湖北省黄冈市2025届高三上学期9月调考数学试题（word版含答案）

这是一份湖北省黄冈市2025届高三上学期9月调考数学试题（word版含答案），共9页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，考试结束后，请将答题卡上交，若，且，则的最小值为，已知，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号，考场号，座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将答题卡上交．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．若向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．若，且，则的最小值为（ ）
A．20 B．12 C．16 D．25
6．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，下面可使得有两组解的a的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．e
7．设是定义在R上的两个函数，若，有恒成立，下列四个命题正确的是（ ）
A．若是奇函数，则也一定是奇函数
B．若是偶函数，则也一定是偶函数
C．若是周期函数，则也一定是周期函数
D．若是R上的增函数，则在R上一定是减函数
8．已知向量，且，则与夹角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的图象过点和，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，函数值域为 D．函数有三个零点
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，若有三个零点，则b的取值范围是
B．当且时，
C．若满足，则
D．若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
13．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数．当时，，则__________．
14．已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个正整数，则实数a的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）
设为数列的前n项和，满足．
（1）求证：；
（2）记，求．
16．（本小题15分）
函数，函数的最小正周期为．
（1）求函数的单调递增区间以及对称中心；
（2）将函数的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，在函数图象上从左到右依次取点，该点列的横坐标依次为，其中，，求．
17．（本小题15分）
已知函数
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值；
（2）讨论的单调性．
18．（本小题17分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
（1）证明：
（2）若a，b，c成等比数列．
（i）设，求q的取值范围；
（ii）求的取值范围．
19．（本小题17分）
已知定义在的两个函数，．
（1）证明：；
（2）若．证明：当时，存在，使得；
（3）若恒成立，求a的取值范围．
2024年9月高三起点联考数学答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. A 2. B 3. C4. B 5. D 6. D 7. C 8. A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. ABD 10. AD 11. ABD
11.解析：
A.a=1时，f'x=6x2-6x=6xx-1,
fx在-∞，0递增 ，0，1递减，1，+∞递增，
∴fx极大值=f0=b>0,fx极小值=f1=b-1<0,A正确；
B.由（1）知：f(x)在0，1递减，当x∈0,π时，0C.因为f1-x=2-fx,
所以fx关于12，1对称，则f12=1,得2b-a=2,C错误；
D.由题意知：f'x0=6x02-6x0+1-a=0， = 1 \* GB3 ①
又由fx0=fx1化简得：
(x0-x1)[2x02+x1x0+x12-3x0+x1+(1-a)]=0,
因为x0≠x1,所以2x02+x1x0+x12-3x0+x1+1-a=0， = 2 \* GB3 ②
= 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②化简可得,D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. m≤2
13. -1
14.34e-5,23e-4
14.解析：
分析fx=sinx-x+1,可知函数fx单调递减，在(0，1)中心对称，
得：f-x+fx=2,将不等式 f(axex)+f(-aex-x+2)>2，变形得
f(axex)>f(aex+x-2),所以得axex< aex+x-2,变形得：
aexx-1<(x-2),
ax-1<(x-2)ex,
据图可得：
a4-1<(4-2)e4a5-1≥(5-2)e5, 解得a∈34e-5,23e-4.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 解：1证明：因为Sn=1-an,
所以Sn+1=1-an+1,
两式相减得：an=2an+1,分
所以数列an为等比数列，公比q=12,
当n=1时，a1=1-a1,所以a1=分
所以an=12n 分
（2）Sn=1-an,所以Sn=1-分
Sn2=1+14n-12n-1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
Tn=n+14+142+⋯+14n-212+122+⋯+12n⋯⋯⋯11分
=n+12n-1-13×4n-53⋯⋯⋯⋯⋯13分
16. 解：(1)f(x)=sinωx·csωx+cs2ωx=12sin2ωx+1+cs2ωx2=12sin2ωx+12cs2ωx+12= 22sin(2ωx+π4)+12，分
因为函数f(x)的最小正周期为π，所以T=2π2ω=π，即ω=1，分
所以f(x)= 22sin(2x+π4)+12，分
令-π2+2kπ⩽2x+π4⩽π2+2kπ(k∈Z)，
解得-3π8+kπ⩽x⩽π8+kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为[-3π8+kπ,π8+kπ](k∈Z)，分
令2x+π4=kπ(k∈Z)，解得x=-π8+k2π(k∈Z)，
所以f(x)的对称中心为(-π8+k2π,12)(k∈Z);分
(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位，再向下平移12个单位，得到函数g(x)的图象，
则gx=fx-π8-12= 22sin2x-π8+π4+12-12= 22sin2x，分
所以函数g(x)的最小正周期为π，分
由xn+1-xn=π3(n∈N*)知，
gx1+gx2+gx3=gx4+gx5+gx6=⋯=gx2020+gx2021+gx2022,
gx1+gx2+gx3=22-24-24=0， 分
所以gx1+gx2+⋯+gx2024=gx2023+gx2024=gx1+gx2=24 . 分
17. 解：1fx的定义域为0，+∞, 分
f'x=2ax+32x-a+分
由题意知：f'1=a-32=-1,所以a=分
f1=34-a-3=-1+b,b=-分
2f'x=2ax+32x-a+3=(3x-2a)(x-2)2x
令f'x=0⟹x1=2,x2=23a,分
当a≤0时，
所以f(x)在(0,2)单调递减，(2,+∞)单调递增； 分
当0所以f(x)在(0,23a)单调递增，(23a,2)单调递减，(2,+∞)单调递增；分
当a=3时，x1=x2=2,
f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)单调递增；分
当a>3时，0所以f(x)在(0,2)单调递增，(2,23a)单调递减，(23a,+∞)单调递增. 分
18. 解：1 1-csAsinA=1-1-2sin2A22sinA2csA2=2sin2A22sinA2csA2=tanA2, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
sinA1+csA=2sinA2csA21+(2cs2A2-1)=2sinA2csA22cs2A2=tanA2 ,
故tanA2=1-csAsinA=sinA1+csA . ⋯⋯⋯⋯⋯6分
(2)
(i)由题意设b=aq,c=aq2,由三角形三边关系知
q>0a+aq>aq2a+aq2>aqaq+aq2>a ⋯⋯⋯⋯⋯8分
解之得：q∈5-12,5+12 分
（ii）
由(1)的结论可知
tanA2tanC2=sinA1+csA⋅1-csCsinC=sinAsinC⋅1-csC1+csA⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
=ac⋅1-a2+b2-c22ab1+b2+c2-a22bc=a+c-ba+c+b=a+aq2-aqa+aq2+aq⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分
=1+q2-q1+q2+q=1+q2+q-2q1+q2+q=1-2q1+q2+q⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分
=1-2q+1q+1∈[13,3-52)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分
故tanA2tanC2的取值范围为[13,3-52)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分
19.解：（1）当x≥1时，sinx当0即证 sinx构造φx=x-sinx,x∈(0,1).
φ'x=1-csx≥0. ∴φx在(0,1)单调递增，
φx>φ0=0,即※式成立
综上：|sinx|0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(2)当a>1时，hx=sinx-xa,h'x=csx-axa-1,
当x∈(0,1)时，csx单调递减，axa-1单调递增，
∴h'x在(0,1)单调递减， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
又h'0=1>0,h'1=cs1-1<0,
∴h'x=0在(0,1)存在唯一零点，记为x0, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
∴h(x) 在(0, x0)单调递增，在(x0,1)单调递减，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
∴hx0>h0=0,证毕. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
(3) fx0,即sinx∙sin1x0,
若sinx与sin1x异号，显然成立，只考虑sinx与sin1x同号，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
又x=1时，sin21<1命题成立；x>1时，xa>1≥sinx∙sin1x，命题成立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
故只需考虑x∈0,1时，sinx∙sin1x0 ※※ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
若0若a>1,取m∈N*,m>1x0,取x1=1(2m+12)π∈(0,x0),
sinx1∙sin1x1=sinx1sin2m+12π=sinx1>x1a(由（2）结论), ※※式不成立，⋯⋯⋯⋯⋯16分
综上：0