﹣（x﹣1）2+2
【分析】先提取二次项系数−1，再根据完全平方公式整理即可．
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x）+3＝﹣（x2+2x+1）+3+1＝﹣（x+1）2+4，
故选：A．
5．（3分）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的定义解答即可．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．
∵点B′恰好落在CA的延长线上，
∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．
故选：B．
6．（3分）一元二次方程（k﹣2）x2+kx+2＝0（k≠2）的根的情况是（ ）
A．该方程有两个不相等的实数根
B．该方程有两个相等的实数根
C．该方程有实数根
D．该方程没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（k﹣4）2≥0，由此即可得出该方程有实数根，此题得解．
【解答】解：在方程（k﹣2）x2+kx+2＝0中，Δ＝k2﹣4×2（k﹣2）＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，
∴该方程有实数根．
故选：C．
7．（3分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+2.6．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ）
A．球运行的最大高度是2.43m
B．
C．球会过球网但不会出界
D．球会过球网并会出界
【分析】根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为2.6m，由此即可判断A；用待定系数法可求出a的值判断B；求出当x＝9时，y的值，再与2.43m进行比较；求出当x＝18时，y的值，再与0比较即可判断C、D．
【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴球运行的最大高度为2.6m，故A说法错误，不符合题意；
把（0，2）代入y＝a（x﹣6）2+2.6得：2＝36a+2.6，
解得a＝﹣，故B说法错误，不符合题意；
在中，当x＝9时，，
∴球会过球网，
在中，当x＝18时，则，
∴球会过球网且会出界，故C说法正确，符合题意，
D说法错误，不符合题意；
故选：C．
8．（3分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝cB．a＝bC．b＝cD．a＝b＝c
【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，化简即可得到a与c的关系．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，
代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，
即（a+c）2﹣4ac＝a2+2ac+c2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c．
故选：A．
二、填空题：（每题3分，共24分）
9．（3分）已知A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，则a﹣b＝ ﹣4 ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，再进一步计算即可得到答案．
【解答】解：∵A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，
∴a＝﹣5，b＝﹣1，
∴a﹣b＝﹣5﹣（﹣1）＝﹣4，
故答案为：﹣4．
10．（3分）已知函数y＝（m+1）x|m|+1﹣2x+1是二次函数，则m＝ 1 ．
【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可．
【解答】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数，
∴，
∴m＝1，
故答案为：1．
11．（3分）教师节期间，我校九年级组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．据统计，全组共发了90条祝福短信．如果设九年级组共有x名教师，依题意可列出的方程是 x（x﹣1）＝90 ．
【分析】每个老师都要向除自己之外的老师发一条短信，让人数乘以每个老师所发短信条数等于短信总条数即为所求方程．
【解答】解：∵全组共有x名教师，每个老师都要发（x﹣1）条短信，共发了90条短信．
∴x（x﹣1）＝90．
故答案为：x（x﹣1）＝90．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，则k的取值范围为 k≤4 ．
【分析】利用一元二次方程有实数根，判别式Δ≥0即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k≥0，
解得k≤4，
故答案为：k≤4．
13．（3分）如图，含30°的三角板ABC绕点B顺时针旋转150°得到△EBD，连接AE，若CB＝4cm，则△ABE的面积为 3cm2 ．
【分析】过A点作AF⊥CE的垂线，垂足为F，由∠ABC＝30°及旋转角∠ABE＝150°可知∠CBE为平角，在Rt△ABC中，CB＝4，∠ABC＝30°，则AC＝2，，由旋转的性质可知，由面积法：AF×BC＝AC×AB，求AF，则．
【解答】解：过A点作AF⊥CE的垂线，垂足为F，
∵∠ABC＝30°，∠ABE＝150°，
∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝180°，
∵在Rt△ABC中，CB＝4，∠ABC＝30°，
∴AC＝2，
∴，
由旋转的性质可知． ，
由AF×BC＝AC×AB，即，解得 ，
∴，
故答案为：3cm2．
14．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 ﹣3＜x＜1 ．
【分析】根据抛物线的对称轴为x＝﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．
【解答】解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x＝﹣1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
15．（3分）已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为17cm，AB＝30cm，CD＝16cm，则AB、CD间的距离为 23cm或7cm ．
【分析】首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出AB、DC间的距离．
【解答】解：（1）如图1：当AB，CD在圆心的两侧时，
连接OA、OC，做OM⊥AB，延长MO交CD于N．
∵AB∥CD，
∴直线ON⊥CD，
∴AM＝BM＝15（cm），CN＝DN＝8（cm），
∴OM＝＝8（cm），
同理：ON＝15（cm），
∴MN＝OM+ON＝8+15＝23（cm），
（2）如图2，如果AB，CD在圆心的同侧，
∴MN＝ON﹣OM＝15﹣8＝7（cm）．
故答案为：23cm或7cm．
16．（3分）如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP＝3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为 3米 ．
【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y＝0，即可求解．
【解答】解：如图建立坐标系．
抛物线的顶点坐标是（1，4），
设抛物线的解析式是y＝a（x﹣1）2+4，
把（0，3）代入解析式得：a+4＝3，
解得：a＝﹣1．
则抛物线的解析式是：y＝﹣（x﹣1）2+4．
当y＝0时，﹣（x﹣1）2+4＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）．
则水池的最小半径是3米．
故答案为：3米．
三、解答题：（共72分）
17．（6分）解下列方程．
（1）2x2﹣4＝3x
（2）2（2x﹣3）＝3x（2x﹣3）
【分析】（1）根据公式法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵2x2﹣4＝3x，
∴2x2﹣3x﹣4＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4，
∴△＝9+32＝41，
∴x＝；
（2）∵2（2x﹣3）＝3x（2x﹣3），
∴（2﹣3x）（2x﹣3）＝0，
∴2﹣3x＝0或2x﹣3＝0，
∴x＝或x＝；
18．（6分）如图，已知直径CD为8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM＝2，求AB的长．
【分析】连接OA，先求出OA的长，再由垂径定理得出AM＝AB，然后在Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM的长，进而可得出AB的长．
【解答】解：如图，连接OA，
∵⊙O的直径CD＝8，
∴OA＝OC＝4，
∵AB⊥CD，
∴AM＝AB，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：AM＝＝＝2，
∴AB＝2AM＝4，
即AB的长为4．
19．（6分）随着环保意识日益深入，我国新能源汽车的生产技术也不断提升．市场上某款新能源汽车1月份的售价为25万元/辆，3月份下降到20.25万元/辆，求该款汽车售价的月平均下降率．
【分析】设该款汽车售价的月平均下降率是x，利用某款新能源汽车3月的售价＝该新能源汽车1月的售价×（1﹣该款汽车售价的月平均下降率）2，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
【解答】解：设该款汽车售价的月平均下降率是x，
由题意得：25（1﹣x）2＝20.25，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
∴该款汽车售价的月平均下降率是10%．
20．（6分）如图，某养羊户想用29米长的围栏设计一个矩形的养牛圈，其中羊圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），MN的长度为15m，为了让围成的羊圈（矩形ABCD）面积达到112m2，请你帮忙计算一下羊圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？最大面积是多少？
【分析】设羊圈的宽为x m，则长（30﹣2x） m，其中x≥，根据S矩形ABCD＝（30﹣2x）x＝112，计算求出满足要求的x的值，进而可得结果；由，根据二次函数的性质可确定最大值时的x值，进而可得结果．
【解答】解：设羊圈的宽x m，则长为（29+1﹣2x ）m，
∵MN的长度为15m，
∴29+1﹣2x≤15，
∴x≥，
∴矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝（30﹣2x）x＝112，
解x＝7（不合题意，舍去），x＝8，
∴30﹣2x＝30﹣2×8＝14，
∴羊圈的长为14m，宽为8m．
由S矩形ABCD＝（30﹣2x）x
＝﹣2x2+30x
＝﹣2（x﹣）2+，
﹣2＜0，
∴x＝时，矩形的面积最大，
∴30﹣2x＝30﹣2×＝15，
∴羊圈的长为15m，宽m时，羊圈的面积最大，最大值m2．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无需说明理由）
【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；
（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，
（3）根据勾股定理逆定理解答即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：
（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB＝OA1＝，A1B＝，
即，
所以三角形的形状为等腰直角三角形．
22．（8分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象经过A（﹣1，0）、B（4，5）两点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？
（3）当x为何值时，y＞0？
【分析】（1）根据二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（1，0）、点B（4，0），根据待定系数法求得二次函数解析式；
（2）利用二次函数增减性分析得出答案；
（3）利用二次函数图象得出答案．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和B（4，5）代入
，
解得：，
∴y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵a＝1＞0，
∴x＜1时，y随x的增大而减小；
（3）如图所示：x＜﹣1或x＞3时，y＞0．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB．
（1）请判断△ACC'的形状，并说明理由．
（2）求∠BAB'的度数．
【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AC'，可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可得∠AC'C＝∠ACC'＝70°，由旋转的性质可求解．
【解答】解：（1）△ACC'是等腰三角形，理由如下：
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，
∴AC＝AC'，
∴△ACC'是等腰三角形；
（2）∵CC'∥AB，
∴∠C'CA＝∠CAB＝70°，
∵AC＝AC'，
∴∠AC'C＝∠ACC'＝70°，
∴∠CAC'＝40°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，
∴∠CAC'＝∠BAB'＝40°．
24．（8分）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式：
（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由待定系数法求解即可；
（2）利用总利润等于每千克的利润乘以销售量，列出函数关系式并根据问题实际得出自变量的取值范围，并根据每天所获利润为3600元，建立方程，求解即可；
（3）将w关于x的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（30，150）；（80，100）分别代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
（2）设利润为w元，
由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣x+180）
＝﹣x2+210x﹣5400，
∴w＝﹣x2+210x﹣5400（30≤x≤80）；
令﹣x2+210x﹣5400＝3600，
解得x＝60或x＝150（舍），
∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元；
（3）由（2）知，w＝﹣（x﹣105）2+5625，
∵﹣1＜0，
∴当x≤105时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤80，
∴当x＝80时，w最大，最大为5000元．
∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元．
25．（8分）某隧道洞的内部截面顶部是抛物线形，现测得地面宽AB＝10m，隧道顶点O到地面AB的距离为5m，
（1）建立适当的平面直角坐标系，并求该抛物线的解析式；
（2）一辆小轿车长4.5米，宽2米，高1.5米，同样大小的小轿车通过该隧洞，最多能并排行驶多少辆？
【分析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，依据抛物线经过（5，﹣5），即可得到该抛物线的解析式；
（2）当y＝﹣5+1.5＝﹣3.5时，y＝﹣3.5与抛物线交于C，D两点，求得CD＝，可得4＜＜4.5，进而得出最多能并排行驶4辆．
【解答】解：（1）如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，则
O（0，0），B（5，﹣5），
设y＝ax2，
∵抛物线经过（5，﹣5），
∴﹣5＝25a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2（﹣5≤x≤5）；
（2）当y＝﹣5+1.5＝﹣3.5时，y＝﹣3.5与抛物线交于C，D两点，
﹣3.5＝﹣x2
解得x＝±，
∴C（﹣，﹣3.5），D（，﹣3.5），
∴CD＝，
又∵8＜＜9，
∴4＜＜4.5，
∴最多能并排行驶4辆．
26．（10分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，即可求解；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；
（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，
函数顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），
将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，
当y＝0时，x＝，
故点E（，0），
则EC+ED的最小值为DC′＝；
（3）①当点P在x轴上方时，如图2中，
∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，
过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝m，
则PB＝PA＝m，
由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，
16＝m2+（m﹣m）2，解得：m2＝8+4，
则PB2＝2m2＝16+8
则yP＝＝2+2；
②当点P在x轴下方时，
则yP＝﹣（2）；
故点P的坐标为（1，2）或（1，﹣2﹣2）．