[数学]甘肃省武威市凉州区2023-2024学年高一上学期开学考试试题(解析版)

这是一份[数学]甘肃省武威市凉州区2023-2024学年高一上学期开学考试试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1. 二次根式＝－a成立的条件是（ ）
A. a>0B. a<0C. a≤0D. a是任意实数
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
2. 若，则的值是（ ）
A. -3B. 3C. -9D. 9
【答案】A
【解析】依题意，所以，
所以
.
故选：A.
3. 不等式的解集为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】依题意可得，故，解得或，
所以不等式的解集为或.
故选：B．
4. 关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】B
【解析】根据题意可知；，
由韦达定理可得，解得.
故选：B.
5. 下列四个函数图象中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以只用观察轴左边的图像，函数值随自变量的增大而减小，说明图像从左到右看，图像一直在下降，观察选项，只有D符合.
故选：D.
6. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象的公共点的个数是（ ）
A. 3个B. 1个C. 2个D. 0个
【答案】D
【解析】联立与可得，
则，
由于，所以，故方程无实数根，
所以与的图象没有公共点.
故选：D.
7. 若一个所有棱长相等的三棱柱，它的主视图和俯视图分别是正方形和正三角形，则左视图是（ ）
A. 菱形B. 正方形C. 矩形D. 正三角形
【答案】C
【解析】因为正视图和左视图等高，俯视图的宽等于左视图正三角形的高，
而主视图和俯视图分别是正方形和正三角形，所以左视图的长和宽不相等，所以左视图是矩形.
故选：C.
8. 若是方程的两个根，则的值是（ ）
A. 2B. －1C. －2D. 1
【答案】A
【解析】由韦达定理可得，所以.
故选：A.
9. 函数和的图象如图所示，有下列四个说法：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果时，那么.
其中正确的是（ ）
A. ①④B. ①C. ①②D. ①③④
【答案】A
【解析】当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得，
所以，若，可得，所以①正确；
当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或，
所以，若，可得，所以②错误；
由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系，所以③错误；
当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，，
所以，若时，可得，所以④正确.
故选；A．
10. 已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两个实数根，则（m+2)(n+2）的最小值是（ ）.
A. 7B. 11C. 12D. 16
【答案】D
【解析】∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两个实数根，
∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，
∴（m+2)(n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1)2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=（﹣2t)2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，
∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1)2+7=16．
故选：D．
11. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的格点上，那么的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】如图中、，所以，
所以.
故选：D.
12. 将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，可得函数的大致图像如图所示，
将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C选项中的图像.
故选：C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是________.
【答案】或
【解析】因为的对称轴为，
若函数在上具有单调性，
则或，解得：或.
14. 已知关于的不等式组的解集为，则的值为_______.
【答案】
【解析】由题意得：，则，解得，所以.
15. 设是方程两实根，是关于的方程的两实根，则= ____ ，= _____ .
【答案】
【解析】由于是方程的两实根，所以①；
由于是关于的方程的两实根，所以②.
由①②解得.
16. 边长为1的正八边形面积为______.
【答案】
【解析】如图，将正八边形补成正方形，
由正八边形的性质可得，，
则，
所以，
故为全等的等腰直角三角形，
且，
所以，
，
所以八边形的面积为.
三、解答题（共70分.）
17. 将下列角度与弧度进行互化：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
解：（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
18. （1）化简：；
（2）化简：；
（3）先化简，再求值：，其中.
解：（1）.
（2）.
（3）
，
当时，原式.
19. 为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A.书画类、B.文艺类、C.社会实践类、D.体育类”.现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
（1）本次被抽查的学生共有______名，扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数为______度；
（2）请你将条形统计图补全；
（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C.社会实践类”的学生共有多少名？
（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率.
解：（1）由扇形统计图中可知：D体育类占比为，
条形统计图中可知，D体育类有20人，
故本次被抽查的学生共有：名，
扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数为.
（2）B类人数是：名，补全条形统计图如图所示.
（3）从条形统计图可看出“C.社会实践类”的学生有8人，
故600名学生中，估计“C.社会实践类”的学生数为名，
答：估计该校学生选择“C.社会实践类”的学生共有96名.
（4）所有可能的情况如下表所示：
由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，
∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率.
20. 已知是一元二次方程的两个实数根.
（1）是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）求使的值为整数的实数的整数值.
解：（1）假设存在实数，使得成立，
一元二次方程的两个实数根，
，(不要忽略判别式的要求)，
由韦达定理得，
，
但，不存在实数，使得成立.
（2），
要使其值是整数，只需要能被整除，
故，即，
，
21. 已知当时，函数的最大值为5，求实数的值.
解：，
其图象的对称轴方程为，顶点坐标为，
图象开口方向由决定.
若，函数图象开口向下，如图所示，
当时，函数取得最大值，即，
解得或（舍去）.故.
若，函数图象开口向上，如图所示，
∵，∴当时，函数取得最大值，即，
解得或（舍去），故
综上，或.
22. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴，垂足为点H，交于点Q，过点P作交x轴于点E，交于点F.
（1）求A，B，C三点的坐标.
（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）请用含m的代数式表示线段的长，并求出m为何值时有最大值.
解：（1）在中，令，得，
令，得，
所以.
（2）因为，
所以由勾股定理可知，
设直线的方程为，把代入方程中，得
，解得，所以直线的方程为，
设点Q的坐标，
当时，则有，
解得，舍去；
当时，则有，
解得（舍去），即；
当时，则有，
解得(舍去)，即，
综上所述：存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，坐标为或.
（3）过点作于点G，如图，
则轴，由可知是等腰直角三角形，
所以，所以为等腰直角三角形，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，即，所以，
所以，
因此，
设，点Q的坐标，
所以，
所以，
因为，所以当时，有最大值.