山东省济宁市邹城市北大新世纪高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果.
详解】由可得，
所以.
故选：B
2. 有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ）
A. 11B. 12C. 16D. 17
【答案】D
【解析】
【分析】将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数.
【详解】将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，
因为上四分位数是第分位数，则，所以这组数据的上四分位数为.
故选：D.
3. 从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是（ ）
A. 都蓝球B. 都是黄球C. 恰有一个蓝球D. 至少有一个蓝球
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对立事件的意义判断即可.
【详解】事件“至少有一个黄球”的对立事件是“没有黄球”，即都是“都是蓝球”，
所以与事件“至少有一个黄球”互为对立的是“都是蓝球”.
故选：A
4. 已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的公式求解.
【详解】根据题意，在上的投影向量为：
.
故选：A
5. 已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知，设在基底下的坐标为，根据空间向量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解.
【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为，
所以，
所以，
所以在基底下的坐标为.
故选：A
6. 如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取有中点，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦.
【详解】取的中点，连接，由E为CD的中点，得，，
则是异面直线CM与AE所成的角或其补角，
正方形中，，在中，，
，，
于是，
所以异面直线CM与AE所成的角的余弦值为.
故选：D
7. 某学校兴趣学习小组从全年级抽查了部分男生和部分女生的期中考试数学成绩，并算得这部分同学的平均分以及男生和女生各自的平均分 ，且男女生的平均分不相等，由于记录员的疏忽把人数弄丢了，则据此可确定的是（ ）
A. 这部分同学是高分人数多还是低分人数多
B. 这部分同学是男生多还是女生多
C. 这部分同学的总人数
D. 全年级是男生多还是女生多
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数意义可判断A；利用分层平均数公式可求出女生所占比例，可判断BC；分析题中样本的抽取方式可判断D.
【详解】对于A，平均数描述平均水平，所以无法判断高分和低分人数，A错误；
对于B，设这部分同学的平均分为，其中有男生人，女生人，平均分分别为，
根据分层平均数公式有，
整理得，即，
即根据两个平均数可求出这部分同学中女生所占比例，故B正确；
对于C，由B可知，只能求出男女生所占比例，无法确定总人数，C错误；
对于D，因为题干并没有告诉这部分学生的抽取是否按照比例抽取，
所以无法全年级是男生多还是女生多，D错误.
故选：B
8. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理结合两角和的正弦公式得到，进而得到，然后利用正弦定理和三角恒等变换，由求解.
【详解】解：因为，由正弦定理得，
由余弦定理得，即，
由正弦定理得，
又，
所以，
所以，
又，，则，
所以或，即或（舍去），
则，
所以解得，则．
所以，
，
，
即的取值范围是．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是得到，从而利用确定角B的范围，由此得解.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下：
记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为、，方差分别为、.则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定的数据，利用平均数、方差的定义计算判断即可.
【详解】依题意，，
，所以，A错误，B正确；
，
，
所以，C错误，D正确.
故选：BD
10. 如图，在正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点（不包括端点），则（ ）
A. 存在点Q，使得B. 存在点Q，使得平面
C. 三棱锥的体积是定值D. 二面角的余弦值为
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，由推出平面，矛盾；B选项，建立空间直角坐标系，证明出，，得到线面垂直，进而当Q为的中点时，，此时平面，故B正确；C选项，假设体积为定值，得到平面，求出平面的法向量，证明出平面不成立，C错误；D选项，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值.
【详解】对于A，若，因为平面，平面，
所以平面，矛盾，故A错误．
对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，
因为，
，
故，，
故，，
因为，平面，
故平面，当Q为的中点时，，
此时平面，故B正确．

对于C，Q在线段上运动，若三棱锥的体积为定值，则平面，
，DA=2,0,0，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，
解得，令得，故，
故，故与不垂直，
故平面不成立，故C错误；
对于D，二面角即二面角，连接BP，DP，BD，
由于为等边三角形，
则，，所以为所求二面角的平面角，
不妨设正方体的棱长为2，则的棱长为，
故，，
由余弦定理可得，
二面角的余弦值为，故D正确．
故选：BD
11. 掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次骰子点数为奇数”，“第二次骰子点数为偶数”，“两次骰子点数之和为奇数”，“两次骰子点数之和为偶数”，则（ ）
A. C与D互为对立事件B. A与D相互独立
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据对立事件的定义即可求解A，利用列举法，求解对应事件包含的样本点，即可根据古典概型的概率公式求解CD，结合独立事件的定义即可求解B.
【详解】对于A,事件与事件不能同时发生，且并起来是全部的样本空间，故互为对立事件，A正确；
对于B，抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，
事件A的样本点为共18种，
事件的样本点为,共有18种，
事件的样本点为共有9种，
所以,由于，故相互独立，B正确，
对于C，事件的样本点为共9种，故,C正确，
对于D，事件的样本点为共27种，
故，
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 文以载道，数以忘忧，本学期某校学生组织数学知识竞答（满分），并从中随机抽取了名学生的成绩为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图：
估计该校高二学生数学成绩的平均数为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】由频率分布直方图的面积和为求出，再根据平均数计算公式求解即可.
【详解】由频率分布直方图的面积和为得
，
解得，
所以该校高二学生数学成绩的平均数为
.
故答案为：.
13. 在棱长为2的正方体中，动点，分别在棱，上，且满足，当的体积最小时，与平面所成角的正弦值是______．
【答案】
【解析】
【分析】设，结合等积法，可求出当的体积最小时，，分别是所在棱的中点；法一，根据，可求出点到平面的距离为，结合直线与平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空间直角坐标系，应用向量法求解.
【详解】设，则
．
由等体积法，得
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以当的体积最小时，，分别是所在棱的中点．
方法一 易知，，．由余弦定理，得
，所以，
所以．
设点到平面的距离为．根据，
得，解得．
所以与平面所成角的正弦值为．
方法二 以点为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，．
设平面法向量为n=x,y,z，
则即令，得，，
则．设与平面所成的角为，
则．
故答案为：
14. 如图，在四边形中，的面积为，记的面积为，，设，，若存在常数，使成立，则的值为___________

【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理及三角形面积公式，求得的值，得的大小，再设，利用正弦定理得关于的代数式，解出，利用三角形面积公式，求出的值.
【详解】在中，由余弦定理，，
因为，所以，
即，又因，所以.
设，则，，，
在中，由正弦定理，，
在中，由正弦定理，，
两式作商，得，
即，因为，所以，，
，，
假设，所以，
解得.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知平行四边形中，，点是线段的中点.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据数量积的定义即可求解，
（2）根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
，
，
，
，
即，解得：.
16. 已知函数.
（1）若，求在区间上的最大值和最小值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得；
（2）参变分离可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围.
【小问1详解】
若，，，
令，因为，所以，
令，，
则在12,1上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
所以，；
【小问2详解】
因为在上恒成立，
即在上恒成立，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围是.
17. 已知在中，的面积为．
（1）求角的度数；
（2）若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）设，则求解即可；
（2）根据三角形面积公式结合正弦定理得到，根据角的范围求解即可．
【小问1详解】
设，则，又，因此，
由为的内角，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，又，则，因此，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，
，
显然，则有，因此当时，取到最小值，
此时，即，
所以的值.
18. 已知，其中，.
（1）若，函数y=fx的最小正周期T为，求函数y=fx的单调减区间；
（2）设函数y=fx的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求y=fx的解析式.
【答案】（1）
（2），.
【解析】
【分析】（1）根据求出，求出的解析式，利用整体代换法计算即可求解；
（2）由图可知，，利用平面向量数量积的定义和坐标表示求出，进而求，将点D代入解析式计算即可求解.
【小问1详解】
由题，，解得，故.
令，
所以的单调减区间为.
【小问2详解】
由题，可得，，
因此，，又，得.
由，得.
再将代入y=fx，即.
由，解得.
因此y=fx的解析式为.
19. 已知函数，其中实数.
（1）求在处的切线方程；
（2）若在上的最大值是0，求的取值范围；
（3）当时，证明：.
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）按分类，利用导数探讨函数的单调性，确定最值情况即可.
（3）把代入，等价变形不等式，再构造函数，利用导数求出最小值并判断大于0即可.
【小问1详解】
函数，求导得，则，而，
所以函数图象在处的切线方程为.
【小问2详解】
当时，，，
当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，无最大值；
当时，由，得，函数在上单调递增，
，，则0不可能是在上的最大值；
当时，恒成立，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递减，
，，即0是在上的最大值，
所以的取值范围.
【小问3详解】
当时，，不等式，
令函数，求导得，
显然函数在上单调递增，而，
则存在，使得，即，
当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
所以恒成立，即成立同学
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲（投中个数）
6
7
5
6
4
3
8
9
乙（投中个数）
8
4
6
7
6
5
7
5