江苏省盐城市八校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
3. 函数的图像大致为（ ）
A B.
C. D.
4. 函数的一个零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知条件，条件，若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（ ）（参考数据：）
A. 8分钟B. 9分钟C. 10分钟D. 11分钟
8. 设函数，其中，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是 （ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D 若，则
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题，，则命题的否定为，
B. “”是“”成立的充要条件
C. 函数的最小值是
D. “”是“函数的零点个数为2”成立的充要条件
11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A. 函数的极小值点为
B.
C. 若函数有4个零点，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是___________.
13. 已知，，且，则的最小值为__________.
14. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为.
（1）求集合；
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16. 已知函数（且）.
（1）当时，写出函数的单调区间，并用定义法证明；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
17. 已知函数.
（1）若的图缘在点处的切线经过点，求；
（2）为的极值点，若，求实数的取值范围.
18. 已知奇函数，函数的最大值为.
（1）求实数值；
（2）求；
（3）令，若存在实数，，当函数的定义域为时，值域也为，求实数，的值.
19. 已知函数，且．
（1）讨论的单调性；
（2）比较与的大小，并说明理由；
（3）当时，证明：．