2024年浙江省宁波市效实中学强基招生数学试卷（含答案）

这是一份2024年浙江省宁波市效实中学强基招生数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知x0是关于x的方程x2−ax−1=0的根.当a=−32时，x0= ______，x03−1x03= ______．
2.已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则ab+bc+ca的最小值为______，此时a2+b2+ab= ______．
3.对实数m，n，定义运算“⊗”为：m⊗n=mn+n.已知关于x的方程x⊗(a⊗x)=−14，若该方程有两个相等的实数根，则实数a的值是______；若该方程有两个不等负根，则实数a的取值范围是______．
4.如图，AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，∠DPB=60°，D是BC的中点，则ACAB= ______．
5.记Axy=(1−x2)(1−y2)xy.若a+b+c=abc，则A=Aab+Abc+Aca= ______．
6.若一条直线过△ABC的内心，且平分△ABC的周长，则该直线分△ABC所成的两个图形的面积之比为______．
7.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙.在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有______人.
8.如果直角三角形的三边都是200以内的正整数，且较长的两边长相差1，那么这样的直角三角形有______个.
9.用S(n)表示自然数n的数字和，例如：S(10)=1+0=1，S(909)=9+0+9=18.若对任意自然数n，都有n+S(n)≠x，则满足这个条件的最大的两位整数x的值是______．
10.把一副扑克牌从上到下按照大王、小王、黑桃A、红桃A、方块A、梅花A、黑桃2、红桃2、方块2、梅花2，…、黑桃K、红桃K、方块K、梅花K的顺序依次叠成一叠，然后执行步骤①：把整叠牌最上面一张丢掉，再执行步骤②：把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面，再执行步骤①，再执行步骤②，……，步骤①和步骤②依次执行直至整叠牌只剩下一张，则最后剩下的这张牌是______．
11.若实数a，b满足a+b=2 a−b，则a的取值范围为______．
12.已知f(x)=ax2−1(x∈R)，若关于x的方程f(x)=x与f(f(x))=x都有解，且两个方程的解完全相同，则实数a的取值范围是______．
二、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题15分)
已知函数f(x)=−2x2+bx+c在x=1时有最大值1．
(1)求实数b，c的值；
(2)设0c>0，已知关于a的方程x2−(a+b+c)x+ab+bc+ca=0．
(1)若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；
(2)若方程有实根x0，求证：b+c0，且f(a+b+c2)