2023-2024学年湖北省荆门市掇刀区白石坡中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省荆门市掇刀区白石坡中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列黑体字中是轴对称的是( )
A. 新B. 年C. 吉D. 祥
2.若分式x−1x−3有意义，则x满足的条件是( )
A. x=1B. x=3C. x≠1D. x≠3
3.如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4.已知长方形的面积为4a2−6ab+2a，若它的一边长为2a，则它的周长为( )
A. 4a−3bB. 8a−6bC. 4a−3b+1D. 8a−6b+2
5.已知am=6，an=3，则am+n的值为( )
A. 9B. 18C. 3D. 2
6.下列各式中，计算正确的是( )
A. x(2x−1)=2x2−1B. x+3x2−9=1x−3
C. (a+2)2=a2+4D. (x+2)(x−3)=x2+x−6
7.如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为( )
A. 30°B. 36°C. 40°D. 45°
8.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
9.一个非零的自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如28=82−62，故28是一个“智慧数”.下列各数中，不是“智慧数”的是( )
A. 987B. 988C. 30D. 32
10.如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA=PE.有下列结论：①∠PAD+∠PEC=30°；②△PAE为等边三角形；③PD=CE−CP2；④S四边形AECP=S△ABC.其中正确的结论是( )
A. ①②③④B. ①②C. ①②④D. ③④
二、解答题：本题共14小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.(本小题3分)
若分式x2−4x−2的值为0，则x= ______．
12.(本小题3分)
某机器零件的横截面如图所示，按要求线段AB和DC的延长线相交成直角才算合格.一工人测得∠A=23°，∠D=31°，∠AED=∠143°，请你帮他判断该零件是否合格______(填“合格”或“不合格”)．
13.(本小题3分)
若y−x=−1，xy=4，则代数式−12x3y+x2y2−12xy3的值是______．
14.(本小题3分)
如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE=4，BC=10，则△BCE的面积为______．
15.(本小题3分)
关于x的分式方程mx−1+31−x=1有增根，则m的值是______．
16.(本小题3分)
如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，过点P作BC边的平行线，与另外两边的交点分别为D和E.给出以下四个结论：①△EBP是等腰三角形；②AE=EB；③DE=CD−BE；④点P在∠ACB的平分线上.其中一定正确的是______(把你认为正确结论的序号都填上)．
17.(本小题9分)
(1)计算：(a−b)2−(4ab3−8a2b2)÷4ab；
(2)解方程：12−x=1x−2−6−x3x2−12．
18.(本小题9分)
如图，点E为BC上一点，BE=AC，BC=DB，AC//BD.求证：AB=ED．
19.(本小题9分)
如图，已知△ABC，∠C=90°，AC(1)用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．
20.(本小题9分)
化简：2xx+1−2x+4x2−1÷x+2x2−2x+1，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．
21.(本小题9分)
如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，OB=OC=4．
(1)求△ABC的面积；
(2)点E，D分别为AB，AC上的点，且满是OE⊥OD.判断OE和OD的大小关系，并证明你的结论．
22.(本小题9分)
某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
(1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
23.(本小题9分)
如图1，点P、Q分别是边长为6cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s．
(1)连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
(2)何时△PBQ是直角三角形？
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP的交点为M，则∠CMQ的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
24.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，A(a,0)，B(0,b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．
(1)当2a2+4ab+4b2+2a+1=0时，求A，B的坐标；
(2)当a+b=0时，
①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB=PF；
②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45，交x轴于点Q，当CP=AQ时，求∠APB的大小．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由轴对称图形的定义可得：吉是轴对称图形，新，年，祥三个字都不是轴对称图形，故C符合题意，A，B，D不符合题意，
故选：C．
轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，根据轴对称图形的定义可得答案．
本题考查的是轴对称图形的含义，轴对称图形的识别，掌握定义，确定对称轴是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了分式有意义的条件，掌握“分母不为零时分式有意义”是解题关键。
【解答】
解：分式x−1x−3有意义，得：
x−3≠0
解得x≠3
故选D。
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．
根据全等三角形的对应边相等推知BD=AC=7，然后根据线段的和差即可得到结论．
【解答】
解：∵△ABC≌△DCB，
∴BD=AC=7，
∵BE=5，
∴DE=BD−BE=2，
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：另一边长是：(4a2−6ab+2a)÷2a=2a−3b+1，
则周长是：2[(2a−3b+1)+2a]=8a−6b+2．
故选：D．
首先利用面积除以一边长即可求得另一边长，则周长即可求解．
本题考查了整式的除法，以及整式的加减运算，正确求得另一边长是关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵am=6，an=3，
∴am+n
=am⋅an
=6×3
=18，
∴B符合题意，ACD不符合题意．
故选：B．
根据同底数幂的乘法法则计算即可．
本题考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、原式=2x2−x，错误；
B、原式=x+3(x+3)(x−3)=1x−3，正确；
C、原式=a2+4a+4，错误；
D、原式=x2−x−6，错误，
故选：B．
A、原式利用单项式乘以多项式法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式约分得到最简结果，即可作出判断；
C、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断；
D、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，以及约分，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用三角形的外角性质和等腰三角形的性质得出∠BAD=∠BDA=2∠C=2∠B关系．求出∠BAD=∠BDA=2∠C=2∠B关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，
【解答】
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵CD=AD，
∴∠C=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∠BDA=∠CAD+∠C，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°
故选B．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是底边BC的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是底边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=CM+MD+CD=AD+CD
=AD+12BC=8+12×4=8+2=10．
故选：C．
9.【答案】C
【解析】解：A、987=(34+13)(34−13)=342−132；
B、988=(32+6)(32−6)=322−62；
C、30=15×2=5×6，不能表示为两个非零自然数的平方差；
D、32=(6+2)(6−2)=62−22．
故选：C．
如果一个数是智慧数，就能表示为两个非零自然数的平方差，设这两个数分别m、n，设m>n，即智慧数=m2−n2=(m+n)(m−n)，因为mn是非0的自然数，因而m+n和m−n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看着两个数能否写成两个非0自然数的和与差．
本题考查了平方差公式，解决的方法就是对分解的每种情况进行验证．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接BP，
∵AC=BC，∠ABC=30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB=∠ABC=30°，AD=BD，CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP=BP，且AP=PE，
∴AP=PB=PE
∴∠PAB=∠PBA，∠PEB=∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE=∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC=∠PAD+∠PEC=30°，
故①正确；
∵PA=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∵∠ABC=∠PAD+∠PEC=30°，
∴∠PAE=∠PEA=60°，
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，作点P关于AB的对称点P′，连接P′A，P′D，
∴AP=AP′，∠PAD=∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE=AP，
∴AE=AP′，
∵∠CAD=∠CAP+∠PAD=30°，
∴2∠CAP+2∠PAD=60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD=60°−∠PAC，
∴∠P′AC=∠EAC，
∵AC=AC，
∴△P′AC≌△∠EAC(SAS)，
∴CP′=CE，
∵点P、P′关于AB对称，即PP′⊥AB，且PD=P′D，
∵CD⊥AB，
∴C、P、D、P′共线，
∴CE=CP′=CP+PD+DP′=CP+2PD，
∴PD=CE−CP2．
故③正确；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，
∵CG=CP，∠BCD=60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP=∠PCG=60°，
∴∠ECP=∠GPB=120°，且EP=PB，∠PEB=∠PBE，
∴△MCE≌△BGE(AAS)，
∴CE=GB，
∴AC=BC=BG+CG=EC+CP，
∵∠ABC=30°，AF⊥BM，
∴AF=12AB=AD，
∵S△ACB=12CB×AF=12(EC+CP)×AF=12EC×AF+12CP×AD=S四边形AECP，
∴S四边形AECP=S△ABC.故④正确．
所以其中正确的结论是①②③④．
故选：A．
连接BP，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求∠PEA=∠PAE=60°，可判断②；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，由“SAS”可证△P′AC≌△∠EAC，作点P关于AB的对称点P′，连接P′A，P′D，根据对称性质即可判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG=CP，由三角形的面积的和差关系可判断④．
本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
11.【答案】−2
【解析】解：∵分式x2−4x−2的值为0，
∴x2−4=0，x−2≠0，
∴x=−2．
故答案为：−2．
根据分式的值为0即分子的值为0以及分母不为0，进行列式计算，
本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握分子的值为0以及分母不为0的条件是解题的关键．
12.【答案】不合格
【解析】解：延长AB、DC相交F，连接F、E并延长至G．
则有(∠A+∠AFG)+(∠D+∠DFG)=∠AEG+∠DEG=∠AED=143°；
∵∠A=23°，∠D=31°，
∴∠AFD=∠AFG+∠DFG=∠AED−∠A−∠D=143°−23°−31°=89°≠90°．
所以零件不合格．
故答案为：不合格．
延长AB、DC相交F，连接F、E并延长至G.根据三角形的外角的性质可得(∠A+∠AFG)+(∠D+∠DFG)=∠AEG+∠DEG，再根据∠AFD=∠AFG+∠DFG=∠AED−∠A−∠D即可作出判断．
本题考查的是三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质：三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
13.【答案】−2
【解析】解：∵y−x=−1，xy=4，
∴−12x3y+x2y2−12xy3，
=−12xy(x2−2xy+y2)
=−12xy(y−x)2
=−12×4×(−1)2
=−2．
故答案为：−2．
根据题意，将代数式因式分解，然后整体代入求解即可．
本题考查了因式分解的运用、代数式求值，正确进行因式分解是解决问题的关键．
14.【答案】20
【解析】解：过E作EF⊥BC于F，
∵BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，EF⊥BC，
∴DE=EF，
∵DE=4，
∴EF=4，
∵BC=10，
∴△BCE的面积为12×BC×EF=12×10×4=20，
故答案为：20．
过E作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质得出DE=EF=4，根据三角形的面积公式求出面积即可．
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．
15.【答案】3
【解析】解：由题意知，分式方程的增根为x=1，
分式方程去分母得：m−3=x−1，
把x=1代入上述整式方程中，
解得m=3，
故答案为：3．
分式方程有增根，则增根为x=1，把分式方程化为整式方程后，把x=1代入整式方程中，即可求得m的值．
本题考查了分式方程的增根，关键是确定分式方程的增根．
16.【答案】①③④
【解析】解：连接CP，如图所示：
∵PD/​/BC，
∴∠DPB=∠PBN，
∵∠ABP=∠PBN，
∴∠DPB=∠ABP，
∴EP=EB，
∴△EBP是等腰三角形，故①正确；
∵PD/​/BC，
∴只有D为AC的中点时，即DE为△ABC的中位线时，才能AE=EB，②不一定正确；
∵CP是∠ACB的角平分线，
∴∠ACP=∠PCN，
∵PD/​/BC，
∴∠DPC=∠PCN，
∴∠ACP=∠DPC，
∴CD=DP，
∵EP=EB，
∴CD=DE+BE，
即DE=CD−BE，故③正确；
∵△ABC的两个外角的平分线相交于点P，
∴点P到边AM、AB、BN的距离相等，即点P到∠ACB两边的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，故④正确，
综上所述正确的有：①③④，
故答案为：①③④．
连接CP，由平行线的性质得出∠DPB=∠PBN，由角平分线定义得出∠ABP=∠PBN，推出∠DPB=∠ABP，得出EP=EB，①正确；只有DE为△ABC的中位线时，才能AE=EB，②不一定正确；由角平分线定义得出∠ACP=∠PCN，由平行线性质得出∠DPC=∠PCN，推出∠ACP=∠DPC，由等腰三角形的性质得出CD=DP，证出CD=DE+BE，即DE=CD−BE，③正确．由角平分线的性质得出点P到边AM、AB、BN的距离相等，即点P到∠ACB两边的距离相等，得出点P在∠ACB的平分线上，即CP是∠ACB的角平分线，④正确．
本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、角平分线定义与性质、中位线定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】解：(1)(a−b)2−(4 a b3−8 a2b2)÷4 a b
=a2−2ab+b2−(b2−2ab)
=a2−2ab+b2−b2+2ab
=a2；
(2)12−x=1x−2−6−x3x2−12，
整理得：−1x−2=1x−2−6−x3(x−2)(x+2)，
移项得：6−x3(x−2)(x+2)=2x−2，
去分母得：6−x=2×3(x+2)，
去括号得：6−x=6x+12，
移项合并同类项得：7x=−6，
系数化为1得：x=−67．
经检验：x=−67是原方程的根，
∴原方程的解为x=−67．
【解析】(1)根据完全平方公式，多项式除以单项式计算各项，再去括号合并同类项即可；
(2)先整理方程，再按照解分式方程的过程进行求解即可．
本题考查了整式的除法，解分式方程，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则和运算步骤是解题关键．
18.【答案】证明：∵AC/​/BD，
∴∠C=∠EBD，
在△ABC与△EDB中，
AC=EB∠C=∠EBDBC=DB，
∴△ABC≌△EDB(SAS)，
∴AB=ED．
【解析】由AC/​/BD，得∠C=∠EBD，而AC=EB，BC=DB，即可根据“SAS”证明△ABC≌△EDB，则AB=ED．
此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△EDB是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示：点D即为所求；
(2)在Rt△ABC中，∠B=37°，
∴∠CAB=53°，
又∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=37°，
∴∠CAD=53°−37°=16°．
【解析】【分析】
此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确利用线段垂直平分线的性质得出∠BAD=∠B=37°是解题关键．
(1)利用线段垂直平分线的作法得出D点位置即可；
(2)利用线段垂直平分线的性质得出，∠BAD=∠B=37°，进而求出即可．
20.【答案】解：原式=2xx+1−2(x+2)(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x+2
=2xx+1−2x−2x+1
=2x−2x+2x+1
=2x+1
∵不等式x≤2的非负整数解是0，1，2
∵(x+1)(x−1)≠0，x+2≠0，
∴x≠±1，x≠−2，
∴把x=0代入2x+1=2．
【解析】首先利用分式的混合运算法则将原式化简，然后解不等式，选择使得分式有意义的值代入求解即可求得答案．
此题考查了分式的化简求值问题．注意掌握分式有意义的条件是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴AB2+AC2=BC2，即2AB2=BC2，
∵OB=OC=4，
∴BC=8，
∴2AB2=64，即AB2=32，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12AB2=16；
(2)结论：OE=OD，
连接AO，

∵AB=AC，OB=OC，∠BAC=90°，
∴AO⊥BC，∠BAO=∠CAO=45°，AO=OB=OC，∠B=∠C=45°
∴∠AOB=∠AOC=90°，
∴∠AOE+∠BOE=90°，
∵OE⊥OD，
∴∠EOD=90°，
∴∠AOD+∠AOE=90°，
∴∠AOD=∠BOE，
在△AOD和△BOE中，
∵∠OAD=∠BAO=BO∠AOD=∠BOE，
∴△AOD≌△BOE(ASA)，
∴OE=OD．
【解析】(1)结合已知条件并利用勾股定理求得AB2的值，再利用三角形面积公式即可得到结果．
(2)连接AO，利用“三线合一”定理并结合已知条件设法证明△AOD≌△BOE即可得到结果．
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，解题的关键作出恰当的辅助线，构造全等三角形．
22.【答案】解：(1)设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
(1x+13x)×15+10x=1．
解得：x=30．
经检验x=30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
(2)该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷(130+130×3)=22.5(天)，
则该工程施工费用是：22.5×(6500+3500)=225000(元)．
答：该工程的费用为225000元．
【解析】(1)设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可；
(2)先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
23.【答案】解：(1)∠CMQ=60°不变．
∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
又由条件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP(SAS)，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
(2)设时间为t，则AP=BQ=t，PB=6−t，
①当∠PQB=90°时，
∵∠ABC=60°，
∴PB=2BQ，得6−t=2t，t=2；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠ABC=60°，
∴BQ=2BP，得t=2(6−t)，t=4；
∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形．
(3)∠CMQ=120°不变．
∵在等边三角形中，BC=AC，∠ABC=∠CAP=60°，
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由条件得BP=CQ，
∴△PBC≌△QCA(SAS)，
∴∠BPC=∠MQC
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°−60°=120°．
【解析】(1)因为点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，所以AP=BQ.AB=AC，∠B=∠CAP=60°，因而运用边角边定理可知△ABQ≌△CAP.再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得CQM的度数．
(2)设时间为t，则AP=BQ=t，PB=6−t.分别就①当∠PQB=90°时；②当∠BPQ=90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值．
(3)首先利用边角边定理证得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性质定理得到∠BPC=∠MQC.再运用三角形角间的关系求得∠CMQ的度数．
此题是一个综合性很强的题目．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
24.【答案】解：(1)∵2a2+4ab+4b2+2a+1=0，
∴(a+2b)2+(a+1)2=0，
∵(a+2b)2≥0 (a+1)2≥0，
∴a+2b=0，a+1=0，
∴a=−1，b=12，
∴A(−1,0)B(0,12).
(2)①证明：如图1中，
∵a+b=0，
∴a=−b，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∵D与P关于y轴对称，
∴BD=BP，
∴∠BDP=∠BPD，
设∠BDP=∠BPD=α，
则∠PBF=∠BAP+∠BPA=45°+α，
∵PE⊥DB，
∴∠BEF=90°，
∴∠F=90−∠EBF，
又∠EBF=∠ABD=∠BAO−∠BDP=45°−α，
∴∠F=45+α，
∴∠PBF=∠F，
∴PB=PF．
②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H.可得等腰直角△BQF，
∵∠BOQ=∠BQF=∠FHQ=90°，
∴∠BQO+∠FQH=90°，∠FQH+∠QFH=90°，
∴∠BQO=∠QFH，
∵QB=QF，
∴△FQH≌△QBO(AAS)，
∴HQ=OB=OA，
∴HO=AQ=PC，
∴PH=OC=OB=QH，
∴FQ=FP，
又∠BFQ=45°
∴∠APB=22.5°．
【解析】(1)利用非负数的性质求解即可．
(2)①想办法证明∠PBF=∠F，可得结论．
②如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H.可得等腰直角△BQF，证明△FQH≌△QBO(AAS)，再证明FQ=FP即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．