贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期高考适应性月考卷（一）数学

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1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列函数在其定义域内单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知等差数列满足，则（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
4.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（ ）
A.1或2 B.2或4 C.2或8 D.4或8
5.已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（ ）
A.20 B. C.10 D.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（ ）
A. B.服从两点分布
C. D.
10.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A.的定义域为，当且仅当
B.的值域为，当且仅当
C.的最大值为2，当且仅当
D.有极值，当且仅当
11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B.的图象关于直线对称
C.的一个周期是4 D.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为__________.
13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）
14.已知函数若存在实数且，使得，则的最大值为__________.
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n个图形中实心区域的面积为.
（1）写出数列和的通项公式；
（2）设，证明.
16.（本小题满分15分）
如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，为线段的中点，为线段上的点.
（1）若点为线段的中点，求证：平面；
（2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点的焦距为.
（1）分别求和的方程；
（2）已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D，，判断直线与圆的位置关系.
18.（本小题满分17分）
为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；
单位：只
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.
参考公式：（其中为样本容量）
参考数据：
19.（本小题满分17分）
三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：
①；②.
根据以上研究结论，回答：
（1）在①和②中任选一个进行证明；
（2）已知函数有三个零点且.
（i）求的取值范围；
（ii）若，证明：.
贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）
数学参考答案
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【解析】
1.由题，或，则，故选D.
2.对于A选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义域内不单调；对于B选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在上单调递增，在定义域内不单调；对于C选项，的定义域为，该函数在定义域上单调递增；对于D选项，的定义域为，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C.
3.，故选B.
4.设点，则整理得，解得或，故选C.
5.的定义域为.当时，的定义域为，
即.令，解得的定义域为，即.
“”是“”的必要不充分条件，故选B.
6.由题，解得，所以，当且仅当，即时，等号成立，，故选C.
7.设的二项展开式的通项公式为，
，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.
8.由题，，即圆心为，半径为，且，为的直径.与相外切，.由中线关系，有，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9.对于A选项，由分布列性质可知正确；对于B选项，由两点分布定义可知错误；对于C选项，，正确；对于D选项，令，则服从两点分布，，，正确，故选ACD.
10.令，对于A选项，的定义域为或，故A错误；对于B选项，的值域为在定义域内的值域为，故B正确；对于C选项，的最大值为在定义域内的最小值为，故C正确；对于D选项，有极值在定义域内有极值且，故D选项错误，故选BC.
11.对于A选项，因为为奇函数，所以，又由，可得，故A错误；对于B选项，由可得为常数，又由，可得，则，令，得，所以，所以的图象关于直线对称，故B正确；对于C选项，因为为奇函数，所以，所以，所以是一个周期为4的周期函数，，所以也是一个周期为4的周期函数，故C正确；对于D选项，因为为奇函数，所以，又，又是周期为4的周期函数，所以，故D正确，故选BCD.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得切点纵坐标为.
13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其余元素共有种排法，故共有种不同的方案.
14.设，由的函数图象知，，又，.令在上单调递增，则，的最大值为.
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；
数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.
（2）证明：由（1）可得
因为，
所以，所以.
16.（本小题满分15分）
（1）证明：如图1，连接，设，连接，
三棱台，则，又，
四边形为平行四边形，
则.
点是的中点，
.
又平面平面，
平面.
（2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，
所以，
即，
化简得，
此时点与点重合.
，
且都在平面，则平面，
又为等腰直角三角形，则.
又由（1）知，则平面，
建立如图2所示的坐标系
则，
设平面的法向量，
则令，解得，
设平面的法向量，
则令，解得.
设二面角的平面角为，
，
所以，
所以二面角的正弦值为.
17.（本小题满分15分）
解：（1）由题意可知双曲线的焦距为，
解得，即双曲线.
因为双曲线与双曲线的离心率相同，
不妨设双曲线的方程为，
因为双曲线经过点，所以，解得，
则双曲线的方程为.
（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为
，
联立消去并整理得
此时可得，
当时，由韦达定理得；
当时，由韦达定理得，
则，
化简可得，
由（1）可知圆，
则圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切或相交.
18.（本小题满分17分）
解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在）内有（只）；
在）内有（只）；
在）内有（只）；
在内有（只）
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
单位：只
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得.
根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件发生的概率分别为，则，.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.
（ii）由题意，知随机变量，
所以.
又，设时，最大，
所以
解得，因为是整数，所以.
19.（本小题满分17分）
（1）若选①，证明如下：
若选②，证明如下：
.
（2）（i）解：，
当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；
当时，令，得；令，得，
令，得或，
所以在上单调递减，在上单调递增.
有三个零点，则即解得，
当时，，
且，
所以在上有唯一一个零点，
同理
所以在上有唯一一个零点.
又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，
综上可知的取值范围为.
（ii）证明：设，
则.
又，所以.
此时，
方程的三个根均在内，
方程变形为，
令，则由三倍角公式.
因为，所以.
因为，所以，
所以
.2024
2025
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
0.100
0.050
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
C
B
C
A
A
题号
9
10
11
答案
ACD
BC
BCD
题号
12
13
14
答案
144
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200