2024-2025学年江苏省南京市名校数学九年级第一学期开学监测试题【含答案】

这是一份2024-2025学年江苏省南京市名校数学九年级第一学期开学监测试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，四象限，则k的取值可能是，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值可能是（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
2、（4分）下列事件中，是必然事件的为（ ）
A．明天会下雨
B．x是实数，x2＜0
C．两个奇数之和为偶数
D．异号两数相加，和为负数
3、（4分）如图①，正方形中，点以每秒2cm的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作与边（或边）交于点的长度与点的运动时间（秒）的函数图象如图②所示．当点运动3秒时，的面积为（ ）

A．B．C．D．
4、（4分）在□中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）直角三角形中，两直角边分别是6和8.则斜边上的中线长是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）下列各曲线中哪个不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）如图，∠BAC＝90°，四边形ADEB、BFGC、CHIA均为正方形，若 S四边形ADEB＝6，S四边形BFGC=18，四边形CHIA的周长为( )
A．4B．8C．12D．8
8、（4分）下列多项式中不能用公式分解的是（ ）
A．a2+a+B．-a2-b2-2abC．-a2+25 b2D．-4-b2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）下列4种图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________个.

10、（4分）如图，已知中，边上的高，则的面积是______，边上的高的长是______．
11、（4分）如图，函数y=3x和y=ax+4的图象相交于点A(1，3)，则不等式3x12、（4分）如图，直线经过点和点，直线经过点，则不等式组的解集是______.
13、（4分）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若三边长分别是2，和4，则此三角形 常态三角形（填“是”或“不是” ；
（2）如图，中，，，点为的中点，连接，若是常态三角形，求的面积．
15、（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，1），B（﹣2，4），直线AB与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求证：△OAB是直角三角形．
16、（8分）如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ABC沿着 AD 方向平移，得到 △ABC ．
（1）当两个三角形重叠部分的面积为 3 时，求移动的距离 AA ；
（2）当移动的距离 AA 是何值时，重叠部分是菱形．
17、（10分）解下列方程
（1）；（2）
18、（10分）已知一次函数y=1x-4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d1,d1．
（1）求点A,B的坐标；
（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d1的值；
（3）直接写出d1+d1的范围，并求当d1+d1=3时点P的坐标；
（4）若在线段AB上存在无数个点P，使d1+ad1=4（a为常数），求a的值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则________度．
20、（4分）计算：＝ ___________.
21、（4分）已知一个反比例函数的图象与正比例函数的图象有交点，请写出一个满足上述条件的反比例函数的表达式：__________________．
22、（4分）定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的逆命题是________
23、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8cm，AB=6cm，BE平分∠ABC交AD边于点E，则线段DE的长度为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．
25、（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE．
(1)当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
(2)在(1)的条件下，当∠A=__________°时，四边形BECD是正方形．
26、（12分）在今年“绿色清明，文明祭祀”活动中，某花店用元购进若干菊花，很快售完，接着又用元购进第二批菊花，已知第二批所购进菊花的数量是第一批所购进菊花数量的倍，且每朵菊花的进价比第一批每朵菊花的进价多元.
（1）求第一批每朵瓶菊花的进价是多少元？
（2）若第一批每朵菊花按元售价销售，要使总利润不低于元（不考虑其他因素），第二批每朵菊花的售价至少是多少元？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据反比例函数的图像与性质解答即可.
【详解】
∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，
∴k<0，
∴k的取值可能是-1.
故选A.
本题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数(k是常数，k≠0)的图像是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内；当 k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限.
2、C
【解析】
直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件分别分析得出答案．
【详解】
A、明天会下雨是随机事件，故此选项错误；
B、x是实数，x2＜0，是不可能事件，故此选项错误；
C、两个奇数之和为偶数，是必然事件，正确；
D、异号两数相加，和为负数是随机事件，故此选项错误．
故选C．
此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关时间的定义是解题关键．
3、B
【解析】
由图②知，运动2秒时，，距离最长，再根据运动速度乘以时间求得路程，可得点P的位置，根据线段的和差，可得CP的长，最后由即可求得答案．
【详解】
由图②知，运动2秒时，，的值最大，
此时，点P与点B重合，则，
∵四边形为正方形，
则，
∴，
由题可得：点P运动3秒时，则P点运动了6cm，
此时，点P在BC上，如图：
∴cm，
∴点P为BC的中点，
∵PQ∥BD，
∴点Q为DC的中点，
∴
．
故选：B．
本题考查了动点问题的函数图象以及平行线的性质、正方形的性质、三角形中位线定理，由图②知，运动2秒时，，求得正方形的边长是解题的关键．
4、B
【解析】
依据平行四边形的性质可得∠B＝∠D，通过已知∠B+∠D＝216°，求出∠B＝108°，再借助∠A＝180°﹣∠B即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°．
∵∠B+∠D＝216°，
∴∠B＝108°．
∴∠A＝180°﹣108°＝72°．
故选：B．
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补．
5、C
【解析】
利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
解：由勾股定理得，斜边==10，
所以，斜边上的中线长=×10=1．
故选：C．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
6、D
【解析】
在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．
【详解】
解：显然A、B、C三选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
D、对于x＞0的部分值，y都有二个或三个值与之相对应，则y不是x的函数；
故选：D．
本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
7、B
【解析】
外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．
【详解】
解：根据勾股定理我们可以得出：
AB2+AC2=BC2
S正方形ADEB= AB2＝6，S正方形BFGC= BC2=18，
S正方形CHIA= AC2＝18-6=12，
∴AC=，
∴四边形CHIA的周长为==8
故选：B．
本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用．只要搞清楚直角三角形的斜边和直角边本题就容易多了．
8、D
【解析】
分析：各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可．
详解：A．原式=（a+）2，不合题意；
B．原式=－（a+b）2，不合题意；
C．原式=（5b+a）（5b﹣a），不合题意；
D．原式不能分解，符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1.
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A. 是轴对称图形，也是中心对称图形。故正确
B. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形。故错误；
C. 不是轴对称图形，不是中心对称图形。故错误；
D. 是轴对称图形，不是中心对称图形。故错误。
故答案为：1
此题考查中心对称图形，轴对称图形，难度不大
10、12， 1.
【解析】
用BC×AE可求平行四边形的面积，再借助面积12=CD×AF可求AF．
【详解】
解：根据平行四边形的面积=底×高，可得
BC×AE=6×2=12；
则CD×AF=12，即4×AF=12，
所以AF=1．
故答案为12，1．
本题主要考查了平行四边形的性质，面积法求解平行四边形的高或某边长是解决此类问题常用的方法．
11、
【解析】
由题意结合图象可以知道，当x=1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式的解集．
【详解】
解：两个条直线的交点坐标为A（1，3），
当x＜1时，
直线y=ax+4在直线y=3x的上方，
当x＞1时，
直线y=ax+4在直线y=3x的下方，
故不等式3x故答案为：x＜1．
本题主要考查正比例函数、一次函数和一元一次不等式的知识点，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
12、
【解析】
解不等式2x＜kx+b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分的自变量的取值范围．
【详解】
解：根据题意得到y=kx+b与y=2x交点为A（-1，-2），
解不等式2x＜kx+b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分，
又B（-2，0），
此时自变量x的取值范围，是-2＜x＜-1．
即不等式2x＜kx+b＜0的解集为：-2＜x＜-1．
故答案为：-2＜x＜-1．
本题主要考查一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．根据函数图象即可得到不等式的解集．
13、且
【解析】
由题意可知方程根的判别式△＞0，于是可得关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围，再结合二次项系数不为0即得答案．
【详解】
解：根据题意，得：，且，解得：且．
故答案为：且．
本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元一次不等式的解法，属于基本题型，熟练掌握一元二次方程根的判别式和方程根的个数之间的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）是；（2）或．
【解析】
（1）直接利用常态三角形的定义判断即可；
（2）直接利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出的长，进而求出答案．
【详解】
解：（1），
三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形．
故答案为：是；
（2）中，，，点为的中点，是常态三角形，
当，时，
解得：，
则，
故，
则的面积为：．
当，时，
解得：，
则，
故，
则的面积为：．
故的面积为或．
此题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半以及新定义，正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．
15、（1）（0，）；（2）见解析
【解析】
（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点C的坐标；
（2）根据勾股定理分别求出OA2、OB2、AB2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】
（1）解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
点A（2，1），B（﹣2，4），
则，
解得，，
∴设直线AB的解析式为：y＝﹣x+，
∴点C的坐标为（0，）；
（2）证明：∵点A（2，1），B（﹣2，4），
∴OA2＝22+12＝5，OB2＝22+42＝20，AB2＝（4-1）2+（-2-2）2＝25，
则OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB是直角三角形．
本题考查的是待定系数法求一次函数解析式、勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
16、（1）AA =1或3；（2）AA =时，重叠部分是菱形．
【解析】
（1）根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，设AA′=x，AC与A′B′相交于点E，则A′D=4－x，△AA′E是等腰直角三角形，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解；
（2）设AC与CD交于点F，当四边形A′ECF是菱形时，有A′E=A′F，设AA′=x，则A′E=x，A′D=4－x，再由A′F=A′D，可得方程，解之即得结果.
【详解】
（1）设AA′=x，AC与A′B′相交于点E，如图，
∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴△AA′E是等腰直角三角形，
∴A′E=AA′=x，A′D=AD－AA′=4－x，
∵阴影部分面积为3，
∴x(4－x)=3，
整理得，x2－4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，
即移动的距离AA′=1或3.
（2）设AC与CD交于点F，当四边形A′ECF是菱形时，A′E=A′F，
设AA′=x，则A′E=CF=x，A′D=DF=4－x，
∵△A′DF是等腰直角三角形，
∴A′F=A′D，
即，
解得，
即当移动的距离为时，重叠部分是菱形.
本题考查了平移的性质、等腰直角三角形的性质和判定、正方形和菱形的性质及一元二次方程的解法等知识，解决本题的关键是抓住平移后图形的特点，利用方程思想解题．
17、（1）；（2）
【解析】
（1）根据直接开平方法即可求解；（2）根据因式分解即可求解.
【详解】
（1）解：
（2）解：
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法解方程.
18、（1）A(1,0)B(0,-4)；（1）d1+d1=3；（3）当d1+d1=3时点的坐标为点p1(1,1)、p1(,)；（4）在线段上存在无数个p点， a=1.
【解析】
（1）对于一次函数解析式，分别令y=0求出x的值，令x=0，求出y的值，即可求出A与B的坐标，
（1）求出P点坐标，即可求出d1+d1的值；.
（3）根据题意确定出d1+d1的范围，设P（m，1m-4），表示出d1+d1，分类讨论m的范围，根据d1+d1=3求出m的值，即可确定出P的坐标；.
（4）设P（m，1m-4），表示出d1与d1，由P在线段上求出m的范围，利用绝对值的代数意义表示出d1与d1，代入d1+ad1=4，根据存在无数个点P求出a的值即可．
【详解】
（1）如图所示，
令y=0时，x=1, x=0时，y =-4,
∴A(1,0)B(0,-4)
（1）当为线段的中点时，P(,) 即P(1，-1)
∴d1+d1=3
（3）d1+d1≥1
∵P点在一次函数y=1x-4的图象上，故设点P(m,1m-4)，
∴d1+d1=︱xp︱+︱yp︱=︱m︱+︱1m-4︱.
由题当d1+d1=3时，根据1m-4=1(m-1)可分析，
当0≤m≤1时，d1+d1=m+4-1m=3，此时解得，m=1∴得点p1(1,1).
当m＞1时，同理， d1+d1=m+1m-4=3，解得m=，所以得点p1(,).
当m＜0时，d1+d1=-m+4-1m=3，解得m=，即不符合m＜0，故此时不存在点p.
综上所述，当d1+d1=3时点的坐标为点p1(1,1)、p1(,).
（4）设点P(m,1m-4)，
∴d1=︱1m-4︱，d1=︱m︱，
∵P在线段AB上，且点A(1,0)，B(0,-4)，
∴0≤m≤1.即d1=4-1m，d1=m.
∵使d1+ad1=4（a为常数），
∴代入数值得4-1m+am=4，即(a-1)m=0，
根据题意在线段上存在无数个p点，所以a=1.
此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，线段中点坐标公式，绝对值的代数意义，以及坐标与图形性质，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
先根据平行四边形的判定定理得出四边形AEDF为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出∠1=∠3，故可得出▱AEDF为菱形，根据菱形的性质即可得出．
【详解】
如图所示：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AE=DE．
∴▱AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF=1°．
故答案是：1．
考查的是菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形AEDF是菱形是解答此题的关键．
20、
【解析】
解:2 -=
故答案为:
21、
【解析】
写一个经过一、三象限的反比例函数即可.
【详解】
反比例函数与有交点.
故答案为：.
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了待定系数法求函数解析式.
22、平行四边形的对角线互相平分
【解析】
题设：四边形的对角线互相平分，结论：四边形是平行四边形．把题设和结论互换即得其逆命题．
【详解】
逆命题是：平行四边形的对角线互相平分．
故答案为：平行四边形的对角线互相平分．
命题的逆命题是把原命题的题设和结论互换．原命题正确但逆命题不一定正确，所以并不是所有的定理都有逆定理．
23、2cm．
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC=8cm，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=6cm，
∴DE=AD﹣AE=8﹣6=2（cm）.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）证明见解析；（2）1.
【解析】
（1）由全等三角形的判定定理SAS即可证得结论；
（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答．
【详解】
（1）在矩形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°．
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△ADE与△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS）；
（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE=EC，
在直角△ADE中，AE=4，AE=AB=3，
由勾股定理知，DE==5，
∴△CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=1．
本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
25、 (1)菱形，理由见解析；(2)1.
【解析】
①先证出BD=CE，得出四边形BECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB=BD，即可得出四边形BECD是菱形；
②当∠A=1°时，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．
【详解】
解：(1)四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=AB=BD，
∴四边形BECD是菱形；
故答案为：菱形；
（2）当∠A=1°时，四边形BECD是正方形；理由如下：
∵∠ACB=90°，
当∠A=1°时，△ABC是等腰直角三角形，
∵D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴四边形BECD是正方形；
故答案为：1．
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
26、（1）第一批每朵菊花的进价是元；（2）第二批每朵菊花的售价至少是元．
【解析】
（1）设第一批每朵菊花的进价是x元，则第一批每朵菊花的进价是（x+1）元，根据数量=总价÷单价结合第二批所购菊花的数量是第一批所购菊花数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设第二批每朵菊花的售价是y元，根据总利润=每朵菊花的利润×销售数量结合总利润不低于1500元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设第一批每朵菊花的进价是元，则第二批每朵菊花的进价是元，
依题意得：
解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：第一批每朵菊花的进价是元．
（2）设第二批每朵菊花的售价是元，
依题意，得：，
解得：．
答：第二批每朵菊花的售价至少是元．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分