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北师大版（2024）八年级下册1 图形的平移习题
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这是一份北师大版（2024）八年级下册1 图形的平移习题，共67页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19308" 【考点1 图形的平移】 PAGEREF _Tc19308 \h 1
\l "_Tc23439" 【考点2 利用平移的性质求解】 PAGEREF _Tc23439 \h 2
\l "_Tc5460" 【考点3 利用平移解决实际问题】 PAGEREF _Tc5460 \h 3
\l "_Tc18923" 【考点4 根据平移方式确定坐标】 PAGEREF _Tc18923 \h 4
\l "_Tc25886" 【考点5 平移作图】 PAGEREF _Tc25886 \h 5
\l "_Tc3212" 【考点6 根据旋转的性质求解】 PAGEREF _Tc3212 \h 7
\l "_Tc32605" 【考点7 求旋转中心的个数】 PAGEREF _Tc32605 \h 8
\l "_Tc12045" 【考点8 根据旋转方式确定坐标】 PAGEREF _Tc12045 \h 9
\l "_Tc32071" 【考点9 旋转作图】 PAGEREF _Tc32071 \h 10
\l "_Tc22953" 【考点10 旋转中的规律性问题】 PAGEREF _Tc22953 \h 12
\l "_Tc4740" 【考点11 中心对称图形的识别】 PAGEREF _Tc4740 \h 13
\l "_Tc21594" 【考点12 根据中心对称的性质求解】 PAGEREF _Tc21594 \h 14
\l "_Tc1619" 【考点13 根据中心对称确定坐标】 PAGEREF _Tc1619 \h 15
\l "_Tc5100" 【考点14 中心对称图形规律问题】 PAGEREF _Tc5100 \h 15
\l "_Tc8904" 【考点15 分析图案的形成过程】 PAGEREF _Tc8904 \h 17
\l "_Tc10413" 【考点16 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】 PAGEREF _Tc10413 \h 18
【考点1 图形的平移】
【例1】（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期中）在下列汽车标志的图案中，能用图形的平移来分析其形成过程的是（ ）
A．B．
C． D．
【变式1-1】（2022春·江苏泰州·七年级统考期中）下列现象中是平移的是（ ）
A．将一张纸对折B．电梯的上下移动
C．摩天轮的运动D．翻开书的封面
【变式1-2】（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）下面所示的图案中，可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2022春·甘肃庆阳·七年级校考期中）下列几种运动中，1水平运输带上砖的运动；2笔直的高速公路上行驶的汽车的运动(忽略车轮的转动)；3升降机上下做机械运动；4足球场上足球的运动．属于平移的有__________(填上所有你认为正确的序号)
【考点2 利用平移的性质求解】
【例2】（2022春·河南商丘·七年级校考期中）如图，平移线段AB，则平移过程中AB扫过的面积为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【变式2-1】（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）如图，将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置，若∠CAB=55°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为______．
【变式2-2】（2022春·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，将△ABC平移至△DEF的位置，若四边形DGCF的面积为20，且DG=2，则CF=__．
【变式2-3】（2022春·湖北孝感·七年级校考期中）如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，将三角形ABC沿直线BC向右平移3个单位得到三角形DEF，连接AD．则下列结论：①AC∥DF，AC=DF；②∠EDF=90°；③四边形ABFD周长是18；④AD:EC=3:2；⑤点A到BC的距离为2.4．其中正确结论有______ ．（填序号）
【考点3 利用平移解决实际问题】
【例3】（2022春·浙江·七年级期中）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝100米，宽BC＝50米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（ ）
A．148米B．196米C．198米D．200米
【变式3-1】（2022春·湖南永州·七年级统考期中）某宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红地毯，已知这种地毯售价每平方米为50元，主楼梯宽2m，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要________元钱
【变式3-2】（2022春·浙江·七年级期中）如图，粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线．
(1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）；
(2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米1.7元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程ss>3千米之间的关系；
(3)如果这段路程长4.7千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由．
【变式3-3】（2022春·全国·七年级期中）动手操作：
(1)如图1，在5×5的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段AB向右平移，得到线段A'B'，连接AA'，BB'．
①线段AB平移的距离是________；
②四边形ABB'A'的面积是________；
(2)如图2，在5×5的网格中，将△ABC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'．
③画出平移后的△A'B'C'；
④连接AA'，BB'，多边形ACBB'C'A'的面积是________
(3)拓展延伸：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草坪上，修建一条宽为m米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是________．
【考点4 根据平移方式确定坐标】
【例4】（2022春·广西玉林·七年级统考期中）平面上的点2,−1通过上下平移，不能与下面的点重合的是（ ）
A．2,−2B．−2,−1C．2,0D．2,−3
【变式4-1】（2022秋·江西南昌·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，将点P(3,−2)向右平移4个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为________．
【变式4-2】（2022春·重庆·七年级重庆十八中校考期中）在线段AB上有一点P（a，b），经过平移后对应点P´（c，d），已知点A（3，2）在平移后对应点A´（4，-2），若点B坐标为B（-1，-2），则平移后对应点B´的坐标为____．
【变式4-3】（2022秋·山东济南·八年级统考期中）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点O(0,1)按序列“01”作2次变换，表示点O先向右平移一个单位得到O11,1，再将O11,1关于x轴做轴对称从而得到O21,−1．若点A0,−1经过“0101……01”共2022次变换后得到点A2022，则点A2022的坐标为__________．
【考点5 平移作图】
【例5】（2022春·湖北随州·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为(1,2)．
(1)点A的坐标是______，点B的坐标是______；
(2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A'B'C'．请画出△A'B'C'，并写出△A'B'C'中顶点A'的坐标；
(3)求△ABC的面积．
【变式5-1】（2022秋·广西梧州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A4,0，B1,−5，C5,−3，将△ABC先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应的△A1B1C1．
(1)画出平移后的△A1B1C1；
(2)若BC边上一点Px,y经过上述平移后的对应点为P1，请直接写出点P1的坐标（用含x，y的式子表示）；
(3)连接AC1，求△AB1C1的面积．
【变式5-2】（2022秋·天津河西·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中△ABC的顶点坐标分别为A2,3，B1,1，C2,1．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为 ；
(2)将△ABC向左平移 4个单位长度得到△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为 ；
(3)在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，标出P点的位置（保留画图痕迹）
【变式5-3】（2022春·贵州遵义·八年级统考期中）如图，在直角坐标系中，已知点B的位置满足OA∥BC，OC∥AB
(1)在图中标出点B的位置，连接AB，BC，则B点的坐标为___________；
(2)在直线OA上标出点D，使线段CD最短；
(3)把四边形OABC向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到四边形O1A1B1C1，画出平移后的图形，并写出B1的坐标；
(4)求四边形OABC的面积．
【考点6 根据旋转的性质求解】
【例6】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，AB=43，点D在边AB上，且BD=2，E是边AC的中点，将线段BD绕点B顺时针旋转，点D的对应点为F，连接AF，EF，当△AEF为直角三角形时，AF= ______．
【变式6-1】（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）如图，在△ABC中∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，若点B'恰好落在BC边上，且AB'=CB'，则∠C'的度数为________．
【变式6-2】（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛第七中学校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，连接CE，则△CBE的面积为________．
【变式6-3】（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
(1)求证：AE=BD；
(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=6，求BD的长．
【考点7 求旋转中心的个数】
【例7】（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7-1】（2022春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是点_______________（填“A”“B”“C”或“D”）．
【变式7-2】（2022春·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）
A．M或O或NB．E或O或CC．E或O或ND．M或O或C
【变式7-3】（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）如图，ΔABC和ΔADC都是等边三角形.
（1）ΔABC沿着______所在的直线翻折能与ΔADC重合；
（2）如果ΔABC旋转后能与ΔADC重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；
（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.
【考点8 根据旋转方式确定坐标】
【例8】（2022秋·湖北黄石·九年级黄石十四中校考期中）将点3,−4绕着原点按逆时针方向旋转90°后的对应点的坐标是（ ）
A．4,3B．4,−3C．−4,−3D．4,−3
【变式8-1】（2022秋·西藏林芝·九年级统考期中）在直角坐标系中，等腰直角三角形AOB在如图所示的位置，点B的坐标为（2，0），将△AOB绕原点O按逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，则点A′的坐标为（ ）
A．（-1，1）B．（1，1）
C．（2，2）D．（﹣2，2）
【变式8-2】（2022春·河北石家庄·八年级河北师范大学附属中学校考期中）已知点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC=3，将线段AC先绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度后，得到A'C'，则点A'的坐标是（ ）
A．（1，3）B．（－1，3）C．（－1，－3）D．（1，－3）
【变式8-3】（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期中）在平面直角坐标系中，点A2，0，B5，4，连接AB得到线段AB，现将线段AB绕点A旋转90°，点B的对应点为B'，则点B'的坐标为（ ）．
A．5，−4B．−2，3C．−2，3或5，−4D．−2，3或6，−3
【考点9 旋转作图】
【例9】（2022春·广东河源·七年级校考期中）如图已知在平面直角坐标系中的△ABC，A1,1，B2,3，C3,0．
(1)画出△ABC绕O顺时针旋转180°后的△A'B'C'．
(2)直接写出△A'B'C'各顶点的坐标．
【变式9-1】（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A−1,0，B−3,4，C2,4，D6,6．
(1)沿水平方向移动线段AB，使点A和点C的横坐标相同，画出平移后所得的线段A1B1，并写出点B1的坐标；
(2)将线段A1B1绕某一点旋转一定的角度，使其与线段CD重合（点A1与点C重合，点B1与点D重合），请作出旋转中心点P．
【变式9-2】（2022春·重庆南岸·八年级校联考期中）作图题．
在平面直角坐标系中，每个网格单位长度为1，△ABC的位置如图所示，解答下列问题：
(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1．
(2)将△A1B1C1绕点C1旋转180°，得到△A2B2C1，画出旋转后的△A2B2C1．
(3)直接写出△A2B2C1的面积．
【变式9-3】（2022秋·四川凉山·九年级校考期中）如图，网格坐标系中△ABC三个顶点的坐标分别为A4，4，B0，3，C2，5，图中A'，B'，C'三点都在网格点上，
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)△A'B'C'是由△ABC绕某一点旋转一定角度得到，则旋转中心的坐标是___________
(3)请画出△A'B'C'关于原点对称的△A2B2C2并写出A2，B2，C2的坐标
【考点10 旋转中的规律性问题】
【例10】（2022秋·重庆南川·九年级期中）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）
A．图①B．图②C．图③D．图④
【变式10-1】（2022秋·浙江·七年级期中）图1是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图2所示，若骰子初始位置为图2所示的状态，将骰子向右翻滚90°，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连续完成2次翻折后，骰子朝下一面的点数是3；则连续完成2020次翻折后，骰子朝下一面的点数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式10-2】（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，已知等边三角形OAB，顶点O0,0，B1,0，将△OAB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，顶点A的坐标为（ ）
A．12,32B．−32,12C．−12,−32D．32,−12
【变式10-3】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点P0的坐标为2,2，将线段OP0绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2……如此下去，得到线段OP2，OP3，OP4，……，OPn（n为正整数），则点P2027的坐标是______．
【考点11 中心对称图形的识别】
【例11】（2022秋·山东滨州·九年级统考期中）下列标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式11-1】（2022秋·北京·九年级清华附中校考期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlpℎaG进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
【变式11-2】（2022春·河南郑州·八年级校考期中）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式11-3】（2022秋·河南许昌·九年级统考期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点12 根据中心对称的性质求解】
【例12】（2022春·福建漳州·七年级统考期末）如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A．AD=CDB．∠C=∠EC．AE=CBD．S△ADE=S△ADB
【变式12-1】（2022秋·河北石家庄·九年级统考期中）如图，△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，将△ABC绕顶点A旋转180°，点C落在点C′处，则CC′的长为（ ）
A．42B．4C．23D．25
【变式12-2】（2022春·浙江·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．6C．12D．24
【变式12-3】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为_____________．
【考点13 根据中心对称确定坐标】
【例13】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）已知点A−1,3a−1与点B2b+1,−2关于x轴对称，点Ca+2,b与点D关于原点对称，则D点坐标是（ ）
A．−3,1B．−3,2C．3,−1D．−3,−1
【变式13-1】（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期末）已知点P1a−1,1和P22,b−1关于原点对称，则a+b2008的值为（ ）
A．1B．0C．−1D．(−3)2008
【变式13-2】（2022秋·山东德州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，若点Pm，m−n与点Q2，1关于原点对称，则点Mm，n在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式13-3】（2022秋·河北保定·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，有A（2，-1）、B（-1，-2）、C（2，1）、D（-2，1）四点．其中，关于原点对称的两点为（ ）
A．点A和点BB．点B和点CC．点C和点DD．点D和点A
【考点14 中心对称图形规律问题】
【例14】（2022春·全国·八年级期中）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，点13,3在第______个三角形上，△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是__________．
【变式14-1】（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2016的坐标为_____________.
【变式14-2】（2022秋·广东江门·七年级统考期中）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（ ）
A．4n+1B．3n+1C．4n+2D．3n+2
【变式14-3】（2022春·湖南永州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A-2,0，B1,2，C1,-2.已知N-1,0，作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2022的坐标为___________.
【考点15 分析图案的形成过程】
【例15】（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （ ）
A．轴对称B．旋转C．中心对称D．平移
【变式15-1】（2022·河北邢台·八年级统考期末）将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）
A．B．C．D．
【变式15-2】（2022春·全国·八年级专题练习）对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换（如：平移、旋转、轴对称等）得到新图形上的对应点P′，Q′，保持P P′= Q Q′，我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”．对于三种变换： ①平移、②旋转、③轴对称，
其中一定是“同步变换”的有______________（填序号）．
【变式15-3】（2022春·全国·八年级专题练习）如图， 在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程_____________．
【考点16 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】
【例16】（2022春·陕西西安·八年级统考期中）在4×4的方格内选5个小正方形．
(1)在图1中，让它们以虚线为对称轴，组成一个轴对称图形；在图2中，让它们以虚线为对称轴组成一个轴对称图形；在图3中，让它们构成一个中心对称图形．请在图中画出你的这3种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：①5个小正方形必须相连在一起（有公共边或公共顶点视为相连）；②将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形能够重合，视为一种方案）
(2)在你所画得三个图中，最喜欢的是哪一个？简要说明理由．
【变式16-1】（2022秋·湖北武汉·九年级校考期中）思考下列哪些图形可以经过复制自己拼成图一（可以翻折或旋转）
例如选择C就可以经过复制自己拼成图一，如图二所示，请模仿图二，另选两个完成下面两图．
【变式16-2】（2022春·山东菏泽·八年级统考期中）在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：
（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点式为相连）
（2）将选中的小正方行方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（每画对一种方案得2分，若两个方案的图形经过反折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）
【变式16-3】（2022秋·江西宜春·九年级统考期中）如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为
专题7.3 图形的平移与旋转十六大必考点
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19308" 【考点1 图形的平移】 PAGEREF _Tc19308 \h 1
\l "_Tc23439" 【考点2 利用平移的性质求解】 PAGEREF _Tc23439 \h 3
\l "_Tc5460" 【考点3 利用平移解决实际问题】 PAGEREF _Tc5460 \h 6
\l "_Tc18923" 【考点4 根据平移方式确定坐标】 PAGEREF _Tc18923 \h 10
\l "_Tc25886" 【考点5 平移作图】 PAGEREF _Tc25886 \h 12
\l "_Tc3212" 【考点6 根据旋转的性质求解】 PAGEREF _Tc3212 \h 18
\l "_Tc32605" 【考点7 求旋转中心的个数】 PAGEREF _Tc32605 \h 23
\l "_Tc12045" 【考点8 根据旋转方式确定坐标】 PAGEREF _Tc12045 \h 25
\l "_Tc32071" 【考点9 旋转作图】 PAGEREF _Tc32071 \h 29
\l "_Tc22953" 【考点10 旋转中的规律性问题】 PAGEREF _Tc22953 \h 35
\l "_Tc4740" 【考点11 中心对称图形的识别】 PAGEREF _Tc4740 \h 38
\l "_Tc21594" 【考点12 根据中心对称的性质求解】 PAGEREF _Tc21594 \h 40
\l "_Tc1619" 【考点13 根据中心对称确定坐标】 PAGEREF _Tc1619 \h 43
\l "_Tc5100" 【考点14 中心对称图形规律问题】 PAGEREF _Tc5100 \h 45
\l "_Tc8904" 【考点15 分析图案的形成过程】 PAGEREF _Tc8904 \h 48
\l "_Tc10413" 【考点16 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】 PAGEREF _Tc10413 \h 50
【考点1 图形的平移】
【例1】（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期中）在下列汽车标志的图案中，能用图形的平移来分析其形成过程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
【详解】解：A.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
B.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
C.是由“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意；
D.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
【点睛】本题主要考查了图形的平移，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，学生混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选．
【变式1-1】（2022春·江苏泰州·七年级统考期中）下列现象中是平移的是（ ）
A．将一张纸对折B．电梯的上下移动
C．摩天轮的运动D．翻开书的封面
【答案】B
【分析】根据平移的概念，依次判断即可得到答案；
【详解】解：根据平移的概念：把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，判断：
A、将一张纸对折，不符合平移定义，故本选项错误；
B、电梯的上下移动，符合平移的定义，故本选项正确；
C、摩天轮的运动，不符合平移定义，故本选项错误；
D、翻开的封面，不符合平移的定义，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查平移的概念，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
【变式1-2】（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）下面所示的图案中，可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据平移的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意；
B、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意；
C、可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项符合题意；
D、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了图形的平移，判断图形是否由平移得到，要把握两个“不变”，图形的形状和大小不变；一个“变”，位置改变．
【变式1-3】（2022春·甘肃庆阳·七年级校考期中）下列几种运动中，1水平运输带上砖的运动；2笔直的高速公路上行驶的汽车的运动(忽略车轮的转动)；3升降机上下做机械运动；4足球场上足球的运动．属于平移的有__________(填上所有你认为正确的序号)
【答案】123
【分析】根据平移的性质，对各小题进行分析判断即可求解．
【详解】解：（1）水平运输带上砖的运动，是平移变换；
（2）笔直的高速公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动），是平移变换；
（3）升降机上下做机械运动，是平移变换；
（4）足球场上足球的运动，是旋转运动．
所以属于平移的有（1）（2）（3）共3种．
故答案是：（1）（2）（3）．
【点睛】本题考查了生活中的平移变换，熟记平移变换的性质是求解的关键．
【考点2 利用平移的性质求解】
【例2】（2022春·河南商丘·七年级校考期中）如图，平移线段AB，则平移过程中AB扫过的面积为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】A
【分析】先证明四边形ABB'A'是平行四边形，再求出BB'和▱ABB'A'底边BB'上的高：2−(−1)=3，从而即可求解．
【详解】解：∵平移线段AB得线段A'B'，
∴AB=A'B'，AB∥A'B'，
∴四边形ABB'A'是平行四边形，
∵B(−2，−1)， B' (3，−1)，A (0，2)，
∴BB'=3--2=5，▱ABB'A'底边BB'上的高：2−(−1)=3，
∴平移过程中AB扫过的面积为5×3=15，
【点睛】本题主要考查了平移的性质及坐标与图形，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）如图，将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置，若∠CAB=55°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为______．
【答案】25°
【分析】根据平移的性质得出∠EBD=55°，进而利用平角的性质得出∠CBE的度数．
【详解】解：∵将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置， ∠CAB=55°，
∴ ∠EBD=55°，
∵ ∠ABC=100°，
∴ ∠CBE的度数为：180°−∠ABC−∠EBD=180°−100°−55°=25°．
故答案为：25°．
【点睛】此题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得出∠EBD的度数是解题关键．
【变式2-2】（2022春·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，将△ABC平移至△DEF的位置，若四边形DGCF的面积为20，且DG=2，则CF=__．
【答案】4
【分析】根据平移的性质可知：DE=AB=6，BE=CF=AD，S△ABC=S△DEF，根据题中图形关系得到S梯形DGCF=S梯形ABGE=S矩形ABED−S△ADG=20，设BE=CF=AD=x，则AB⋅BE−12DG⋅AD=20，即6x−12×2x=20，解方程求得x的值即可得到答案．
【详解】解：连接AD，如图所示：
由△ABC平移至△DEF得DE=AB=6，BE=CF=AD，S△ABC=S△DEF，
∵S△ABC=S梯形ABEG+S△CEG，S△DEF=S梯形DGCF+S△CEG，
∴S梯形ABEG=S梯形DGCF，
∵S梯形ABEG=S矩形ABED−S△ADG，四边形DGCF的面积为20，
∴S梯形DGCF=S矩形ABED−S△ADG=20，
设BE=CF=AD=x，则AB⋅BE−12DG⋅AD=20，即6x−12×2x=20，解得x=4，
∴CF=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查平移的性质、有关图形的面积关系，求出各个相关图形面积的表示是解决问题的关键．
【变式2-3】（2022春·湖北孝感·七年级校考期中）如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，将三角形ABC沿直线BC向右平移3个单位得到三角形DEF，连接AD．则下列结论：①AC∥DF，AC=DF；②∠EDF=90°；③四边形ABFD周长是18；④AD:EC=3:2；⑤点A到BC的距离为2.4．其中正确结论有______ ．（填序号）
【答案】①②③④⑤
【分析】对于①②③④利用平移的性质依次判断可求解，对于⑤可用等积法求解．
【详解】解：∵将三角形ABC沿直线BC向右平移3个单位得到三角形DEF，
∴AD=BE=CF=3，AC∥DF，AB∥DE，AB=DE=3，AC=DF=4，BC=EF=5，∠BAC=∠EDF=90°，故①和②正确；
∴BF=5+3=8，EC=5-3=2 ，
∵四边形ABFD的周长=AB+AD+DF+BF，
∴四边形ABFD的周长=3+4+3+8=18，故③正确；
∵AD=3，EC=2，
∴AD：EC=3：2，故④正确，
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，设点A到BC的距离为h，
∴12×3×4=12h×5，解得：h=2.4，
故点D到线段BF的距离是2.4，所以⑤正确．
综上所述：正确的是①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
【考点3 利用平移解决实际问题】
【例3】（2022春·浙江·七年级期中）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝100米，宽BC＝50米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（ ）
A．148米B．196米C．198米D．200米
【答案】B
【分析】根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD﹣2）×2，求出即可．
【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，
横向距离等于AB，纵向距离等于（AD﹣2）×2，
图中虚线长为：100+（50﹣2）×2＝196米，
【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，正确转换图形形状是解题关键．
【变式3-1】（2022春·湖南永州·七年级统考期中）某宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红地毯，已知这种地毯售价每平方米为50元，主楼梯宽2m，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要________元钱
【答案】840
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横边和竖边向上向右平移，构成一个矩形，求出地毯的长度，再求出面积，即可求解．
【详解】解：把楼梯的横边和竖边向上向右平移，可以构成一个矩形，矩形的长宽分别为5.8米，2.6米，
可得地毯的长度为2.6+5.8=8.4米，
地毯的面积为8.4×2=16.8平方米，
故买地毯至少需要16.8×50=840元．
故答案为：840．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是掌握平移的性质，平移不改变图像的大小和形状．
【变式3-2】（2022春·浙江·七年级期中）如图，粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线．
(1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）；
(2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米1.7元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程ss>3千米之间的关系；
(3)如果这段路程长4.7千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由．
【答案】(1)一样长，画图见解析
(2)m=1.7s+1.9
(3)够，理由见解析
【分析】（1）利用平移的性质得出两条线路的长相等；
（2）利用出租车收费标准进而得出答案；
（3）利用（2）中所求即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：两条线路一样长；
（2）由题意可得：m=7+1.7s−3=1.7s+1.9；
（3）小丽坐出租车由体育馆到少年宫，钱够，
理由：由（2）得：m=7+1.7×4.7−3=9.89（元）．
∵9.89<10，
∴小丽坐出租车由体育馆到少年宫10元够．
【点睛】此题主要考查了代数式求值以及生活中的平移现象，正确得出m与s的函数关系式是解题关键．
【变式3-3】（2022春·全国·七年级期中）动手操作：
(1)如图1，在5×5的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段AB向右平移，得到线段A'B'，连接AA'，BB'．
①线段AB平移的距离是________；
②四边形ABB'A'的面积是________；
(2)如图2，在5×5的网格中，将△ABC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'．
③画出平移后的△A'B'C'；
④连接AA'，BB'，多边形ACBB'C'A'的面积是________
(3)拓展延伸：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草坪上，修建一条宽为m米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是________．
【答案】(1)①3；②6；
(2)③见解析，④6；
(3)ab−mb平方米．
【分析】（1）①根据平移性质和网格特点求解即可；②根据网格特点和平行四边形的面积公式求解即可；
（2）③根据平移性质和网格特点可画出图形；④根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积公式求解即可；
（3）根据平移性质，可将小路两边的草坪平移，拼凑成一个长a−m米，宽为b米的长方形，再利用长方形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：①根据平移性质，线段AB平移的距离是AA'=3；
②根据图形，四边形ABB'A'的面积为:3×2=6；
故答案为：①3；②6；
（2）解：③如图所示，△A'B'C'即为所求作；
④由图形知，BB'=3，AB=2
∴多边形ACBB'C'A'的面积为:
SACBB'C'A'=SACB+SABB'A'−SB'C'A'=SABB'A'=3×2=6，
故答案为：6；
（3）解：由题意得，将小径右侧平移与左侧拼接成一个长方形，
长方形的长a−m米，宽为b米，
则剩下的草坪面积是：a−mb=ab−mb，
故答案为：ab−mb平方米．
【点睛】本题考查平移性质的应用、列代数式，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键．
【考点4 根据平移方式确定坐标】
【例4】（2022春·广西玉林·七年级统考期中）平面上的点2,−1通过上下平移，不能与下面的点重合的是（ ）
A．2,−2B．−2,−1C．2,0D．2,−3
【答案】B
【分析】根据“点上下平移，横坐标不变”，由此可直接得到答案．
【详解】平面上的点（2，-1）通过上下平移不能与之重合的是（-2，-1），
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
【变式4-1】（2022秋·江西南昌·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，将点P(3,−2)向右平移4个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为________．
【答案】(7,2)
【分析】先根据向右平移4个单位，横坐标加4，纵坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．
【详解】解：∵将点P（3，-2）向右平移4个单位得到点P'，
∴点P'的坐标是（7，-2），
∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（7， 2）．
故答案为：（7， 2）
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
【变式4-2】（2022春·重庆·七年级重庆十八中校考期中）在线段AB上有一点P（a，b），经过平移后对应点P´（c，d），已知点A（3，2）在平移后对应点A´（4，-2），若点B坐标为B（-1，-2），则平移后对应点B´的坐标为____．
【答案】（0，-6）
【分析】由点A（3，2）在平移后对应点A′（4，−2），可得线段AB的平移规律为：向右平移1个单位，向下平移4个单位，由此得到结论．
【详解】解：由A（3，2）在经过此次平移后对应
点A′的坐标为（4，−2）知c＝a＋1、d＝b−4，
∵点B坐标为B（−1，−2），
∴平移后对应点B′的坐标为（−1＋1，−2−4），
即B′（0，−6），
故答案为：（0，−6）．
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化−平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．
【变式4-3】（2022秋·山东济南·八年级统考期中）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点O(0,1)按序列“01”作2次变换，表示点O先向右平移一个单位得到O11,1，再将O11,1关于x轴做轴对称从而得到O21,−1．若点A0,−1经过“0101……01”共2022次变换后得到点A2022，则点A2022的坐标为__________．
【答案】(1011,1)
【分析】根据平移以及轴对称的性质解决问题即可．
【详解】解：点A0,−1按序列“01”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到A1(1,−1)，再将A1(1,−1)关于x轴对称得到A2(1,1)，再将A2(1,1)作2次变换，可得A3(2,1)，A4(2,−1)，A5(3,−1),A6(3,1),
综上可得，点A2n的横坐标为n，纵坐标以−1,1,1,−1四次一个循环，
∴A2022的横坐标为20222=1011，纵坐标为2022÷4=，为1，
∴点A2022的坐标为(1011,1)，
故答案为：(1011,1).
【点睛】本题考查了坐标的变化规律，平移以及轴对称变化，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点5 平移作图】
【例5】（2022春·湖北随州·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为(1,2)．
(1)点A的坐标是______，点B的坐标是______；
(2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A'B'C'．请画出△A'B'C'，并写出△A'B'C'中顶点A'的坐标；
(3)求△ABC的面积．
【答案】(1)(2,−1)，(4,3)
(2)画图见解析，A'的坐标为(0,0)
(3)5
【分析】（1）根据点的位置直接得到点的坐标；
（2）根据平移的规律作图及确定点坐标即可；
（3）根据△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意知A(2,−1)，B(4,3)，
故答案为：(2,−1)，(4,3)；
（2）如图所示，△A'B'C'即为所求，其中顶点A'的坐标为(0,0)；
（3）S△ABC=3×4−12×1×3−12×1×3−12×2×4=5
【点睛】此题考查了平移作图，确定点的坐标，割补法求几何图形的面积，正确掌握平移的性质作出平移的图形是解题的关键．
【变式5-1】（2022秋·广西梧州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A4,0，B1,−5，C5,−3，将△ABC先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应的△A1B1C1．
(1)画出平移后的△A1B1C1；
(2)若BC边上一点Px,y经过上述平移后的对应点为P1，请直接写出点P1的坐标（用含x，y的式子表示）；
(3)连接AC1，求△AB1C1的面积．
【答案】(1)见解析
(2)P1x−6,y+5
(3)9
【分析】(1)先确定平移后的坐标，再描点画图形即可．
(2)根据平移规律写出坐标即可．
(3)过点C1作C1D⊥AB1于点D，根据三角形面积计算公式计算即可．
【详解】（1）∵A4,0，B1,−5，C5,−3，将△ABC先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，
∴A14−6,0+5，B11−6,−5+5，C15−6,−3+5即A1−2,5，B1−5,0，C1−1,2，画图如下：
故△AB1C1为所求．
（2）∵Px,y先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，
P1x−6,y+5．
（3）过点C1作C1D⊥AB1于点D，
SΔAB1C1=12AB1×C1D=12×9×2=9．
【点睛】本题考查了平移，三角形面积计算，熟练掌握平移规律是解题的关键．
【变式5-2】（2022秋·天津河西·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中△ABC的顶点坐标分别为A2,3，B1,1，C2,1．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为 ；
(2)将△ABC向左平移 4个单位长度得到△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为 ；
(3)在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，标出P点的位置（保留画图痕迹）
【答案】(1)见解析；2,−4
(2)见解析；−2,1
(3)见解析
【分析】（1）作出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）作出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2，然后顺次连接即可；
（3）作出点A关于y轴的对称点A'，连接A'B，交y轴于一点，该点即为点P．
【详解】（1）解：作出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，顺次连接，则△A1B1C1即为所求，如图所示：
点A1的坐标为2,−4；
故答案为：2,−4．
（2）解：作出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2，顺次连接，则△A2B2C2即为所求，如图所示：
点C2的坐标为：−2,1．
（3）解：作出点A关于y轴的对称点A'，连接A'B，交y轴于一点，该点即为所求作的点P，如图所示：
∵点A与点A'关于y轴对称，
∴PA=PA'，
∴PA+PB=PA'+PB=A'B，
∵两点之间线段最短，
∴此时PA+PB的值最小．
【点睛】本题主要考查了轴对称作图，平移作图，与轴对称有关的最短路径问题，解题的关键是作出相应点的坐标．
【变式5-3】（2022春·贵州遵义·八年级统考期中）如图，在直角坐标系中，已知点B的位置满足OA∥BC，OC∥AB
(1)在图中标出点B的位置，连接AB，BC，则B点的坐标为___________；
(2)在直线OA上标出点D，使线段CD最短；
(3)把四边形OABC向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到四边形O1A1B1C1，画出平移后的图形，并写出B1的坐标；
(4)求四边形OABC的面积．
【答案】(1)见解析，4，5；
(2)见解析；
(3)见解析，B11,1；
(4)11
【分析】（1）根据网格特点作图，并写出B点的坐标即可；
（2）如图，E4,4，F2,1，H2,4，通过构造Rt△CEB≅Rt△FHC，易证∠FCB=90°，即CF⊥CB，由OA∥BC可得CF⊥OA，延长CF交OA于D，则CD⊥OA，此时线段CD最短；；
（3）根据平移的性质找出对应顶点的位置，顺次连接，然后写出B1的坐标即可；
（4）利用所在矩形的面积减去周围三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，B点的坐标为4，5，
故答案为：4，5；
（2）解：点D如图所示；
（3）解：如图，四边形O1A1B1C1为所求，B11,1；
（4）解：四边形OABC的面积为：4×5−12×5×1−12×4×1−12×5×1−12×4×1=20−9=11．
【点睛】本题考查了作图，坐标与图形性质，全等三角形的应用，垂线段最短，平移变换，割补法求面积等知识，灵活运用基础知识是解答此题的关键．
【考点6 根据旋转的性质求解】
【例6】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，AB=43，点D在边AB上，且BD=2，E是边AC的中点，将线段BD绕点B顺时针旋转，点D的对应点为F，连接AF，EF，当△AEF为直角三角形时，AF= ______．
【答案】27或219##219或27
【分析】根据题意，判断出只能是∠AEF=90°，分两种情形，点B、F、E三点共线，且F在B、E之间，或点B、F、E三点共线，且B在F、E之间，分别通过勾股定理求AF的长即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，E是边AC的中点，
∴只能是∠AEF=90°，
∵△ABC是等边三角形，E是边AC的中点，
∴点B、F、E三点必定共线，
由题意可知BF=BD=2，
当点F在△ABC内时，∠AEF=90°，此时，点B、F、E三点共线，且F在B、E之间，
∴BE=AB2−AE2=6，
∴EF=BE−BF=6−2=4，
∴AF=EF2+AE2=27；
当点F在△ABC外时，∠AEF=90°，此时，点B、F、E三点共线，且B在F、E之间，
此时，EF=BE+BF=6+2=8，
∴AF=EF2+AE2=219，
故答案为：27或219．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和等边三角形的性质，旋转的性质，能够根据题意限定出只有两种情况是解题的关键．
【变式6-1】（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）如图，在△ABC中∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，若点B'恰好落在BC边上，且AB'=CB'，则∠C'的度数为________．
【答案】24°##24度
【分析】根据AB'=CB'得到∠C=∠CAB'，从而得到∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C，根据旋转得到∠C=∠C'，AB=AB'，结合三角形内角和定理即可得到答案；
【详解】解：∵AB'=CB'，
∴∠C=∠CAB'，
∴∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C=∠C'，AB=AB'，
∴∠B=∠AB'B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴3∠C=180°−108°，
∴∠C=24°，
∴∠C'=∠C=24°，
故答案为：24°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形性质，旋转的性质，解题的关键是根据旋转及等腰三角形转换等角关系．
【变式6-2】（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛第七中学校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，连接CE，则△CBE的面积为________．
【答案】65
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据旋转的性质得出AE的长，然后根据线段的和差求得BE，根据等面积法求得AB边上的高ℎ，然后根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵∠C=90°,AC=4,BC=3
∴AB=AC2+BC2=5
由旋转的性质可知，AE=AC=4
∴BE=AB−AE=5−4=1
设△ABC中AB边上的高为ℎ，则ℎ=AC×BCAB=3×45=125，
∴△CBE的面积为12×BE×ℎ=12×1×125=65
故答案为：65．
【点睛】本题考查了勾股定理、旋转的性质等知识点，熟记旋转的性质是解题关键．
【变式6-3】（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
(1)求证：AE=BD；
(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=6，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)BD=213
【分析】（1）根据旋转的性质，得出∠DCE=60°，CD=CE，再根据等边三角形的性质，得出∠ACB=60°，AC=BC，再根据角之间的数量关系，得出∠BCD=∠ACE，再根据“边角边”，得出△BCD≌△ACE，再根据全等三角形的性质，即可得出结论；
（2）连接DE，根据旋转的性质，得出∠DCE=60°，CD=CE，再根据等边三角形的判定，得出△CDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出∠CDE=60°，DE=CD=6，进而得出∠ADE=90°，再根据勾股定理，得出AE=213，再根据（1）的结论，即可得出答案．
【详解】（1）证明：由旋转可知∠DCE=60°，CD=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中
BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE，
∴△BCD≌△ACESAS，
∴AE=BD；
（2）解：如图，连接DE，
∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，
∴∠DCE=60°，CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，DE=CD=6，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，
在Rt△ADE中，
∴AE=AD2+DE2=16+36=213，
∵AE=BD，
∴BD=213．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点，并且正确作出辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
【考点7 求旋转中心的个数】
【例7】（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置．
【详解】解：如图，
绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置；
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B．
【变式7-1】（2022春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是点_______________（填“A”“B”“C”或“D”）．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质，进行判断即可．
【详解】解：根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，可知：旋转中心是点B；
故答案为：B．
【点睛】本题考查根据旋转图形确定旋转中心的位置．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．
【变式7-2】（2022春·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）
A．M或O或NB．E或O或CC．E或O或ND．M或O或C
【答案】D
【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH；
若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH；
若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH．
故选A．
【变式7-3】（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）如图，ΔABC和ΔADC都是等边三角形.
（1）ΔABC沿着______所在的直线翻折能与ΔADC重合；
（2）如果ΔABC旋转后能与ΔADC重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；
（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.
【答案】（1）AC；（2）.点A、点C或者线段AC的中点；（3）60°
【分析】(1) 因为ΔABC和ΔADC有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将△ABC旋转后与ΔADC重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转60°，以AC中点旋转时旋转180°.
【详解】(1)∵ΔABC和ΔADC都是等边三角形，
∴ΔABC和ΔADC是全等三角形，
∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合.
故填AC;
(2)将△ABC旋转后与ΔADC重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60°或以点C为旋转中心顺时针旋转60°，或以AC的中点为旋转中心旋转180°即可；
（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转60°，以AC中点旋转时旋转180°.
【点睛】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可.
【考点8 根据旋转方式确定坐标】
【例8】（2022秋·湖北黄石·九年级黄石十四中校考期中）将点3,−4绕着原点按逆时针方向旋转90°后的对应点的坐标是（ ）
A．4,3B．4,−3C．−4,−3D．4,−3
【答案】D
【分析】根据题意，画出图形，通过证明△AOB≌△OA'C，即可进行解答．
【详解】解：如图，过点A作AB⊥x轴于点B，过点A'作A'C⊥x轴于点C，
∵A3,−4，
∴OB=3,AB=4，
∵点A绕原点逆时针旋转90°得到点A'，
∴OA=OA'，∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠A=90°，
∴∠2=∠A，
在△AOB和△OA'C中，
∠2=∠A∠OCA'=∠ABOOA=OA'，
∴△AOB≌△OA'CAAS，
∴A'C=OB=3,OC=AB=4，
∴点A'4,3，
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点到旋转中心连线的夹角等于旋转角．
【变式8-1】（2022秋·西藏林芝·九年级统考期中）在直角坐标系中，等腰直角三角形AOB在如图所示的位置，点B的坐标为（2，0），将△AOB绕原点O按逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，则点A′的坐标为（ ）
A．（-1，1）B．（1，1）
C．（2，2）D．（﹣2，2）
【答案】D
【分析】过点A作AC⊥OB于C，过点A'作A'C'⊥OB'于C'，根据等腰直角三角形的性质求出OC＝AC，再根据旋转的性质可得OC′＝OC，A'C'＝AC，然后写出点A'的坐标即可．
【详解】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点A'作A'C'⊥OB'于C'，
∵△AOB是等腰直角三角形，点B的横坐标为2，
∴OC=AC=12×2=1
∵△A′OB′是△AOB绕点O逆时针旋转90°得到，
∴OC'=OC=1，A'C'=AC=1，
∴点A'的坐标为（−1，1）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了等腰直角三角形的性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质．能熟练运用以上知识是解题的关键．
【变式8-2】（2022春·河北石家庄·八年级河北师范大学附属中学校考期中）已知点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC=3，将线段AC先绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度后，得到A'C'，则点A'的坐标是（ ）
A．（1，3）B．（－1，3）C．（－1，－3）D．（1，－3）
【答案】A
【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转的性质求出旋转后点A对应点的坐标，进而根据平移的性质求出A'的坐标．
【详解】解：∵点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC=3，
∴A4,0．
∴点A绕点C顺时针旋转90°后的坐标为1,−3，再向左平移2个单位长度后的坐标为A'−1,−3．
【点睛】本题考查旋转的性质，平移的性质，熟练掌握该知识点是解题关键．
【变式8-3】（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期中）在平面直角坐标系中，点A2，0，B5，4，连接AB得到线段AB，现将线段AB绕点A旋转90°，点B的对应点为B'，则点B'的坐标为（ ）．
A．5，−4B．−2，3C．−2，3或5，−4D．−2，3或6，−3
【答案】D
【分析】由于题目没有说明顺时针旋转还是逆时针旋转，故需要分情况讨论．
【详解】解：当AB绕点A逆时针旋转90°时，
此时过点B'作B'D⊥x轴于点D，
∵∠BAC+∠B'AD=90°，∠DB'A+∠B'AD=90°，
∴∠BAC=∠DB'A，
在△B'DA和△ACB中，
∠ACB=∠B'DA∠BAC=∠DB'AAB=AB'，
∴△ACB≌△B'DAAAS，
∴AD=BD，B'D=AC，
∵A2，0，B5，4，
∴BC=4，AC=3，
∴B'−2，3，
当AB绕点A顺时针旋转90°时，
过点B'作B'E⊥x轴于点E，
∵∠BAC+∠B'AC=90°，∠CB'A+∠B'AC=90°，
∴∠BAC=∠CB'A，
在△B'CA和△ACB中，
∠ACB=∠B'CA∠BAC=∠CB'AAB=AB'，
∴△ACB≌△B'CAAAS，
∴AC=BC，B'C=AC，
∵A2，0，B5，4，
∴BC=4，AC=3，
∴B'6，−3，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、两点间的距离和全等三角形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
【考点9 旋转作图】
【例9】（2022春·广东河源·七年级校考期中）如图已知在平面直角坐标系中的△ABC，A1,1，B2,3，C3,0．
(1)画出△ABC绕O顺时针旋转180°后的△A'B'C'．
(2)直接写出△A'B'C'各顶点的坐标．
【答案】(1)画图见解析
(2)A'−1,−1，B'−2,−3，C'−3,0
【分析】（1）找到A,B,C绕O顺时针旋转180°后的对应点A',B',C'，顺次连接即可求解；
（2）根据坐标系写出点的坐标即可求解．
【详解】（1）解：如图所示： △A'B'C' 即为所求．
（2）解：由图可知：A'−1,−1，B'−2,−3，C'−3,0．
【点睛】本题考查了画旋转图形，写出点的坐标，数形结合，掌握性质的性质是解题的关键．
【变式9-1】（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A−1,0，B−3,4，C2,4，D6,6．
(1)沿水平方向移动线段AB，使点A和点C的横坐标相同，画出平移后所得的线段A1B1，并写出点B1的坐标；
(2)将线段A1B1绕某一点旋转一定的角度，使其与线段CD重合（点A1与点C重合，点B1与点D重合），请作出旋转中心点P．
【答案】(1)图见解析，点B1的坐标为(0,4)
(2)见解析
【分析】（1）利用C点的横坐标为2，把AB向右平移2个单位即可；
（2）作CA1与DB1的垂直平分线，它们的交点为P．
【详解】（1）如图，线段A1B1为所作，点B1的坐标为(0,4)；
（2）如图，点P为所作．
【点睛】本题考查了平移作图，以及旋转中心的确定方法：把旋转前后重合的点看成是两图的对应点；找出两组对应点，分别连接每组对应点并作连线的垂直平分线，交点就是旋转中心．
【变式9-2】（2022春·重庆南岸·八年级校联考期中）作图题．
在平面直角坐标系中，每个网格单位长度为1，△ABC的位置如图所示，解答下列问题：
(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1．
(2)将△A1B1C1绕点C1旋转180°，得到△A2B2C1，画出旋转后的△A2B2C1．
(3)直接写出△A2B2C1的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)172
【分析】（1）将△ABC的三个顶点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到平移后的对应点A1，B1，C1的位置，然后顺次连接即可得出平移后的△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质依次找到各顶点旋转后的对应点，然后顺次连接即可得出旋转后的△A2B2C1；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求作的图形；
（2）解：如图所示，△A2B2C1即为所求作的图形；
（3）解：S△A2B2C1 =S梯形DEB2C1 −S△A2C1D−S△A2B2E
=12×3+5×5−12×1×3−12×4×5
=20−32−10
=172．
【点睛】本题考查了平移作图、旋转作图及割补法求面积，难度一般，解答此类题目的关键是掌握旋转及平移的特点，根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接．用到的知识点为：图形的平移要归结为图形顶点的平移；格点中的三角形的面积通常整理为长方形或梯形的面积与几个三角形的面积的差．
【变式9-3】（2022秋·四川凉山·九年级校考期中）如图，网格坐标系中△ABC三个顶点的坐标分别为A4，4，B0，3，C2，5，图中A'，B'，C'三点都在网格点上，
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)△A'B'C'是由△ABC绕某一点旋转一定角度得到，则旋转中心的坐标是___________
(3)请画出△A'B'C'关于原点对称的△A2B2C2并写出A2，B2，C2的坐标
【答案】(1)见解析
(2)2，1
(3)见解析，A2−3，1，B2−2，−3，C2−4，−1
【分析】（1）根据轴对称的性质画出点A，C的对应点A1，C1，再顺次连接即可；
（2）根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心；
（3）根据轴对称的性质画出点A，B，C的对应点A2，B2，C2，再顺次连接即可.
【详解】（1）解：△A1B1C1如图所示，
；
（2）解：旋转中心的坐标是P2，1；
故答案为：2，1；
（3）解：△A2B2C2如图所示，
A2−3，1，B2−2，−3，C2−4，−1.
【点睛】本题考查了利用对称变换作图，旋转变换作图，旋转变换的旋转以及对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握网格结构，找出对应点的位置是解题的关键．
【考点10 旋转中的规律性问题】
【例10】（2022秋·重庆南川·九年级期中）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）
A．图①B．图②C．图③D．图④
【答案】D
【分析】观察图形不难发现，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，用2021除以4，根据商和余数的情况确定即可．
【详解】解：由图可知，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，
∵2021÷4=505余1，
∴第2021次旋转后得到的图形为第505个循环组的第一个图，是图①．
【点睛】本题考查了旋转的性质，图形变化规律，观察出四次旋转后矩形又回到初始水平位置是解题的关键．
【变式10-1】（2022秋·浙江·七年级期中）图1是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图2所示，若骰子初始位置为图2所示的状态，将骰子向右翻滚90°，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连续完成2次翻折后，骰子朝下一面的点数是3；则连续完成2020次翻折后，骰子朝下一面的点数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】先根据平面图形确定各对面的点数，根据翻转发现规律：每四次为一个循环，用2020除以4得到翻转完成2020次后的图形，即可得到答案．
【详解】由平面图形可知：1与6是对面，2与5是对面，3与4是对面，
这是一个正方体，完成1次翻转时骰子朝下一面的点数是2，完成5次翻转后朝下一面的点数还是2，故每四次为一个循环，
∵2020÷4=505，
∴连续完成2020次翻折后，与图2的位置相同，骰子朝下一面的点数是4，
【点睛】此题考查图形类规律探究，正方体展开图，旋转的性质，正确理解旋转的规律并运用规律解决问题是解题的关键．
【变式10-2】（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，已知等边三角形OAB，顶点O0,0，B1,0，将△OAB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，顶点A的坐标为（ ）
A．12,32B．−32,12C．−12,−32D．32,−12
【答案】A
【分析】将△OAB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°知：旋转周期为4知点A旋转2022次后的坐标，相当于△OAB绕点O顺时针旋转2次，再结合图形得出点A旋转2次后的坐标即可得．
【详解】解：∵2021=4×505+1，2022=4×505+2
∴每4次一个循环，第2021次绕原点O顺时针旋转结束时，相当于△OAB绕点O顺时针旋转2次，即与原来的A刚好关于原点对称，
∵O0,0，B1,0，
∴等边三角形OAB的边长为1，
过A作AM⊥OB于M点，
在等边三角形OAB中：AM⊥OB，
∴OM=12OB=12,∠AMO=90°,OA=OB=1，
∴AM=12−122=32，
∴A12,32，
∴A12,32关于原点对称的点为：−12,−32，
∴第2022次旋转结束时，顶点A的坐标为−12,−32．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解题的关键是掌握图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
【变式10-3】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点P0的坐标为2,2，将线段OP0绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2……如此下去，得到线段OP2，OP3，OP4，……，OPn（n为正整数），则点P2027的坐标是______．
【答案】22028,0
【分析】勾股定理求出OP0，根据旋转的规律得到OP2027=22028，再利用角度变化得到点P2027是第254组的第3次变化，与点P3在同一坐标轴上，由此得到答案．
【详解】解：∵点P0的坐标为2,2，
∴OP0=2+2=2，
由题意得，OP1=2×2=22，OP2=2×22=23，OP3=2×23=24，……，
∴OP2027=22028，
∵每次都旋转45°，360°÷45°=8，
∴每8次变化为一个循环，
∵2027÷8=253⋯3，
∴点P2027是第254组的第3次变化，与点P3在同一坐标轴上，
∴点P2027的坐标是22028,0，
故答案为：22028,0．
【点睛】此题考查了点的坐标规律探寻，读懂题意，需要从伸长的变化规律求出OP2027的长度，从旋转的变化规律求出点OP2027所在的象限两个方面考虑求解．
【考点11 中心对称图形的识别】
【例11】（2022秋·山东滨州·九年级统考期中）下列标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意．
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
【变式11-1】（2022秋·北京·九年级清华附中校考期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlpℎaG进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【变式11-2】（2022春·河南郑州·八年级校考期中）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故A正确；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【变式11-3】（2022秋·河南许昌·九年级统考期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
【考点12 根据中心对称的性质求解】
【例12】（2022春·福建漳州·七年级统考期末）如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A．AD=CDB．∠C=∠EC．AE=CBD．S△ADE=S△ADB
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的性质可得结论．
【详解】解：∵△ADE与△CDB关于点D成中心对称，
∴AD=CD，AE=CB，BD=ED
∴S△ADE=S△ADB
∴选项A、C、D正确，选项B错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等．
【变式12-1】（2022秋·河北石家庄·九年级统考期中）如图，△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，将△ABC绕顶点A旋转180°，点C落在点C′处，则CC′的长为（ ）
A．42B．4C．23D．25
【答案】B
【详解】∵在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，
∴AC=2．
∵将△ABC绕顶点A旋转180°，点C落在C′处，AC′=AC=2，
∴CC′=4．
故选B．
【变式12-2】（2022春·浙江·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．6C．12D．24
【答案】A
【分析】由题意，图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，所以可以由中心对称图形的性质得到解答．
【详解】由题意，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分，所以由中心对称图形的性质可得：
所求的面积=12S▱ABCD=12×6×4=12．
故选C．
【点睛】本题考查中心对称图形的判定和性质，掌握中心对称图形的性质是解题关键．
【变式12-3】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为_____________．
【答案】11
【分析】连接DK，DN，证明S四边形DMNT=S△DKN=14大正方形的面积，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接DK，DN，
∵∠KDN=∠MDT=90°，
∴∠KDM=∠NDT，
∵DK=DN，∠DKM=∠DNT=45°，
∴△DKM≌△DNT（ASA），
∴S△DKM=S△DNT，
∴S四边形DMNT=S△DKN=14大正方形的面积，
∴正方形ABCD的面积=4×14×9+2=11．
故答案为：11．
【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键连接DK，DN，构造全等三角形解决问题．
【考点13 根据中心对称确定坐标】
【例13】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）已知点A−1,3a−1与点B2b+1,−2关于x轴对称，点Ca+2,b与点D关于原点对称，则D点坐标是（ ）
A．−3,1B．−3,2C．3,−1D．−3,−1
【答案】D
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标．
【详解】∵点A−1,3a−1与点B2b+1,−2关于x轴对称，
∴2b+1=−1，3a−1=2，
解得a=1，b=−1，
∴点A−1,2，B−1,−2，C3,−1，
∵点Ca+2,b与点D关于原点对称，
∴点D−3,1；
【点睛】本题考查的是轴对称变换，熟知关于x、y轴对称及原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
【变式13-1】（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期末）已知点P1a−1,1和P22,b−1关于原点对称，则a+b2008的值为（ ）
A．1B．0C．−1D．(−3)2008
【答案】D
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点Px,y，关于原点的对称点是−x,−y”这一结论求得a，b的值，再进行计算．
【详解】解：根据题意得：a−1=−2，b−1=−1，
解得：a=−1，b=0．
则a+b2008=1．
【点睛】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．根据这一条件就可以转化为方程问题解决，就可以得到关于a，b的方程，从而求得a，b的值．
【变式13-2】（2022秋·山东德州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，若点Pm，m−n与点Q2，1关于原点对称，则点Mm，n在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，求得m,n的值，即可求解．
【详解】解：∵点Pm，m−n与点Q2，1关于原点对称，
∴m=−2,m−n=−1,
∴n=−1,
∴M−2,−1在第三象限，
【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，判断点所在的象限，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
【变式13-3】（2022秋·河北保定·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，有A（2，-1）、B（-1，-2）、C（2，1）、D（-2，1）四点．其中，关于原点对称的两点为（ ）
A．点A和点BB．点B和点CC．点C和点DD．点D和点A
【答案】D
【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数即可得出答案．
【详解】解：A（2，﹣1）与D（﹣2，1）关于原点对称.
故选D．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【考点14 中心对称图形规律问题】
【例14】（2022春·全国·八年级期中）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，点13,3在第______个三角形上，△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是__________．
【答案】 7 4n+1，3
【分析】由题意可以求出点A1，A2，A3，A4的坐标，找出其中的规律，即可得到第一个空的答案；根据第一个空的规律，可求得第二个空的答案．
【详解】解：由题意可得，点A1的坐标为A11，3，A23，−3，A35，3，A47，−3，由此可得，点13,3是A7的坐标，即该点在第7个三角形上；
法一：由图可得点B1(2，0)，B2(4，0)，所以点Bn(2n，0)，则点B2n(4n，0)，
由图可推得点A2n+1(4n+1，3)；
法二：由点A1，A2，A3，A4的坐标，可得点An2n−1，−1n+1×3，
22n+1−1=4n+1，
所以点A2n+1(4n+1，3)．
故答案为7，4n+1，3
【点睛】本题考查图形类的规律探索题，根据图形找到规律是解题的关键．
【变式14-1】（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2016的坐标为_____________.
【答案】（0，0）
【分析】根据题意，确定出前几次跳跃后点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，得出规律，根据所得的规律即可求出点P2016的坐标．
【详解】根据题意可知：点P1（2，0），P2（-2，2），P3（0，-2），P4（2，2），P5（-2，0），P6（0，0），P7（2，0），由此可得可得出6次一个循环，
∵2016÷6=336，
∴点P2016的坐标为（0，0）．
故答案为（0，0）．
【点睛】本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．
【变式14-2】（2022秋·广东江门·七年级统考期中）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（ ）
A．4n+1B．3n+1C．4n+2D．3n+2
【答案】D
【分析】根据图像，分别确定前三个图中围棋的枚数，可知第一个图形中有（3+2）枚，且后一个图形总比第一个图形多3枚；联系上步分析，便不难得到第n个图形中需要围棋子的枚数与n的关系，从而解题.
【详解】解：∵第1个图形中有5枚，即3×1+2枚；
第2个图形中有8枚，即3×2+2枚；
第3个图形中有11枚，即3×3+2枚；
…
∴第n个图形中有3n+2枚．
故选：D．
【点睛】本题属于探究图形的规律的题目，考虑从简单情形入手分析.
【变式14-3】（2022春·湖南永州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A-2,0，B1,2，C1,-2.已知N-1,0，作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2022的坐标为___________.
【答案】−1,0
【分析】根据平面直角坐标系中，点的对称性质，结合题意，依次求得点N1，N2，N3，N4，N5，N6，N7的坐标，从而发现该题的规律，求得点N2022的坐标．
【详解】解：∵N-1,0，A-2,0，
∴点N关于点A的对称点N1-3,0，
∵点N1关于点B的对称点为N2，B1,2，N1-3,0，
∴N25,4，
∵点N2关于点C的对称点为N3，C1,-2，N25,4，
∴N3-3,-8，
∵点N3关于点A的对称点为N4，A-2,0，N3-3,-8，
∴N4-1,8，
∵点N4关于点B的对称点为N5，B1,2，N4-1,8，
∴N53,-4，
∵点N5关于点C的对称点为N6，C1,-2，N53,-4，
∴N6-1,0，
∵点N6关于点A的对称点为N7，A-2,0，N6-1,0，
∴N7-3,0，
此时点N7与点N1重合．
∵2022÷6=337，
∴N2022与点N6重合，
故N2022 -1,0，
答案为：-1,0．
【点睛】本题考查了点坐标的对称性质，熟练掌握点坐标的对称性质是解题的关键．
【考点15 分析图案的形成过程】
【例15】（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （ ）
A．轴对称B．旋转C．中心对称D．平移
【答案】D
【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答．
【详解】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意；
图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移．
故选：D．
【点睛】考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．
平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
【变式15-1】（2022·河北邢台·八年级统考期末）将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题中所给剪纸方法，进行手动操作，答案就能很直观的呈现.
【详解】按照图中顺序进行操作，展开后心形图案应该靠近正方形上下两边，且关于中间折线对称，故只有B选项符合.
故选B.
【点睛】本题考查剪纸问题，解决此类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴，一般的方法是动手操作，拿张纸按照题中的要求进行操作.
【变式15-2】（2022春·全国·八年级专题练习）对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换（如：平移、旋转、轴对称等）得到新图形上的对应点P′，Q′，保持P P′= Q Q′，我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”．对于三种变换： ①平移、②旋转、③轴对称，
其中一定是“同步变换”的有______________（填序号）．
【答案】①
【详解】根据平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质可知答案为序号①
【变式15-3】（2022春·全国·八年级专题练习）如图， 在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程_____________．
【答案】将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度
【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由△AOB得到△OCD的过程．
【详解】解：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△OCD，
故答案为：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度．
【考点16 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】
【例16】（2022春·陕西西安·八年级统考期中）在4×4的方格内选5个小正方形．
(1)在图1中，让它们以虚线为对称轴，组成一个轴对称图形；在图2中，让它们以虚线为对称轴组成一个轴对称图形；在图3中，让它们构成一个中心对称图形．请在图中画出你的这3种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：①5个小正方形必须相连在一起（有公共边或公共顶点视为相连）；②将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形能够重合，视为一种方案）
(2)在你所画得三个图中，最喜欢的是哪一个？简要说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据自己的喜好判断即可．
（1）
解：如图所示，
（2）
我更喜欢图3，理由：它既是轴对称图形，也是中心对称图形（答案不唯一）．
【点睛】本题考查图案设计，中心对称图形，轴对称图形等知识，解题的关键是理解中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
【变式16-1】（2022秋·湖北武汉·九年级校考期中）思考下列哪些图形可以经过复制自己拼成图一（可以翻折或旋转）
例如选择C就可以经过复制自己拼成图一，如图二所示，请模仿图二，另选两个完成下面两图．
【答案】见解析
【分析】由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称等方法变换出一些图案．利用翻折或旋转变换，即可得到图案．
【详解】解：如图三所示，选择E就可以经过复制自己拼成图一；如图四所示，选择F就可以经过复制自己拼成图一.
【点睛】本题主要考查了利用翻折或旋转变换设计图案，由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复杂图案．
【变式16-2】（2022春·山东菏泽·八年级统考期中）在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：
（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点式为相连）
（2）将选中的小正方行方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（每画对一种方案得2分，若两个方案的图形经过反折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【详解】试题分析：利用轴对称图形的性质用5个小正方形组成一个轴对称图形即可．
试题解析：如图．
．
考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案；利用平移设计图案．
【变式16-3】（2022秋·江西宜春·九年级统考期中）如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：
①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；
②所作图案用阴影标识，且阴影部分的面积为4．
【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的性质以及阴影部分面积求法得出即可，本题答案不唯一，只要满足题目两个条件即可．
【详解】解：如图所示；答案不唯一．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19308" 【考点1 图形的平移】 PAGEREF _Tc19308 \h 1
\l "_Tc23439" 【考点2 利用平移的性质求解】 PAGEREF _Tc23439 \h 2
\l "_Tc5460" 【考点3 利用平移解决实际问题】 PAGEREF _Tc5460 \h 3
\l "_Tc18923" 【考点4 根据平移方式确定坐标】 PAGEREF _Tc18923 \h 4
\l "_Tc25886" 【考点5 平移作图】 PAGEREF _Tc25886 \h 5
\l "_Tc3212" 【考点6 根据旋转的性质求解】 PAGEREF _Tc3212 \h 7
\l "_Tc32605" 【考点7 求旋转中心的个数】 PAGEREF _Tc32605 \h 8
\l "_Tc12045" 【考点8 根据旋转方式确定坐标】 PAGEREF _Tc12045 \h 9
\l "_Tc32071" 【考点9 旋转作图】 PAGEREF _Tc32071 \h 10
\l "_Tc22953" 【考点10 旋转中的规律性问题】 PAGEREF _Tc22953 \h 12
\l "_Tc4740" 【考点11 中心对称图形的识别】 PAGEREF _Tc4740 \h 13
\l "_Tc21594" 【考点12 根据中心对称的性质求解】 PAGEREF _Tc21594 \h 14
\l "_Tc1619" 【考点13 根据中心对称确定坐标】 PAGEREF _Tc1619 \h 15
\l "_Tc5100" 【考点14 中心对称图形规律问题】 PAGEREF _Tc5100 \h 15
\l "_Tc8904" 【考点15 分析图案的形成过程】 PAGEREF _Tc8904 \h 17
\l "_Tc10413" 【考点16 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】 PAGEREF _Tc10413 \h 18
【考点1 图形的平移】
【例1】（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期中）在下列汽车标志的图案中，能用图形的平移来分析其形成过程的是（ ）
A．B．
C． D．
【变式1-1】（2022春·江苏泰州·七年级统考期中）下列现象中是平移的是（ ）
A．将一张纸对折B．电梯的上下移动
C．摩天轮的运动D．翻开书的封面
【变式1-2】（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）下面所示的图案中，可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2022春·甘肃庆阳·七年级校考期中）下列几种运动中，1水平运输带上砖的运动；2笔直的高速公路上行驶的汽车的运动(忽略车轮的转动)；3升降机上下做机械运动；4足球场上足球的运动．属于平移的有__________(填上所有你认为正确的序号)
【考点2 利用平移的性质求解】
【例2】（2022春·河南商丘·七年级校考期中）如图，平移线段AB，则平移过程中AB扫过的面积为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【变式2-1】（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）如图，将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置，若∠CAB=55°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为______．
【变式2-2】（2022春·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，将△ABC平移至△DEF的位置，若四边形DGCF的面积为20，且DG=2，则CF=__．
【变式2-3】（2022春·湖北孝感·七年级校考期中）如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，将三角形ABC沿直线BC向右平移3个单位得到三角形DEF，连接AD．则下列结论：①AC∥DF，AC=DF；②∠EDF=90°；③四边形ABFD周长是18；④AD:EC=3:2；⑤点A到BC的距离为2.4．其中正确结论有______ ．（填序号）
【考点3 利用平移解决实际问题】
【例3】（2022春·浙江·七年级期中）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝100米，宽BC＝50米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（ ）
A．148米B．196米C．198米D．200米
【变式3-1】（2022春·湖南永州·七年级统考期中）某宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红地毯，已知这种地毯售价每平方米为50元，主楼梯宽2m，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要________元钱
【变式3-2】（2022春·浙江·七年级期中）如图，粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线．
(1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）；
(2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米1.7元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程ss>3千米之间的关系；
(3)如果这段路程长4.7千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由．
【变式3-3】（2022春·全国·七年级期中）动手操作：
(1)如图1，在5×5的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段AB向右平移，得到线段A'B'，连接AA'，BB'．
①线段AB平移的距离是________；
②四边形ABB'A'的面积是________；
(2)如图2，在5×5的网格中，将△ABC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'．
③画出平移后的△A'B'C'；
④连接AA'，BB'，多边形ACBB'C'A'的面积是________
(3)拓展延伸：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草坪上，修建一条宽为m米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是________．
【考点4 根据平移方式确定坐标】
【例4】（2022春·广西玉林·七年级统考期中）平面上的点2,−1通过上下平移，不能与下面的点重合的是（ ）
A．2,−2B．−2,−1C．2,0D．2,−3
【变式4-1】（2022秋·江西南昌·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，将点P(3,−2)向右平移4个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为________．
【变式4-2】（2022春·重庆·七年级重庆十八中校考期中）在线段AB上有一点P（a，b），经过平移后对应点P´（c，d），已知点A（3，2）在平移后对应点A´（4，-2），若点B坐标为B（-1，-2），则平移后对应点B´的坐标为____．
【变式4-3】（2022秋·山东济南·八年级统考期中）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点O(0,1)按序列“01”作2次变换，表示点O先向右平移一个单位得到O11,1，再将O11,1关于x轴做轴对称从而得到O21,−1．若点A0,−1经过“0101……01”共2022次变换后得到点A2022，则点A2022的坐标为__________．
【考点5 平移作图】
【例5】（2022春·湖北随州·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为(1,2)．
(1)点A的坐标是______，点B的坐标是______；
(2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A'B'C'．请画出△A'B'C'，并写出△A'B'C'中顶点A'的坐标；
(3)求△ABC的面积．
【变式5-1】（2022秋·广西梧州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A4,0，B1,−5，C5,−3，将△ABC先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应的△A1B1C1．
(1)画出平移后的△A1B1C1；
(2)若BC边上一点Px,y经过上述平移后的对应点为P1，请直接写出点P1的坐标（用含x，y的式子表示）；
(3)连接AC1，求△AB1C1的面积．
【变式5-2】（2022秋·天津河西·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中△ABC的顶点坐标分别为A2,3，B1,1，C2,1．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为 ；
(2)将△ABC向左平移 4个单位长度得到△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为 ；
(3)在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，标出P点的位置（保留画图痕迹）
【变式5-3】（2022春·贵州遵义·八年级统考期中）如图，在直角坐标系中，已知点B的位置满足OA∥BC，OC∥AB
(1)在图中标出点B的位置，连接AB，BC，则B点的坐标为___________；
(2)在直线OA上标出点D，使线段CD最短；
(3)把四边形OABC向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到四边形O1A1B1C1，画出平移后的图形，并写出B1的坐标；
(4)求四边形OABC的面积．
【考点6 根据旋转的性质求解】
【例6】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，AB=43，点D在边AB上，且BD=2，E是边AC的中点，将线段BD绕点B顺时针旋转，点D的对应点为F，连接AF，EF，当△AEF为直角三角形时，AF= ______．
【变式6-1】（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）如图，在△ABC中∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，若点B'恰好落在BC边上，且AB'=CB'，则∠C'的度数为________．
【变式6-2】（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛第七中学校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，连接CE，则△CBE的面积为________．
【变式6-3】（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
(1)求证：AE=BD；
(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=6，求BD的长．
【考点7 求旋转中心的个数】
【例7】（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7-1】（2022春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是点_______________（填“A”“B”“C”或“D”）．
【变式7-2】（2022春·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）
A．M或O或NB．E或O或CC．E或O或ND．M或O或C
【变式7-3】（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）如图，ΔABC和ΔADC都是等边三角形.
（1）ΔABC沿着______所在的直线翻折能与ΔADC重合；
（2）如果ΔABC旋转后能与ΔADC重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；
（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.
【考点8 根据旋转方式确定坐标】
【例8】（2022秋·湖北黄石·九年级黄石十四中校考期中）将点3,−4绕着原点按逆时针方向旋转90°后的对应点的坐标是（ ）
A．4,3B．4,−3C．−4,−3D．4,−3
【变式8-1】（2022秋·西藏林芝·九年级统考期中）在直角坐标系中，等腰直角三角形AOB在如图所示的位置，点B的坐标为（2，0），将△AOB绕原点O按逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，则点A′的坐标为（ ）
A．（-1，1）B．（1，1）
C．（2，2）D．（﹣2，2）
【变式8-2】（2022春·河北石家庄·八年级河北师范大学附属中学校考期中）已知点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC=3，将线段AC先绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度后，得到A'C'，则点A'的坐标是（ ）
A．（1，3）B．（－1，3）C．（－1，－3）D．（1，－3）
【变式8-3】（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期中）在平面直角坐标系中，点A2，0，B5，4，连接AB得到线段AB，现将线段AB绕点A旋转90°，点B的对应点为B'，则点B'的坐标为（ ）．
A．5，−4B．−2，3C．−2，3或5，−4D．−2，3或6，−3
【考点9 旋转作图】
【例9】（2022春·广东河源·七年级校考期中）如图已知在平面直角坐标系中的△ABC，A1,1，B2,3，C3,0．
(1)画出△ABC绕O顺时针旋转180°后的△A'B'C'．
(2)直接写出△A'B'C'各顶点的坐标．
【变式9-1】（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A−1,0，B−3,4，C2,4，D6,6．
(1)沿水平方向移动线段AB，使点A和点C的横坐标相同，画出平移后所得的线段A1B1，并写出点B1的坐标；
(2)将线段A1B1绕某一点旋转一定的角度，使其与线段CD重合（点A1与点C重合，点B1与点D重合），请作出旋转中心点P．
【变式9-2】（2022春·重庆南岸·八年级校联考期中）作图题．
在平面直角坐标系中，每个网格单位长度为1，△ABC的位置如图所示，解答下列问题：
(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1．
(2)将△A1B1C1绕点C1旋转180°，得到△A2B2C1，画出旋转后的△A2B2C1．
(3)直接写出△A2B2C1的面积．
【变式9-3】（2022秋·四川凉山·九年级校考期中）如图，网格坐标系中△ABC三个顶点的坐标分别为A4，4，B0，3，C2，5，图中A'，B'，C'三点都在网格点上，
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)△A'B'C'是由△ABC绕某一点旋转一定角度得到，则旋转中心的坐标是___________
(3)请画出△A'B'C'关于原点对称的△A2B2C2并写出A2，B2，C2的坐标
【考点10 旋转中的规律性问题】
【例10】（2022秋·重庆南川·九年级期中）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）
A．图①B．图②C．图③D．图④
【变式10-1】（2022秋·浙江·七年级期中）图1是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图2所示，若骰子初始位置为图2所示的状态，将骰子向右翻滚90°，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连续完成2次翻折后，骰子朝下一面的点数是3；则连续完成2020次翻折后，骰子朝下一面的点数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式10-2】（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，已知等边三角形OAB，顶点O0,0，B1,0，将△OAB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，顶点A的坐标为（ ）
A．12,32B．−32,12C．−12,−32D．32,−12
【变式10-3】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点P0的坐标为2,2，将线段OP0绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2……如此下去，得到线段OP2，OP3，OP4，……，OPn（n为正整数），则点P2027的坐标是______．
【考点11 中心对称图形的识别】
【例11】（2022秋·山东滨州·九年级统考期中）下列标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式11-1】（2022秋·北京·九年级清华附中校考期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlpℎaG进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
【变式11-2】（2022春·河南郑州·八年级校考期中）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式11-3】（2022秋·河南许昌·九年级统考期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点12 根据中心对称的性质求解】
【例12】（2022春·福建漳州·七年级统考期末）如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A．AD=CDB．∠C=∠EC．AE=CBD．S△ADE=S△ADB
【变式12-1】（2022秋·河北石家庄·九年级统考期中）如图，△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，将△ABC绕顶点A旋转180°，点C落在点C′处，则CC′的长为（ ）
A．42B．4C．23D．25
【变式12-2】（2022春·浙江·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．6C．12D．24
【变式12-3】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为_____________．
【考点13 根据中心对称确定坐标】
【例13】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）已知点A−1,3a−1与点B2b+1,−2关于x轴对称，点Ca+2,b与点D关于原点对称，则D点坐标是（ ）
A．−3,1B．−3,2C．3,−1D．−3,−1
【变式13-1】（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期末）已知点P1a−1,1和P22,b−1关于原点对称，则a+b2008的值为（ ）
A．1B．0C．−1D．(−3)2008
【变式13-2】（2022秋·山东德州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，若点Pm，m−n与点Q2，1关于原点对称，则点Mm，n在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式13-3】（2022秋·河北保定·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，有A（2，-1）、B（-1，-2）、C（2，1）、D（-2，1）四点．其中，关于原点对称的两点为（ ）
A．点A和点BB．点B和点CC．点C和点DD．点D和点A
【考点14 中心对称图形规律问题】
【例14】（2022春·全国·八年级期中）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，点13,3在第______个三角形上，△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是__________．
【变式14-1】（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2016的坐标为_____________.
【变式14-2】（2022秋·广东江门·七年级统考期中）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（ ）
A．4n+1B．3n+1C．4n+2D．3n+2
【变式14-3】（2022春·湖南永州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A-2,0，B1,2，C1,-2.已知N-1,0，作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2022的坐标为___________.
【考点15 分析图案的形成过程】
【例15】（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （ ）
A．轴对称B．旋转C．中心对称D．平移
【变式15-1】（2022·河北邢台·八年级统考期末）将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）
A．B．C．D．
【变式15-2】（2022春·全国·八年级专题练习）对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换（如：平移、旋转、轴对称等）得到新图形上的对应点P′，Q′，保持P P′= Q Q′，我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”．对于三种变换： ①平移、②旋转、③轴对称，
其中一定是“同步变换”的有______________（填序号）．
【变式15-3】（2022春·全国·八年级专题练习）如图， 在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程_____________．
【考点16 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】
【例16】（2022春·陕西西安·八年级统考期中）在4×4的方格内选5个小正方形．
(1)在图1中，让它们以虚线为对称轴，组成一个轴对称图形；在图2中，让它们以虚线为对称轴组成一个轴对称图形；在图3中，让它们构成一个中心对称图形．请在图中画出你的这3种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：①5个小正方形必须相连在一起（有公共边或公共顶点视为相连）；②将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形能够重合，视为一种方案）
(2)在你所画得三个图中，最喜欢的是哪一个？简要说明理由．
【变式16-1】（2022秋·湖北武汉·九年级校考期中）思考下列哪些图形可以经过复制自己拼成图一（可以翻折或旋转）
例如选择C就可以经过复制自己拼成图一，如图二所示，请模仿图二，另选两个完成下面两图．
【变式16-2】（2022春·山东菏泽·八年级统考期中）在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：
（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点式为相连）
（2）将选中的小正方行方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（每画对一种方案得2分，若两个方案的图形经过反折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）
【变式16-3】（2022秋·江西宜春·九年级统考期中）如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为
专题7.3 图形的平移与旋转十六大必考点
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19308" 【考点1 图形的平移】 PAGEREF _Tc19308 \h 1
\l "_Tc23439" 【考点2 利用平移的性质求解】 PAGEREF _Tc23439 \h 3
\l "_Tc5460" 【考点3 利用平移解决实际问题】 PAGEREF _Tc5460 \h 6
\l "_Tc18923" 【考点4 根据平移方式确定坐标】 PAGEREF _Tc18923 \h 10
\l "_Tc25886" 【考点5 平移作图】 PAGEREF _Tc25886 \h 12
\l "_Tc3212" 【考点6 根据旋转的性质求解】 PAGEREF _Tc3212 \h 18
\l "_Tc32605" 【考点7 求旋转中心的个数】 PAGEREF _Tc32605 \h 23
\l "_Tc12045" 【考点8 根据旋转方式确定坐标】 PAGEREF _Tc12045 \h 25
\l "_Tc32071" 【考点9 旋转作图】 PAGEREF _Tc32071 \h 29
\l "_Tc22953" 【考点10 旋转中的规律性问题】 PAGEREF _Tc22953 \h 35
\l "_Tc4740" 【考点11 中心对称图形的识别】 PAGEREF _Tc4740 \h 38
\l "_Tc21594" 【考点12 根据中心对称的性质求解】 PAGEREF _Tc21594 \h 40
\l "_Tc1619" 【考点13 根据中心对称确定坐标】 PAGEREF _Tc1619 \h 43
\l "_Tc5100" 【考点14 中心对称图形规律问题】 PAGEREF _Tc5100 \h 45
\l "_Tc8904" 【考点15 分析图案的形成过程】 PAGEREF _Tc8904 \h 48
\l "_Tc10413" 【考点16 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】 PAGEREF _Tc10413 \h 50
【考点1 图形的平移】
【例1】（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期中）在下列汽车标志的图案中，能用图形的平移来分析其形成过程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
【详解】解：A.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
B.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
C.是由“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意；
D.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
【点睛】本题主要考查了图形的平移，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，学生混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选．
【变式1-1】（2022春·江苏泰州·七年级统考期中）下列现象中是平移的是（ ）
A．将一张纸对折B．电梯的上下移动
C．摩天轮的运动D．翻开书的封面
【答案】B
【分析】根据平移的概念，依次判断即可得到答案；
【详解】解：根据平移的概念：把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，判断：
A、将一张纸对折，不符合平移定义，故本选项错误；
B、电梯的上下移动，符合平移的定义，故本选项正确；
C、摩天轮的运动，不符合平移定义，故本选项错误；
D、翻开的封面，不符合平移的定义，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查平移的概念，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
【变式1-2】（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）下面所示的图案中，可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据平移的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意；
B、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意；
C、可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项符合题意；
D、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了图形的平移，判断图形是否由平移得到，要把握两个“不变”，图形的形状和大小不变；一个“变”，位置改变．
【变式1-3】（2022春·甘肃庆阳·七年级校考期中）下列几种运动中，1水平运输带上砖的运动；2笔直的高速公路上行驶的汽车的运动(忽略车轮的转动)；3升降机上下做机械运动；4足球场上足球的运动．属于平移的有__________(填上所有你认为正确的序号)
【答案】123
【分析】根据平移的性质，对各小题进行分析判断即可求解．
【详解】解：（1）水平运输带上砖的运动，是平移变换；
（2）笔直的高速公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动），是平移变换；
（3）升降机上下做机械运动，是平移变换；
（4）足球场上足球的运动，是旋转运动．
所以属于平移的有（1）（2）（3）共3种．
故答案是：（1）（2）（3）．
【点睛】本题考查了生活中的平移变换，熟记平移变换的性质是求解的关键．
【考点2 利用平移的性质求解】
【例2】（2022春·河南商丘·七年级校考期中）如图，平移线段AB，则平移过程中AB扫过的面积为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】A
【分析】先证明四边形ABB'A'是平行四边形，再求出BB'和▱ABB'A'底边BB'上的高：2−(−1)=3，从而即可求解．
【详解】解：∵平移线段AB得线段A'B'，
∴AB=A'B'，AB∥A'B'，
∴四边形ABB'A'是平行四边形，
∵B(−2，−1)， B' (3，−1)，A (0，2)，
∴BB'=3--2=5，▱ABB'A'底边BB'上的高：2−(−1)=3，
∴平移过程中AB扫过的面积为5×3=15，
【点睛】本题主要考查了平移的性质及坐标与图形，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）如图，将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置，若∠CAB=55°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为______．
【答案】25°
【分析】根据平移的性质得出∠EBD=55°，进而利用平角的性质得出∠CBE的度数．
【详解】解：∵将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置， ∠CAB=55°，
∴ ∠EBD=55°，
∵ ∠ABC=100°，
∴ ∠CBE的度数为：180°−∠ABC−∠EBD=180°−100°−55°=25°．
故答案为：25°．
【点睛】此题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得出∠EBD的度数是解题关键．
【变式2-2】（2022春·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，将△ABC平移至△DEF的位置，若四边形DGCF的面积为20，且DG=2，则CF=__．
【答案】4
【分析】根据平移的性质可知：DE=AB=6，BE=CF=AD，S△ABC=S△DEF，根据题中图形关系得到S梯形DGCF=S梯形ABGE=S矩形ABED−S△ADG=20，设BE=CF=AD=x，则AB⋅BE−12DG⋅AD=20，即6x−12×2x=20，解方程求得x的值即可得到答案．
【详解】解：连接AD，如图所示：
由△ABC平移至△DEF得DE=AB=6，BE=CF=AD，S△ABC=S△DEF，
∵S△ABC=S梯形ABEG+S△CEG，S△DEF=S梯形DGCF+S△CEG，
∴S梯形ABEG=S梯形DGCF，
∵S梯形ABEG=S矩形ABED−S△ADG，四边形DGCF的面积为20，
∴S梯形DGCF=S矩形ABED−S△ADG=20，
设BE=CF=AD=x，则AB⋅BE−12DG⋅AD=20，即6x−12×2x=20，解得x=4，
∴CF=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查平移的性质、有关图形的面积关系，求出各个相关图形面积的表示是解决问题的关键．
【变式2-3】（2022春·湖北孝感·七年级校考期中）如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，将三角形ABC沿直线BC向右平移3个单位得到三角形DEF，连接AD．则下列结论：①AC∥DF，AC=DF；②∠EDF=90°；③四边形ABFD周长是18；④AD:EC=3:2；⑤点A到BC的距离为2.4．其中正确结论有______ ．（填序号）
【答案】①②③④⑤
【分析】对于①②③④利用平移的性质依次判断可求解，对于⑤可用等积法求解．
【详解】解：∵将三角形ABC沿直线BC向右平移3个单位得到三角形DEF，
∴AD=BE=CF=3，AC∥DF，AB∥DE，AB=DE=3，AC=DF=4，BC=EF=5，∠BAC=∠EDF=90°，故①和②正确；
∴BF=5+3=8，EC=5-3=2 ，
∵四边形ABFD的周长=AB+AD+DF+BF，
∴四边形ABFD的周长=3+4+3+8=18，故③正确；
∵AD=3，EC=2，
∴AD：EC=3：2，故④正确，
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，设点A到BC的距离为h，
∴12×3×4=12h×5，解得：h=2.4，
故点D到线段BF的距离是2.4，所以⑤正确．
综上所述：正确的是①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
【考点3 利用平移解决实际问题】
【例3】（2022春·浙江·七年级期中）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝100米，宽BC＝50米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（ ）
A．148米B．196米C．198米D．200米
【答案】B
【分析】根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD﹣2）×2，求出即可．
【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，
横向距离等于AB，纵向距离等于（AD﹣2）×2，
图中虚线长为：100+（50﹣2）×2＝196米，
【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，正确转换图形形状是解题关键．
【变式3-1】（2022春·湖南永州·七年级统考期中）某宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红地毯，已知这种地毯售价每平方米为50元，主楼梯宽2m，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要________元钱
【答案】840
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横边和竖边向上向右平移，构成一个矩形，求出地毯的长度，再求出面积，即可求解．
【详解】解：把楼梯的横边和竖边向上向右平移，可以构成一个矩形，矩形的长宽分别为5.8米，2.6米，
可得地毯的长度为2.6+5.8=8.4米，
地毯的面积为8.4×2=16.8平方米，
故买地毯至少需要16.8×50=840元．
故答案为：840．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是掌握平移的性质，平移不改变图像的大小和形状．
【变式3-2】（2022春·浙江·七年级期中）如图，粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线．
(1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）；
(2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米1.7元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程ss>3千米之间的关系；
(3)如果这段路程长4.7千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由．
【答案】(1)一样长，画图见解析
(2)m=1.7s+1.9
(3)够，理由见解析
【分析】（1）利用平移的性质得出两条线路的长相等；
（2）利用出租车收费标准进而得出答案；
（3）利用（2）中所求即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：两条线路一样长；
（2）由题意可得：m=7+1.7s−3=1.7s+1.9；
（3）小丽坐出租车由体育馆到少年宫，钱够，
理由：由（2）得：m=7+1.7×4.7−3=9.89（元）．
∵9.89<10，
∴小丽坐出租车由体育馆到少年宫10元够．
【点睛】此题主要考查了代数式求值以及生活中的平移现象，正确得出m与s的函数关系式是解题关键．
【变式3-3】（2022春·全国·七年级期中）动手操作：
(1)如图1，在5×5的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段AB向右平移，得到线段A'B'，连接AA'，BB'．
①线段AB平移的距离是________；
②四边形ABB'A'的面积是________；
(2)如图2，在5×5的网格中，将△ABC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'．
③画出平移后的△A'B'C'；
④连接AA'，BB'，多边形ACBB'C'A'的面积是________
(3)拓展延伸：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草坪上，修建一条宽为m米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是________．
【答案】(1)①3；②6；
(2)③见解析，④6；
(3)ab−mb平方米．
【分析】（1）①根据平移性质和网格特点求解即可；②根据网格特点和平行四边形的面积公式求解即可；
（2）③根据平移性质和网格特点可画出图形；④根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积公式求解即可；
（3）根据平移性质，可将小路两边的草坪平移，拼凑成一个长a−m米，宽为b米的长方形，再利用长方形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：①根据平移性质，线段AB平移的距离是AA'=3；
②根据图形，四边形ABB'A'的面积为:3×2=6；
故答案为：①3；②6；
（2）解：③如图所示，△A'B'C'即为所求作；
④由图形知，BB'=3，AB=2
∴多边形ACBB'C'A'的面积为:
SACBB'C'A'=SACB+SABB'A'−SB'C'A'=SABB'A'=3×2=6，
故答案为：6；
（3）解：由题意得，将小径右侧平移与左侧拼接成一个长方形，
长方形的长a−m米，宽为b米，
则剩下的草坪面积是：a−mb=ab−mb，
故答案为：ab−mb平方米．
【点睛】本题考查平移性质的应用、列代数式，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键．
【考点4 根据平移方式确定坐标】
【例4】（2022春·广西玉林·七年级统考期中）平面上的点2,−1通过上下平移，不能与下面的点重合的是（ ）
A．2,−2B．−2,−1C．2,0D．2,−3
【答案】B
【分析】根据“点上下平移，横坐标不变”，由此可直接得到答案．
【详解】平面上的点（2，-1）通过上下平移不能与之重合的是（-2，-1），
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
【变式4-1】（2022秋·江西南昌·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，将点P(3,−2)向右平移4个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为________．
【答案】(7,2)
【分析】先根据向右平移4个单位，横坐标加4，纵坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．
【详解】解：∵将点P（3，-2）向右平移4个单位得到点P'，
∴点P'的坐标是（7，-2），
∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（7， 2）．
故答案为：（7， 2）
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
【变式4-2】（2022春·重庆·七年级重庆十八中校考期中）在线段AB上有一点P（a，b），经过平移后对应点P´（c，d），已知点A（3，2）在平移后对应点A´（4，-2），若点B坐标为B（-1，-2），则平移后对应点B´的坐标为____．
【答案】（0，-6）
【分析】由点A（3，2）在平移后对应点A′（4，−2），可得线段AB的平移规律为：向右平移1个单位，向下平移4个单位，由此得到结论．
【详解】解：由A（3，2）在经过此次平移后对应
点A′的坐标为（4，−2）知c＝a＋1、d＝b−4，
∵点B坐标为B（−1，−2），
∴平移后对应点B′的坐标为（−1＋1，−2−4），
即B′（0，−6），
故答案为：（0，−6）．
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化−平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．
【变式4-3】（2022秋·山东济南·八年级统考期中）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点O(0,1)按序列“01”作2次变换，表示点O先向右平移一个单位得到O11,1，再将O11,1关于x轴做轴对称从而得到O21,−1．若点A0,−1经过“0101……01”共2022次变换后得到点A2022，则点A2022的坐标为__________．
【答案】(1011,1)
【分析】根据平移以及轴对称的性质解决问题即可．
【详解】解：点A0,−1按序列“01”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到A1(1,−1)，再将A1(1,−1)关于x轴对称得到A2(1,1)，再将A2(1,1)作2次变换，可得A3(2,1)，A4(2,−1)，A5(3,−1),A6(3,1),
综上可得，点A2n的横坐标为n，纵坐标以−1,1,1,−1四次一个循环，
∴A2022的横坐标为20222=1011，纵坐标为2022÷4=，为1，
∴点A2022的坐标为(1011,1)，
故答案为：(1011,1).
【点睛】本题考查了坐标的变化规律，平移以及轴对称变化，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点5 平移作图】
【例5】（2022春·湖北随州·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为(1,2)．
(1)点A的坐标是______，点B的坐标是______；
(2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A'B'C'．请画出△A'B'C'，并写出△A'B'C'中顶点A'的坐标；
(3)求△ABC的面积．
【答案】(1)(2,−1)，(4,3)
(2)画图见解析，A'的坐标为(0,0)
(3)5
【分析】（1）根据点的位置直接得到点的坐标；
（2）根据平移的规律作图及确定点坐标即可；
（3）根据△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意知A(2,−1)，B(4,3)，
故答案为：(2,−1)，(4,3)；
（2）如图所示，△A'B'C'即为所求，其中顶点A'的坐标为(0,0)；
（3）S△ABC=3×4−12×1×3−12×1×3−12×2×4=5
【点睛】此题考查了平移作图，确定点的坐标，割补法求几何图形的面积，正确掌握平移的性质作出平移的图形是解题的关键．
【变式5-1】（2022秋·广西梧州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A4,0，B1,−5，C5,−3，将△ABC先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应的△A1B1C1．
(1)画出平移后的△A1B1C1；
(2)若BC边上一点Px,y经过上述平移后的对应点为P1，请直接写出点P1的坐标（用含x，y的式子表示）；
(3)连接AC1，求△AB1C1的面积．
【答案】(1)见解析
(2)P1x−6,y+5
(3)9
【分析】(1)先确定平移后的坐标，再描点画图形即可．
(2)根据平移规律写出坐标即可．
(3)过点C1作C1D⊥AB1于点D，根据三角形面积计算公式计算即可．
【详解】（1）∵A4,0，B1,−5，C5,−3，将△ABC先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，
∴A14−6,0+5，B11−6,−5+5，C15−6,−3+5即A1−2,5，B1−5,0，C1−1,2，画图如下：
故△AB1C1为所求．
（2）∵Px,y先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，
P1x−6,y+5．
（3）过点C1作C1D⊥AB1于点D，
SΔAB1C1=12AB1×C1D=12×9×2=9．
【点睛】本题考查了平移，三角形面积计算，熟练掌握平移规律是解题的关键．
【变式5-2】（2022秋·天津河西·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中△ABC的顶点坐标分别为A2,3，B1,1，C2,1．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为 ；
(2)将△ABC向左平移 4个单位长度得到△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为 ；
(3)在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，标出P点的位置（保留画图痕迹）
【答案】(1)见解析；2,−4
(2)见解析；−2,1
(3)见解析
【分析】（1）作出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）作出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2，然后顺次连接即可；
（3）作出点A关于y轴的对称点A'，连接A'B，交y轴于一点，该点即为点P．
【详解】（1）解：作出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，顺次连接，则△A1B1C1即为所求，如图所示：
点A1的坐标为2,−4；
故答案为：2,−4．
（2）解：作出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2，顺次连接，则△A2B2C2即为所求，如图所示：
点C2的坐标为：−2,1．
（3）解：作出点A关于y轴的对称点A'，连接A'B，交y轴于一点，该点即为所求作的点P，如图所示：
∵点A与点A'关于y轴对称，
∴PA=PA'，
∴PA+PB=PA'+PB=A'B，
∵两点之间线段最短，
∴此时PA+PB的值最小．
【点睛】本题主要考查了轴对称作图，平移作图，与轴对称有关的最短路径问题，解题的关键是作出相应点的坐标．
【变式5-3】（2022春·贵州遵义·八年级统考期中）如图，在直角坐标系中，已知点B的位置满足OA∥BC，OC∥AB
(1)在图中标出点B的位置，连接AB，BC，则B点的坐标为___________；
(2)在直线OA上标出点D，使线段CD最短；
(3)把四边形OABC向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到四边形O1A1B1C1，画出平移后的图形，并写出B1的坐标；
(4)求四边形OABC的面积．
【答案】(1)见解析，4，5；
(2)见解析；
(3)见解析，B11,1；
(4)11
【分析】（1）根据网格特点作图，并写出B点的坐标即可；
（2）如图，E4,4，F2,1，H2,4，通过构造Rt△CEB≅Rt△FHC，易证∠FCB=90°，即CF⊥CB，由OA∥BC可得CF⊥OA，延长CF交OA于D，则CD⊥OA，此时线段CD最短；；
（3）根据平移的性质找出对应顶点的位置，顺次连接，然后写出B1的坐标即可；
（4）利用所在矩形的面积减去周围三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，B点的坐标为4，5，
故答案为：4，5；
（2）解：点D如图所示；
（3）解：如图，四边形O1A1B1C1为所求，B11,1；
（4）解：四边形OABC的面积为：4×5−12×5×1−12×4×1−12×5×1−12×4×1=20−9=11．
【点睛】本题考查了作图，坐标与图形性质，全等三角形的应用，垂线段最短，平移变换，割补法求面积等知识，灵活运用基础知识是解答此题的关键．
【考点6 根据旋转的性质求解】
【例6】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，AB=43，点D在边AB上，且BD=2，E是边AC的中点，将线段BD绕点B顺时针旋转，点D的对应点为F，连接AF，EF，当△AEF为直角三角形时，AF= ______．
【答案】27或219##219或27
【分析】根据题意，判断出只能是∠AEF=90°，分两种情形，点B、F、E三点共线，且F在B、E之间，或点B、F、E三点共线，且B在F、E之间，分别通过勾股定理求AF的长即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，E是边AC的中点，
∴只能是∠AEF=90°，
∵△ABC是等边三角形，E是边AC的中点，
∴点B、F、E三点必定共线，
由题意可知BF=BD=2，
当点F在△ABC内时，∠AEF=90°，此时，点B、F、E三点共线，且F在B、E之间，
∴BE=AB2−AE2=6，
∴EF=BE−BF=6−2=4，
∴AF=EF2+AE2=27；
当点F在△ABC外时，∠AEF=90°，此时，点B、F、E三点共线，且B在F、E之间，
此时，EF=BE+BF=6+2=8，
∴AF=EF2+AE2=219，
故答案为：27或219．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和等边三角形的性质，旋转的性质，能够根据题意限定出只有两种情况是解题的关键．
【变式6-1】（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）如图，在△ABC中∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，若点B'恰好落在BC边上，且AB'=CB'，则∠C'的度数为________．
【答案】24°##24度
【分析】根据AB'=CB'得到∠C=∠CAB'，从而得到∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C，根据旋转得到∠C=∠C'，AB=AB'，结合三角形内角和定理即可得到答案；
【详解】解：∵AB'=CB'，
∴∠C=∠CAB'，
∴∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C=∠C'，AB=AB'，
∴∠B=∠AB'B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴3∠C=180°−108°，
∴∠C=24°，
∴∠C'=∠C=24°，
故答案为：24°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形性质，旋转的性质，解题的关键是根据旋转及等腰三角形转换等角关系．
【变式6-2】（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛第七中学校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，连接CE，则△CBE的面积为________．
【答案】65
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据旋转的性质得出AE的长，然后根据线段的和差求得BE，根据等面积法求得AB边上的高ℎ，然后根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵∠C=90°,AC=4,BC=3
∴AB=AC2+BC2=5
由旋转的性质可知，AE=AC=4
∴BE=AB−AE=5−4=1
设△ABC中AB边上的高为ℎ，则ℎ=AC×BCAB=3×45=125，
∴△CBE的面积为12×BE×ℎ=12×1×125=65
故答案为：65．
【点睛】本题考查了勾股定理、旋转的性质等知识点，熟记旋转的性质是解题关键．
【变式6-3】（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
(1)求证：AE=BD；
(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=6，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)BD=213
【分析】（1）根据旋转的性质，得出∠DCE=60°，CD=CE，再根据等边三角形的性质，得出∠ACB=60°，AC=BC，再根据角之间的数量关系，得出∠BCD=∠ACE，再根据“边角边”，得出△BCD≌△ACE，再根据全等三角形的性质，即可得出结论；
（2）连接DE，根据旋转的性质，得出∠DCE=60°，CD=CE，再根据等边三角形的判定，得出△CDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出∠CDE=60°，DE=CD=6，进而得出∠ADE=90°，再根据勾股定理，得出AE=213，再根据（1）的结论，即可得出答案．
【详解】（1）证明：由旋转可知∠DCE=60°，CD=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中
BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE，
∴△BCD≌△ACESAS，
∴AE=BD；
（2）解：如图，连接DE，
∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，
∴∠DCE=60°，CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，DE=CD=6，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，
在Rt△ADE中，
∴AE=AD2+DE2=16+36=213，
∵AE=BD，
∴BD=213．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点，并且正确作出辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
【考点7 求旋转中心的个数】
【例7】（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置．
【详解】解：如图，
绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置；
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B．
【变式7-1】（2022春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是点_______________（填“A”“B”“C”或“D”）．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质，进行判断即可．
【详解】解：根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，可知：旋转中心是点B；
故答案为：B．
【点睛】本题考查根据旋转图形确定旋转中心的位置．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．
【变式7-2】（2022春·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）
A．M或O或NB．E或O或CC．E或O或ND．M或O或C
【答案】D
【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH；
若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH；
若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH．
故选A．
【变式7-3】（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）如图，ΔABC和ΔADC都是等边三角形.
（1）ΔABC沿着______所在的直线翻折能与ΔADC重合；
（2）如果ΔABC旋转后能与ΔADC重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；
（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.
【答案】（1）AC；（2）.点A、点C或者线段AC的中点；（3）60°
【分析】(1) 因为ΔABC和ΔADC有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将△ABC旋转后与ΔADC重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转60°，以AC中点旋转时旋转180°.
【详解】(1)∵ΔABC和ΔADC都是等边三角形，
∴ΔABC和ΔADC是全等三角形，
∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合.
故填AC;
(2)将△ABC旋转后与ΔADC重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60°或以点C为旋转中心顺时针旋转60°，或以AC的中点为旋转中心旋转180°即可；
（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转60°，以AC中点旋转时旋转180°.
【点睛】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可.
【考点8 根据旋转方式确定坐标】
【例8】（2022秋·湖北黄石·九年级黄石十四中校考期中）将点3,−4绕着原点按逆时针方向旋转90°后的对应点的坐标是（ ）
A．4,3B．4,−3C．−4,−3D．4,−3
【答案】D
【分析】根据题意，画出图形，通过证明△AOB≌△OA'C，即可进行解答．
【详解】解：如图，过点A作AB⊥x轴于点B，过点A'作A'C⊥x轴于点C，
∵A3,−4，
∴OB=3,AB=4，
∵点A绕原点逆时针旋转90°得到点A'，
∴OA=OA'，∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠A=90°，
∴∠2=∠A，
在△AOB和△OA'C中，
∠2=∠A∠OCA'=∠ABOOA=OA'，
∴△AOB≌△OA'CAAS，
∴A'C=OB=3,OC=AB=4，
∴点A'4,3，
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点到旋转中心连线的夹角等于旋转角．
【变式8-1】（2022秋·西藏林芝·九年级统考期中）在直角坐标系中，等腰直角三角形AOB在如图所示的位置，点B的坐标为（2，0），将△AOB绕原点O按逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，则点A′的坐标为（ ）
A．（-1，1）B．（1，1）
C．（2，2）D．（﹣2，2）
【答案】D
【分析】过点A作AC⊥OB于C，过点A'作A'C'⊥OB'于C'，根据等腰直角三角形的性质求出OC＝AC，再根据旋转的性质可得OC′＝OC，A'C'＝AC，然后写出点A'的坐标即可．
【详解】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点A'作A'C'⊥OB'于C'，
∵△AOB是等腰直角三角形，点B的横坐标为2，
∴OC=AC=12×2=1
∵△A′OB′是△AOB绕点O逆时针旋转90°得到，
∴OC'=OC=1，A'C'=AC=1，
∴点A'的坐标为（−1，1）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了等腰直角三角形的性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质．能熟练运用以上知识是解题的关键．
【变式8-2】（2022春·河北石家庄·八年级河北师范大学附属中学校考期中）已知点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC=3，将线段AC先绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度后，得到A'C'，则点A'的坐标是（ ）
A．（1，3）B．（－1，3）C．（－1，－3）D．（1，－3）
【答案】A
【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转的性质求出旋转后点A对应点的坐标，进而根据平移的性质求出A'的坐标．
【详解】解：∵点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC=3，
∴A4,0．
∴点A绕点C顺时针旋转90°后的坐标为1,−3，再向左平移2个单位长度后的坐标为A'−1,−3．
【点睛】本题考查旋转的性质，平移的性质，熟练掌握该知识点是解题关键．
【变式8-3】（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期中）在平面直角坐标系中，点A2，0，B5，4，连接AB得到线段AB，现将线段AB绕点A旋转90°，点B的对应点为B'，则点B'的坐标为（ ）．
A．5，−4B．−2，3C．−2，3或5，−4D．−2，3或6，−3
【答案】D
【分析】由于题目没有说明顺时针旋转还是逆时针旋转，故需要分情况讨论．
【详解】解：当AB绕点A逆时针旋转90°时，
此时过点B'作B'D⊥x轴于点D，
∵∠BAC+∠B'AD=90°，∠DB'A+∠B'AD=90°，
∴∠BAC=∠DB'A，
在△B'DA和△ACB中，
∠ACB=∠B'DA∠BAC=∠DB'AAB=AB'，
∴△ACB≌△B'DAAAS，
∴AD=BD，B'D=AC，
∵A2，0，B5，4，
∴BC=4，AC=3，
∴B'−2，3，
当AB绕点A顺时针旋转90°时，
过点B'作B'E⊥x轴于点E，
∵∠BAC+∠B'AC=90°，∠CB'A+∠B'AC=90°，
∴∠BAC=∠CB'A，
在△B'CA和△ACB中，
∠ACB=∠B'CA∠BAC=∠CB'AAB=AB'，
∴△ACB≌△B'CAAAS，
∴AC=BC，B'C=AC，
∵A2，0，B5，4，
∴BC=4，AC=3，
∴B'6，−3，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、两点间的距离和全等三角形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
【考点9 旋转作图】
【例9】（2022春·广东河源·七年级校考期中）如图已知在平面直角坐标系中的△ABC，A1,1，B2,3，C3,0．
(1)画出△ABC绕O顺时针旋转180°后的△A'B'C'．
(2)直接写出△A'B'C'各顶点的坐标．
【答案】(1)画图见解析
(2)A'−1,−1，B'−2,−3，C'−3,0
【分析】（1）找到A,B,C绕O顺时针旋转180°后的对应点A',B',C'，顺次连接即可求解；
（2）根据坐标系写出点的坐标即可求解．
【详解】（1）解：如图所示： △A'B'C' 即为所求．
（2）解：由图可知：A'−1,−1，B'−2,−3，C'−3,0．
【点睛】本题考查了画旋转图形，写出点的坐标，数形结合，掌握性质的性质是解题的关键．
【变式9-1】（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A−1,0，B−3,4，C2,4，D6,6．
(1)沿水平方向移动线段AB，使点A和点C的横坐标相同，画出平移后所得的线段A1B1，并写出点B1的坐标；
(2)将线段A1B1绕某一点旋转一定的角度，使其与线段CD重合（点A1与点C重合，点B1与点D重合），请作出旋转中心点P．
【答案】(1)图见解析，点B1的坐标为(0,4)
(2)见解析
【分析】（1）利用C点的横坐标为2，把AB向右平移2个单位即可；
（2）作CA1与DB1的垂直平分线，它们的交点为P．
【详解】（1）如图，线段A1B1为所作，点B1的坐标为(0,4)；
（2）如图，点P为所作．
【点睛】本题考查了平移作图，以及旋转中心的确定方法：把旋转前后重合的点看成是两图的对应点；找出两组对应点，分别连接每组对应点并作连线的垂直平分线，交点就是旋转中心．
【变式9-2】（2022春·重庆南岸·八年级校联考期中）作图题．
在平面直角坐标系中，每个网格单位长度为1，△ABC的位置如图所示，解答下列问题：
(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1．
(2)将△A1B1C1绕点C1旋转180°，得到△A2B2C1，画出旋转后的△A2B2C1．
(3)直接写出△A2B2C1的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)172
【分析】（1）将△ABC的三个顶点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到平移后的对应点A1，B1，C1的位置，然后顺次连接即可得出平移后的△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质依次找到各顶点旋转后的对应点，然后顺次连接即可得出旋转后的△A2B2C1；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求作的图形；
（2）解：如图所示，△A2B2C1即为所求作的图形；
（3）解：S△A2B2C1 =S梯形DEB2C1 −S△A2C1D−S△A2B2E
=12×3+5×5−12×1×3−12×4×5
=20−32−10
=172．
【点睛】本题考查了平移作图、旋转作图及割补法求面积，难度一般，解答此类题目的关键是掌握旋转及平移的特点，根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接．用到的知识点为：图形的平移要归结为图形顶点的平移；格点中的三角形的面积通常整理为长方形或梯形的面积与几个三角形的面积的差．
【变式9-3】（2022秋·四川凉山·九年级校考期中）如图，网格坐标系中△ABC三个顶点的坐标分别为A4，4，B0，3，C2，5，图中A'，B'，C'三点都在网格点上，
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)△A'B'C'是由△ABC绕某一点旋转一定角度得到，则旋转中心的坐标是___________
(3)请画出△A'B'C'关于原点对称的△A2B2C2并写出A2，B2，C2的坐标
【答案】(1)见解析
(2)2，1
(3)见解析，A2−3，1，B2−2，−3，C2−4，−1
【分析】（1）根据轴对称的性质画出点A，C的对应点A1，C1，再顺次连接即可；
（2）根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心；
（3）根据轴对称的性质画出点A，B，C的对应点A2，B2，C2，再顺次连接即可.
【详解】（1）解：△A1B1C1如图所示，
；
（2）解：旋转中心的坐标是P2，1；
故答案为：2，1；
（3）解：△A2B2C2如图所示，
A2−3，1，B2−2，−3，C2−4，−1.
【点睛】本题考查了利用对称变换作图，旋转变换作图，旋转变换的旋转以及对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握网格结构，找出对应点的位置是解题的关键．
【考点10 旋转中的规律性问题】
【例10】（2022秋·重庆南川·九年级期中）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）
A．图①B．图②C．图③D．图④
【答案】D
【分析】观察图形不难发现，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，用2021除以4，根据商和余数的情况确定即可．
【详解】解：由图可知，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，
∵2021÷4=505余1，
∴第2021次旋转后得到的图形为第505个循环组的第一个图，是图①．
【点睛】本题考查了旋转的性质，图形变化规律，观察出四次旋转后矩形又回到初始水平位置是解题的关键．
【变式10-1】（2022秋·浙江·七年级期中）图1是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图2所示，若骰子初始位置为图2所示的状态，将骰子向右翻滚90°，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连续完成2次翻折后，骰子朝下一面的点数是3；则连续完成2020次翻折后，骰子朝下一面的点数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】先根据平面图形确定各对面的点数，根据翻转发现规律：每四次为一个循环，用2020除以4得到翻转完成2020次后的图形，即可得到答案．
【详解】由平面图形可知：1与6是对面，2与5是对面，3与4是对面，
这是一个正方体，完成1次翻转时骰子朝下一面的点数是2，完成5次翻转后朝下一面的点数还是2，故每四次为一个循环，
∵2020÷4=505，
∴连续完成2020次翻折后，与图2的位置相同，骰子朝下一面的点数是4，
【点睛】此题考查图形类规律探究，正方体展开图，旋转的性质，正确理解旋转的规律并运用规律解决问题是解题的关键．
【变式10-2】（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，已知等边三角形OAB，顶点O0,0，B1,0，将△OAB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，顶点A的坐标为（ ）
A．12,32B．−32,12C．−12,−32D．32,−12
【答案】A
【分析】将△OAB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°知：旋转周期为4知点A旋转2022次后的坐标，相当于△OAB绕点O顺时针旋转2次，再结合图形得出点A旋转2次后的坐标即可得．
【详解】解：∵2021=4×505+1，2022=4×505+2
∴每4次一个循环，第2021次绕原点O顺时针旋转结束时，相当于△OAB绕点O顺时针旋转2次，即与原来的A刚好关于原点对称，
∵O0,0，B1,0，
∴等边三角形OAB的边长为1，
过A作AM⊥OB于M点，
在等边三角形OAB中：AM⊥OB，
∴OM=12OB=12,∠AMO=90°,OA=OB=1，
∴AM=12−122=32，
∴A12,32，
∴A12,32关于原点对称的点为：−12,−32，
∴第2022次旋转结束时，顶点A的坐标为−12,−32．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解题的关键是掌握图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
【变式10-3】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点P0的坐标为2,2，将线段OP0绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2……如此下去，得到线段OP2，OP3，OP4，……，OPn（n为正整数），则点P2027的坐标是______．
【答案】22028,0
【分析】勾股定理求出OP0，根据旋转的规律得到OP2027=22028，再利用角度变化得到点P2027是第254组的第3次变化，与点P3在同一坐标轴上，由此得到答案．
【详解】解：∵点P0的坐标为2,2，
∴OP0=2+2=2，
由题意得，OP1=2×2=22，OP2=2×22=23，OP3=2×23=24，……，
∴OP2027=22028，
∵每次都旋转45°，360°÷45°=8，
∴每8次变化为一个循环，
∵2027÷8=253⋯3，
∴点P2027是第254组的第3次变化，与点P3在同一坐标轴上，
∴点P2027的坐标是22028,0，
故答案为：22028,0．
【点睛】此题考查了点的坐标规律探寻，读懂题意，需要从伸长的变化规律求出OP2027的长度，从旋转的变化规律求出点OP2027所在的象限两个方面考虑求解．
【考点11 中心对称图形的识别】
【例11】（2022秋·山东滨州·九年级统考期中）下列标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意．
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
【变式11-1】（2022秋·北京·九年级清华附中校考期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlpℎaG进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【变式11-2】（2022春·河南郑州·八年级校考期中）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故A正确；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【变式11-3】（2022秋·河南许昌·九年级统考期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
【考点12 根据中心对称的性质求解】
【例12】（2022春·福建漳州·七年级统考期末）如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A．AD=CDB．∠C=∠EC．AE=CBD．S△ADE=S△ADB
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的性质可得结论．
【详解】解：∵△ADE与△CDB关于点D成中心对称，
∴AD=CD，AE=CB，BD=ED
∴S△ADE=S△ADB
∴选项A、C、D正确，选项B错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等．
【变式12-1】（2022秋·河北石家庄·九年级统考期中）如图，△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，将△ABC绕顶点A旋转180°，点C落在点C′处，则CC′的长为（ ）
A．42B．4C．23D．25
【答案】B
【详解】∵在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，
∴AC=2．
∵将△ABC绕顶点A旋转180°，点C落在C′处，AC′=AC=2，
∴CC′=4．
故选B．
【变式12-2】（2022春·浙江·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．6C．12D．24
【答案】A
【分析】由题意，图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，所以可以由中心对称图形的性质得到解答．
【详解】由题意，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分，所以由中心对称图形的性质可得：
所求的面积=12S▱ABCD=12×6×4=12．
故选C．
【点睛】本题考查中心对称图形的判定和性质，掌握中心对称图形的性质是解题关键．
【变式12-3】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为_____________．
【答案】11
【分析】连接DK，DN，证明S四边形DMNT=S△DKN=14大正方形的面积，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接DK，DN，
∵∠KDN=∠MDT=90°，
∴∠KDM=∠NDT，
∵DK=DN，∠DKM=∠DNT=45°，
∴△DKM≌△DNT（ASA），
∴S△DKM=S△DNT，
∴S四边形DMNT=S△DKN=14大正方形的面积，
∴正方形ABCD的面积=4×14×9+2=11．
故答案为：11．
【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键连接DK，DN，构造全等三角形解决问题．
【考点13 根据中心对称确定坐标】
【例13】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）已知点A−1,3a−1与点B2b+1,−2关于x轴对称，点Ca+2,b与点D关于原点对称，则D点坐标是（ ）
A．−3,1B．−3,2C．3,−1D．−3,−1
【答案】D
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标．
【详解】∵点A−1,3a−1与点B2b+1,−2关于x轴对称，
∴2b+1=−1，3a−1=2，
解得a=1，b=−1，
∴点A−1,2，B−1,−2，C3,−1，
∵点Ca+2,b与点D关于原点对称，
∴点D−3,1；
【点睛】本题考查的是轴对称变换，熟知关于x、y轴对称及原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
【变式13-1】（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期末）已知点P1a−1,1和P22,b−1关于原点对称，则a+b2008的值为（ ）
A．1B．0C．−1D．(−3)2008
【答案】D
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点Px,y，关于原点的对称点是−x,−y”这一结论求得a，b的值，再进行计算．
【详解】解：根据题意得：a−1=−2，b−1=−1，
解得：a=−1，b=0．
则a+b2008=1．
【点睛】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．根据这一条件就可以转化为方程问题解决，就可以得到关于a，b的方程，从而求得a，b的值．
【变式13-2】（2022秋·山东德州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，若点Pm，m−n与点Q2，1关于原点对称，则点Mm，n在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，求得m,n的值，即可求解．
【详解】解：∵点Pm，m−n与点Q2，1关于原点对称，
∴m=−2,m−n=−1,
∴n=−1,
∴M−2,−1在第三象限，
【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，判断点所在的象限，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
【变式13-3】（2022秋·河北保定·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，有A（2，-1）、B（-1，-2）、C（2，1）、D（-2，1）四点．其中，关于原点对称的两点为（ ）
A．点A和点BB．点B和点CC．点C和点DD．点D和点A
【答案】D
【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数即可得出答案．
【详解】解：A（2，﹣1）与D（﹣2，1）关于原点对称.
故选D．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【考点14 中心对称图形规律问题】
【例14】（2022春·全国·八年级期中）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，点13,3在第______个三角形上，△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是__________．
【答案】 7 4n+1，3
【分析】由题意可以求出点A1，A2，A3，A4的坐标，找出其中的规律，即可得到第一个空的答案；根据第一个空的规律，可求得第二个空的答案．
【详解】解：由题意可得，点A1的坐标为A11，3，A23，−3，A35，3，A47，−3，由此可得，点13,3是A7的坐标，即该点在第7个三角形上；
法一：由图可得点B1(2，0)，B2(4，0)，所以点Bn(2n，0)，则点B2n(4n，0)，
由图可推得点A2n+1(4n+1，3)；
法二：由点A1，A2，A3，A4的坐标，可得点An2n−1，−1n+1×3，
22n+1−1=4n+1，
所以点A2n+1(4n+1，3)．
故答案为7，4n+1，3
【点睛】本题考查图形类的规律探索题，根据图形找到规律是解题的关键．
【变式14-1】（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2016的坐标为_____________.
【答案】（0，0）
【分析】根据题意，确定出前几次跳跃后点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，得出规律，根据所得的规律即可求出点P2016的坐标．
【详解】根据题意可知：点P1（2，0），P2（-2，2），P3（0，-2），P4（2，2），P5（-2，0），P6（0，0），P7（2，0），由此可得可得出6次一个循环，
∵2016÷6=336，
∴点P2016的坐标为（0，0）．
故答案为（0，0）．
【点睛】本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．
【变式14-2】（2022秋·广东江门·七年级统考期中）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（ ）
A．4n+1B．3n+1C．4n+2D．3n+2
【答案】D
【分析】根据图像，分别确定前三个图中围棋的枚数，可知第一个图形中有（3+2）枚，且后一个图形总比第一个图形多3枚；联系上步分析，便不难得到第n个图形中需要围棋子的枚数与n的关系，从而解题.
【详解】解：∵第1个图形中有5枚，即3×1+2枚；
第2个图形中有8枚，即3×2+2枚；
第3个图形中有11枚，即3×3+2枚；
…
∴第n个图形中有3n+2枚．
故选：D．
【点睛】本题属于探究图形的规律的题目，考虑从简单情形入手分析.
【变式14-3】（2022春·湖南永州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A-2,0，B1,2，C1,-2.已知N-1,0，作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2022的坐标为___________.
【答案】−1,0
【分析】根据平面直角坐标系中，点的对称性质，结合题意，依次求得点N1，N2，N3，N4，N5，N6，N7的坐标，从而发现该题的规律，求得点N2022的坐标．
【详解】解：∵N-1,0，A-2,0，
∴点N关于点A的对称点N1-3,0，
∵点N1关于点B的对称点为N2，B1,2，N1-3,0，
∴N25,4，
∵点N2关于点C的对称点为N3，C1,-2，N25,4，
∴N3-3,-8，
∵点N3关于点A的对称点为N4，A-2,0，N3-3,-8，
∴N4-1,8，
∵点N4关于点B的对称点为N5，B1,2，N4-1,8，
∴N53,-4，
∵点N5关于点C的对称点为N6，C1,-2，N53,-4，
∴N6-1,0，
∵点N6关于点A的对称点为N7，A-2,0，N6-1,0，
∴N7-3,0，
此时点N7与点N1重合．
∵2022÷6=337，
∴N2022与点N6重合，
故N2022 -1,0，
答案为：-1,0．
【点睛】本题考查了点坐标的对称性质，熟练掌握点坐标的对称性质是解题的关键．
【考点15 分析图案的形成过程】
【例15】（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （ ）
A．轴对称B．旋转C．中心对称D．平移
【答案】D
【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答．
【详解】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意；
图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移．
故选：D．
【点睛】考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．
平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
【变式15-1】（2022·河北邢台·八年级统考期末）将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题中所给剪纸方法，进行手动操作，答案就能很直观的呈现.
【详解】按照图中顺序进行操作，展开后心形图案应该靠近正方形上下两边，且关于中间折线对称，故只有B选项符合.
故选B.
【点睛】本题考查剪纸问题，解决此类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴，一般的方法是动手操作，拿张纸按照题中的要求进行操作.
【变式15-2】（2022春·全国·八年级专题练习）对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换（如：平移、旋转、轴对称等）得到新图形上的对应点P′，Q′，保持P P′= Q Q′，我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”．对于三种变换： ①平移、②旋转、③轴对称，
其中一定是“同步变换”的有______________（填序号）．
【答案】①
【详解】根据平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质可知答案为序号①
【变式15-3】（2022春·全国·八年级专题练习）如图， 在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程_____________．
【答案】将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度
【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由△AOB得到△OCD的过程．
【详解】解：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△OCD，
故答案为：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度．
【考点16 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】
【例16】（2022春·陕西西安·八年级统考期中）在4×4的方格内选5个小正方形．
(1)在图1中，让它们以虚线为对称轴，组成一个轴对称图形；在图2中，让它们以虚线为对称轴组成一个轴对称图形；在图3中，让它们构成一个中心对称图形．请在图中画出你的这3种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：①5个小正方形必须相连在一起（有公共边或公共顶点视为相连）；②将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形能够重合，视为一种方案）
(2)在你所画得三个图中，最喜欢的是哪一个？简要说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据自己的喜好判断即可．
（1）
解：如图所示，
（2）
我更喜欢图3，理由：它既是轴对称图形，也是中心对称图形（答案不唯一）．
【点睛】本题考查图案设计，中心对称图形，轴对称图形等知识，解题的关键是理解中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
【变式16-1】（2022秋·湖北武汉·九年级校考期中）思考下列哪些图形可以经过复制自己拼成图一（可以翻折或旋转）
例如选择C就可以经过复制自己拼成图一，如图二所示，请模仿图二，另选两个完成下面两图．
【答案】见解析
【分析】由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称等方法变换出一些图案．利用翻折或旋转变换，即可得到图案．
【详解】解：如图三所示，选择E就可以经过复制自己拼成图一；如图四所示，选择F就可以经过复制自己拼成图一.
【点睛】本题主要考查了利用翻折或旋转变换设计图案，由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复杂图案．
【变式16-2】（2022春·山东菏泽·八年级统考期中）在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：
（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点式为相连）
（2）将选中的小正方行方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（每画对一种方案得2分，若两个方案的图形经过反折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【详解】试题分析：利用轴对称图形的性质用5个小正方形组成一个轴对称图形即可．
试题解析：如图．
．
考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案；利用平移设计图案．
【变式16-3】（2022秋·江西宜春·九年级统考期中）如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：
①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；
②所作图案用阴影标识，且阴影部分的面积为4．
【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的性质以及阴影部分面积求法得出即可，本题答案不唯一，只要满足题目两个条件即可．
【详解】解：如图所示；答案不唯一．
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