第14讲 函数的零点与方程的解(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版）

这是一份第14讲 函数的零点与方程的解(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版），共44页。PPT课件主要包含了易混易错练，常用结论，知识梳理，考点分类练，最新模拟练，实数α，fα0，连续不断的，fafb0，至少有一个零点等内容，欢迎下载使用。

1.函数的零点(1)定义:一般地,如果函数y=f(x)在　　　　　　处的函数值等于零,即　　　　　,则称　　为函数y=f(x)的零点. (2)函数零点的等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与　　　　有交点⇔函数y=f(x)有　　　　. (3)α是函数f(x)零点的充分必要条件是　　　　　是函数图像与x轴的公共点. 
2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系一般地,由一元二次方程解集的情况可知,对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0):(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0的解集中有两个元素x1,x2,且x1,x2是f(x)的两个零点,f(x)的图像与x轴有两个公共点(x1,0),(x2,0);(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程ax2+bx+c=0的解集中只有一个元素x0,且x0是f(x)唯一的零点,f(x)的图像与x轴有一个公共点;(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程ax2+bx+c=0没有实数根,此时f(x)无零点,f(x)的图像与x轴没有公共点.
3.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的图像是　　　　　　　　,并且　　　　　　(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中　　　　　　　　　　　　,即∃x0∈(a,b),f(x0)=0. 
4.用二分法求函数零点近似值的步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,且f(a)f(b)<0),给定近似的精确度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下:
1.f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图像连续不断,则f(a)f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点
易错点1　不能正确理解函数零点的概念而致错
易错点2　忽视函数零点存在定理的条件而致错
易错点3　忽略含参函数的分类讨论而致错
易错点4　不能正确使用等价转化而致错
易错点5　不能正确理解题意而致错
易错点6　忽略二分法的应用条件而致错
易错点7　忽略构造函数的方法而致错
命题点1　判断函数零点所在区间
例1 (1)[2024海南模拟]函数 f ( x )＝ x ＋ sin x －2的零点所在区间为(　B　)
[解析]　因为 f '( x )＝1＋ cs ≥0，所以 f ( x )在定义域内单调递增.因为 f (1)＝－1＋ sin 1＜0， f (2)＝ sin 2＞0，所以函数 f ( x )的零点在(1，2)内.故选B.
(2)函数 f ( x )＝lg3 x ＋ x －2的零点所在的区间为(　B　)
[解析]　解法一　函数 f ( x )＝lg3 x ＋ x －2的定义域为(0，＋∞)，并且 f ( x )在(0，＋∞)上单调递增.由题意知 f (1)＝－1＜0， f (2)＝lg32＞0，根据零点存在定理可知，函数f ( x )＝lg3 x ＋ x －2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内.故选B.
解法二　将判断函数 f ( x )的零点所在的区间转化为判断函数 g ( x )＝lg3 x ， h ( x )＝－ x ＋2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示，可知 f ( x )的零点所在的区间为(1，2).故选B.
命题点2　判断函数的零点个数
判断函数零点个数的方法(1)直接法：令 f ( x )＝0，解方程可得.(2)利用函数的零点存在定理：利用函数的零点存在定理结合函数的图象与性质(如 单调性、奇偶性)判断.(3)图象法：将判断函数 f ( x )零点个数转化为判断函数 f ( x )的图象与 x 轴交点的个 数，或将函数 f ( x )拆成两个函数 h ( x )和 g ( x )的差的形式，判断函数 y ＝ h ( x )和 y ＝ g ( x )的图象的交点个数.
例2 (1)[全国卷Ⅲ]函数 f ( x )＝2 sin x － sin 2 x 在[0，2π]的零点个数为(　B　)
[解析]　 f ( x )＝2 sin x －2 sin x cs x ＝2 sin x (1－ cs x )，令 f ( x )＝0，则 sin x ＝0或 cs x ＝1，所以 x ＝ k π( k ∈Z)，又 x ∈[0，2π]，所以 x ＝0或 x ＝π或 x ＝2π.故选B.
命题点3　函数零点的应用
角度3　函数零点(或方程根)的和例5 [2023广东六校第一次联考]定义在R上的函数 f ( x )满足 f (－ x )＋ f ( x )＝0， f ( x ) ＝ f (2－ x )；且当 x ∈[0，1]时， f ( x )＝ x 3－ x 2＋ x .则方程7 f ( x )－ x ＋2＝0所有的根 的和为(　A　)
[解析]　由 f (－ x )＋ f ( x )＝0， f ( x )＝ f (2－ x )可得 f ( x )为奇函数，且图象关于直线 x ＝1对称，且易得 f ( x )的周期为4.
1. [2024广东省茂名市模拟]函数 f ( x )＝e x － x －2的一个零点所在的区间为(　B　)
[解析]　因为 f (1)＝e－1－2＜0， f (2)＝e2－4＞0， 根据零点存在定理得函数 f ( x )在 (1，2)内有零点，所以选B.
3.[2024辽宁省实验中学模拟]函数 f ( x )＝ x 3－ x 2＋5， x ∈[－2，－1]有零点，用二 分法求零点的近似值(精确度为0.2)时，至少需要进行(　B　)次中点函数值的计算.
5. [多选/2023南京市二模]已知函数 f ( x )＝｜e x － a ｜， a ＞0.下列说法正确的为 (　BCD　)
[解析]　解法一(解方程)　对选项A，当 a ＝1时，令 f ( x )＝｜e x －1｜＝1，解得e x ＝0(舍去)或e x ＝2，则 x ＝ln 2，故函数 y ＝ f ( x )与 y ＝1的图象只有一个公共点，A错误.对选项B，由｜e x － a ｜＝ a 2有e x ＝ a ＋ a 2或e x ＝ a － a 2，由 a ＞0得 a ＋ a 2＞0，则e x ＝ a ＋ a 2必有唯一解，故当函数 y ＝ f ( x )与 y ＝ a 2的图象有两个公共点时，e x ＝ a － a 2必有解，故 a － a 2＞0，解得0＜ a ＜1，故B正确.对选项C，设 f ( f ( x ))＝0， t ＝ f ( x )，则 f ( t )＝0，即｜e t － a ｜＝0， t ＝ln a ，所以 f ( x )＝ln a ，即｜e x － a ｜＝ln a ，解得e x ＝ a ＋ln a 或e x ＝ a －ln a ，当 a ＞1时， a ＋ln a ＞0，e x ＝ a ＋ln a 必有唯一解，当 a ＞1时，0＜ln a ＜ a ，故e x ＝ a －ln a 也有唯一解，故 f ( f ( x ))＝0有两个不等实根，故C正确.
解法二(数形结合)　对选项A，当 a ＝1时， f ( x )＝｜e x －1｜，作出 y ＝ f ( x )的图象 和直线 y ＝1，如图(1)，注意到直线 y ＝1是 y ＝ f ( x )在 x ＜0时的图象的一条渐近 线，故函数 y ＝ f ( x )的图象与直线 y ＝1只有一个公共点，A错误.
对选项B，当 a ＝1时，由选项A的判断过程知，不合题意，舍去；当 a ＞1时， f (0) ＝｜1－ a ｜＝ a －1， a 2＞ a ，直线 y ＝ a 是 y ＝ f ( x )， x ＜0的图象的一条渐近线， 如图(2)，直线 y ＝ a 2在渐近线 y ＝ a 的上方，此时函数 y ＝ f ( x )的图象与直线 y ＝ a 2 只有一个公共点，不合题意，舍去；当0＜ a ＜1时， f (0)＝｜1－ a ｜＝1－ a ， a ＞ a 2，直线 y ＝ a 是 y ＝ f ( x )， x ＜ln a 的图象的一条渐近线，如图(3)，直线 y ＝ a 2在 渐近线 y ＝ a 与 x 轴之间，函数 y ＝ f ( x )的图象与直线 y ＝ a 2有两个公共点，适合题 意，故0＜ a ＜1.B正确.
[解析]　方程有4个不同的解，因而由函数 f ( x )的图象(如图)可知，1＜ m ≤2，A错误.
当 f ( x )＝2时，最小的根为－3，当 f ( x )＝1时，最小的根为－2，故－3≤ x 1＜－2，B正确.