吉林省四校联考2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

这是一份吉林省四校联考2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题，共12页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，给出下列命题，其中正确的命题是等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章~第二章2.3．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ）
A．B．C．1D．2
4．已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
B．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
C．直线可以由其上一点和它的方向向量确定
D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
6．在平行六面体中，点P是线段BD上的一点，且，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，直线交x轴于点A，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰好落在直线上．若点N在第二象限内，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．在棱长为2的正方体中，EF是正方体外接球的直径，点P是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若空间向量，满足，则
B．空间任意两个单位向量必相等
C．在正方体中，必有
D．空间向量的模为
10．已知两条平行直线和之间的距离小于，则实数m的值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．向量与所成角的余弦值为
C．平面AEF的一个法向量是
D．点D到平面AEF的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．直线，的斜率，是关于k的方程的两根，若，则实数__________．
13．在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题．如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为A、B、C，，，．现移动边AC，使得点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上运动，则（点O为坐标原点）的最大值为__________．
14．已知空间向量，，则最大值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知直线，，．
（1）若这三条直线交于一点，求实数m的值；
（2）若三条直线能构成三角形，求实数m满足的条件．
16．（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，，，，，点d是棱AB的中点
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
已知直线．
（1）m为何值时，点到直线l的距离最大，并求出最大值；
（2）若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求（O为坐标原点）面积的最小值及此时直线l的方程．
18．（本小题满分17分）
如图，在棱长为3的正方体中，点E是棱上的一点，且，点F是棱上的一点，且．
（1）求异面直线与CF所成角的余弦值；
（2）求直线BD到平面CEF的距离．
19．（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，点E是棱PB的中点，点F是棱PC上的一点，且．
（1）证明：平面平面PBC；
（2）求平面AEF和平面AFC夹角的大小．
2024~2025（上）高二年级第一次月考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．D ，其倾斜角为．故选D．
2．C 若，则，解得或，
则“”是“”的充分不必要条件，故选C．
3．A 因为，所以，
解得，，所以，故选A．
4．D ，
故在上的投影向量为．故选D．
5．B 平行于平面的向量，可平移至一个平行于的平面，故为共面向量，A正确；
空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，B错误；
直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向量确定直线，C正确；
由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，D正确．故选B．
6．C
．故选C．
7．A 设直线与y轴的交点为B，过O作于C，过N作于D．
因为N在直线上且在第二象限内，
设，则，．
又，，即，，所以．
在中，由三角形的面积公式得，，所以．
在中，，，所以，即．
在中，，即，解得，．
因为点N在第二象限内，所以，所以，，
所以，故选A．
8．A 记正方体的外接球的球心为O，
易得，且，
所以，
故选A．
9．CD 两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以不能得到，A错误；
空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B错误，
正方体中，，的方向相同，长度相等，故，故C正确；
空间向量的模为，故D正确．故选CD．
10．AC 直线和平行，则，两条平行直线间距离，
解得且，故0和2符合要求．故选AC．
11．BCD 对于A，正方体中，，故A错误；
对于B，，，故向量夹角余弦值为，故B正确；
对于C，，，，．
故是平面AEF的一个法向量，故C正确；
对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确．故选BCD．
12． 因为，而且斜率存在，所以，
又，是关于k的方程的两根，，解得．
13．1+ 由已知，，．
如图，取AC的中点E．因为为直角三角形，故．
由于为直角三角形，故，
显然，当且仅当O、B、E三点共线时等号成立，故的最大值为．
14． ，
当时，，
由，所以，当且仅当，即时等号成立，
故，
当时，，故的最大值为．
15．解：（1）由解得代入的方程，得．
（2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形．
①联立解得代入，得；
②当与平行时，，
当与平行时，．
综上所述，当且且时，三条直线能构成三角形．（且写成或扣1分）．
16．解：如图，以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则即
令，解得，，所以平面的一个法向量为．
（1）证明：，因为，
平面，所以平面；
（2）解：因为，所以，
所以直线与平面所成角的正弦值是．
17．解：（1）已知直线，整理得，
由故直线l过定点，
点到直线l的距离最大，可知点Q与定点的连线的距离就是所求最大值，
即为最大值．
，的斜率为，
可得，解得；
（2）若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，
则可设直线l的方程为，，则，，
．
（当且仅当时，取“=”），
故面积的最小值为12，此时直线l的方程为．
18．解：（1）如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以，，，，
所以，，
所以，
所以异面直线与CF所成角的余弦值是；
（2）因为，，，所以，，
所以，所以，
又平面CEF，平面CEF，所以平面CEF，
所以点D到平面CEF的距离即为直线BD到平面CEF的距离．
设平面CEF的一个法向量为，则即
令，解得，，所以平面CEF的一个法向量为．
因为，所以点D到平面CEF的距离，
即直线BD到平面CEF的距离为．
19．（1）证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以，，，设，
则，解得，即．
则，，，
设平面AEC的一个法向量为，则即
令，解得，，所以平面AEC的一个法向量为．
因为，，设平面PBC的一个法向量为，
所以即令，解得，，
所以平面PBC的一个法向量为，
又，所以平面平面PBC；
（2）解：，所以．
设平面EAF的一个法向量为，
所以即
令，解得，，
所以平面EAF的一个法向量为．
设平面CAF的一个法向量为，
则即
令，解得，，所以平面CAF的一个法向量为．
因为，
所以平面AEF和平面AFC夹角的大小为．