2024-2025学年江苏省江都区丁伙中学九年级数学第一学期开学经典试题【含答案】

这是一份2024-2025学年江苏省江都区丁伙中学九年级数学第一学期开学经典试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列各点在反比例函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）化简的结果是
A．－2B．2C．－4D．4
3、（4分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝﹣2C．（x﹣2）2＝2D．（x﹣2）2＝6
4、（4分）如图，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为( )
A．55°B．60°C．65°D．70°
5、（4分）如图，是用形状、大小完全相同的小菱形组成的图案，第1个图形中有1个小菱形，第2个图形中有4个小菱形，第3个图形中有7个小菱形，……，按照此规律，第个图形中小菱形的个数用含有的式子表示为（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）一个矩形的两条对角线的夹角为 60°，且对角线的长度为 8cm，则较短边的长度为（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）已知一次函数. 若随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABCnOn的面积为（ ）
A．B．5×C．5×D．5×
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分） “绿水青山就是金山银山”．为了山更绿、水更清，某县大力实施生态修复工程，发展林业产业，确保到2021年实现全县森林覆盖率达到72.75%的目标．已知该县2019年全县森林覆盖率为69.05%，设从2019年起该县森林覆盖率年平均增长率为x，则可列方程___．
10、（4分）当x_____时，二次根式有意义．
11、（4分）如图所示，直线y=kx+b经过点（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集为_____．
12、（4分）若直角三角形的斜边长为6，则这个直角三角形斜边的中线长________．
13、（4分）平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线将AD边分成的两部分的长分别为2和3，则平行四边形ABCD的周长是
_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在中，AB=2AD，DE平分∠ADC，交AB于点E，交CB的延长线于点F，EG∥AD交DC于点G.
⑴求证：四边形AEGD为菱形；
⑵若，AD=2，求DF的长.
15、（8分）某加工厂购进甲、乙两种原料,若甲原料的单价为元千克,乙原料的单价为元千克.现该工厂预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种原料共千克.
(l)若需购进甲原料千克,请求出的取值范围；
(2)经加工后:甲原料加工的产品,利润率为；每一千克乙原料加工的产品售价为元.则应该怎样安排进货,才能使销售的利润最大？
(3)在(2)的条件下,为了促销,公司决定每售出一千克乙原料加工的产品,返还顾客现金元,而甲原料加工的产品售价不变,要使所有进货方案获利相同,求的值
16、（8分）市教育局督导组为了调查学生对“节约教育”内容的了解程度（程度分：“了解很多”、“了解较多”、“了解较少”、“不了解”），对本市某所中学的学生进行了抽样调查，我们将这次调查的结果绘制了以下两幅不完整统计图.
根据以上信息，解答下列题.
（1）补全条形统计图.
（2）本次抽样调查了多少名学生？在扇形统计图中，求“”所应的圆心角的度数.
（3）该中学共有2000名学生，请你估计这所中学的所有学生中，对“节约教育”内容“了解较少”的有多少人.
17、（10分）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：
（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）．
18、（10分）已知，如图，在ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，
求证：DE=BF
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点M是直线y=﹣x上的动点，过点M作MN⊥x轴，交直线y=x于点N，当MN≤8时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为_______．
20、（4分）体育张教师为了解本校八年级女生：“1分钟仰卧起坐”的达标情况，随机抽取了20名女生进行仰卧起坐测试．如图是根据测试结果绘制的频数分布直方图．如果这组数据的中位数是40次，那么仰卧起坐次数为40次的女生人数至少有__________人．
21、（4分）如图，双曲线()与直线()的交点的横坐标为，2，那么当时，_______(填“”、“”或“”)．
22、（4分）若恒成立，则A+B＝____．
23、（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）解方程：
(1)；
(2).
25、（10分）甲，乙两人沿汀江绿道同地点，同方向运动，甲跑步，乙骑车，两人都匀速前行，若甲先出发60s，乙骑车追赶且速度是甲的两倍在运动的过程中，设甲，乙两人相距，乙骑车的时间为，y是t的函数，其图象的一部分如图所示，其中．
（1）甲的速度是多少；
（2）求a的值，并说明A点坐标的实际意义；
（3）当时，求y与t的函数关系式．
26、（12分）已知，如图（1），a、b、c是△ABC的三边，且使得关于x的方程（b+c）x2+2ax﹣c+b＝0有两个相等的实数根，同时使得关于x的方程x2+2ax+c2＝0也有两个相等的实数根，D为B点关于AC的对称点．
（1）判断△ABC与四边形ABCD的形状并给出证明；
（2）P为AC上一点，且PM⊥PD，PM交BC于M，延长DP交AB于N，赛赛猜想CD、CM、CP三者之间的数量关系为CM+CD＝CP，请你判断他的猜想是否正确，并给出证明；
（3）已知如图（2），Q为AB上一点，连接CQ，并将CQ逆时针旋转90°至CG，连接QG，H为GQ的中点，连接HD，试求出．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
由可得,xy=-5,然后进行排除即可．
【详解】
解：由，即,xy=-5，经排查只有C符合；
故答案为C．
本题考查了反比例函数的性质，即对于反比例函数，有xy=k是解答本题的关键．
2、B
【解析】

故选:B
3、C
【解析】
按照配方法的步骤：移项，配方（方程两边都加上4），即可得出选项．
【详解】
解：x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
故选：C．
本题主要考查配方法，掌握完全平方公式是解题的关键．
4、D
【解析】
根据平行线的性质求出∠3=∠1=40°，根据三角形的外角性质求出∠2=∠3+∠A，代入求出即可．
【详解】
∵EF∥MN，∠1=40°，∴∠1=∠3=40°．
∵∠A=30°，∴∠2=∠A+∠3=70°．
故选D．
本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能求出∠3的度数是解答此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．
5、B
【解析】
根据图形的变化规律即可求出第个图形中小菱形的个数.
【详解】
根据第1个图形中有1个小菱形，第2个图形中有4个小菱形，第3个图形中有7个小菱形，每次增加3个菱形，故第个图形中小菱形的个数为1+3（n-1）=个，
故选B.
此题主要考查图形的规律探索，解题的关键是根据图形的变化找到规律进行求解.
6、C
【解析】
根据矩形的性质得到△AOB是等边三角形，即可得到答案.
【详解】
如图，由题意知：∠AOB= 60°，AC=BD=8cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=AC=BD=OB=4cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=4cm，
故选：C.
此题考查矩形的性质，等边三角形的判定及性质，正确掌握矩形的性质是解题的关键.
7、B
【解析】
∵随的增大而增大，
∴ ，
，故选B.
8、C
【解析】
根据矩形的对角线和平行四边形的对角线都互相平分，所以上下两平行线间的距离相等，平行四边形的面积等于底×高，所以第一个平行四边形是矩形的一半，第二个平行四边形是第一个平行四边形的一半，由此即可解答．
【详解】
根据矩形的对角线相等且互相平分，可得：平行四边形ABC1O1底边AB上的高为：BC；平行四边形ABC2O2底边AB上的高为：×BC= ()2BC；
∵S矩形ABCD=AB•BC=5，
∴平行四边形ABC1O1的面积为：×5；
∴平行四边形ABC2O2的面积为：××5=()2×5；
由此可得：平行四边形的面积为()n×5.
故选C.
本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质以及平行四边形的性质，探索并发现规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、69.05%（1+x）2＝72.75%
【解析】
此题根据从2019年起每年的森林覆盖率年平均增长率为x，分别列出2020年以及2021年得森林覆盖面积，即可得出方程.
【详解】
∵设从2019年起每年的森林覆盖率年平均增长率为x，
∴根据题意得：2020年覆盖率为：69.05% (1+x)，
2021年为：69.05% (1+x)²=72.75%，
故答案为：69.05% (1+x)²=72.75%
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
10、x≥
【解析】
分析：根据二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，列不等式解答.
详解：由题意得
2x-3≥0,
∴x≥.
故答案为x≥.
点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，明确被开方式大于且等于零是二次根式成立的条件是解答本题的关键.
11、x＜﹣1．
【解析】
结合函数图象，写出直线在轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
∵直线经过点（-1，0），
∴当时，，
∴关于的不等式的解集为．
故答案为：．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12、1
【解析】
根据直角三角形的性质直接求解．
【详解】
解：直角三角形斜边长为6，
这个直角三角形斜边上的中线长为1．
故答案为：1.
本题考查了直角三角形的性质，解决此题的关键是熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13、14或1
【解析】
由平行四边形ABCD推出∠AEB=∠CBE，由已知得到∠ABE=∠CBE，推出AB=AE，分两种情况（1）当AE=2时，求出AB的长；（2）当AE=3时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵∠ABC的平分线将AD边分成的两部分的长分别为2和3两部分，
当AE=2时，则平行四边形ABCD的周长是14；
（2）当AE=3时，则平行四边形ABCD的周长是1；
故答案为14 或1．
“点睛”此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行.注意当有平行线和角平分线出现时，会有等腰三角形出现，解题时还要注意分类讨论思想的应用.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）证明见解析；（2）4．
【解析】
（1）先证出四边形AEGD是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线证出∠ADE=∠AED，得出AD=AE，即可得出结论；
（2）连接AG交DF于H，由菱形的性质得出AD=DG，AG⊥DE，证出△ADG是等边三角形，AG=AD=2，得出∠ADH=30°，AH=AG=1，由直角三角形的性质得出DH=AH=，得出DE=2DH=2，证出DG=BE，由平行线的性质得出∠EDG=∠FEB，∠DGE=∠C=∠EBF，证明△DGE≌△EBF得出DE=EF，即可得出结果．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠AED=∠GDE，
∵AE∥DG，EG∥AD，
∴四边形AEGD是平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠GDE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴四边形AEGD为菱形；
（2）解：连接AG交DF于H，如图所示：
∵四边形AEGD为菱形，
∴AD=DG，AG⊥DE，
∵∠ADC=60°，AD=2，
∴△ADG是等边三角形，AG=AD=2，
∴∠ADH=30°，AH=AG=1，
∴DH=AH=，
∴DE=2DH=2，
∵AD=AE，AB=2AD，AD∥CF，EG∥AD，
∴DG=BE，∠EDG=∠FEB，∠DGE=∠C=∠EBF，
在△DGE和△EBF中，
∴△DGE≌△EBF（ASA），
∴DE=EF，
∴DF=2DE=4．
本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
15、（1）；（2）购进甲原料7千克，乙原料13千克时，获得利润最大；（3）；
【解析】
（1）根据题意，由该工厂预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种原料，列出不等式组，求出x的范围即可；
（2）根据题意，可求出甲、乙每千克的利润，比较大小，在（1）的前提下，选出利润最大的进货方案即可；
（3）根据题意，要使所有进货方案获利相同，列出方程，求出m的值即可.
【详解】
解：（1）需购进甲原料千克，则乙原料为（20-x）千克，则
，解得：，
∴x的取值范围为：；
（2）根据题意，有
甲原料每千克的利润为：
乙原料每千克的利润为：元，
由（1）知，，则进货方案有4种，分别为：
①购进甲7千克，乙13千克；
②购进甲8千克，乙12千克；
③购进甲9千克，乙11千克；
④购进甲10千克，乙10千克；
∵，
∴购进乙原料越多，利润越大，
∴当购进甲原料7千克，乙原料13千克时，获得利润最大，
最大利润为：元；
（3）由（2）知，要使所有进货方案获利相同，则有

解得：；
∴当时，所有进货方案的获得利润相同；
本题考查了二元一次方程组的应用、以及解一元一次不等式组，解题的关键是：找准等量关系，正确列出不等式组和方程，并求解；
16、（1）见解析；（2）；（3）人.
【解析】
（1）利用A组的人数除以其占比即可得到这次被调查的学生人数，再求出C组的人数，即可补全统计图；
（2）求出D组的占比，乘以360°即可求解；
（3）利用总人数乘以C组占比即可求解.
【详解】
（1）由图可知这次被调查的学生人数为（人）
则所对应的人数为（人）补全图形如下
（2）此次抽样调查了100名学生，则扇形统计图中“”所对应部分的圆心角为
（3）估计这所中学的所有学生中，对“节约教育”内容“了解较少”的学生有（名）
此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出调查的总人数.
17、（1）填表见解析；（2）理由见解析；（3）变小．
【解析】
（1）根据众数、平均数和中位数的定义求解：
（2）方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.
（3）根据方差公式求解：如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．
【详解】
试题分析：
试题解析：解：（1）甲的众数为8，乙的平均数=（5+9+7+10+9）=8，乙的中位数为9.
故填表如下：
（2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；
（3）如果乙再射击1次，命中8环，平均数不变，根据方差公式可得乙的射击成绩的方差变小．
考点：1.方差；2.算术平均数；3.中位数；4.众数．
18、见解析
【解析】
要证明DE=BF成立，只需要根据条件证△AED≌△CFB即可．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AD∥BC，且AD=BC
∴∠DAE=∠BCF
∴在△DAE和△BCF中
∴△DAE≌△BCF（SAS）
∴DE=BF．
考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、﹣1≤m≤1
【解析】
此题涉及的知识点是根据平面直角坐标系建立不等式，先确定出M，N的坐标，进而得出MN=|2m|，即可建立不等式，解不等式即可得出结论.
【详解】
解：∵点M在直线y=﹣x上，
∴M（m，﹣m），
∵MN⊥x轴，且点N在直线y=x上，
∴N（m，m），
∴MN=|﹣m﹣m|=|2m|，
∵MN≤8，
∴|2m|≤8，
∴﹣1≤m≤1，
故答案为﹣1≤m≤1．
此题重点考查学生对于平面直角坐标系的性质，根据平面直角坐标系建立不等式，熟练掌握不等式计算方法是解题的关键．
20、1
【解析】
根据中位数的定义求解可得．
【详解】
解：∵这20个数据的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10个、11个全部位于第三组（40≤x＜10）内，
∴第10个、11个数据均为40，
∵小于40的有6个，
∴第7、8、9、10、11个数据一定为40，
∴仰卧起坐次数为40次的女生人数至少有1人，
故答案为：1．
本题主要考查频数分布直方图和中位数，解题的关键是掌握中位数的概念．
21、＞
【解析】
观察x＝3的图象的位置，即可解决问题．
【详解】
解：观察图象可知，x＝3时，反比例函数图象在一次函数的图象的上面，所以y1＞y1．
故答案为：＞．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确认识图形是解题的关键，学会利用图象由自变量的取值确定函数值的大小，属于中考常考题型．
22、2.
【解析】
根据异分母分式加减法法则将进行变形，继而由原等式恒成立得到关于A、B的方程组，解方程组即可得.
【详解】
，
又∵
∴，
解得，
∴A+B＝2，
故答案为：2.
本题考查了分式的加减法，恒等式的性质，解二元一次方程组，得到关于A、B的方程组是解题的关键.
23、2.5
【解析】
试题分析：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF，设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，
∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2， 即22+（4﹣x）2=x2，
解得：x=， ∴FM=．
考点：1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.正方形的性质．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、或；
【解析】
移项后，提取公因式，进一步求解可得；
方程整理成一般式后利用求根公式计算可得．
【详解】
解：，
，
则，
或，
解得：或；
原方程整理成一般式为，
、、，
，
则．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
25、（1）甲的速度为；（2），A点坐标的实际意义是：当乙骑车的时间是60 s时，乙追上甲；（3）当时，
【解析】
1根据图象中的数据和题意可以求得甲的速度；
2根据甲的速度可以求得乙的速度，再根据图象和题意即可求得点A的坐标和写出点A表示的实际意义；
3根据题意可以求得当t大于a时对应的函数解析式.
【详解】
（1）由题意可得，
甲的速度为：，
故答案为4；
（2）由1知，乙的速度为8 ，
依题意，可得
解得，，
点A的坐标为：，
A点坐标的实际意义是：当乙骑车的时间是60 s时，乙追上甲；
（3）由题意知，
当时，甲乙两人之间的距离是
即直线上另一点的坐标为，
当时，设y与t的函数关系式为：，
直线过点，，
，
解得：，
当时，
考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
26、（1）△ABC是等腰直角三角形．四边形ABCD是正方形；（2）猜想正确．（3）
【解析】
（1）结论：△ABC是等腰直角三角形．四边形ABCD是正方形；根据根的判别式=0即可解决问题；
（2）猜想正确．如图1中，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．只要证明△PEM≌△PFD即可解决问题；
（3）连接DG、CH，作QK⊥CD于K．则四边形BCKQ是矩形．只要证明△CKH≌△GDH，△DHK是等腰直角三角形即可解决问题.
【详解】
解：（1）结论：△ABC是等腰直角三角形．四边形ABCD是正方形；
理由：∵关于x的方程（b+c）x2+2ax﹣c+b＝0有两个相等的实数根，
∴4a2﹣4（b+c）（b﹣c）＝0，
∴a2+c2＝b2，
∴∠B＝90°，
又∵关于x的方程x2+2ax+c2＝0也有两个相等的实数根，
∴4a2﹣4c2＝0，
∴a＝c，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵D、B关于AC对称，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠B＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
（2）猜想正确．
理由：如图1中，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PCE＝∠PCF＝45°，
∵PE⊥CB，PF⊥CD，
∴PE＝PF，
∵∠PFC＝∠PEM＝∠ECF＝90°，PM⊥PD，
∴∠EPF＝∠MPD＝90°，四边形PECF是正方形，
∴∠MPE＝∠DPF，
∴△PEM≌△PFD，
∴EM＝DF，
∴CM+CCE﹣EM+CF+DF＝2CF，
∵PC＝CF，
∴CM+CD＝PC．
（3）连接DG、CH，作QK⊥CD于K．则四边形BCKQ是矩形．
∵∠BCD＝∠QCG＝90°，
∴∠BCQ＝∠DCG，
∵CB＝CD，CQ＝CG，
∴△CBQ≌△CDG，
∴∠CBQ＝∠CDG＝90°，BQ＝DG＝CK，
∵CQ＝CG，QH＝HG，
∴CH＝HQ＝HG，CH⊥QG，
∵∠CHO＝∠GOD，∠COH＝∠GOD，
∴∠HGD＝∠HCK，
∴△CKH≌△GDH，
∴KH＝DH，∠CHK＝∠GHD，
∴∠CHG＝∠KHD＝90°，
∴△DHK是等腰直角三角形，
∴DK＝AQ＝DH，
∴．
本题考查四边形综合题、正方形的性质和判定．等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
平均数
众数
中位数
方差
甲
8

8
0.4
乙

9

3.2
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
8
8
0.4
乙
8
9
9
3.2