2024-2025学年湖南省益阳市沅江市新湾中学八年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省益阳市沅江市新湾中学八年级（上）开学数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是( )
A. 100°B. 110°C. 115°D. 120°
2.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果∠ADB=35°，那么∠AOB的度数为( )
A. 35°B. 45°C. 70°D. 110°
3.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=( )
A. 720°
B. 540°
C. 180°
D. 360°
4.如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是( )
A. BE=ECB. BC=EF
C. AC=DFD. △ABC≌△DEF
5.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF=1：4：4，则AO的长度为( )
A. 7B. 5C. 16017D. 8017
6.在▱ABCD中，已知AB=6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为1：3两部分，则AD的长为( )
A. 8或24B. 8C. 24D. 9或24
7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为边BC上的点，连接AM，如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是( )
A. 2B. 1C. 2.5D. 3
8.如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，下列尺规作图，不能得到∠ADC=2∠B的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD>AB，点E从点B出发(不含点B)沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为( )
A. 平行四边形→菱形→正方形→矩形
B. 平行四边形→正方形→菱形→矩形
C. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
D. 平行四边形→正方形→平行四边形一矩形
10.如图，矩形ABCD中，AD= 2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DF⊥AE，垂足为F，连接BF，CF，下列结论：
①AD=AE；
②∠DEA=∠DEC；
③DE⊥CF；
④BF=FC；
其中正确的结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.一个三角形的两边长为5和7，则第三边a的取值范围是______．
12.如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD是高，AE是角平分线，则∠EAD=______度．
13.如图，五边形ABCDE是正五边形．若l1//l2，则∠1+∠2=______．
14.如图，PA，PB与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，若∠C=70°，则∠P=______°.
15.如图，若△ABC≌△DEF，AF=2，FD=8，则FC的长度是______．
16.如图，一次函数y=x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC=45°，PC=PO，则点P的坐标为______．
17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点O，OD⊥OA交AC于D，OE⊥OB交BC于E，AC=6，AB=10，则△CDE的周长为______．
18.如图，已知A(2,0)，B(2,2)，直线y=kx+2与x轴正半轴交于点C，与y轴交于点D，将线段CD绕着点C顺时针旋转90°，点D落在点E处，连接AE，BE，若△AEB是以AB为底的等腰三角形，则k的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共57分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题7分)
如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．
(1)求∠DCE的度数；
(2)试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．(不必证明)
20.(本小题7分)
如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线．
(1)在△BED中作BD边上的高．
(2)若△ABC的面积为20，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点DM与EN相交于点F．
(1)若AB=3cm，求△CMN的周长．
(2)若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
22.(本小题8分)
已知：△ABC中，图①中∠B、C的平分线相交于M，图②中∠B、∠C的外角平分线相交于N．
(1)若∠A=80°，∠BMC=______°，∠BNC=______°.
(2)若∠A=β，试用β表示∠BMC和∠BNC．
23.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE=CG，AH=CF，
(1)如图(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如图(2)若EG平分∠HEF，在不添加辅助线的条件下，直接写出长度等于EH的线段(不包括EH)
24.(本小题9分)
【问题发现】(1)如图1，△ABC与△CDE中，∠B=∠E=∠ACD=90°，AC=CD，B、C、E三点在同一直线上，AB=3，ED=4，则BE=______．
【问题提出】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=4，过点C作CD⊥AC，且CD=AC，求△BCD的面积．
【问题解决】(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．
25.(本小题9分)
如图1，点E为正方形ABCD边AB上的一点，连接EC，点F是线段EC上的一个动点(不与点E，C重合)，直线DF交直线BC于点G．
(1)如图1，当DG⊥EC时，用等式表示BE，GC之间的数量关系，并证明；
(2)如图2，当CF=CD时，
①补全图形；
②用等式表示BE，EC，CG之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°；
根据三角形内角和定理计算．
【解答】解：∠ABC=50°，∠ACB=80°，
BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=25°，∠PCB=40°，
∴∠BPC=115°．
故选C．
2.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=12AC，OD=12BD，AC=BD，
∴OA=OD，
∵∠ADB=35°，
∴∠OAD=∠ODA=35°，
∴∠AOB=∠OAD+∠ODA=70°．
故选：C．
根据矩形的性质证得OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3.【答案】D
【解析】解：如图，连接DC．
∵∠FGD=∠E+∠F，∠FGD=∠GDC+∠GCD，
∴∠E+∠F=∠GDC+∠GCD，
∵∠A+∠ADC+∠DCB+∠F=360°，
∴∠A+∠ABC+∠GDC+∠GCD+∠GCB+∠F=360°．
故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是360°．
故选：D．
连接DC，由三角形内角和外角的关系可知∠E+∠F=∠GDC+∠GCD，由四边形内角和是360°，即可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，比较简单．
4.【答案】A
【解析】解：∵Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF
∴BC=EF，AC=DF
所以只有选项A是错误的，故选A．
把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．所以Rt△ABC与Rt△DEF的形状和大小完全相同，即Rt△ABC≌Rt△DEF．
本题涉及的是全等三角形的知识；解答本题的关键是应用平移的基本性质．
5.【答案】D
【解析】解：连接OB，OC，
∵OD：OE：OF=1：4：4，
∴设OD=x，则OE=OF=4x，
∵OF⊥AB，OE⊥AC，
∴AO平分∠BAC，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
∵OD⊥BC，
∴点A、D、O三点共线，
∴BD=DC=12BC=3，
在Rt△ABD中，AB=5，
∴AD= AB2−BD2= 52−32=4，
∵△ABC的面积=△ABO的面积+△ACO的面积−△BOC的面积，
∴12BC⋅AD=12AB⋅OF+12AC⋅OE−12BC⋅OD，
∴BC⋅AD=AB⋅OF+AC⋅OE−BC⋅OD，
∴6×4=5⋅4x+5⋅4x−6x，
解得：x=1217，
∴OD=1217，
∴AO=AD+OD=4+1217=8017，
故选：D．
连接OB，OC，根据已知可设OD=x，则OE=OF=4x，从而可得AO平分∠BAC，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得AO⊥BC，从而可得点A、D、O三点共线，进而可得BD=DC=12BC=3，最后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD的长，从而利用面积法进行计算可求出OD的长，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BEA=∠CBE，
∴∠ABE=∠BEA，
∴AB=AE=6．
∵点E将AD分为1：3两部分，
∴DE=18或DE=2，
∴当DE=18时，AD=24；
当DE=2，AD=8；
故选：A．
由平行四边形的性质和角平分线得出AB=AE=6，再由已知条件得出DE=18或DE=2，分别求出AD即可．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出AB=AE是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：如图，过点M作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，
又∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠MAB=∠MAE=45°，
∴ME=MF，
由题意AB=AB′=CB′=3，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12⋅(AB+AC)⋅ME，
∴ME=2，
所以点M到AC的距离是2．
故选：A．
如图，过点M作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，利用面积法求解即可．
本题考查图形的翻折，利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、平行线和相似三角形判定和性质求解．
8.【答案】D
【解析】解：A、由作图可知，AD=DC，
∴∠ADC=∠C=2∠B，本选项不符合题意；
B、由作图可知，∠DCB=∠ACD，
∵∠ADC=∠B+∠DCB，∠ACB=2∠B，
∴∠ADC=2∠B，本选项不符合题意；
C、由作图可知，点D在线段AB的垂直平分线上，
∴DB=DA，
∴∠B=∠DAB，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=2∠B，本选项不符合题意．
D、无法判断，∠ADC=2∠B．
故选：D．
利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质一一判断即可．
本题考查作图−复杂作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定．
根据对称中心的定义，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质，可得四边形BEDF形状的变化情况．
【解答】
解：连接BD．
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴BD经过点O，OD=OB，
∵AD/​/BC，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，
∠FDO=∠EBOOD=OB∠DOF=∠BOE，
∴△DFO≌△BEO(ASA)，
∴DF=BE，
∵DF/​/BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
观察图形可知，四边形BEDF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：C．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠AEB=∠BAE=45°，
∴AB=BE，
∴AE= 2AB，
∵AD= 2AB，
∴AD=AE，故①正确；
∵∠BAE=∠DAE=45°，AD=AE，∠ABE=∠AFD=90°，
∴△ABE≌△AFD(AAS)，
∴AB=AF，BE=DF，
∴AB=BE=AF=DF=CD，
∴EF=CE，∠ADF=45°，
又∵DE=DE，
∴△DEC≌△DEF(SSS)，
∴∠DEA=∠DEC，故②正确；
∵DF=DC，EF=EC，
∴DE垂直平分FC，故③正确；
∵∠CDF=90°−∠ADF=45°，
∴∠BAE=∠FDC=45°，
又∵AB=DF，AF=CD，
∴△ABF≌△DFC(SAS)，
∴BF=CF，故④正确，
综上所述：正确的结论有①②③④，共4个，
故选：D．
由等腰直角三角形的性质可得AE= 2AB，可证AD=AE，故①正确；由“AAS”可证△ABE≌△AFD，可得∠DEA=∠DEC，故②正确；可证DE垂直平分FC，故③正确；由“SAS”可证△ABF≌△DFC，可得BF=CF，故④正确．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
11.【答案】2【解析】解：∵三角形的两边长分别为5、7，
∴第三边a的取值范围是则2故答案为：2根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．
本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
12.【答案】10
【解析】解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−50°−70°=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC=12×60°=30°，
∵AE是高，
∴∠BAE=90°−∠B=90°−50°=40°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−30°=10°
故答案为：10．
根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后求解即可．
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．
13.【答案】108°
【解析】解：过点B作直线BF/​/l1，
∵l1/​/l2，
∴BF/​/l2，
∴∠2=∠ABF，∠1=∠CBF，
∵正五边形的内角度数为：180°×(5−2)5=108°，
∴∠1+∠2=∠ABC=108°．
故答案为：108°．
过点B作直线BF/​/l1，利用平行线的性质推导出∠2=∠ABF，∠1=∠CBF，两个式子相加即可．
本题主要考查了多边形内角和公式及平行线的性质，解题的关键是过点B拐点作平行线辅助线．
14.【答案】40
【解析】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，
∴∠P=180°−∠AOB，
∵∠C=70°，
∴∠AOB=2∠C=140°，
∴∠P=180°−140°=40°，
故答案为：40．
连接OA、OB，根据切线的性质得到∠PAO=∠PBO=90°，进而得到∠P=180°−∠AOB，根据圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB，求出∠AOB的度数．
本题考查了切线的性质、四边形内角和、圆周角定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，AF=2，FD=8，
∴AC=FD=8，
∴FC=AC−AF=8−2=6，
故答案为：6．
根据全等三角形的对应边相等解答即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．
16.【答案】(−2 2,4−2 2)
【解析】【分析】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解决问题的关键．先根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，过P作PD⊥OC于D，证明△BDP是等腰直角三角形，再根据其性质利用AAS证明△PCB≌△OPA，可得AO=BP=4，根据勾股定理求出BD长，继而可得OD长，由此易得点P的坐标．
【解答】
解：∵一次函数y=x+4与坐标轴交于A、B两点，
y=x+4中，令x=0，则y=4；令y=0，则x=−4，
∴A(−4,0)，B(0,4)，
∴AO=BO=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
过P作PD⊥OC于D，则△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC=∠CPO=∠OAP=45°，
∴∠PCB+∠BPC=135°=∠OPA+∠BPC，
∴∠PCB=∠OPA，
在△PCB和△OPA中，
∠PBC=∠OAP∠PCB=∠OPAOP=PC，
∴△PCB≌△OPA(AAS)，
∴AO=BP=4，
∴Rt△BDP中，BD=PD=BP 2=2 2，
∴OD=OB−BD=4−2 2，
∵PD=BD=2 2，
∴P(−2 2,4−2 2)，
故答案为(−2 2,4−2 2).
17.【答案】4
【解析】解：延长DO交AB于点M，延长EO交AB于点N，
∵OB是∠ABC的平分线，
∴∠OBE=∠OBN．
∵OE⊥OB，
∴∠BOE=∠BON=90°．
在△BOE与△BON中，
∠OBE=∠OBNOB=OB∠BOE=∠BON，
∴△BOE≌△BON(ASA)．
同理可得，△AOD≌△AOM，
∴OE=ON，OD=OM，BE=BN，AD=AM．
在△EOD与△NOM中，
OE=ON∠DOE=∠MODOD=OM，
∴△EOD≌△NOM(SAS)，
∴DE=MN．
∴CE+CD+DE
=BC−BE+AC−AD+MN
=BC−(BM+MN)+AC−(AN+MN)+MN
=BC−BM−MN+AC−AN−MN+MN
=BC−BM−MN+AC−AN
=BC−(BM+MN+AN)+AC
=BC+AC−AB，
在Rt△ABC中，AC=6，AB=10，
∴BC= 102−62=8，
∴CE+CD+DE
=8+6−10
=4．
故答案为：4．
延长DO交AB于点M，延长EO交AB于点N，根据ASA定理可得△BOE≌△BON，△AOD≌△AOM，再由SAS定理得出△EOD≌△NOM，由全等三角形的对应边相等可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
18.【答案】−2
【解析】解：过点E作EF⊥x轴于点F，如图所示．
∵点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(2,2)，△ABE为等腰三角形，
∴点E的纵坐标为1，
∴EF=1．
∵∠ODC+∠OCD=90°，∠OCD+∠FCE=180°−90°=90°，
∴∠ODC=∠FCE．
在△OCD和△FEC中，
∠COD=∠EFC=90°∠ODC=∠FCECD=EC，
∴△OCD≌△FEC(AAS)，
∴OC=FE=1，
∴点C的坐标为(1,0)．
∵直线y=kx+2与x轴正半轴交于点C，
∴0=1×k+2，
解得：k=−2，
∴k的值为−2．
故答案为：−2．
过点E作EF⊥x轴于点F，易证△OCD≌△FEC，利用全等三角形的性质，可求出OC的长，进而可得出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出k的值．
本题考查了全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及坐标与图形变化−旋转，利用全等三角形的判定定理AAS，证出△OCD≌△FEC是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵∠A=40°，∠B=72°，
∴∠ACB=68°
∵CD平分∠ACB
∴∠DCB=12∠ACB=34°
∵CE是AB边上的高
∴∠ECB=90°−∠B=90°−72°=18°
∴∠DCE=34°−18°=16°
(2)∠DCE=12(∠B−∠A)．
【解析】本题求的是∠DCE的度数，由图示知∠DCE=∠DCB−∠ECB，又由角平分线定义得∠DCB=12∠ACB，然后利用内角和定理，分别求出∠ECB与∠ACB即可．
本题主要考查三角形内角和定理、角平分线及高线性质，解答的关键是沟通未知角和已知角的关系．
20.【答案】解：(1)如图所示：
(2)∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=12S△ABC，
∵BE是△ABD的中线，
∴S△BED=12S△ABD，
∵△ABC的面积为20，
∴△EBD的面积是20÷4=5，
∴12⋅DB⋅EH=5，
∴12×5⋅EH=5，
EH=2．
即点E到BC边的距离为2．
【解析】(1)根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
(2)首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得△EBD的面积是5，再利用三角形的面积公式进而得到EH的长．
此题主要考查了复杂作图，以及三角形中线的性质，关键是掌握中线把三角形的面积分成相等的两部分．
21.【答案】解：(1)∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=3(cm)；
(2)∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°−70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°−∠AMD+90°−∠BNE=180°−110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°−2(∠A+∠B)=180°−2×70°=40°．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到AM=CM，BN=CN，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
(2)根据三角形内角和定理求出∠MNF+∠NMF，进而求出∠A+∠B，结合图形计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
22.【答案】130 50
【解析】解：(1)如图①，∵∠B、∠C的平分线相交于M，
∴∠MBC=12∠ABC，∠MCB=12∠ACB，
∴∠MBC+∠MCB=12(∠ABC+∠ACB)，
∵∠MBC+∠MCB+∠BMC=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠MBC+∠MCB=180°−∠BMC，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∴∠BMC=90°+12∠A，
∵∠A=80°，
∴∠BMC=130°；
如图②，∵∠B、∠C外角的平分线相交于N，
∴∠NBC=12∠PBC，∠NCB=12∠QCB，
∴∠NBC+∠NCB=12(∠PBC+∠QCB)，
∵∠NBC+∠NCB+∠BNC=180°，∠PBC=∠A+∠ACB，∠QCB=∠A+∠ABC，
∴∠NBC+∠NCB=180°−∠BNC，∠PBC+∠QBC=∠A+∠ABC+∠ACB+∠A=180°+∠A，
∴180°−∠BNC=12(180°+∠A)，
即∠BNC=90°−12∠A，
∵∠A=80°，
∴∠BNC=50°；
故答案为：130；50；
(2)如图①，∵∠B、∠C的平分线相交于M，
∴∠MBC=12∠ABC，∠MCB=12∠ACB，
∴∠MBC+∠MCB=12(∠ABC+∠ACB)，
∵∠MBC+∠MCB+∠BMC=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠MBC+∠MCB=180°−∠BMC，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∴∠BMC=90°+12∠A=90°+12β；
如图②，∵∠B、∠C外角的平分线相交于N，
∴∠NBC=12∠PBC，∠NCB=12∠QCB，
∴∠NBC+∠NCB=12(∠PBC+∠QCB)，
∵∠NBC+∠NCB+∠BNC=180°，∠PBC=∠A+∠ACB，∠QCB=∠A+∠ABC，
∴∠NBC+∠NCB=180°−∠BNC，∠PBC+∠QBC=∠A+∠ABC+∠ACB+∠A=180°+∠A，
∴180°−∠BNC=12(180°+∠A)，
即∠BNC=90°−12∠A=90°−12β.
(1)由角平分线的定义可得∠MBC+∠MCB=12(∠ABC+∠ACB)，再利用三角形的内角和定理可得∠M=90°+12∠A，进而可求解；由角平分线的定义可得∠NBC+∠NCB=12(∠PBC+∠QCB)，再利用三角形的内角和定理可得∠N=90°−12∠A，进而可求解；
(2)由角平分线的定义可得∠MBC+∠MCB=12(∠ABC+∠ACB)，再利用三角形的内角和定理可得∠M=90°+12∠A，进而可求解；由角平分线的定义可得∠NBC+∠NCB=12(∠PBC+∠QCB)，再利用三角形的内角和定理可得∠N=90°−12∠A，进而可求解．
本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用三角形内角和定理求解角的关系式解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，且AE=CG，AH=CF
∴△AEH≌△CGF(SAS)，
∴EH=GF，
同理EF=GH
∴四边形EFGH是平行四边形
(2)∵四边形EFGH是平行四边形
∴EH/​/FG
∴∠HEG=∠EGF
∵EG平分∠HEF
∴∠HEG=∠FEG
∴∠EGF=∠FEG
∴EF=FG，且四边形EFGH是平行四边形
∴四边形EFGH是菱形
∴EH=EF=FG=GH
【解析】(1)由(SAS)可证△AEH≌△CGF，可得EH=GF，同理可得FE=HG，即可得结论；
(2)通过证明四边形EFGH是菱形，可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．
24.【答案】解：(1)7；
(2)过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图：
∵DE⊥BC，CD⊥AC，
∴∠E=∠ACD=90°，
∴∠ACB=90°−∠DCE=∠CDE，
在△ABC和△CED中，
∠ABC=∠E=90°∠ACB=∠CDEAC=CD，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴BC=ED=4，
∴S△BCD=12BC⋅DE=8；
(3)过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图：
∵△ACD面积为12且CD的长为6，
∴12×6⋅AE=12，
∴AE=4，
∵∠ADC=45°，AE⊥CD，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=4，
∴CE=CD−DE=2，
∵∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACE=90°−∠BCF=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
∠AEC=∠F=90°∠ACE=∠CBFAC=CB,
∴△ACE≌△CBF(AAS)，
∴BF=CE=2，
∴S△BCD=12CD⋅BF=6．
【解析】【分析】
(1)由∠ACD=∠E=90°，得∠ACB=90°−∠DCE=∠D，可证明△ABC≌△CED(AAS)，即得AB=CE=3，BC=ED=4，故BE=BC+CE=7；
(2)过D作DE⊥BC交BC延长线于E，由DE⊥BC，CD⊥AC，得∠E=∠ACD=90°，即得∠ACB=90°−∠DCE=∠CDE，可证明△ABC≌△CED(AAS)，得BC=ED=4，故S△BCD=12BC⋅DE=8；
(3)过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，得AE=4，又∠ADC=45°，AE⊥CD，得△ADE是等腰直角三角形，即得DE=AE=4，CE=CD−DE=2，根据∠ABC=∠CAB=45°，可得∠ACB=90°，AC=BC，即有∠ACE=90°−∠BCF=∠CBF，即可证明△ACE≌△CBF(AAS)，从而BF=CE=2，故S△BCD=12CD⋅BF=6．
本题考查全等三角形的判定和性质，涉及等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形(K型全等)．
【解答】
解：(1)∵∠ACD=∠E=90°，
∴∠ACB=90°−∠DCE=∠D，
在△ABC和△CED中，
∠B=∠E∠ACB=∠DAC=CD，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴AB=CE=3，BC=ED=4，
∴BE=BC+CE=7；
故答案为：7；
(2)见答案；
(3)见答案．
25.【答案】解：(1)结论：BE=CG．
理由：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠CBE=∠DCG=90°，
∵DG⊥CE，
∴∠ECB+∠CGD=90°，∠CGD+∠CDG=90°，
∴∠BCE=∠CDG，
在△CBE和△DCG中，
∠BCE=∠CDGBC=CD∠CBE=∠DCG，
∴△CBE≌△DCG(ASA)，
∴BE=CG；
(2)①图形如图2所示：

②结论：BE+CE=CG．
理由：如图2中，过点D作DT⊥EC交CB于点T，则△CBE≌△DCT，
∴CE=DT，BE=CT，
∵CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF，
∴∠G+∠FCG=∠CDT+∠FDT，
∵∠FCG=∠CDT，
∴∠G=∠TDG，
∴GT=DT=EC，
∴CG=GT+CT=CE+BE，
即BE+CE=CG．
【解析】(1)结论：BE=CG.证明△CBE≌△DCG(ASA)，可得结论；
(2)①根据要求作出图形即可；
②结论：BE+CE=CG.如图2中，过点D作DT⊥EC交CB于点T，则△CBE≌△DCT，证明TG=TD=CE，BE=CT，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．