2023-2024学年山东省威海市乳山市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省威海市乳山市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式中，化简后能与 2合并的是( )
A. 12B. 8C. 23D. 0.2
2.若xy=53，则x+yx的值为( )
A. 25B. 85C. 23D. 83
3.下列计算正确的是( )
A. 3+ 2= 5B. 2× 3= 6
C. 12÷ 3=2D. ( 2+ 3)2=5+ 6
4.如图，点P在△ABC的边AB上，∠A=70°，∠B=45°，若△ABC∽△ACP，则∠APC=( )
A. 45°
B. 55°
C. 65°
D. 75°
5.若关于x的一元二次方程(m+1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则m可取得的最大整数值为( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
6.将两个完全相同的直尺如图叠放在一起，则重合部分的四边形必定是( )
A. 平行四边形
B. 菱形
C. 矩形
D. 正方形
7.如图，在宽10米、长22米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为160平方米.设道路的宽为x米，可列方程( )
A. (10−x)(22−x)=160
B. 22×10−22x−10x=160
C. 22×10−22x−10x−x2=160
D. 22×10−22x−10x+2x2=160
8.如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在AB，AD上，△CEF是等边三角形，则BE=( )
A. 2− 3
B. 4−2 3
C. 3− 3
D. 2 3−3
9.若a，b，c满足a+b+c=04a−2b+c=0，则关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根的平方和是( )
A. 2B. 3C. 5D. 8
10.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，∠ABC+∠ADB=180°，AE⊥BD，BF⊥CD，若BF=2AE，S△ABD=2，则S△BCD=( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若 2x+1有意义，则x的取值范围是______．
12.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，若∠EAO=45°，则∠BAE= ______°.
13.图中菱形的两条对角线长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形，图中间的小四边形的面积等于______．
14.若m，n是方程x2−2022x−1=0的两个根，则m2−2024m−2n的值为______．
15.如图，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若点A的坐标为(1,0)，则点F的坐标为______．
16.若a>0，b>0，且a+b=9，则 a2+2+ b2+8的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：(4 6−4 12+3 8)÷2 2．
18.(本小题6分)
用配方法解方程：2x2+8x−1=0．
19.(本小题8分)
某全国连锁店的一件特色商品的年销售量y(万件)与售价x(元)间的函数关系为y=−x+300.连锁店统计人员发现：每卖出一件特色商品的成本为20元.连锁店想通过提高售价的方式获得11500万元的年利润，从顾客的角度考虑售价定为多少元比较合理？
20.(本小题8分)
如图，点E在▱ABCD的对角线AC上，EF//AB，BF//AC，连接DE，CF，∠CEF=∠CED.写出四边形EFCD的形状，并说明理由．
21.(本小题10分)
图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度AB的示意图.如图Ⅱ，在C处放置一根高度为2m且与地平线BF垂直的竹竿IC，点A，I，D在同一直线上，测得CD为3m.将竹竿IC平移5m至E处，点A，G，F在同一直线上，测得EF为5m.求大拇指的高度．
22.(本小题11分)
已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+(m−4)x−3=0(m为实数且m≠1)．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
23.(本小题12分)
【问题情境】为了研究矩形折叠过程中的数学问题和有关结论，数学综合与实践小组的同学进行了如下的研究性学习．
已知：四边形ABCD是矩形，点E在边BC上，沿DE折叠矩形，点C落在点H处，连接HC，HD，HE．
【探究发现】(1)如图Ⅰ，点H在边AB上．
①下列三个结论，正确的有______；(填写序号)
A.DE垂直平分CH，
B.S△ADH：S△BHE=DC2：CE2
C.若点Q，H关于AD对称，则四边形DQHC是菱形
②若点H是AB的中点，求证：CE=2BE．
【问题拓广】(2)如图Ⅱ，点E是BC的中点，点H在矩形内部，延长CH，DH，EH，分别交AB于点G，N，F．
③求证：NG=NB；
④若BC=6，BF=4，求FN的长．
24.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AB=9，BC=6，点D在边AB上，连接CD，∠CAB=∠BCD=∠ACD.点M在边AC上，连接DM，将△ADM沿DM折叠得到△EDM，点A的对应点为点E，ED与边AC交于点F．
(1)求CD的长；
(2)若∠E=∠CDE，求AM的长．
答案解析
1.B
【解析】解：A、 12=2 3，不能与 2合并；
B、 8=2 2，能与 2合并；
C、 23= 63，不能与 2合并；
D、 0.2= 55，不能与 2合并；
故选：B．
先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
本题考查了同类二次根式的应用，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式．
2.B
【解析】解：∵xy=53，
∴设x=5k，y=3k，
∴x+yx=5k+3k5k
=8k5k
=85，
故选：B．
利用设k法进行计算即可．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
3.C
【解析】解：A. 3与 2不是同类二次根式，不能加减，故选项A不符合题意；
B. 2× 3=2 3≠ 6，故选项B计算错误，不符合题意；
C. 12÷ 3= 4=2，故选项C计算正确，符合题意；
D. ( 2+ 3)2=5+2 6≠5+ 6，故选项D计算错误，不符合题意．
故选：C．
利用二次根式的加减法则、二次根式的乘除法则逐项判断得结论．
本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
4.C
【解析】解：∵△ABC∽△ACP，
∴∠ACP=∠B=45°，
∴∠APC=180°−∠A−∠ACP=180°−70°−45°=65°．
故选：C．
根据相似三角形的对应角相等得到∠ACP=∠B=45°，进而根据三角形的内角和定理即可解答．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质的应用．
5.A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m+1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=4−4(m+1)>0，且m+1≠0
∴m−1
【解析】解：∵ 2x+1有意义，
∴2x+1≥0x+1≠0，
解得x>−1．
故答案为：x>−1．
根据二次根式的被开方数必须为非负数和分母不为零的条件进行解题即可．
本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式和分式有意义的条件成为解题的关键．
12.22.5
【解析】解：∵AE⊥BD，∠EAO=45°，
∴∠AOE=45°，
∵矩形ABCD的对角线交于点O，
∴AO=12AC,OB=12BD,BD=AC，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=12(180°−∠AOB)=67.5°，
∴∠BAE=∠OAB−∠OAE=22.5°．
故答案为：22.5．
根据直角三角形的性质可得∠AOE=45°，再根据矩形的性质说明OA=OB，根据等腰三角形的性质可得∠OAB=67.5°，最后根据角的和差即可解答．
本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握矩形的性质是解题的关键．
13.1
【解析】解：∵图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴菱形的面积等于12×6×8=24，
菱形的边长等于 32+42=5，
∴图2中间的小四边形的面积等于25−24=1．
故答案为：1．
根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半，求出图1菱形的面积，再根据菱形的对角线长可得菱形边长为5，进而可得图2中间的小四边形的面积是边长为5的正方形的面积减去菱形的面积．
本题考查了图形的剪拼、菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
14.−4043
【解析】解：因为m，n是方程x2−2022x−1=0的两个根，
所以m2−2022m−1=0，m+n=2022，
则m2−2022m=1，
所以m2−2024m−2n=m2−2022m−2(m+n)=1−2×2022=−4043．
故答案为：−4043．
利用一元二次方程根与系数的关系得出m+n的值，再将x=m代入原方程，结合整体思想即可解决问题．
本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
15.(9,6)
【解析】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
∴△OAD∽△OBG，
∵相似比为1：3，A(1,0)，
∴OAOB=13，OA=1，
∴OB=3，
∴AB=OB−OA=2，
∵△OBC∽△OEF，
∴OBOE=13，
∴OBOB+BE=13，
解得：BE=6，
∴OE=OB+BE=9，
∴点F的坐标为(9,6)．
故答案为：(9,6)．
根据位似变换的性质得到△OAD∽△OBG，且OAOB=13，根据A(1,0)，得到OA=1，得到OB=3，得到AB=2，根据相似三角形的性质求出BE即可得到答案．
本题考查了位似变换、坐标与图形性质、正方形的性质．掌握位似变换的基本性质是解题的关键．
16.3 11
【解析】解：如图，建立平面直角坐标系，设A(0, 2)，B(9,2 2)，点A′是点A关于原点的对称点，连接A′B交x轴于点P，过点B作PD⊥x轴于点D，过点A′作A′C⊥BD，交BD延长线于点C，
∵A(0, 2)，B(9,2 2)，
∴A′C=9，BC=BD+CD=2 2−(− 2)=3 2，
设OP=a，PD=b，
则有a+b=9，
∴PA=PA′= a2+( 2)2= a2+2，PB= b2+(2 2)2= b2+8，
当点A′、P、B三点共线时，PA+PB取最小值，即 a2+2+ b2+8取最小值，
此时PA+PB=A′B= AC2+BC2= 92+(3 2)2=3 11，
即 a2+2+ b2+8的最小值为3 11．
故答案为：3 11．
建立平面直角坐标系，设A(0, 2)，B(9,2 2)，点A′是点A关于原点的对称点，连接A′B交x轴于点P，过点B作PD⊥x轴于点D，过点A′作A′C⊥BD，交BD延长线于点C，再设OP=a，PD=b，则有a+b=9，当点A′、P、B三点共线时，PA+PB取最小值，即 a2+2+ b2+8取最小值，然后求解即可．
本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、轴对称的性质、最短路径等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．
17.解：原式=(4 6−4⋅ 22+6 2)÷2 2=(4 6+4 2)=2 3+2．
【解析】本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．
18.解：∵2x2+8x−1=0，
∴x2+4x=12，
∴x2+4x+4=12+4，
∴(x+2)2=92，
解得x1=3 2−42，x2=−3 2−42．
【解析】配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
19.解：由题意得(x−20)(−x+300)=11500．
解得，x1=70，x2=250．
售价定为250元太高，故x2=250舍去．
答：从顾客的角度考虑售价定为70元比较合理．
【解析】根据连锁店想通过提高售价的方式获得11500万元的年利润，列出方程，解方程即可．
本题主要考查了一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解答本题的关键．
20.解：四边形EFCD的形状是菱形．理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD．
∵EF//AB，
∴EF//CD．
∴∠CEF=∠ECD．
∵∠CEF=∠CED，
∴∠ECD=∠CED．
∴DE=DC．
∵EF//AB，BF//AC，
∴四边形ABFE是平行四边形．
∴AB=EF．
∴CD=EF．
∴四边形EFCD是平行四边形．
∵DE=DC，
∴▱EFCD是菱形．
【解析】根据平行四边形的性质，推出EF//CD，进而推出∠ECD=∠CED，得到DE=DC，证明四边形ABFE是平行四边形，得到AB=EF，进而得到CD=EF，推出四边形EFCD是平行四边形，再根据DE=DC，即可得出结论．
本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
21.解：∵IC⊥BF，AB⊥BF，
∴IC//AB，
∴△CDI∽△BDA，
∴ICAB=CDBC+CD，
∵GE⊥BF，
∴GE//AB，
∴△GEF∽△ABF，
∴GEAB=EFEF+CE+BC，
∵IC=GE，
∴CDBC+CD=EFEF+CE+BC，
∵CD=3m，EF=5m，CE=5m，
∴EF+CE=10(m)，
∴3BC+3=510+BC，
解得BC=7.5，
∵IC=2m，ICAB=CDBC+CD，
∴2AB=310.5，
解得AB=7．
所以大拇指的高度为7m．
【解析】根据题意可得△CDI∽△BDA，△GEF∽△ABF，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可．
本题考查相似三角形的应用以及生活中的平移现象，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22.(1)证明：依题意，得Δ=(m−4)2−4(m−1)×(−3)
=m2−8m+16+12m−12
=m2+4m+4
=(m+2)2．
∵(m+2)2≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)解：a=m−1，b=m−4，c=−3，
x=−(m−4)± (m+2)22(m−1)，
∴x1=−1，x2=3m−1，
∵方程的两个实数根都是整数，且m是正整数，
∴m−1=1或m−1=3，
∴m=2或m=4．
【解析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键．
(1)根据一元二次方程根的判别式，配方法，偶次方的非负性证明；
(2)利用公式法解出方程，根据题意求出m．
23.A，B
【解析】解：(1)①如图：∵沿DE折叠矩形，点C落在点H处，点H在边AB上，
∴∠HDE=∠CDE，DH=DC，HE=CE，∠DHE=∠BCH=90°，
∵DF=DF，
∴△DFH≌△DFC(SAS)，
∴FH=CH，∠DFH=∠DFC，
∵∠DFH+∠DFC=180°，
∴∠DFH=∠DFC=90°，
∴DE垂直平分CH，即A正确；
∵∠DAB=∠DHE=∠B=90°，
∴∠ADH+∠AHD=90°，∠BHE+∠AHD=90°，
∴∠ADH=∠BHE，
∴△ADH∽△BHE，
∴S△ADH：S△BHE=DH2：HE2=CD2：CE2，即B正确；
∵点H是AB的中点，
∴AD垂直平分QH，
∴DH=DQ，
不能说明QH=DQ，即四边形DQHC不一定是菱形，即C错误．
故答案为：A，B．
②∵DH=DC=AB，点H是AB的中点，
∴DH=2AH，
∵△ADH∽△BHE，
∴BEHE=AHDH=AH2AH=12，即HE=2BE，
∵HE=CE，
∴CE=2BE．
(2)③如图：连接EN，
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE=12BC=3，
∵沿DE折叠矩形，点C落在点H处，
∴CE=HE，∠DHE=∠ECD=90°，
∴HE=BE，∠NHE=∠B=90°，
∵EN=EN，
∴△ENH≌△ENB．
∴HN=BN．
∵CD=DH
∵∠DCH=∠DHC，
∵CD//AB，
∴∠DCH=∠CGN，
∵∠GHN=∠DHC，
∴∠CGN=∠GHN，
∴HN=NG．
∴NG=NB．
④在Rt△BEF中，EF= BE2+BF2= 32+42=5，
∴HF=EF−HE=5−3=2．
设BN为x，则NH=x，NF=4−x．
在Rt△HFN中，FN2=FH2+HN2，
∴22+x2=(4−x)2，解得：x=32．
∴FN=4−32=52．
(1)①根据矩形与折叠的性质证明△DFH≌△DFC(SAS)得到FH=CH、∠DFH=∠DFC=90°即可判定A；证明△ADH∽△BHE，根据相似三角形的性质可判定B；根据对称的性质可得DH=DQ，但不能说明QH=DQ，即四边形DQHC不一定是菱形，可判定C；
②证明△ADH∽△BHE，根据相似三角形的性质及已知条件即可证明结论；
(2)③先证明△ENH≌△ENB可得HN=BN，再根据矩形的性质、对顶角相等、平行线的性质可得∠CGN=∠GHN，即HN=NG，进而证明结论；
④由勾股定理可得EF=5，进而得到HF=2，设BN为x，则NH=x，NF=4−x.然后在Rt△HFN中，运用勾股定理列方程求解即可．
本题主要考查了四边形综合，矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
24.解：(1)∵∠CAB=∠ACD，
∴CD=AD．
∵∠B=∠B，∠CAB=∠BCD，
∴△BCD∽△BAC．
∴BCBA=BDBC，即，69=BD6，
解得：BD=4．
∴AD=AB−BD=9−4=5．
∴CD=5．
(2)由折叠可得：AM=EM，∠CAD=∠E．
∵∠E=∠CDE，
∴∠CAD=∠CDE，CD//EM．
∵∠CAB=∠BCD=∠ACD，
∴∠CDE=∠BCD=∠ACD．
∴DF//BC，DF=CF．
∴△ADF∽△ABC．
∴DFBC=ADAB.即DF6=59，
解得：DF=103．
∴CF=DF=103．
∵DF//BC，
∴AFCF=ADBD，即AF103=54，
解得：AF=256．
设AM=ME=x，则MF=256−x．
∵ME//CD，
∴△MEF∽△CDF．
∴MECD=MFCF.即x5=256−x103，
解得x=52．
∴AM=52．
【解析】(1)先证△BCD∽△BAC可得BCBA=BDBC，进而求得BD=4，然后根据线段的和差即可解答；
(2)由折叠可得：AM=EM，∠CAD=∠E.再证△ADF∽△ABC可得DFBC=ADAB，进而得到DF=103，再根据平行线等分线段定理可得AFCF=ADBD进而得到AF=256；设AM=ME=x，则MF=256−x，再证明△MEF∽△CDF，最后根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键．