数学七年级上册（2024）第二章 有理数及其运算4 有理数的乘方导学案

这是一份数学七年级上册（2024）第二章 有理数及其运算4 有理数的乘方导学案，共32页。学案主要包含了北师大版2024，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1等内容，欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4804" 【题型1 乘方运算的符号规律】 PAGEREF _Tc4804 \h 1
\l "_Tc32067" 【题型2 乘方的逆运算（简算）】 PAGEREF _Tc32067 \h 2
\l "_Tc5893" 【题型3 乘方中的程序流程图问题】 PAGEREF _Tc5893 \h 2
\l "_Tc9841" 【题型4 乘方中的整除问题】 PAGEREF _Tc9841 \h 3
\l "_Tc26822" 【题型5 乘方中的进制问题】 PAGEREF _Tc26822 \h 4
\l "_Tc31721" 【题型6 乘方中的末尾数字问题】 PAGEREF _Tc31721 \h 5
\l "_Tc28747" 【题型7 乘方中的规律探究】 PAGEREF _Tc28747 \h 5
\l "_Tc5425" 【题型8 算“24”点】 PAGEREF _Tc5425 \h 6
\l "_Tc15884" 【题型9 乘方的实际应用】 PAGEREF _Tc15884 \h 7
\l "_Tc25541" 【题型10 乘方中的新定义问题】 PAGEREF _Tc25541 \h 8
知识点：有理数的乘方
1. 有理数的乘方
一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。
求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。
注意：除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。
【题型1 乘方运算的符号规律】
【例1】（23-24七年级·安徽合肥·期中）下列各组数中，数值相等的一组是（ ）
A．32和23B．（﹣2）3和﹣23
C．﹣32和（﹣3）2D．﹣（2×3）2和﹣2×32
【变式1-1】（23-24七年级·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：(−2)3=−8，−23=−8；(−3)3=−27，−33=−27；(−4)3=−64，−43=−64．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母a表示的式子：①当a<0时，a3=(−a)3；②当a>0时，−a3=(−a)3．其中表示的规律正确的是（ ）
A．①B．②C．①、②都正确D．①、②都不正确
【变式1-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）已知4个数：（﹣1）2018，|﹣2|，﹣（﹣1.5），﹣32，其中正数的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-3】（23-24七年级·山东枣庄·期中）下列各式：①a2=(−a)2；②a3=(−a)3；③−a2=−a2；④a3=a3．一定成立的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型2 乘方的逆运算（简算）】
【例2】（23-24七年级·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式：
①3×52与32×52；
②−2×32与−22×32；
（2）根据以上计算结果想开去：ab3等于什么?（直接写出结果）
（3）猜想与验证：当n为正整数时，abn等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求−42022×0.252023的值．
【变式2-1】（23-24七年级·全国·单元测试）如果x5=−32，y3=8那么xy= ．
【变式2-2】（23-24七年级·福建厦门·期中）若126×38=p，则126×36的值可以表示为（ ）
A．16pB．p−9C．p−6D．19p
【变式2-3】（23-24七年级·广东东莞·期中）62=36,2×32=22×32=4×9=36，由此你能算出236×1233=（ ）
A．6B．8C．18D．十分麻烦
【题型3 乘方中的程序流程图问题】
【例3】（23-24七年级·河南驻马店·期中）小可同学设计了几张如图写有不同运算的卡片A，B，C，D，小可选择一个有理数，让她的同桌小佳选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算．
(1)当小可选择了4，小佳选择了A→C→B→D的顺序，列出算式并计算结果；
(2)当小可选择了−2，小佳选择了D→C→（______）→（______）的顺序，若列式计算的结果刚好为−3，请通过计算判断小佳选择的顺序．
【变式3-1】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）根据下面的数值转换器，列出关于x，y的代数式，并求出当输入的x与y满足x+1+y-122=0时的值．
【变式3-2】（23-24七年级·北京·期末）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是20，而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，请求出最后输出的结果．
【变式3-3】（23-24七年级·北京东城·期末）小明设计了一个如图所示的数值转换程序．
(1)当输入a=−5,b=−3吋，求输出M的值为多少？
(2)若a=−3,M的值大于4，直接写出一个符合条件的b的值．
【题型4 乘方中的整除问题】
【例4】（23-24七年级·江苏扬州·期中）−82024+−82023能被下列哪个数整除？（ ）
A．3B．5C．7D．9
【变式4-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）试说明257+513能被30整除．
【变式4-2】（23-24七年级·湖南怀化·期末）20232−2023一定能被（ ）整除
A．2020B．2022C．2024D．2025
【变式4-3】（23-24七年级·四川成都·期中）当自然数n的个位数分别为0，1，2，…，9时，n2,n3,n4的个位数如表所示：
在10，11，12，13这四个数中，当n= 时，和数2001n+2002n+2003n+2004n能被5整除．
【题型5 乘方中的进制问题】
【例5】（23-24七年级·浙江温州·期中）远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，对于大于59的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如：，左边的表示2×602；中间的表示3×60；右边的则表示1个单位，用十进制写出来是7381，若楔形文记数，表示十进制的数为 ．
【变式5-1】（23-24七年级·山东烟台·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（ ）
A．34B．194C．1234D．6154
【变式5-2】（23-24七年级·全国·竞赛）二进制数(101)2可用十进制表示为1×22+0×21+1×20=5，同样地，三进制数(102)3可用十进制表示为1×32+0×31+2×30=11．现有二进制数a=(11101)2、三进制数b=(1010)3，那么a、b的大小关系是（ ）．
A．a【变式5-3】（23-24七年级·安徽合肥·阶段练习）我们常用的十进制数，如2639=2×103+6×102+3×101+9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513=2×73+5×72+1×71+3），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．1326天B．510天C．336天D．84天
【题型6 乘方中的末尾数字问题】
【例6】（23-24七年级·山东德州·阶段练习）观察下列算式：
31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561⋯
根据上述算式中的规律，你认为32012的末位数字是 ．
【变式6-1】（23-24七年级·湖北武汉·期中）a为任意整数，则下列四组数字都不可能是a2的末位数字的应是（ ）
A．3，4，9，0B．2，3，7，8C．4，5，6，7D．1，5，6，9
【变式6-2】（23-24七年级·福建漳州·期中）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，根据上述算式中的规律，你认为22023的末位数字是（ ）
A．2B．4C．8D．6
【变式6-3】（23-24七年级·重庆渝中·阶段练习）若a=25，b=-3，试确定a2011+b2012的末位数字是 ．
【题型7 乘方中的规律探究】
【例7】（23-24七年级·山东潍坊·期中）如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式12+122+123+124+…+127+128再加上（ ）后，结果就是1．
A．125B．126C．127D．128
【变式7-1】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期末）观察数列：﹣2，4，﹣8，16，……；第7个数为 ．
【变式7-2】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如： 23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是117，则m的值是
【变式7-3】（23-24七年级·浙江温州·期中）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128,28=256……通过观察，用所发现的规律确定218的个位数字是 ．
【题型8 算“24”点】
【例8】（23-24七年级·浙江杭州·期末）（1）在玩“24点”游戏时，“3、3、7、7”列式并计算为：7×3+37=7×3+3=24是依据运算律_____；
（2）小明抽到以下4张牌：
请你帮他写出运算结果为24的一个算式：______．
（3）如果♥、♦表示正，♠、♣表示负，请你用（2）中的4张牌表示的数写出运算结果为24的一个算式：______．
【变式8-1】（23-24七年级·山东威海·期末）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数1,2,2,3，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式 ，使其结果等于24．
【变式8-2】（23-24七年级·湖北武汉·期中）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成
以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．
(1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？
(2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度．
【变式9-3】（23-24七年级·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为6cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大127cm3．
(1)求第二个正方体纸盒的棱长；
(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？
【题型10 乘方中的新定义问题】
【例10】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）若任意数a、b有这样运算规律：1⊗2=22−1×2，3⊗4=42−3×4．
(1)则−2⊗3=__________；−3⊗−5=_________；
(2)根据上述题，试用字母a、b表示其规律；
(3)若x表示不大于x的最大整数，如：−2.2=−3，5.8=5，则求：−π⊗4.1．
【变式10-1】（23-24七年级·江苏常州·期中）我们根据乘方运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例：
根据上表规律，某同学写出了三个式子： ①lg216=4，②lg525=5，③1g464=3．其中正确的是 ．
【变式10-2】（23-24七年级·河北石家庄·期中）定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n=mn+mn−n，例如：2☆3=23+2×3−3=11．据此解答下列问题：
(1)求−2☆4的值；
(2)求−1☆−5☆2的值．
【变式10-3】（23-24七年级·山东济南·期中）【概念学习】
定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把2+2+2写作2③，读作“2的圈3次方”；−3+−3+−3+−3写作−3④，读作“−3的圈4次方”．一般地，把a+a+a+⋅⋅⋅+an个a记作；aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①=a．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2②=______，−3③=______；
（2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有______；（填写正确的序号）
①任何非零数的圈2次方都等于1；
②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数；
③圈n次方等于它本身的数是1或−1；
④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）请把有理数aa≠0的圈nn≥3次方写成幂的形式：aⓝ=______；
（4）计算：−2023②×−12④−−4÷−2④．
n个位数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n2个位数
0
1
4
9
6
5
6
9
4
1
n3个位数
0
1
8
7
4
5
6
3
2
9
n4个位数
0
1
6
1
6
5
6
1
6
1
······
乘方运算
21=2
22=4
23=8
…
31=3
32=9
32=27
…
新运算
lg22=1
lg24=2
lg28=3
…
lg33=1
lg39=2
lg327=3
…
专题2.8 有理数的乘方【十大题型】
【北师大版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4804" 【题型1 乘方运算的符号规律】 PAGEREF _Tc4804 \h 1
\l "_Tc32067" 【题型2 乘方的逆运算（简算）】 PAGEREF _Tc32067 \h 3
\l "_Tc5893" 【题型3 乘方中的程序流程图问题】 PAGEREF _Tc5893 \h 6
\l "_Tc9841" 【题型4 乘方中的整除问题】 PAGEREF _Tc9841 \h 9
\l "_Tc26822" 【题型5 乘方中的进制问题】 PAGEREF _Tc26822 \h 11
\l "_Tc31721" 【题型6 乘方中的末尾数字问题】 PAGEREF _Tc31721 \h 13
\l "_Tc28747" 【题型7 乘方中的规律探究】 PAGEREF _Tc28747 \h 15
\l "_Tc5425" 【题型8 算“24”点】 PAGEREF _Tc5425 \h 17
\l "_Tc15884" 【题型9 乘方的实际应用】 PAGEREF _Tc15884 \h 19
\l "_Tc25541" 【题型10 乘方中的新定义问题】 PAGEREF _Tc25541 \h 22
知识点：有理数的乘方
1. 有理数的乘方
一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。
求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。
注意：除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。
【题型1 乘方运算的符号规律】
【例1】（23-24七年级·安徽合肥·期中）下列各组数中，数值相等的一组是（ ）
A．32和23B．（﹣2）3和﹣23
C．﹣32和（﹣3）2D．﹣（2×3）2和﹣2×32
【答案】B
【分析】根据乘方的定义逐一计算判断即可，注意符号．
【详解】解：A．32＝9，23＝8，故选项A不符合题意；
B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故选项B符合题意；
C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故选项C不符合题意；
D．﹣（2×3）2＝﹣36，﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查乘方的定义，根据乘方的定义准确计算是解题的关键．
【变式1-1】（23-24七年级·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：(−2)3=−8，−23=−8；(−3)3=−27，−33=−27；(−4)3=−64，−43=−64．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母a表示的式子：①当a<0时，a3=(−a)3；②当a>0时，−a3=(−a)3．其中表示的规律正确的是（ ）
A．①B．②C．①、②都正确D．①、②都不正确
【答案】B
【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得．
【详解】解：由三组数的运算得：(−2)3=−8=−23=−−(−2)3，
(−3)3=−27=−33=−−(−3)3，
(−4)3=−64=−43=−−(−4)3，
归纳类推得：当a<0时，a3=−(−a)3，式子①错误；
由三组数的运算得：−23=−8=(−2)3，
−33=−27=(−3)3，
−43=−64=(−4)3，
归纳类推得：当a>0时，−a3=(−a)3，式子②正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
【变式1-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）已知4个数：（﹣1）2018，|﹣2|，﹣（﹣1.5），﹣32，其中正数的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据乘方运算法则、绝对值性质、相反数的定义逐一计算即可得出答案．
【详解】解：
计算出结果：
（-1）2018=1
|-2|=2
-（-1.5）=1.5
-32=-9
根据计算答案可知正数有3个，
故选C．
【点睛】本题主要考查有理数运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则、绝对值性质、相反数的定义及求解方法．
【变式1-3】（23-24七年级·山东枣庄·期中）下列各式：①a2=(−a)2；②a3=(−a)3；③−a2=−a2；④a3=a3．一定成立的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据乘方和绝对值的定义，逐个分情况讨论，即可解决问题.
【详解】①a2=(−a)2，一定成立；
②a3=(−a)3，当a为正数时，该等式不成立；
③−a2=−a2，a为正数或负数时，该等式不成立；
④a3=a3，当a为负数时，该等式不成立；
一定成立的有①，共1个
故选A
【点睛】本题考查有理数的乘方和绝对值，熟练掌握乘方和绝对值的定义以及偶次方和绝对值的非负性是解题关键.
【题型2 乘方的逆运算（简算）】
【例2】（23-24七年级·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式：
①3×52与32×52；
②−2×32与−22×32；
（2）根据以上计算结果想开去：ab3等于什么?（直接写出结果）
（3）猜想与验证：当n为正整数时，abn等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求−42022×0.252023的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）ab3=a3b3；（3）abn=anbn；理由见解析；（4）0.25
【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值；
（2）根据（1）的结果即可得到答案；
（3）根据乘方abn的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为a⋅a·⋯·an个a相乘和b⋅b·⋯·bn个b相乘的乘积即可证明猜想；
（4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）①3×52=152=225，
32×52=9×25=225；
②−2×32=−62=36，
−22×32=4×9=36；
（2）ab3=a3b3；
（3）abn=anbn，理由如下：
abn=ab⋅ab·⋯·abn个ab相乘
=a⋅a·⋯·an个a相乘⋅b⋅b·⋯·bn个b相乘
=anbn；
（4）−42022×0.252023
=−42022×0.252022×0.25
=−4×0.252022×0.25
=−12022×0.25
=0.25．
【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键．
【变式2-1】（23-24七年级·全国·单元测试）如果x5=−32，y3=8那么xy= ．
【答案】4
【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义，已知等式中的−32相当于−2的5次方，由此可以求出x的值为−2．已知等式中的8相当于2的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出xy的值．
【详解】解：∵−32=−25，
∴x5=−25，
∴x=−2．
∵23=8，
∴y=2，
因此xy=(−2)2=4．
故答案为：4．
【变式2-2】（23-24七年级·福建厦门·期中）若126×38=p，则126×36的值可以表示为（ ）
A．16pB．p−9C．p−6D．19p
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键．
【详解】∵126×38=p,
∴126×36×32=p,
∴126×36×9=p,
∴126×36=19p，
故选：D．
【变式2-3】（23-24七年级·广东东莞·期中）62=36,2×32=22×32=4×9=36，由此你能算出236×1233=（ ）
A．6B．8C．18D．十分麻烦
【答案】B
【分析】先把原式变形为233×1233×23，从而得到2×1233×23，即可求解．
【详解】解：236×1233
=233×23×1233
=233×1233×23
=2×1233×23
=133×23
＝1×8
＝8
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键．
【题型3 乘方中的程序流程图问题】
【例3】（23-24七年级·河南驻马店·期中）小可同学设计了几张如图写有不同运算的卡片A，B，C，D，小可选择一个有理数，让她的同桌小佳选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算．
(1)当小可选择了4，小佳选择了A→C→B→D的顺序，列出算式并计算结果；
(2)当小可选择了−2，小佳选择了D→C→（______）→（______）的顺序，若列式计算的结果刚好为−3，请通过计算判断小佳选择的顺序．
【答案】(1)算式：[4+3−2×−3]2，结果是225；
(2)小佳选择了D→C→B→A，计算见解析．
【分析】本题考查程序流程图与有理数的混合运算：
（1）按照选择的顺序列式计算即可；
（2）按照D→C→A→B，D→C→B→A两种顺序分别计算，看哪个结果刚好是−3即可．
【详解】（1）解：由题意，算式为：[4+3−2×−3]2，
[4+3−2×−3]2
=5×−32
=(−15)2
=225；
（2）解：若选择D→C→A→B，
可得：(−2)2−2+3×−3
=4−2+3×−3
=5×−3
=−15；
若选择D→C→B→A，
可得：(−2)2−2×−3+3
=4−2×−3+3
=2×−3+3
=−6+3
=−3；
∵列式计算的结果刚好为−3，
∴小佳选择了D→C→B→A．
【变式3-1】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）根据下面的数值转换器，列出关于x，y的代数式，并求出当输入的x与y满足x+1+y-122=0时的值．
【答案】x2+2y+1÷2，原式=32
【分析】根据绝对值的非负性和偶次幂的非负性求出x、y，代入计算流程图计算即可得解．
【详解】∵x+1+y-122=0，
∵x+1≥0，y-122≥0，
∴x+1=0，y-122=0，
∴x+1=0，y-12=0，
∴x=-1，y=12，
根据计算流程图可以列式为：x2+2y+1÷2，
将x=-1，y=12代入流程图式子中，
有x2+2y+1÷2=-12+2×12+1÷2=3÷2=32，
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、绝对值的非负性和偶次幂的非负性的知识，求出x、y的值是解答本题的关键．
【变式3-2】（23-24七年级·北京·期末）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是20，而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，请求出最后输出的结果．
【答案】320
【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算．根据流程图列出算式，进行计算即可．掌握的列出算式，是解题的关键．
【详解】解：把20代入程序中得：20×−12÷−−122=20×12÷−14=−40，
把−40代入程序中得：−40×−12÷−−122=−40×12÷−14=80，
把80代入程序中得：80×−12÷−−122=80×12÷−14=−160，
把−160代入程序中得：−160×−12÷−−122=−160×12÷−14=320>100，
则最后输出的结果为320．
【变式3-3】（23-24七年级·北京东城·期末）小明设计了一个如图所示的数值转换程序．
(1)当输入a=−5,b=−3吋，求输出M的值为多少？
(2)若a=−3,M的值大于4，直接写出一个符合条件的b的值．
【答案】(1)34
(2)b=1（答案不唯一，符合要求即可）
【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算．理解程序流程图是解题的关键．
（1）由题意知，b2=9，−a=5，由b2>−a，可知M=a2−3b=−52−3×−3，计算求解即可；
（2）由题意知，−a=3，当b=1时，b2<−a，可知M=a−b+3=−3−1+3=7>4，进而可知，b=1符合要求．
【详解】（1）解：由题意知，b2=9，−a=5，
∵b2>−a，
∴M=a2−3b=−52−3×−3=34，
∴输出M的值为34；
（2）解：由题意知，−a=3，
当b=1时，b2=1，且b2<−a，
∴M=a−b+3=−3−1+3=7>4，
∴b=1符合条件．
【题型4 乘方中的整除问题】
【例4】（23-24七年级·江苏扬州·期中）−82024+−82023能被下列哪个数整除？（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】本题考查了数的整除、有理数的乘方的运算，先计算出−82024+−82023=7×82023，即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：−82024+−82023
=−82023×−8+−82023
=−82023×−8+1
=7×82023，
∴能被7整除，
故选：D．
【变式4-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）试说明257+513能被30整除．
【答案】理由见解析．
【分析】先利用有理数的乘方的逆运算将257进行变形，再提取公因子513，由此即可得出答案．
【详解】257+513=(52)7+513
=514+513
=513×(5+1)
=6×513
则(257+513)÷30=(6×513)÷30=512
因为512是整数
所以257+513能被30整除．
【点睛】本题考查了有理数的乘方的逆运算、乘法的分配律，掌握有理数的乘方的逆运算是解题关键．
【变式4-2】（23-24七年级·湖南怀化·期末）20232−2023一定能被（ ）整除
A．2020B．2022C．2024D．2025
【答案】B
【分析】根据乘法分配律的逆运算得到2022×2023，即可得出结论．
【详解】解：20232−2023
=2023×2023−2023
=2023−1×2023
=2022×2023，
∴20232−2023一定能被2022整除，
故选：A．
【点睛】本题主要考查的有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律的逆运算．
【变式4-3】（23-24七年级·四川成都·期中）当自然数n的个位数分别为0，1，2，…，9时，n2,n3,n4的个位数如表所示：
在10，11，12，13这四个数中，当n= 时，和数2001n+2002n+2003n+2004n能被5整除．
【答案】10、11、13
【分析】根据表格中的规律，分别求出2001、2002、2003、2004这几个数的个位在n=10、11、12、13时的值，通过判断这4个数字的个位数字和是否是0或5来判断是否能被5整除
【详解】根据表格中的规律，可得下表：
由表格知道，当n=10、11、13时，2001n+2002n+2003n+2004n的个位数字都是0，能够被5整除
故答案为：10、11、13
【点睛】本题考查了归纳总结的能力，解题关键是利用乘方的规律来确定个位数字，求出结果的个位数字之和判断是否能够被5整除.
【题型5 乘方中的进制问题】
【例5】（23-24七年级·浙江温州·期中）远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，对于大于59的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如：，左边的表示2×602；中间的表示3×60；右边的则表示1个单位，用十进制写出来是7381，若楔形文记数，表示十进制的数为 ．
【答案】3723
【分析】根据题意，可以用十进制表示出楔形文记数．
【详解】解：楔形文记数表示十进制的数为：1×602+2×60+3＝3600+120+3=3723，
故答案为：3723．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法以及六十进制的位值记法．
【变式5-1】（23-24七年级·山东烟台·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（ ）
A．34B．194C．1234D．6154
【答案】B
【分析】本题主要考查了用数字表示事件，理解题意是解题的关键．根据题意列式即可．
【详解】解：1×53+2×52+3×5+4=194．
故选B．
【变式5-2】（23-24七年级·全国·竞赛）二进制数(101)2可用十进制表示为1×22+0×21+1×20=5，同样地，三进制数(102)3可用十进制表示为1×32+0×31+2×30=11．现有二进制数a=(11101)2、三进制数b=(1010)3，那么a、b的大小关系是（ ）．
A．a【答案】A
【分析】本题考查进位制，本题解题的关键是找出题目给出的运算顺序，按照有理数混合运算的顺序进行计算即可，本题是一个基础题．括号里的数字从左开始，按照题目给的计算法则计算，以此类推，进行计算即可．
【详解】a=(11101)2用十进制表示为1×24+1×23+1×22+0×21+1×20=29，
b=(1010)3用十进制表示为1×33+0×32+1×31+0×30=30，
∵29<30
∴ a故选：A．
【变式5-3】（23-24七年级·安徽合肥·阶段练习）我们常用的十进制数，如2639=2×103+6×102+3×101+9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513=2×73+5×72+1×71+3），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．1326天B．510天C．336天D．84天
【答案】B
【分析】类比于十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数．
【详解】解：绳子上表示的七进制数为：1326=1×73+3×72+2×71+6=343+147+14+6=510，
故选：A．
【点睛】考查了有理数的混合运算，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
【题型6 乘方中的末尾数字问题】
【例6】（23-24七年级·山东德州·阶段练习）观察下列算式：
31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561⋯
根据上述算式中的规律，你认为32012的末位数字是 ．
【答案】1
【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2012除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．
【详解】解：已知31=3，末位数字为3，
32=9，末位数字为9，
33=27，末位数字为7，
34=81，末位数字为1，
35=243，末位数字为3，
36=729，末位数字为9，
37=2187，末位数字为7，
38=6561，末位数字为1，
…，
由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，
又2012÷4=503，
所以32012的末位数字与34的末位数字相同是1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．
【变式6-1】（23-24七年级·湖北武汉·期中）a为任意整数，则下列四组数字都不可能是a2的末位数字的应是（ ）
A．3，4，9，0B．2，3，7，8C．4，5，6，7D．1，5，6，9
【答案】B
【分析】分别计算0至9这10个数字的平方，观察其末位数字，从而得出结果．
此题考查了整数的乘方，由于a为任意实数，分析出计算0至9这10个数字的平方，是解题的关键．
【详解】02=0，12=1，22=4，32=9，42=16，52=25，62=36，72=49，82=64，92=81，
∴1个数的平方的末位数字可以是0， 1， 4， 5， 6， 9，
∴没有一个数的平方的末位数字能得到2，3，7，8，
∴a为任意整数，a2的末位数字不可能是2，3，7，8．
故选：A．
【变式6-2】（23-24七年级·福建漳州·期中）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，根据上述算式中的规律，你认为22023的末位数字是（ ）
A．2B．4C．8D．6
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘方，先根据已知条件，发现2n的末位数字按照2，4，8，6循环，用2023÷4即可得出答案，根据题意找出规律是解题的关键．
【详解】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，
∴2023÷4=505⋯3，
∴22023的末位数字是8，
故选：D．
【变式6-3】（23-24七年级·重庆渝中·阶段练习）若a=25，b=-3，试确定a2011+b2012的末位数字是 ．
【答案】6
【分析】根据题意得出252011的末位数字和-32012的末位数字，再求出其和即可．
【详解】解：∵25的任何次幂的末位数字都是5，-3的偶次幂是正数，且当次数为4的倍数时，其末位数字为1，
∴a2011=252011的末位数字一定是5，
又∵2012÷4=503，
∴b2012=-32012的末位数字一定是1，
∴a2011+b2012的末位数字一定是5+1=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是有理数的乘方，根据题意找出尾数的规律是解答此题的关键．
【题型7 乘方中的规律探究】
【例7】（23-24七年级·山东潍坊·期中）如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式12+122+123+124+…+127+128再加上（ ）后，结果就是1．
A．125B．126C．127D．128
【答案】D
【分析】本题考查有理数的混合运算、规律性，解答本题的关键是明确题意，发现式子的特点，利用数形结合的思想解答．
根据图形可知12+122+123+124…+12n+12n=1
【详解】解：由图可知，
12+122+123+124…+127+128在加上128后，结果就是1
故选：D
【变式7-1】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期末）观察数列：﹣2，4，﹣8，16，……；第7个数为 ．
【答案】-128
【分析】第一个数﹣2＝（﹣2）1，第二个数4＝（﹣2）2，第三个数﹣8＝（﹣2）3，•••，
∴第7个数为：（﹣2）7＝﹣128．
【详解】解：∵观察数列中的各数可以发现：
第一个数为﹣2＝（﹣2）1，
第二个数为4＝（﹣2）2，
第三个数﹣8＝（﹣2）3，
•••，
∴第7个数为：（﹣2）7＝﹣128．
故答案为：﹣128．
【点睛】本题考查了数列，解决问题的关键是探究数列的排列规律，运用排列规律解答．
【变式7-2】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如： 23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是117，则m的值是
【答案】11
【分析】观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出117所在的奇数的范围，即可得解．
【详解】解：∵23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，
……
∴m3分裂后的第一个数是mm−1+1，共有m个奇数，
∵11×11−1+1=111，12×12−1+1=133，
∴奇数117是底数为11的数的立方分裂后的一个奇数，
∴m=11．
故答案为：11．
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的乘方.解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的数字的值．
【变式7-3】（23-24七年级·浙江温州·期中）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128,28=256……通过观察，用所发现的规律确定218的个位数字是 ．
【答案】4
【分析】此题主要考查数字的规律探索，根据已知幂的结果找出个位数的周期性规律，进而分析判断即可．根据已知确定数字的周期规律是解题的关键．
【详解】观察可得规律：2n的个位数字每4次一循环，
∵18÷4=4余2，22=4，
∴218的个位数字是4．
故答案为：4．
【题型8 算“24”点】
【例8】（23-24七年级·浙江杭州·期末）（1）在玩“24点”游戏时，“3、3、7、7”列式并计算为：7×3+37=7×3+3=24是依据运算律_____；
（2）小明抽到以下4张牌：
请你帮他写出运算结果为24的一个算式：______．
（3）如果♥、♦表示正，♠、♣表示负，请你用（2）中的4张牌表示的数写出运算结果为24的一个算式：______．
【答案】（1）乘法分配律；（2）7×4−47=24；（3）−7×−4−4−7=24
【分析】（1）观察可知符合乘法分配律；
（2）用“4、4、7、7”列式计算得到24即可；
（3）根据要求，利用（2）中算式调整一下正负情况，保证是正数即可．
【详解】（1）观察可知符合乘法分配律；
（2）用“4、4、7、7”列式计算得到24，
则7×4−47=7×4−7×47=24；
（3）根据要求，利用（2）中算式调整一下正负情况，
则−7×−4−4−7=−7×−4+−7×47=24.
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式8-1】（23-24七年级·山东威海·期末）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数1,2,2,3，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式 ，使其结果等于24．
【答案】1+2×23（答案不唯一）
【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，利用混合运算的特点构建24=1+2×23是解本题的关键．
【详解】解：∵24=3×8，
∴这个算式为：1+2×23，
故答案为：1+2×23
【变式8-2】（23-24七年级·湖北武汉·期中）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题：

(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ．
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是 ．
(3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，如：23×1−（−2）），请另写出两种符合要求的运算式子 ．
【答案】(1)6；
(2)−2；
(3)−（−2）3×（1+2）；3−（−2）2−1．
【分析】(1)根据题意列出算式，找出积最大值即可；
(2)根据题意列出算式，找出商最小值即可；
(3)利用“24点”游戏规则列出算式即可．
【详解】（1）根据题意得：3×2=6，
故最大值为6；
（2）−2÷1=−2，
故最小值为−2；
（3）根据题意得：−（−2）3×（1+2）；3−（−2）2−1，
故答案为：（1）6；（2）−2；（3）−（−2）3×（1+2）；3−（−2）2−1．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式8-3】（23-24七年级·山东淄博·期末）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出两个结果等于24的算式．
【答案】5−3+2×6，6÷2+5×3
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键．根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
5−3+2×6=24，
6÷2+5×3=24，
故答案为5−3+2×6，6÷2+5×3．
【题型9 乘方的实际应用】
【例9】（23-24七年级·吉林长春·期中）细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过3个小时可以分裂成 个细菌．

【答案】512
【分析】先根据题意求出分裂的次数，再根据有理数的乘方进行计算即可．
【详解】解：3小时=180分钟，180÷20=9（次）．
即1个这种细菌经过3个小时可以分裂成的细为：29=512（个）．
故答案为：512．
【点睛】本题考查有理数的乘方，掌握有理数的乘方法则是解题的关键．
【变式9-1】（23-24七年级·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细．
(1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？
(2)若刚开始时的面条的横截面积为8cm2，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀）
【答案】(1)128
(2)132cm2
【分析】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键．
（1）根据题意列式计算即可得出答案；
（2）根据题意列式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：27=128（根）
∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根．
（2）解：将这个流程重复8次后，面条的数量是28．
∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀，
∴8次后，平均每一根面条横截面积=8÷28=23÷28=132cm2．
【变式9-2】（23-24七年级·全国·随堂练习）如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．
(1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？
(2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度．
【答案】(1)层数=2n
(2)6.4毫米
【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键．
（1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-23层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系；
（2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解．
【详解】（1）解：∵对折1次，层数=21，
对折2次，层数=22，
对折3次，层数=23，
∴对折n次，层数=2n；
（2）解：0.05×27
=0.05×128
=6.4（毫米），
答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米．
【变式9-3】（23-24七年级·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为6cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大127cm3．
(1)求第二个正方体纸盒的棱长；
(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？
【答案】(1)第二个正方体纸盒的棱长为7cm
(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多78cm2
【分析】本题主要考查了有理数乘方运算的应用，解题的关键熟练掌握正方体的体积公式和表面积公式．
（1）先求出第一个正方体的体积，再求出第二个正方体的体积，得出其棱长即可；
（2）根据正方体的表面积公式列出算式进行计算即可．
【详解】（1）解：第一个正方体纸盒的体积为：63=216cm3，
第二个正方体纸盒的体积为：216+127=343cm3，
∵73=343，
∴第二个正方体纸盒的棱长为7cm；
（2）解：6×72−6×62=78cm2，
答：第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多78cm2．
【题型10 乘方中的新定义问题】
【例10】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）若任意数a、b有这样运算规律：1⊗2=22−1×2，3⊗4=42−3×4．
(1)则−2⊗3=__________；−3⊗−5=_________；
(2)根据上述题，试用字母a、b表示其规律；
(3)若x表示不大于x的最大整数，如：−2.2=−3，5.8=5，则求：−π⊗4.1．
【答案】(1)15；10
(2)a⊗b=b2−a×b
(3)32
【分析】（1）本题主要考查有理数的混合运算，结合新的运算规律，根据有理数的混合运算法则计算即可．
（2）本题主要考查有理数的混合运算，结合新的运算规律，根据有理数的混合运算法则即可求得答案．
（3）本题主要考查有理数的混合运算，结合新的运算规律，根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）根据定义的运算规律可知
−2⊗3=32−−2×3=9−−6=15，
−3⊗−5=−52−−3×−5=25−15=10．
故答案为：15；10
（2）根据定义的运算规律可知
a⊗b=b2−a×b．
（3）根据题意可知
−π=−4，4.1=4．
则
−π⊗4.1=−4⊗4=42−−4×4=16−−16=32．
【变式10-1】（23-24七年级·江苏常州·期中）我们根据乘方运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例：
【变式10-3】（23-24七年级·山东济南·期中）【概念学习】
定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把2+2+2写作2③，读作“2的圈3次方”；−3+−3+−3+−3写作−3④，读作“−3的圈4次方”．一般地，把a+a+a+⋅⋅⋅+an个a记作；aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①=a．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2②=______，−3③=______；
（2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有______；（填写正确的序号）
①任何非零数的圈2次方都等于1；
②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数；
③圈n次方等于它本身的数是1或−1；
④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）请把有理数aa≠0的圈nn≥3次方写成幂的形式：aⓝ=______；
（4）计算：−2023②×−12④−−4÷−2④．
【答案】（1）1；（2）①②④；（3）1an−2；（4）12
【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义．
（1）根据题意，计算出所求式子的值即可；
（2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题；
（3）根据题意，可以计算出所求式子的值．
（4）根据题意，可以计算出所求式子的值．
【详解】解：（1）2②=2÷2=1，
−3③=−3÷−3÷−3=−13；
（2）①因为a②=a÷a=1a≠0，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确；
②因为a③=a÷a÷a=1aa≠0，所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确；
③圈n次方等于它本身的数是1或−1，说法错误，−1②=1；
④根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确；
故答案为：①②④；
（3）aⓝ=a÷a÷a÷⋯÷a=a⋅1a⋅1a⋯1a=1an−2，
故答案为：1an−2；
（4）−2023②×−12④−−4÷−2④
=−2023÷2023×−12÷−12÷−12÷−12−−4÷−2÷−2÷−2÷−2 =−1×4−−4÷14
=−4+16=12．
n个位数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n2个位数
0
1
4
9
6
5
6
9
4
1
n3个位数
0
1
8
7
4
5
6
3
2
9
n4个位数
0
1
6
1
6
5
6
1
6
1
······
n个位数
10
11
12
13
2001n个位数
1
1
1
1
2002n个位数
4
8
6
2
2003n个位数
9
7
1
3
2004n个位数
6
4
6
4
个位数的和的个位数
0
0
4
0
乘方运算
21=2
22=4
23=8
…
31=3
32=9
32=27
…
新运算
lg22=1
lg24=2
lg28=3
…
lg33=1
lg39=2
lg327=3
…