福建省福州第一中学2024届九年级上学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份福建省福州第一中学2024届九年级上学期开学考试数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：B
解析：解：在平面直角坐标系中，点在第二象限．
故选：B．
2. 化简的结果是（ ）
A. 2B. 3C. 2D. 2
答案：A
解析：解：＝2，
故选：A．
3. 下列式子运算结果为2a的是（ ）．
A. B. C. D.
答案：C
答案.
解析：解：故A不符合题意；
不能合并，故B不符合题意；
故C符合题意；
故D不符合题意；
故选C
4. 如图，直线，，则（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：解：∵，
∴．
故选：B．
5. 方程的解是（ ）
A. B. C. ，D. ，
答案：C
解析：解：移项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，，
故选：C．
6. 下列函数中，y随x增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：选项A，，y随x的增大而减小，不符合题意；
选项B，，y随x的增大而减小，不符合题意；
选项C，，y随x的增大而增大，符合题意；
选项D，，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，不符合题意．
符合条件的只有选项C，
故选：C．
7. 关于函数y=－2x－4的图象，下列结论错误的是（ ）
A. 过第二、三、四象限B. 与y轴的交点坐标为（0，－4）
C. 经过点（1，2）D. 可由函数y=－2x的图象平移得到
答案：C
解析：解：A、∵，
∴函数图象过第二、三、四象限，
故选项正确，不符合题意；
B、y=－2x－4，当时，，
∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，－4），
故选项正确，不符合题意；
C、y=－2x－4，当时，，
∴函数图象不经过点（1，2），
故选项错误，符合题意；
D、函数y=－2x－4的图象可由函数y=－2x的图象向下平移4个单位长度得到，
故选项正确，不符合题意；
故选：C．
8. 已知菱形的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的边长为（ ）
A. 10cmB. 8cmC. 6cmD. 5cm
答案：D
解析：根据题意作图如下：
∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，
∴OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，
在直角三角形AOD中AD===5cm，故选D.
9. 在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（ ）
A. y1B. y2C. y3D. y4
答案：A
解析：由图象可知：
抛物线y1的顶点为（-2，-2），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y1=（x+2）2-2；
抛物线y2的顶点为（0，-1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y2=x2-1；
抛物线y3的顶点为（1，1），与y轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y3=（x-1）2+1；
抛物线y4的顶点为（1，-3），与y轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y4=2（x-1）2-3；
综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y1
故选A．
10. 满足，，以为边作正方形，使点C和点O在直线的两侧，则线段的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：如图：过点A作，使，连接，
根据勾股定理可得：，
∵，四边形正方形，
∴，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
在中，，
∴当点E、O、B共线时，取最大值，此时，
即线段的最大值为，
故选：B．

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分
11. 因式分解：_____
答案：
解析：解：a2-9=（a+3）（a-3），
故答案为：（a+3）（a-3）．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
12. 抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是___________．
答案：（-1，-3）
解析：解：y＝2x2＋4x－1=2（x＋1）2－3
∴抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是（-1，-3）
故答案为：（-1，-3）．
13. 若一元二次方程的两个根是，，则的值是________．
答案：
解析：解：∵一元二次方程的两个根是，，
．
故答案为：．
14. 若是关于x的方程的解，则代数式的值是______．
答案：
解析：解：把代入得：，
∴，
∴
故答案为：．
15. 已知正方形边长为2，是边上一点，将此正方形的一个角沿直线折叠，使C点恰好落在对角线上，则的长等于_____．

答案：
解析：∵四边形是正方形，
∴，，
∵将此正方形的一个角沿直线折叠，使C点恰好落在对角线上，
∴
∴， ，
∴，
故答案为： ．
16. 若点，是二次函数与x轴正半轴的两个交点，且满足：在p，q，这三个数中，有一个数可以作为另两个数的平均数，也有一个数可以作为另两个数之积的平方根，则该二次函数顶点坐标为______．
答案：
解析：解：∵点，是二次函数与x轴正半轴的两个交点，
∴，
∴或，
∵，
∴是的平方根，即，
①当时，
，
解得：（舍去），
当时，，
②当时，
，
解得：（舍去），
当，，
综上：二次函数与x轴正半轴的两个交点，，
把，代入得：
，解得：，
∴二次函数表达式为：，
∴该二次函数顶点坐标为，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算．
答案：
解析：解：
．
18. 解不等式组：
答案：
解析：解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
所以原不等式组的解集为．
19. 解方程：．
答案：-1．
解析：试题分析：去分母，把分式方程化为整式方程．注意要验根．
试题解析：去分母，得，移项、整理得，经检验：是增根，舍去；是原方程的根，所以，原方程的根是．
考点：解分式方程．
20. 如图，已知，点P在上，于D，于E．求证：．

答案：见解析
解析：证明：∵，，
，
在和中，
，
，
．
21. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．”求甲、乙各有多少只羊呢？
答案：甲有羊63只，乙有羊45只．
解析：解：设甲有羊x只，乙有羊y只．
∵甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍”．
∴；
∵乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多”．
∴．
联立两方程组成方程组．
解得．
答：甲有羊63只，乙有羊45只．
22. 综合与实践
问题情境数学课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
实践发现同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
实践探究分析数据如下：
问题解决
（1）上述表格中：______，______；
（2）通过数据，同学们总结出了一些结论：
①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的形状差别比荔枝树叶______”．（填“小”或者“大”）
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的______倍．”
（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
答案：（1）；
（2）小，两 （3）这片树叶更可能来自荔枝．
小问1解析：
解：把片芒果树叶的长宽比从小到大排列，3.4，3.5，3.6，3.6，3.7，3.8，3.8，4.0，4.0，4.0，
排在中间的两个数分别为、，
故；
片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是，故；
故答案为：；；
小问2解析：
解：∵，
∴从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的形状差别比荔枝树叶小”；
∵荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是，
∴从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．
故答案为：小，两；
小问3解析：
解：这片树叶更可能来自荔枝，理由如下：
∵一片长，宽的树叶，长宽比接近，
∴这片树叶更可能来自荔枝．
23. 如图，四边形是正方形，点E、F分别在上，点H在的延长线上，且．

（1）尺规作图：作出点M（与点D不重合），使其满足且，（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）连接（1）中的，猜想并写出四边形是怎样的特殊四边形．并证明．
答案：（1）见解析 （2）四边形是平行四边形，证明见解析
小问1解析：
解：如图，点M即为所求的点，

理由是：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由作图可知，，
∴，
由∵，
∴，
∴，
即点M满足要求；
小问2解析：
四边形是平行四边形，
证明：如图，
由（1）可知，，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
24. 如图1，在中，，，平分交于D．

（1）求的值；
（2）若，求的长度；
（3）如图2，，，交于点M，判断和的数量关系并证明．
答案：（1）
（2）
（3）
小问1解析：
解：过点D作于点H，
∵，，
∴，
则，
∵平分，，，
∴，
∴，
即．

小问2解析：
解：设，，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，整理得：，
∵，
∴，整理得：，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
小问3解析：
解：过点E作于点N，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．

25. 已知二次函数与x轴交于、两点（A在B的左侧），与y轴交与点C，顶点为点D．
（1）证明：函数图像与x轴正半轴有两个交点；
（2）无论a取何值，函数经过某（几）个定点．若定点与O、C两点构成的三角形中，存在等腰三角形，求此时a的值；
（3）设直线与直线交于点，求m，n满足的数量关系．
答案：（1）见解析 （2）a的值为：，2，，
（3）
小问1解析：
解：把代入得：
∵
，
又∵，
∴有两个不相等的解，
∵二次函数与x轴交于、两点，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴函数图像与x轴正半轴有两个交点．
小问2解析：
解：
令，
解得：，，
∴函数经过的定点为，，
把代入得：，
∴点C的坐标为，
∵，
∴，
∴点C在y轴的正半轴上，
当定点与O、C两点构成的三角形为等腰三角形时，，

此时，
解得：；
当定点与O、C两点构成的三角形为等腰三角形，时，过点M作轴于点N，如图所示：

∴，
∴，
即，
解得：；
当定点与O、C两点构成的三角形为等腰三角形，时，如图所示：

∴，
解得：；
当定点与O、C两点构成的三角形为等腰三角形，时，如图所示：

∴，
解得：；
综上分析可知，a的值为：，2，，．
小问3解析：
解：把代入得：
变形得：，
解得：或，
∵，
∴，
∴，，
根据解析（2）可知，点C的坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：
，
∴点D的坐标为；
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∵直线与直线交于点，
∴，
由得：，
把代入得：，
整理得：．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
芒果树叶的长宽比
3.8
3.7
3.5
3.4
3.8
4.0
3.6
4.0
3.6
4.0
荔枝树叶的长宽比
20
2.0
2.0
2.4
1.8
19
1.8
2.0
1.3
1.9
平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶长宽比
3.74
4.0
0.0424
荔枝树叶的长宽比
1.91
2.0
0.0669