2023年 四川省 眉山市 数学 中考真题 解析版

这是一份2023年 四川省 眉山市 数学 中考真题 解析版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）（2023•眉山）的倒数是（ C ）
A．B．C．﹣2D．2
2．（4分）（2023•眉山）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示正确的是（ A ）
A．2.1×10﹣6B．21×10﹣6C．2.1×10﹣5D．21×10﹣5
3．（4分）（2023•眉山）下列运算中，正确的是（ D ）
A．3a3﹣a2＝2aB．（a+b）2＝a2+b2
C．a3b2÷a2＝aD．（a2b）2＝a4b2
4．（4分）（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（ C ）
A．70°B．100°C．110°D．140°
5．（4分）（2023•眉山）已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为（ A ）
A．2B．4C．6D．10
6．（4分）（2023•眉山）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ D ）
A．B．m＞3C．m≤3D．m＜3
7．（4分）（2023•眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（ B ）
A．0B．1C．2D．3
8．（4分）（2023•眉山）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（ B ）
A．6B．9C．10D．14
9．（4分）（2023•眉山）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ A）
A．﹣5≤m＜﹣4B．﹣5＜m≤﹣4C．﹣4≤m＜﹣3D．﹣4＜m≤﹣3
10．（4分）（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ C ）
A．25°B．35°C．40°D．45°
11．（4分）（2023•眉山）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，有下列四个结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．其中正确结论的个数为（ D ）
A．1个B．2个 C．3个D．4个
【分析】根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与y轴交点的位置可对a，b，c的符号进行判断，进而可对结论①进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点（﹣2，4a﹣2b+c）的位置进行判定，进而可对结论②进行判断；根据二次函数的图象与x轴的两个交点坐标可对结论③、结论④进行判断，据此可得出此题的答案．
12．（4分）（2023•眉山）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．有下列四个结论：
①AH＝HC；②HD＝CD；③∠FAB＝∠DHE；④AK•HD＝．
其中正确结论的个数为（ C ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①证明△EAF是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得AH＝EF＝CH，可得①正确；②证明∠DAH与∠AHD不一定相等，则AD与DH不一定相等，可知②不正确；③证明△ADH≌△CDH（SSS），则∠ADH＝∠CDH＝45°，再由等腰直角三角形的性质可得结论正确；④证明△AKF∽△HED，列比例式可得结论正确．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。
13．（4分）（2023•眉山）分解因式：x3﹣4x2+4x＝ x（x﹣2）2 ．
14．（4分）（2023•眉山）已知方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，则（x1+2）•（x2+2）的值为 6 ．
15．（4分）（2023•眉山）如图，△ABC中，AD是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线MN交AB于点E，连结CE交AD于点F，过点D作DG∥CE，交AB于点G，若DG＝2，则CF的长为 ．
16．（4分）（2023•眉山）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 m≥﹣5且m≠﹣3 ．
17．（4分）（2023•眉山）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 6（﹣1） 海里．
18．（4分）（2023•眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（﹣8，6），过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点C，点A，直线y＝﹣2x﹣6与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段BC上，动点N在直线y＝﹣2x﹣6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为 （﹣8，6） ．

【分析】过点N作PQ⊥y轴交y轴于点P，交BC于点Q，此时△APN≌△NQM（AAS），设N（t，2t﹣6），可得OP＝2t﹣6，NQ＝AP＝8﹣t，NP＝MQ＝t，所以8﹣t+2t﹣6＝6，求得t＝4，即可求解．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上。
19．（8分）（2023•眉山）计算：（2）0﹣|1﹣|+3tan30°+（﹣）﹣2．
解：原式＝1﹣（﹣1）+3×+4＝1﹣+1++4＝6．
20．（8分）（2023•眉山）先化简：（1﹣），再从﹣2，﹣1，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
解：（1﹣）＝•＝，
∵x≠1且x≠±2，∴当x＝﹣1时，原式＝1．
21．（10分）（2023•眉山）某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：

根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角α的度数为 120° ．
（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；
（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
解：（1）由题意知，被调查的总人数为30÷10%＝300（人），
所以D小组人数为300﹣（40+30+70+60）＝100（人），
补全图形如图.
（2）3600×＝720（名），
答：估计该校参加E组（人工智能）的学生有720名；
（3）画树状图如图所示.
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为＝．
22．（10分）（2023•眉山）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求GH的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F，∵E是AD的中点，∴DE＝AE，
∴△CDE≌△FAE（AAS），∴CE＝EF，∵AE∥BC，∴＝＝1，
∴AF＝AB.
（2）解：∵AG＝2，FG＝6，∴AF＝FG+AG＝6+2＝8，∴AB＝AF＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，
∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，∴∠F＝∠FCG，∴CG＝FG＝6，
∵CD∥AF，∴△DCH∽△AGH，∴＝，即＝，
∴GH＝1.2．
23．（10分）（2023•眉山）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【解答】解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，解得：．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，
根据题意得：35m+30（100﹣m）≤3200，解得：m≤40，∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
24．（10分）（2023•眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b，得
，解得，
∴一次函数表达式为：y＝﹣x+2，
将C（6，a）代入得：y＝﹣×6+2＝﹣1，∴C（6，﹣1），
将C（6，﹣1）代入y＝得：m＝﹣6，∴反比例函数的表达式为：y＝；
（2）设一次函数与反比例函数在第二象限交于点D，
联立，解得：或，∴D（﹣2，3），
∴由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜6时，kx+b＞，
（3）存在，理由：过点A作AE⊥BC交y轴于点E，
∵∠BAO+∠EAO＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，∴∠BAO＝∠AEO，
∵∠AOB＝∠EOA＝90°，∴△AOB∽△EOA，∴，∴，
∴OE＝8，∴E（0，﹣8），设直线AE的表达式为：y＝ax+b，
将（4，0），（0，﹣8）代入得：，解得：，
∴直线AE的表达式为：y＝2x﹣8，联立：，解得：或，
∴点P的坐标为：（1，﹣6）或（3，﹣2）．
25．（10分）（2023•眉山）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若，BP＝4，求CD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵AE平分∠BAC，∴∠OAE＝∠DAE，
∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠OAE，∴∠DAE＝∠OEA，
∴OE∥AD，∵ED⊥AC，∴OE⊥PD，
∵OE是⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线.
（2）解：∵＝，BP＝4，OB＝OE，∴＝，∴OE＝2，
∴AB＝2OE＝4，∴AP＝AB+BP＝8， 在Rt△APD中，sin∠P＝＝，
∴AD＝AP＝，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°＝∠AEC，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC＝4，∴CD＝AC﹣AD＝4﹣＝，∴CD的长为．
26．（12分）（2023•眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），
∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+n，则，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，如图，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），
∴PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，∵PE∥x轴，∴△EPD∽△ABD，
∴＝，∴＝＝﹣（t+）2+，∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，的值最大，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；
（3）如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则M（m，m+3），
∴PM＝|m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|m2+3m|，CM＝＝|m|，
∵△PCM沿直线PC翻折，M的对应点为点M′，M′落在y轴上，
而PM∥y轴，∴PM∥CM′，PM＝PM′，CM＝CM′，∠PCM＝∠PCM′，
∴∠PCM′＝∠MPC，∴∠PCM＝∠MPC，∴PM＝CM，∴|m2+3m|＝|m|，
当m2+3m＝m时，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣3，
此时点M（﹣3，）；
当m2+3m＝﹣m时，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣﹣3，
此时点M（﹣﹣3，﹣）；
综上，点M的坐标为（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）．
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