2020-2021学年湖北省武汉市青山区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年湖北省武汉市青山区八年级下学期期中数学试题及答案，共26页。

A．B．C．D．
2．在实数范围内有意义，则a的取值范围（ ）
A．a≥3B．a≤3C．a≥﹣3D．a≤﹣3
3．矩形和菱形都具有的性质是（ ）
A．有一组邻边相等B．对角线互相平分
C．对角线相等D．对角线互相垂直
4．下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．3﹣＝3C．＝+D．6＝2
5．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
6．下列说法中能推出△ABC是直角三角形的个数有（ ）
①a2＝c2﹣b2；
②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；
③a：b：c＝1：：2；
④∠C＝∠A﹣∠B．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．下列条件中，能推出▱ABCD为矩形的是（ ）
A．AB＝BCB．AC平分∠BADC．AC⊥BDD．AC＝BD
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A．B．C．4D．
9．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形，OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，OA1A2A3，△A2A3A4，…的面积分别为S1，S2，S3，…．如此下去，则S2021的值为（ ）
A．22018B．22019C．22019+D．22020
10．如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD的中点，E为边AB上一点，AF⊥DE于点F，
OF＝，AF＝1，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．﹣1
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置.
11．（﹣）2＝ ；＝ ．
12．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离 m．
13．如果是整数，则正整数n的最小值是 ．
14．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是 ．
15．在▱ABCD中，AB＝，AD＝，点A到边BC，CD的距离分别为AE＝，AF＝1，则∠EAF的度数为 ．
16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移，得到△EFG，连接EC，ED，FC，则EC+FC的最小值为 ．
三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．计算：
（1）﹣4+；
（2）（﹣）÷．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BE∥AC，AE∥BD，连接EO．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；
（2）若CD＝6，求OE的长．
19．已知直角三角形的两直角边长分别为（2+）和（2﹣）．
求这个直角三角形的斜边长．
20．如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）五边形ABCDE的周长为 ．
（2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称；
（3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积；
（4）在直线DF上找点H，使∠AHB＝135°．
21．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家正北方向的4km处，公园D与地铁口和学校的距离分别5km和5km．
（1）求地铁口、公园和学校三地组成的∠BDC的大小；
（2）计算公园与小明家的距离．
22．（1）如图1，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝a，BC＝b，AC＝m，BD＝n．
①若AC＝BD，则m2＝ ；（用含a，b的式子表示）
若AC⊥BD，则m2＝ ；（用含a，n的式子表示）
②试探索a，b，m，n这四条线段之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在△EFG中，GH是中线，若FG＝6，GH＝7，EG＝9，则FH的长为 ．
23．如图，P是菱形ABCD的边BC上一个动点，∠ABC＝60°，线段PC的垂直平分线与对角线BD交于点E，连接PE，CE，AP．
（1）如图（1），∠BAP＝16°，直接写出∠APE的大小；
（2）如图（2），试探索线段AB，BP，BE满足怎样的数量关系？并说明理由；
（3）如图（3），若AB＝1，过点E作EF⊥AP于点F，点P从点B往点C运动至EF最小时停止，直接写出点P的运动路径长．
24．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（0，a），点B（b，0），且a，b满足：b+4＝+，点C与点B关于y轴对称，点P，点E分别是x轴，直线AB上的两个动点．
（1）则点C的坐标为 ；
（2）连接PA，PE．
①如图1，当点P在线段BO（不包括B，O两个端点）上运动，若△APE为直角三角形，F为斜边PA的中点，连接EF，OF，试判断EF与OF的关系，并说明理由；
②如图2，当点P在线段OC（不包括O，C两个端点）上运动，若△APE为等腰三角形，M为底边AE的中点，连接MO，试探索PA与OM的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，连PA，CE，设它们所在的直线交于点G，设CE交y轴于点F，连接BG，若OP＝OF，则BG的最小值为 ．
参考答案
一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑.
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：A、不能化简，是最简二次根式，符合题意；
B、＝2，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
C、＝2，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝，能化简，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
2．在实数范围内有意义，则a的取值范围（ ）
A．a≥3B．a≤3C．a≥﹣3D．a≤﹣3
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解：根据题意得，3﹣a≥0，
解得a≤3．
故选：B．
3．矩形和菱形都具有的性质是（ ）
A．有一组邻边相等B．对角线互相平分
C．对角线相等D．对角线互相垂直
【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得出即可．
解：矩形的性质是：①矩形的四个角度数直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；
菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形和菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．3﹣＝3C．＝+D．6＝2
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
解：A、+，无法计算，故此选项错误；
B、3﹣＝2，故此选项错误；
C、＝，故此选项错误；
D、6＝6×＝2，故此选项正确；
故选：D．
5．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【分析】据平行四边形的性质得出AB∥CD，推出∠B+∠C＝180°，根据∠B：∠C＝1：2，求出∠C即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B：∠C＝1：2，
∴∠C＝×180°＝120°，
故选：D．
6．下列说法中能推出△ABC是直角三角形的个数有（ ）
①a2＝c2﹣b2；
②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；
③a：b：c＝1：：2；
④∠C＝∠A﹣∠B．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据勾股定理逆定理可得①③是否是直角三角形，根据三角形内角和计算出角的度数可判断②④是否是直角三角形．
解：①a2＝c2﹣b2，即a2+b2＝c2，是直角三角形；
②由∠A：∠B：∠C＝1：1：2可得∠C＝180°×＝90°，是直角三角形；
③∵a：b：c＝1：：2，12+（）2＝22，∴是直角三角形；
④∠C＝∠A﹣∠B可变为∠A＝∠C+∠B，根据∠A+∠B+∠C＝180°可得∠A+∠A＝180°，解得∠A＝90°，因此是直角三角形；
故选：D．
7．下列条件中，能推出▱ABCD为矩形的是（ ）
A．AB＝BCB．AC平分∠BADC．AC⊥BDD．AC＝BD
【分析】根据矩形的判定方法即可一一判断．
解：A、∵AB＝BC，
∴▱ABCD为菱形，故A选项不合题意；
B、∵AC平分∠BAD，
∴▱ABCD为菱形，故B选项不合题意；
C、∵AC⊥BD，
∴▱ABCD为菱形，故C选项不合题意；
D、∵AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故D选项符合题意；
故选：D．
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A．B．C．4D．
【分析】由在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，利用菱形的性质以及勾股定理，求得OB的长，继而可求得BD的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长．
解：如图．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，
∴OB＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB•DE＝AC•BD，
∴DE＝＝＝．
故选：D．
9．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形，OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，OA1A2A3，△A2A3A4，…的面积分别为S1，S2，S3，…．如此下去，则S2021的值为（ ）
A．22018B．22019C．22019+D．22020
【分析】首先求出S1、S2、S3，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
解：∵四边形OAA1B1是正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S1＝×1×1＝＝21﹣2，
∵∠OAA1＝90°，
∴OA12＝12+12＝2，
∴OA1＝，
∴OA2＝A2A3＝OA1＝2，
∴A2B1＝2﹣1＝1，
∴S2＝×2×1＝1＝22﹣2，
同理可求：S3＝×2×2＝2＝23﹣2，S4＝4＝24﹣2，…，
∴Sn＝2n﹣2，
∴S2021的值为22019．
故选：B．
10．如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD的中点，E为边AB上一点，AF⊥DE于点F，
OF＝，AF＝1，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．﹣1
【分析】连接AC，过O点作OG⊥OF交DE于G，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
解：连接AC，过O点作OG⊥OF交DE于点G，
∵四边形ABCD是正方形，O为BD的中点，AC，BD为对角线，
∴O为对角线的交点，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，OA＝OD，
∵OG⊥OF，
∴∠AOF+∠AOG＝90°，∠DOG+∠AOG＝90°，
∴∠AOF＝∠DOG，
∵AF⊥DE，
∴∠FAO+∠1＝90°，
∵∠GDO+∠2＝90°，∠1＝∠2，
∴∠FAO＝∠GDO，
在△AOF与△DOG中，
，
∴△AOF≌△DOG（ASA），
∴AF＝DG＝1，OG＝OF＝，
∴△OFG是直角三角形，
∴FG＝，
∴FD＝FG+GD＝3，
∵∠BAD＝90°，AF⊥DE，
∴∠EAF+∠FAD＝∠FAD+∠ADF＝90°，
∠EFA＝∠AFD＝90°，
∴△AFE∽△DFA，
∴，
∴EF＝AF＝，
故选：C．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置.
11．（﹣）2＝ 5 ；＝ 2 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出即可．
解：（﹣）2＝5；＝2．
故答案为：5，2．
12．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离 40 m．
【分析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．
解：AB＝＝＝m，
故答案为：40．
13．如果是整数，则正整数n的最小值是 3 ．
【分析】因为是整数，且＝＝2，则3n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为3．
解：∵＝＝2，且是整数；
∴2是整数，即3n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为3．
故答案是：3．
14．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是 4 ．
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD＝BC＝EB＝5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝8，∠EDC＝90°，根据勾股定理可求CE的长．
解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5，
∵EA＝3，ED＝4，
在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，
在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．
故答案为：4．
15．在▱ABCD中，AB＝，AD＝，点A到边BC，CD的距离分别为AE＝，AF＝1，则∠EAF的度数为 45°或135° ．
【分析】首先根据题意画出图形，再根据勾股定理可得DF＝AF，AE＝BE，然后再根据三角形内角和可得∠DAF＝45°，∠EAB＝45°，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，进而得到∠D+∠DAB＝180°，求出∠DAB的度数，进而可得答案，同理可得出∠EAF另一个度数．
解：如图1所示：
∵AF⊥DC，AE⊥CB，
∴∠DFA＝90°，∠AEB＝90°，
∵AD＝，AF＝1，
∴DF＝1，
∴∠D＝∠DAF＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DAB＝135°，
∵AB＝，AE＝，∴EB＝，
∴∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝135°﹣45°﹣45°＝45°，
如图2，过点A作AE⊥CB延长线于点E，过点A作AF⊥CD延长线于点F，
同理可得：∠EAB＝45°，∠BAD＝45°，∠FAD＝45°，
则∠EAF＝135°，
故答案为：45°或135°．
16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移，得到△EFG，连接EC，ED，FC，则EC+FC的最小值为 2 ．
【分析】根据菱形的性质得到AB＝2，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到EG＝AB＝2，EG∥AB，推出四边形EFCD是平行四边形，得到ED＝FC，于是得到EC+FC的最小值＝EC+ED的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于AE，解直角三角形即可得到结论．
解：在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝2，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，
∴EF＝AB＝2，EF∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴EF＝CD，EF∥CD，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴ED＝FC，
∴EC+FC的最小值＝EC+ED的最小值，
∵点E在过点A且平行于BD的定直线AE上，
∴作点D关于定直线AE的对称点M，连接CM交BG于O，
∴CM的长度即为EC+DE的最小值，
∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝2，
∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝1，
∴DM＝2，
∴DM＝CD，
∵∠CDM＝∠MDO+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠M＝∠DCM＝30°，
∴CM＝2×CD＝2．
故答案为：2．
三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．计算：
（1）﹣4+；
（2）（﹣）÷．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的除法法则运算．
解：（1）原式＝2﹣2+
＝；
（2）原式＝﹣
＝4﹣2．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BE∥AC，AE∥BD，连接EO．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；
（2）若CD＝6，求OE的长．
【分析】（1）先证明四边形AEBO为平行四边形，由菱形的性质可证明∠BOA＝90°，从而可证明四边形AEBO是矩形；
（2）依据矩形的性质可得到EO＝AB，然后依据菱形的性质可得到AB＝CD，得OE＝CD＝6即可．
解：（1）四边形AEBO是矩形．
理由：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AEBO是平行四边形，
又∵菱形ABCD对角线交于点O，
∴AC⊥BD，
即∠AOB＝90°，
∴四边形AEBO是矩形；
（2）∵四边形AEBO是矩形，
∴EO＝AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD．
∴EO＝CD＝6．
19．已知直角三角形的两直角边长分别为（2+）和（2﹣）．
求这个直角三角形的斜边长．
【分析】根据勾股定理列式计算即可得解．
解：∵直角三角形的两直角边长分别为（2+）和（2﹣），
∴斜边长＝＝．
20．如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）五边形ABCDE的周长为 20+ ．
（2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称；
（3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积；
（4）在直线DF上找点H，使∠AHB＝135°．
【分析】（1）根据勾股定理求出五边形ABCDE各边的长，相加即可；
（2）连接EC，作DF⊥EC交AB于点F即可．
（3）分成两个三角形求面积即可．
（4）利用等腰直角三角形的性质求解即可．
解：（1）由题意，AB＝BC＝CD＝＝5，AE＝＝，DE＝5，
∴五边形ABCDE的周长＝20+，
故答案为：20+．
（2）如图，点F即为所求作．
（3）四边形AEDG的面积＝××+×5×2＝10．
（4）如图，点H即为所求作．
21．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家正北方向的4km处，公园D与地铁口和学校的距离分别5km和5km．
（1）求地铁口、公园和学校三地组成的∠BDC的大小；
（2）计算公园与小明家的距离．
【分析】（1）由勾股定理求出BC＝5（km）＝BD，再由勾股定理的逆定理证△BCD是等腰直角三角形，∠CBD＝90°，则∠BDC＝45°；
（2）过D作DE⊥AB，交AB的延长线于E，证△BDE≌△CBA（AAS），得DE＝BA＝3km，BE＝CA＝4km，再由勾股定理求解即可．
解：（1）由题意得：BD＝5km，CD＝5km，∠BAC＝90°，AB＝3km，CA＝4km，
∴BC＝＝＝5（km），
∴BC＝BD，
∵BC2+BD2＝52+52＝50，CD2＝（5）2＝50，
∴BC2+BD2＝CD2，
∴△BCD是等腰直角三角形，∠CBD＝90°，
∴∠BDC＝45°；
（2）过D作DE⊥AB，交AB的延长线于E，如图所示：
则∠DEB＝90°，
∴∠BDE+∠DBE＝90°，
由（1）得：∠CBD＝90°，
∴∠DBE+∠CBA＝90°，
∴∠BDE＝∠CBA，
在△BDE和△CBA中，
，
∴△BDE≌△CBA（AAS），
∴DE＝BA＝3km，BE＝CA＝4km，
∴AE＝BE+AB＝7（km），
∴AD＝＝＝（km）．
22．（1）如图1，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝a，BC＝b，AC＝m，BD＝n．
①若AC＝BD，则m2＝ a2+b2 ；（用含a，b的式子表示）
若AC⊥BD，则m2＝ 4a2﹣n2 ；（用含a，n的式子表示）
②试探索a，b，m，n这四条线段之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在△EFG中，GH是中线，若FG＝6，GH＝7，EG＝9，则FH的长为 ．
【分析】（1）①若AC＝BD，则ABCD是矩形，由勾股定理即可；若AC⊥BD，则ABCD是菱形，由勾股定理即可；②作CN⊥AD于N，BM垂直DA延长线于M，先证△ABM≌△DCN，再利用勾股定理得到a，b，m，n这四条线段之间的数量关系；
（2）利用（1）的结论即可．
解：（1）①∵AC，BD是▱ABCD的对角线，
若AC＝BD，则ABCD是矩形，
∴m2＝a2+b2；
若AC⊥BD，则ABCD是菱形，
∴＝a2，
即m2＝4a2﹣n2；
故答案为：a2+b2，m2＝4a2﹣n2；
②如图1，作CN⊥AD于N，BM垂直DA延长线于M，
∵BM＝CN，AB＝CD，
∴△ABM≌△DCN，
∴AM＝DN，
在Rt△BDM中，BD2＝BM2+DM2，
即n2＝MB2+（MA+AD）2
＝MB2+MA2+AD2+2MA•AD
＝a2+b2+2MA•AD，
在Rt△N中，AC2＝AN2+CN2，
即m2＝（AD﹣DN）2+CN2
＝AD2+DN2+CN2﹣2AD•DN
＝a2+b2﹣2AD•DN，
∴m2+n2＝2（a2+b2）+2MA•AD﹣2DA•AD，
∵MA＝DN，
∴m2+n2＝2（a2+b2）；
（2）如图2，将三角形补全成平行四边形，利用上面讨论有：
（2FH）2+（2GH）2＝2（FG2+EG2），
∴FH＝．
23．如图，P是菱形ABCD的边BC上一个动点，∠ABC＝60°，线段PC的垂直平分线与对角线BD交于点E，连接PE，CE，AP．
（1）如图（1），∠BAP＝16°，直接写出∠APE的大小；
（2）如图（2），试探索线段AB，BP，BE满足怎样的数量关系？并说明理由；
（3）如图（3），若AB＝1，过点E作EF⊥AP于点F，点P从点B往点C运动至EF最小时停止，直接写出点P的运动路径长．
【分析】（1）连接AE，根据外角定义得出∠APC＝∠BAP+∠ABC＝76°，再根据等腰三角形的性质得出∠BAP+∠PAE＝∠BAE＝∠BCE＝∠EPC，设∠BAE＝∠BCE＝∠EPC＝x，∠APE＝y，根据角的关系列出方程组解方程组即可；
（2）作EF⊥PC于F，得出BF＝＝BE，FC＝PF＝BE﹣BP，即可得出AB＝BC＝BF+FC＝BE+BE﹣BP＝BE﹣BP；
（3）由题意判断当AP⊥BC时，EF最短，求出此时BP的长度即可．
解：（1）连接AE，
∵∠BAP＝16°，∠ABC＝60°，
∴∠APC＝∠BAP+∠ABC＝76°，
∵四边形ABCD是菱形，线段PC的垂直平分线与对角线BD交于点E，
∴AE＝CE，PE＝CE，
∴AE＝PE，
∴∠EAP＝∠APE，∠PCE＝∠EPC，
∴∠BAP+∠PAE＝∠BAE＝∠BCE＝∠EPC，
设∠BAE＝∠BCE＝∠EPC＝x，∠APE＝y，
∴，
解得，
∴∠APE＝30°；
（2）AB＝BE﹣BP，理由如下：
作EF⊥PC于F，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，BD是对角线，
∴∠EBF＝30°，
∴EF＝BE，
∴BF＝＝BE，
∵EF是PC的垂直平分线，
∴FC＝PF＝BE﹣BP，
∴AB＝BC＝BF+FC＝BE+BE﹣BP＝BE﹣BP，
即AB＝BE﹣BP；
（3）由题知，当AP⊥BC时，EF最短，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BP＝AB＝，
即点P的运动路径长为．
24．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（0，a），点B（b，0），且a，b满足：b+4＝+，点C与点B关于y轴对称，点P，点E分别是x轴，直线AB上的两个动点．
（1）则点C的坐标为 （4，0） ；
（2）连接PA，PE．
①如图1，当点P在线段BO（不包括B，O两个端点）上运动，若△APE为直角三角形，F为斜边PA的中点，连接EF，OF，试判断EF与OF的关系，并说明理由；
②如图2，当点P在线段OC（不包括O，C两个端点）上运动，若△APE为等腰三角形，M为底边AE的中点，连接MO，试探索PA与OM的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，连PA，CE，设它们所在的直线交于点G，设CE交y轴于点F，连接BG，若OP＝OF，则BG的最小值为 2﹣2 ．
【分析】（1）利用二次根式的被开方数是非负数求出a，b的值，可得结论．
（2）①结论：EF＝OF．利用直角三角形斜边中线的性质证明即可．
②结论：PA＝OM．如图2中，过点P作PH⊥AC于H，连接MH，OH，PM．想办法证明PA＝MH，MH＝OM，可得结论．
（3）取AC的中点T，连接BT，TG．求出BT，TG，可得结论．
解：（1）∵b+4＝+，
又∵，
∴a＝4，b＝﹣4，
∴A（0，4），B（﹣4，0），
∵B，C关于y轴对称，
∴C（4，0）．
故答案为：（4，0）．
（2）①如图1中，结论：EF＝OF．
理由：∵∠AEP＝∠AOP＝90°，AF＝FP，
∴EF＝PA，OF＝PA，
∴EF＝OF．
②结论：PA＝OM．
理由：如图2中，过点P作PH⊥AC于H，连接MH，OH，PM．
∵PA＝PE，AM＝ME，
∴PM⊥AE，
∵OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝90°
∴∠OAB＝∠AOC＝∠ACO＝45°，
∴∠AMP＝∠MAH＝∠PHA＝90°，
∴四边形AMPH是矩形，
∴AM＝PH，PA＝MH，
∵∠PHC＝90°，∠PCH＝45°，
∴∠HPC＝∠PCH＝45°，
∴PH＝CH＝AM，
在△AOM和△COH中，
，
∴△AOM≌△COH（SAS），
∴OM＝OH，∠AOM＝∠COH，
∴∠MOH＝∠AOC＝90°，
∴MH＝OM，
∴PA＝OM．
（3）如图3中，取AC的中点T，连接BT，TG．
在△AOP和△COF中，
，
∴△AOP≌△COF（SAS），
∴∠OAP＝∠PCG，
∵∠APO＝∠CPG，
∴∠AOP＝∠PGC＝90°，
∵AT＝TC．
∴TG＝AC＝×4＝2，
∵A（0，4），C（4，0），AT＝CT，
∴T（2，2），
∵B（﹣4，0），
∴BT＝＝2，
∴BG≥BT﹣TG，
∴BG≥2﹣2，
∴BG的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．