2024-2025学年江西省上饶市横峰中学高一（上）入学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省上饶市横峰中学高一（上）入学数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列集合中，表示空集的是( )
A. {0}B. {x|x<−2，且x>2}
C. {x∈N|x2−1=0}D. {x|x>4}
2.集合{0,1,2}的子集有( )
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
3.集合A={x|−1≤x<2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=( )
A. [−1,3]B. [−1,0]C. [0,2)D. (2,3]
4.命题“∀x∈R，有x2+2x+2≤0”的否定是( )
A. ∀x∈R，有x2+2x+2>0B. ∃x∈R，有x2+2x+2≤0
C. ∃x∈R，有x2+2x+2>0D. ∀x∈R，有x2+2x+2≥0
5.下列关于集合运算的结论，错误的是( )
A. ∁U(A∪B)=∁UA∩∁UBB. A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
C. A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)D. A∪(B∩C)=(A∩B)∪(A∩C)
6.已知集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=4k+2,k∈Z}.设p：x∈A，q：x∈B，下列说法正确的是( )
A. p是q的充分不必要条件B. p是q的必要不充分条件
C. p是q的充要条件D. p是q的既不充分也不必要条件
7.已知函数f(x)=−x+3a,x≥0x2−ax+1,x<0在定义域R上是减函数，则实数a的取值可以为( )
A. 13B. 12C. 1D. 2
8.已知函数f(x)对任意实数x都有f(1+x)=f(1−x)，并且对任意x1A. 函数f(x)关于直线x=1对称B. 函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减
C. f(1.2)>f(0.9)D. f(3)=f(−1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关幂函数y=xα(α为常数)的说法正确的是( )
A. 当α=2k，k∈N时，此时幂函数y=xα(α为常数)为偶函数
B. 当α=2k+1，k∈N时，此时幂函数y=xα(α为常数)为奇函数
C. 幂函数y=xα(α为常数)的图象始终经过点(1,1)
D. 幂函数y=xα(α为常数)的定义域始终包含[0,+∞)
10.下列不等式恒成立的是( )
A. a2+b2≥2ab，(a,b∈R)B. a+b2≤ a2+b22,(a>0,b>0)
C. b+ma+m>ba,(a>b>0,m>0)D. x+1x−1≥2,(x>1)
11.下列说法能判断函数f(x)在区间(a,b)上单调递增有( )
A. 对于任意的x1，x2∈(a,b)，当x1>x2时，都有f(x1)−f(x2)>0恒成立
B. 对于任意的x1，x2∈(a,b)，x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立
C. 存在x1，x2∈(a,b)，使得f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立
D. 对于任意的a0恒成立，并且对于任意的a+b2≤x10也恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=5x−3，则f(4)= ______．
13.已知函数f(x)=x2−2ax−3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为______．
14.若函数y=f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)=f(2x)x−1的定义域是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求解下列不等式：
(1)3x2+5x−2<0
(2)(5−x)(x+4)≥18
16.(本小题15分)
(1)试用函数单调性的定义证明：函数f(x)=x+1x在区间[1,+∞)上单调递增．
(2)求出函数f(x)=x+1x,x∈[12,3]的值域．
17.(本小题15分)
(1)试比较(x2− 2x+1)(x2+ 2x+1)与(x2−x+1)(x2+x+1)的大小．
(2)在直径为d的圆中，圆内接矩形的最大面积是多少？这样的矩形长、宽之比是多少？
18.(本小题17分)
若函数f(x)的定义域是R，且对任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立．
(1)试判断f(x)的奇偶性；
(2)若当x>0时，f(x)=x2+2x，求f(x)的解析式，并画出函数图象；
(3)在条件(2)前提下，解不等式f(x−2)+f(x2−2x)>0．
19.(本小题17分)
某校举行运动会，集合U={x|x是该校参加运动会的学生}，A={x|x是参加跳远项目的学生}，B={x|x是参加400m短跑项目的学生}，C={x|x是既参加跳远项目又参加400m短跑项目的学生}．
(1)试用Venn图表示这些集合之间的关系．
(2)若参加跳远项目的学生数为20人，参加400m短跑项目的学生数为15人，两个项目都参加学生数为5人.求至少参加了其中一个项目的学生人数．
(3)有限集中元素的个数可以一一数出来，若M是有限集，常用card(M)来表示M中元素的个数.如M={1,3,5,7}，则card(M)=4.用card(A)、card(B)、card(A∩B)表示出card(A∪B)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：对于A，{0}是单元素集，不是空集，故A错误；
对于B，{x|x<−2，且x>2}是空集，故B正确；
对于C，{x∈N|x2−1=0}={1}，不是空集，故C错误；
对于D，{x|x>4}不是空集，故D错误．
故选：B．
利用空集定义进行判断求解．
本题考查空集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：集合{0,1,2}的子集有23=8个．
故选：D．
若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集．
本题考查集合的子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集性质的合理运用．
3.【答案】C
【解析】解：因为A={x|−1≤x<2}，B={x|0≤x≤3}，
所以A∩B={x|0≤x<2}．
故选：C．
根据题意结合交集运算求解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意知，命题“∀x∈R，有x2+2x+2≤0”的否定是“∃x∈R，有x2+2x+2>0”．
故选：C．
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，求解即可．
本题考查了全称量词命题的否定是存在量词命题，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：对于A，由并集及交集，补集知识可知∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)，选项A正确；
对于B，由交集的分配律可得A∩(B∩C)=(A∩B)∩C，选项B正确；
对于C，由交集与并集知识可得A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，选项C正确；
对于D，由交集与并集知识可得A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，选项D错误．
故选：D．
直接利用交并集、补集的知识及关系，即可得出结论．
本题考查了集合的运算与应用问题，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，B={x|x=2(2k+1),k∈Z}，A={x|x=2k,k∈Z}，
故B⊆A，
又p：x∈A，q：x∈B，故p是q的必要不充分条件．
故选：B．
根据题意，分析可得B⊆A，即可得p与q的关系．
本题考查充分必要条件的判断，涉及集合关系的判断，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数f(x)=−x+3a,x≥0x2−ax+1,x<0在定义域R上是减函数，
则有a2≥0−0+3a≤02−a×0+1，解得0≤a≤13，
分析选项：选项中A正确，B、C、D错误．
故选：A．
根据题意，由函数单调性的定义可得a2≥0−0+3a≤02−a×0+1，解可得a的取值范围，分析选项可得答案．
本题考查函数单调性的定义，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对A：由f(1+x)=f(1−x)，则f(x)关于x=1对称，故A正确；
对B：由对任意x1又f(x)关于x=1对称，故f(x)在(1,+∞)上单调递减，故B正确；
对C：由题可得f(1.2)=f(0.8)对D：由f(1+x)=f(1−x)，令x=2，则f(3)=f(−1)，故D正确．
故选：C．
根据题意，由对称性定义结合题目条件可得函数对称性，即可得A、D；结合函数单调性与对称性可得B、C，综合可得答案．
本题考查抽象函数的单调性和对称性，注意函数单调性的定义，属于基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A，当α=2k，k∈N时，此时幂函数y=xα为偶函数，故A正确；
对于B，当α=2k+1，k∈N时，此时幂函数y=xα(α为常数)为奇函数，故B正确；
对于C，当x=1时，xα=1，故幂函数y=xα(α为常数)的图象始终经过点(1,1)，故C正确；
对于D，当α=−1时，幂函数y=xα(α为常数)的定义域不包含0，故D错误．
故选：ABC．
由幂函数的奇偶性即可判断选项AB；根据1α=1，即可判断选项C；利用y=x−1的定义域，即可判断选项D．
本题考查幂函数的性质，属于基础题．
10.【答案】ABCD
【解析】解：对于选项A：因为(a−b)2≥0，当a=b时等号成立，
整理可得a2+b2≥2ab，故A正确；
对于选项B：由选项A可知：a2+b2≥2ab，a>0，b>0，
整理可得2(a2+b2)≥(a+b)2，即a2+b22≥(a+b)24，
且a>0，b>0，则a2+b22>0,a+b2>0，所以a+b2≤ a2+b22,(a>0,b>0)，故B错误；
对于选项C：因为b+ma+m−ba=m(a−b)a(a+m)，
若a>b>0，m>0，则a+m>0，a−b>0，
可得b+ma+m−ba=m(a−b)a(a+m)>0，即b+ma+m>ba，故C正确；
对于选项D：因为x>1，则x−1>0，
则x+1x−1=(x−1)+1x−1+1≥2 (x−1)⋅1x−1+1=3，
当且仅当x−1=1x−1，即x=2时，等号成立，
所以x+1x−1≥3≥2，故D正确．
故选：ABCD．
对于AB：根据不等式的性质分析判断；对于C：利用作差法分析判断；对于D：利用基本不等式分析判断．
本题主要考查了不等式性质及基本不等式求解最值，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于A：对于任意的x1，x2∈(a,b)，当x1>x2时，都有f(x1)−f(x2)>0恒成立，
可得对于任意的x1，x2∈(a,b)，当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)恒成立，
所以函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，故A正确；
对于B：因为x1，x2∈(a,b)，且x1≠x2时，f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立，
可得f(x1)−f(x2)>0x1−x2>0或f(x1)−f(x2)<0x1−x2<0恒成立，
即x1>x2f(x1)>f(x2)或x1所以函数f(x)在(a,b)上是增函数，故B正确；
对于C：不能，例如f(x)=x2，x∈(−2,4)时，
−1<3，且f(−1)−f(3)−1−3=1−9−4>0，
但函数f(x)=x2在(−2,4)上不是单调递增的，而是先减后增，故C错误；
对于D：由选项B可知：f(x)在(a,a+b2),(a+b2,b)内单调递增，
如图：
满足f(x)在(a,a+b2),(a+b2,b)内单调递增，但f(x)在(a,b)内不单调，故D错误．
故选：AB．
对于AB：根据函数单调性的定义分析判断；对于CD：举反例说明即可．
本题主要考查函数恒成立问题，函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】17
【解析】解：f(4)=5×4−3=17．
故答案为：17．
将x=4代入函数解析式即可得．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
13.【答案】{a|a≤1，或a≥2}
【解析】解：∵函数y=x2−2ax−3在区间[1,2]上具有单调性，
函数y=x2−2ax−3的对称轴为x=a，
∴a≤1，或a≥2，
故m的取值范围为{a|a≤1，或a≥2}，
故答案为：{a|a≤1，或a≥2}．
由函数y=x2−2ax−3在区间[1,2]上具有单调性，且函数的对称轴为x=a，可得a≤1，或a≥2，从而得到a的取值范围．
本题考查的知识点是二次函数，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
14.【答案】x∈[0,1)
【解析】解：∵函数y=f(x)的定义域是[0,2]
要使函数g(x)有意义，需使f(2x)有意义且x−1≠0
所以x−1≠00≤2x≤2
解得0≤x<1
故答案为[0,1)
求函数的定义域需各部分都有意义，分母不为0；利用f(x)的定义域[0,2]要使f(2x)有意义，只需0≤2x≤2，解即可得答案．
本题考查知f(x)的定义域为[m,n]，求f(ax+b)的定义域，只需解不等式m≤ax+b≤n即可．
15.【答案】解：(1)因为3x2+5x−2<0，所以(3x−1)(x+2)<0，解得−2故所求不等式的解集为{x|−2(2)因为(5−x)(x+4)≥18，所以−x2+x+2≥0，即x2−x−2≤0，
此时有(x−2)(x+1)≤0，解得−1≤x≤2，
故所求不等式的解集为{x|−1≤x≤2}．
【解析】借助一元二次不等式的解法计算即可得．
本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
16.【答案】解：(1)证明：任取x1，x2∈[1,+∞)，令x1则f(x1)−f(x2)=(x1+1x1)−(x2+1x2)=x1−x2−x1−x2x1x2=(x1−x2)(x1x2−1)x1x2，
因为x2>x1≥1，则x1−x2<0，x1x2>1，
可得(x1−x2)(x1x2−1)x1x2<0，即f(x1)−f(x2)<0，
所以函数f(x)=x+1x在区间[1,+∞)上单调递增；
(2)由(1)可知：f(x)在区间[1,3]上单调递增，
任取x1,x2∈[12,1)，令x1则f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(x1x2−1)x1x2，
因为12≤x1可得(x1−x2)(x1x2−1)x1x2>0，即f(x1)−f(x2)>0，
所以函数f(x)在区间[12,1)上单调递减，
因为f(1)=2,f(12)=52,f(3)=103，且52<103，
可知函数f(x)的最大值为103，最小值为2，
所以函数f(x)=x+1x,x∈[12,3]的值域为[2,103]．
【解析】(1)根据题意，任取x1，x2∈[1,+∞)，令x1(2)根据(1)中可知：f(x)在区间[1,3]上单调递增，可证f(x)在区间[12,1)上单调递减，根据单调性分析最值，进而可得值域．
本题考查函数单调性的判断和应用，涉及函数的值域，属于基础题．
17.【答案】解：(1)(x2− 2x+1)(x2+ 2x+1)−(x2−x+1)(x2+x+1)
=[(x2+1)− 2x][(x2+1)+ 2x]−[(x2+1)−x][(x2+1)+x]
=(x2+1)2−2x2−[(x2+1)2−x2]=−x2≤0，
由此可知(x2− 2x+1)(x2+ 2x+1)≤(x2−x+1)(x2+x+1)．
(2)如图，设矩形的长为2m，宽为2n，则矩形的面积为S=4mn．

又(d2)2=m2+n2≥2mn，等号当且仅当m=n时成立．
故有S=4mn≤2×(m2+n2)=d22．
所以该圆内接矩形的最大面积是d22，此时矩形的长、宽分别为 24d, 24d．
长宽之比为1．
【解析】(1)根据题意进行式子化简，从而可求解；
(2)设出矩形的长为2m，宽为2n，列出相应等式从而求得S=4mn≤2×(m2+n2)=d22，从而可求解．
本题主要考查了比较烦及基本不等式在实际问题中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)令x=y=0可得：f(0)=f(0)+f(0)，故f(0)=0，
令y=−x可得：f(0)=f(x)+f(−x)，故f(−x)=−f(x)．
又函数f(x)的定义域是R，故函数f(x)为奇函数．
(2)令x<0，则−x>0，故 f(−x)=(−x)2+2(−x)=x2−2x，
又f(−x)=−f(x)，所以f(x)=−f(−x)=−x2+2x，f(0)=0，
综上可知，f(x)=x2+2x,x≥0−x2+2x,x<0．
故函数图像如下：

(3)由(2)可知，函数f(x)为R上的增函数，
因为f(x−2)+f(x2−2x)>0．
所以f(x−2)>−f(x2−2x)=f(2x−x2).
所以x−2>2x−x2，解得x<−1或x>2，
故不等式的解集为{x|x<−1或x>2}．
【解析】(1)利用奇偶性的定义求解即可；
(2)根据f(−x)=−f(x)求解即可；
(3)利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，还考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意可得：

(2)如图可知，

“至少参加了其中一个项目的学生人数”即为“参加跳远或参加短跑项目的人数”，
所以该人数为20+15−5=30人．
(3)由题意可得：card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)．
【解析】(1)根据题意作出Venn图即可；
(2)根据题意结合Venn图运算即可；
(3)根据题意结合Venn图即可得结果．
本题考查了集合的运算与图形表示问题，是基础题．