2024-2025学年吉林省四平市名校九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】

这是一份2024-2025学年吉林省四平市名校九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列多项式，能用平方差公式分解的是
A．B．
C．D．
2、（4分）如图，在平面直角坐示系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的横坐标分別为1，2，反比例函数的图像经过A，B两点，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．1B．C．2D．
3、（4分）如图，▱ABCD 的周长为 16 cm，AC，BD 相交于点 O，OE⊥AC交 AD 于点 E，则△DCE 的周长为（ ）
A．4 cmB．6 cmC．8 cmD．10 cm
4、（4分）当分式的值为0时，x的值为（ ）
A．0B．3C．﹣3D．±3
5、（4分）下列运算错误的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则∠A=（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
7、（4分）计算的结果是（ ）
A．3B．﹣3C．9D．﹣9
8、（4分）如图所示，在中，分别是的中点，分别交于点.下列命题中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请我帮他算一算，该田有___亩（1亩＝240平方步）．
10、（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是_____．
11、（4分）若一次函数y=kx+b图象如图，当y>0时，x的取值范围是___________ .
12、（4分）方程2(x﹣5)2＝(x﹣5)的根是_____．
13、（4分）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定，则旅客可携带的免费行李的最大质量为kg
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，分别以 Rt△ ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ ACD，等边△ ABE.已知∠ABC＝60°，EF⊥AB，垂足为 F，连接 DF.
(1)证明：△ACB≌△EFB；
(2)求证：四边形 ADFE 是平行四边形．
15、（8分）如图（1），一架云梯AB斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端A距地面15米，梯子的长度比梯子底端B离墙的距离大5米.
（1）这个云梯的底端B离墙多远?
（2）如图（2），如果梯子的顶端下滑了8m（AC的长），那么梯子的底部在水平方向右滑动了多少米?
16、（8分）某校开展“涌读诗词经典，弘扬传统文化”诗词诵读活动，为了解八年级学生在这次活动中的诗词诵背情况，随机抽取了30名八年级学生，调查“一周诗词诵背数量”，调查结果如下表所示：
(1)计算这人平均每人一周诵背诗词多少首；
(2)该校八年级共有6名学生参加了这次活动，在这次活动中，估计八年级学生中一周诵背诗词首以上(含6首)的学生有多少人.
17、（10分）计算: （1）； (2).
18、（10分）计算：
；
。
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）当x=______时，分式的值是1．
20、（4分）点 P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是_____．
21、（4分）当m＝_____时，x2+2（m﹣3）x+25是完全平方式.
22、（4分）已知一次函数图像不经过第一象限，求m的取值范围是__________.
23、（4分）若已知a、b为实数，且+2=b+4，则 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）有这样一个问题:探究函数的图象与性质.
小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究。
下面是小亮的探究过程，请补充完整:
(1)函数中自变量x的取值范围是_________.
(2)下表是y与x的几组对应值.
求m的值；
(3)在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(4)根据画出的函数图象，发现下列特征:该函数的图象与直线x=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线_________越来越靠近而永不相交.
25、（10分）（1）如图，已知矩形中，点是边上的一动点（不与点、重合），过点作于点，于点，于点，猜想线段三者之间具有怎样的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图，若点在矩形的边的延长线上，过点作于点，交的延长线于点，于点，则线段三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的结论；
（3）如图，是正方形的对角线，在上，且，连接，点是上任一点，与点，于点，猜想线段之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想.
26、（12分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.
（1）求证△ACD≌△BFD
（2）求证：BF＝2AE；
（3）若CD＝，求AD的长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.
【详解】
解：A、不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；
B、不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；
C、能用平方差公式进行分解，故此选项正确；
D、不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；
故选C.
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握能用平方差公式分解的多项式特点.
2、B
【解析】
过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为1，2，可得出纵坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出答案．
【详解】
解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，
∵A，B两点在反比例函数的图象上且横坐标分别为1，2，
∴A，B纵坐标分别为2，1，
∴AE=1，BE=1，
∴AB= = .
故选B．
本题考查菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
3、C
【解析】
根据平行四边形性质得出AD=BC，AB=CD，OA=OC，根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，求出CD+DE+EC=AD+CD，代入求出即可．
【详解】
∵平行四边形ABCD，∴AD=BC，AB=CD，OA=OC．
∵EO⊥AC，∴AE=EC．
∵AB+BC+CD+AD=16cm，∴AD+DC=8cm，∴△DCE的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=8（cm）．
故选C．
本题考查了平行四边形性质、线段垂直平分线性质的应用，关键是求出AE=CE，主要培养学生运用性质进行推理的能力．
4、B
【解析】
分式的值为0，则分子为0，分母不为0，列方程组即可求解．
解：根据题意得，，
解得，x=3；
故选B.
5、C
【解析】
根据二次根的运算法则对选项进行判断即可
【详解】
A. ，所以本选项正确
B. ，所以本选项正确
C. ，不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误
D. ，所以本选项正确
故选C.
本题考查二次根，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键
6、B
【解析】
逆用直角三角形的性质：30度角所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答案．
【详解】
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=2BC，
∴∠A=30°.
故选B.
本题考查了直角三角形的性质.熟练应用直角三角形的性质：30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
7、A
【解析】
根据公式进一步加以计算即可.
【详解】
，
故选：A．
本题主要考查了二次根式的计算，熟练掌握相关公式是解题关键.
8、A
【解析】
证出四边形AMCN是平行四边形，由平行四边形的性质得出选项B正确，由相似三角形的性质得出选项C正确，由平行四边形的面积公式得出选项D正确，即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，
∵M、N分别是边AB、CD的中点，
∴CN＝CD，AM＝AB，
∴CN＝AM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥CM，∠MAN＝∠NCM，
∴∠DAN＝∠BCM，选项B正确；
∴△BMQ∽△BAP，△DPN∽△DQC，
∴BQ：BP＝BM：AB＝1：2，DP：DQ＝DN：CD＝1：2，
∴DP＝PQ，BQ＝PQ，
∴DP＝PQ＝QB，
∴BP＝DQ，选项C正确；
∵AB＝2AM，
∴S▱AMCN：S▱ABCD＝1：2，选项D正确；
故选A．
此题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1．
【解析】
根据矩形的性质、勾股定理求得长方形的宽，然后由矩形的面积公式解答．
【详解】
设该矩形的宽为x步，则对角线为（50﹣x）步，
由勾股定理，得301+x1＝（50﹣x）1，
解得x＝16
故该矩形的面积＝30×16＝480（平方步），
480平方步＝1亩．
故答案是：1．
考查了勾股定理的应用，此题利用方程思想求得矩形的宽．
10、且
【解析】
试题解析：由题意知，
∵方程有实数根，

∴且
故答案为且
11、x<-1
【解析】
由图象可知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,0)、(0,-2).
∴ ，
解得 ，
∴该一次函数的解析式为y=−2x-2，
∵−2<0，
∴当y>0时，x的取值范围是：x<-1.
故答案为x<-1.
12、x1＝1，x2＝1.1
【解析】
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
2(x﹣1)2﹣(x﹣1)＝0，
(x﹣1)[2(x﹣1)﹣1]＝0，
x﹣1＝0，2(x﹣1)﹣1＝0，
x1＝1，x2＝1.1，
故答案为：x1＝1，x2＝1.1．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
13、20
【解析】
设函数表达式为y=kx+b把（30，300）、（50、900）代入可得：y=30x-600当y=0时x=20所以免费行李的最大质量为20kg
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见详解；（2）见详解.
【解析】
（1）由△ABE是等边三角形可知：AB=BE，∠EBF=60°，于是可得到∠EFB=∠ACB=90°，∠EBF=∠ABC，接下来依据AAS证明△ABC≌△EBF即可；
（2）由△ABC≌△EBF可得到EF=AC，由△ACD是的等边三角形进而可证明AC=AD=EF，然后再证明∠BAD=90°，可证明EF∥AD，故此可得到四边形EFDA为平行四边形．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠EBF=60°，AE=BE，∠EFB=90°．
又∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠EFB=∠ACB，∠EBF=∠ABC．
∵BE=BA，
∴△ABC≌△EBF（AAS）.
（2）证明：∵△ABC≌△EBF，
∴EF=AC．
∵△ACD是的等边三角形，
∴AC=AD=EF，∠CAD=60°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴∠EFA=∠BAD=90°，
∴EF∥AD．
又∵EF=AD，
∴四边形EFDA是平行四边形．
本题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质，解题的关键是掌握证明全等三角形的判定方法和证明平行四边形的判定方法.
15、（1）这个云梯的底端B离墙20米；（2）梯子的底部在水平方向右滑动了4米.
【解析】
（1）由题意得OA=15米，AB-OB=5米，根据勾股定理OA2+OB2=AB2，可求出梯子底端离墙有多远；
（2）由题意得此时CO=7米，CD=AB=25米，由勾股定理可得出此时的OD，继而能和（1）的OB进行比较．
【详解】
解：（1）设梯子的长度为米，则云梯底端B离墙为米。
这个云梯的底端B离墙20米。
（2）∵
∴=576
∴
∴
梯子的底部在水平方向右滑动了4米。
此题主要考查了勾股定理得应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
16、（1）5；（2）2640
【解析】
（1）根据平均数定义求解；（2）用样本估计总体情况.
【详解】
（1）平均数：（首）
（2）估计八年级学生中一周诵背诗词首以上(含6首)的学生有：6600=2640（人）
答：这人平均每人一周诵背诗词5首；估计八年级学生中一周诵背诗词首以上(含6首)的学生有2640人.
考核知识点：平均数，用样本估计总体.理解题意是关键.
17、（1）6；（2）
【解析】
分析：(1)根据二次根式的乘法进行计算即可;（2）首先化简各式进而合并同类项求出即可.
详解：（1）(1)原式;
(2)（π+1）0-+||=1-2+ =1-；
点睛：本题考查了二次根式的混合运算,在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算.
18、（1）；（2）．
【解析】
先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先把二次根式化为最简二次根式，然后把可能内合并后进行二次根式的除法运算．
【详解】
解：原式
；
原式
．
本题考查二次根式的混合运算，解题关键在于灵活运用二次根式的性质.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．
【详解】
∵分式的值是1，
∴x=1．
故答案为：1．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的性质是解题关键．
20、（-1，3）
【解析】
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可知：点P（1，-3）关于原点的对称点的坐标．
【详解】
解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴点P（1，-3）关于原点的对称点的坐标为（-1，3）．
故答案为：（-1，3）．
本题考查了关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，难度较小．
21、8或﹣1
【解析】
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】
解：∵x1+1（m﹣3）x+15＝x1+1（m﹣3）x+51，
∴1（m﹣3）x＝±1×5x，
m﹣3＝5或m﹣3＝﹣5，
解得m＝8或m＝﹣1．
故答案为：8或﹣1．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
22、1【解析】
【分析】一次函数图像不经过第一象限，则一次函数与y轴的交点在y轴的负半轴或原点.
【详解】
∵图象不经过第一象限，即：一次函数与y轴的交点在y轴的负半轴或原点，
∴1-m<0，m-2≤0
∴m的取值范围为：1故答案为：1【点睛】本题考核知识点：一次函数的图象. 解题关键点：理解一次函数的性质.
23、1
【解析】
试题分析：因为+2=b+4有意义，所以，所以a=5，所以b+4=0，所以b=-4，所以a+b=5-4=1．
考点：二次根式．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1) ；（2）1；（2）见解析；（4）y=-2.
【解析】
（1）根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）将x=2代入函数解析式中求出m值即可；
（2）连点成线即可画出函数图象；
（4）观察函数图象即可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：x-1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1；
（2）当x=时，m=-2=4-2=1，
即m的值为1；
（2）图象如图所示：
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
该函数的图象与直线x=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y=2越来越靠近而永不相交，
故答案为y=2．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．
25、（1），见解析；（2）或者，见解析；（3）.
【解析】
（1）过点作于,先得出四边形是矩形，再证明四边形是矩形，证明，求出即可；
（2）过C点作CO垂直EF,可得矩形HCOF,因为HC=FO,只要证明EO=EG，最后根据AAS证明.
（3）连接AC交BD于O,过点E作EH⊥AC,证明矩形FOHE,证明EG=CH,根据AAS证明.
【详解】
（1）答：
证明：如图1，过点作于．
，
四边形是矩形．
．
．
四边形是矩形，
，且互相平分
∴∠DBC=∠ACB

，
，
又，
．
∴EG=CN
；
即；
（2）或者；
过C点作CO垂直EF,
∵，CO⊥EF，
∴矩形COHF
∴CE∥BD，CH=DO
∴∠DBC=∠OCE
∵矩形ABCD
∴∠DBC=∠ACB
∵∠ECG=∠ACB
∴∠ECG=∠OCE
∵CO⊥EF，
∴∠G=∠COE
∵CE=CE
∴
∴EO=EG
∴或者；
（3）.
连接AC交BD于O,过点E作EH⊥AC,
∵正方形ABCD
∴FO⊥AC,
∵EH⊥AC
∴矩形FEOH,∠EHC=90°
∵EG⊥BC，EF=OH
∴∠EGC=90°=∠EHC
∴EH∥BD
∴∠HEC=∠FLE
∵BL=BC
∴∠GCE=∠FLE
∴∠GCE=∠HEC
∵EC=EC
∴
∴HC=GE
∴
本题考查的是矩形的综合运用，熟练掌握全等三角形是解题的关键.
26、（1）见解析；（1）见解析；（3）AD =1+
【解析】
（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等；
（1）根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=1AE，从而得证；
（3）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．
【详解】
（1）∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，
∠CAD＝∠CBE，AD＝BD，∠ADC＝∠BDF＝90°，
∴△ACD≌△BFD（ASA）
（1）由（1）可知：BF=AC
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=1AE，
∴BF=1AE；
(3) ∵△ACD≌△BFD，
∴DF=CD=，
在Rt△CDF中，CF=，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=1．
∴AD=AF+DF=1+
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
一周诗词诵背数量(首)
人数(人)
x
…
-3
-2
-1
0
2
3
4
5
…
y
…
-
-
-4
-5
-7
m
-1
-2
-
-
…