2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷（含答案）

这是一份2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若xy≠−1，且4x2+9x+3=03y2−9y+4=0，则xy= ______．
2.11+2+11+2+3+11+2+3+4+⋯+11+2+3+⋯+2024= ______．
3.已知正实数a，b，c满足a+b+c=6，则 a2+18+ b2+32+ c2+50的最小值为______．
4.已知函数y=|x2+2x−a+3|，当−2≤x≤1时，y有最大值5，则a的值为______．
5.已知△ABC中，BC上的一点D，2BD=CD，∠DAC=30°，则∠ABD的最大值为______．
6.若点T为线段BC中点，AT⊥DT，且AT=2，DT=1，AB//CD，BC= 13，则ABCD= ____．
7.如图，在△ABC中，G，E分别在AB，AC上，连结BE交AF于O，若BOOE=92，AEEC=12，
G，O，C共线，△GEF的面积为11，则△OBC的面积为______．
8.已知整数x，y，z满足xy+yz+zx=118，则x2+y2+z2的最小值为______．
9.已知x，y，z是大于1的正整数，且(x+1y)(y+1z)(z+1x)为整数，则x+y+z= ___．
10.已知EA、EC为圆O的两条切线，连结DE交圆于点B，若BC=6，AB=3，
∠ABD=30°，则BD= ______．
二、解答题：本题共2小题，共16分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.(本小题8分)
已知P(3,4)，矩形OAPB的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数y=kx(x>0,k>0)与矩形的BP，AP分别交于D，C，△COD的面积为4.5．
(1)判断并证明直线CD与AB的关系．
(2)求k的值．
(3)若E，F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF中点，求OM的最小值．
12.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=60°，D是垂心，O是外心，延长AD交BC于E，OH⊥BC于H．
(1)求证：2OH=AD．
(2)证明：B，O，D，C四点共圆．
(3)若BE=2CE=2，求DE．
参考答案
1.−34
2.20232025
3.18
4.1或7
5.90°
6.3
7.30
8.118
9.12
10.4 3
11.解：(1)如图1，

CD//AB，理由如下：
由题意得，
C(3,k3)，D(k4,4)，
∴BD=k4，AC=k3，
∴PD=PB−BD=3−k4=12−k4，PC=PA−AC=4−k3=12−k3，
∴PDPC=34，
∴PDPC=PBPA，
∵∠P=∠P，
∴△PCD∽△PAB，
∴∠PDC=∠PBA，
∴CD/​/AB；
(2)如图2，

作DG⊥OA于G，
∵S△AOC=S△DOG=12k，
∴S△COD=S四边形AOCD−S△AOC=(S△DOG+S梯形ACDG)−S△AOC=S梯形ACDG，
∴12(AC+DG)⋅PD=4.5，
∴(4+k3)⋅(3−k4)=9，
∴k1=6，k2=−6(舍去)，
∴k=6；
(3)如图2，

取点A′(−3,0)，B′(0,−4)，
则直线A′B′与直线AB关于O对称，
连接EO，并延长交A′B′于H，连接FH，
则OE=OH，
∵M是EF的中点，
∴OM=12FH，
∴当FH最小时，OM最小，
作直线QH//AB，交y轴与Q，且使QR与双曲线y=6x在第一象限的图象相切，切点为F′，作B′R⊥QR于R，作F′T，
则FH的最小值是F′T的长，
∵直线AB的解析式为：y=−43x+4，
∴设直线QR的解析式为：y=−43x+m，
由−43x+m=6x整理得，4x2−3mx+18=0，
∴Δ=(−3m)2−4×4×18=0，
∴m1=4 2，m2=−4 2(舍去)，
∴OQ=4 2，
∴QB′=4 2+4，
∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∴sin∠RQB′=sin∠ABO=OBAB=45，
∴F′H=B′R=BQ⋅sin∠RQB′=16 2+165，
∴OM最小=12F′H=8 2+85．
12.解：(1)根据题意，以O为圆心，OB为半径作圆O，延长BO交圆于点F，延长BD交AC于点M，连接OC，CD，AF，FC，

∵BF是直径，
∴FA⊥AB，FC⊥BC，
∵D为垂心，
∴BD⊥AC，CD⊥AB，AD⊥BC，
∴FA//CD，FC//AD，
∴AFCD是平行四边形，
∴AF=CD，
∵∠BAC=60°，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴OH=12OB，
设半径为r，BM= 32r，
∴BC= 3r，
又∵OH=12CF，
∴AD=2OH；
(2)∵D为垂心，
∴BD⊥AC，CD⊥AB，AD⊥BC，
∴∠ACD=30°，
∴∠CDM=60°，
∴∠BDC=120°，
∵∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，
∴B、C、D、O四点共圆；
(3)设DE=x，
∵BE=2CE=2，
∴CE=1，
∵在直角△BFC中，∠OBC=30°，BC=3，BF2=FC2+BC2，
∴CF= 3，BF=2 3，
∴AD= 3，
在直角△ABE中，AB2=AE2+BE2，
即：AB2=(x+ 3)2+22，
在直角△CDE中，CD2=DE2+CE2，
即：CD2=x2+12，
∵CD=AF，
∴AF2=x2+1，
在△ABF中，BF2=AF2+AB2，
即：(2 3)2=(x2+1)+[(x+ 3)2+22])，
∴x2+ 3x−2=0，
∴x= 11− 32或x=− 11− 32(舍去)，
∴DE= 11− 32．