[数学]山东省春季高考济南市2024届第三次模拟考试试题(解析版)

这是一份[数学]山东省春季高考济南市2024届第三次模拟考试试题(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
，.
故选：C.
2. 对于命题若是假命题，则下列说法正确的是（ ）
A. 都是真命题B. 都是假命题
C. 是真命题，是假命题D. 是假命题，是真命题
【答案】D
【解析】因为是假命题，则，都为假命题，则是假命题，是真命题；
故选：D.
3. 在△ABC中，“”是“角，，成等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】在△ABC中，若，则，
所以，，成等差数列，充分性成立.
反之，若，，成等差数列，则，
因为，所以，必要性成立.
所以“”是“角，，成等差数列”的充要条件.
故选：C.
4. 设奇函数的定义域为,若当时，函数图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】当时，由题中图象可得的解集为，的解集为，
因为奇函数，且定义域为，其图象关于原点对称，
所以，当，的解集为，
故的解集为.
故选：B.
5. 如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】当0≤x≤1时，设f（x）=kx，由图象过点（1，），得k=，
所以此时f（x）=x；当1≤x≤2时，设f（x）=mx+n，由图象过点（1，），（2，0），得，解得，所以此时f（x）=．
函数表达式可转化为：y＝|x－1|(0≤x≤2)，
故答案为B．
6. 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】因为三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，
所以，
所以，，
易知，所以.
故选：D．

7. 已知，则（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】B
【解析】因为,所以，
.
故选:B.
8. 若数列的前项和，则等于（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】C
【解析】.
故选：C.
9. 在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
10. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石
【答案】B
【解析】设夹谷石，则，所以，
所以这批米内夹谷约为石，故选B.
11. 在的展开式中,含项的系数为（ ）
A. 30B. 20
C. 15D. 10
【答案】C
【解析】，
所以含项的系数为15.
故选：C
12. 设，则（ ）
A. 3B. C. 1D.
【答案】A
【解析】由，得，则，
.
故选：A.
13. 设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
因为，所以，
又因为，所以，所以，
故选：A.
14. 已知向量，且，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. -1D. -2
【答案】D
【解析】由，，
由，得，
所以，得.
故选：D.
15. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数, 基本事件总数,
其和等于18包含的基本事件有：，，共2个，所以和等于18的概率是；
故选：B.
16. 若直线与平行，则两直线之间的距离为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】依题意，由两直线平行可知，解得，
所以两直线分别为，
可得两直线之间的距离为，
故选：C．
17. 圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 9
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为.
故选：C.
18. 如图所示，正方体棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
C. 三棱锥的体积为
D. 直线BC与平面所成的角为
【答案】B
【解析】A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误；
如图建立空间直角坐标系，则，
对于B，设平面的法向量为，
则，令，则，
因为，所以，所以，
因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确，
对于C， ，
所以三棱锥的体积为，所以C错误，
对于D，，直线BC与平面所成的角为，，所以D错误，
故选：B.
19. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为，
又因为过点，所以，解得，
所以，双曲线的标准方程是．
故选：A．
20. 函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A. 函数的周期是
B. 函数的图象的过点
C. 函数在上单调递减
D. 当时，
【答案】A
【解析】由图可得,,
故，
将点代入可得,
所以，
由于，故，所以，
对于A，，故A错误，
对于B，，故的图象的过点，B正确，
对于C, ，则，故在上单调递减，C正确，
对于D，，则，故，故，D正确，
故选：A.
二、填空题(本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上)
21. 若函数则_______．
【答案】
【解析】，
所以.
22. 如图，是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现，在这个伟大发现中，球的体积与圆柱的体积之比为________.
【答案】
【解析】圆柱内切一个球，圆柱的底面半径与球的半径相等，不妨设为，
则圆柱的高为，
，．
球与圆柱的体积之比为，
故答案为:．
23. 某学校有5个班级的同学一起到某工厂参加社会实践活动，该工厂有5个车间供学生选择，每个班级任选一个车间进行实践学习，则恰有2个班级选择甲车间，1个班级选择乙车间的方案有__________种．
【答案】270
【解析】根据题意可知，第一步：2个班级选择甲车间;
第二步：1个班级选择乙车间
第三步：另外2个班级选了除甲乙以外的三个工厂，.
所以一共：.
24. 已知变量满足线性约束条件，则的最大值为____________.
【答案】1
【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,即为的边界及其内部,
作直线,平移直线,当直线经过点O时的截距最小,此时的最小,
由得,即O0,0,代入得,单调递减，
可得的最大值为．
25. 已知是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上一点，为坐标原点，为正三角形，则该椭圆的离心率为____________.
【答案】
【解析】依题意，
不妨设点在第一象限，则点，
易知，
由椭圆的定义知：，
所以，
所以.
三、解答题(本大题5个小题，共40分)
26. 已知函数，且.
（1）求的值;
（2）判断函数在上是增函数还是减函数，并证明.
解：（1），，.
（2）函数为增函数，证明如下：
设是1,+∞上的任意两个实数，且，
则
，
当时，，，
从而，即，
∴函数在1,+∞上为增函数.
27. 已知等比数列的各项皆为正数，且.
（1）求数列的通项公式;
（2）求的值.
解：（1）因为数列an为全为正数的等比数列，且，
则有，因此，，所以，
所以.
（2）

=4750.
28. 为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B，C，D三地位于同一水平面上，这种仪器在B地进行弹射实验，两地相距，，在C地听到弹射声音的时间比D地晚秒，在C地测得该仪器至最高点A处的仰角为．（已知声音的传播速度为），求：

（1）B，C两地间的距离；
（2）这种仪器的垂直弹射高度AB．
解：（1）设，
∵在C地听到弹射声音的时间比D地晚秒，
∴，
在中，由余弦定理，
∴，解得，
故B，C两地间的距离为420米；
（2）在中，，
∴米，
故该仪器的垂直弹射高度为米．
29. 如图所示，为矩形，为梯形，平面平面，.
（1）若点为的中点，证明:平面；
（2）求异面直线与所成角的大小.
解：（1）连接PC，交DE于，连接MN，
为矩形，为的中点，
在中，M，N分别为PA，PC的中点，,
因为平面平面,所以平面.
（2）
为矩形，，
平面平面，
又平面，平面平面，
∴平面，
平面，
在Rt中，
，
又平面平面,
所以平面,平面,故，
在Rt中，
，，
由于，故直线与所成角即为，
从而直线与所成角为.
30. 如图所示，抛物线的准线过点.
（1）求抛物线的标准方程;
（2）若角为锐角，以角为倾斜角的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值.
解：（1）由题意得，，
∴抛物线的方程为.
（2）设，直线AB的斜率为，
则直线方程为，
将此式代入，得，
故，
设的中垂线为直线m，设直线m与的交点为，
则，
故直线m的方程为，
令得点P的横坐标为，
故，
，
∴定值8.