四川省雅安市2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

这是一份四川省雅安市2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）9的平方根是（ ）
A．±9B．9C．±3D．3
2．（3分）下列图形中，中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝15m，则A、B间的距离是（ ）
A．18mB．24mC．28mD．30m
4．（3分）已知正多边形的一个外角等于60°，则该正多边形的边数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（3分）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2+5x﹣1＝x（x+5）﹣1B．16x2y＝2x2•8y
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4D．am+an＝a（m+n）
6．（3分）某校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO
D．AB∥DC，AD＝BC
8．（3分）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：
①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；
③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3；
④d﹣b＝3（a﹣c）．
其中正确的有（ ）
A．①③B．②③④C．①②④D．②③
9．（3分）直角三角形的两边长m，n满足，则第三边长是（ ）
A．5B．5或C．4或D．4
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝2BC，DE平分∠ADC，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，下列结论中正确的有（ ）
①∠BDC＝30°；
②DE＝BC；
③OD＝AD；
④S平行四边形ABCD＝AD•BD．
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（3分）若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．﹣4B．﹣9C．﹣16D．﹣21
12．（3分）如图，AD为△ABC中∠BAC的外角平分线，BD⊥AD于D，E为BC中点，DE＝5，AC＝3，则AB长为（ ）
A．8.5B．8C．7.5D．7
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）将答䇲直接写在答题卡相应题号的横线上.
13．（3分）因式分解：a2b﹣b＝ ．
14．（3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为 ．
15．（3分）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①点C为圆心，以适当长为半径画弧交AC于点E，交BC于点F；②分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线CP交AB于点D，若AC＝9，BC＝12，则△ACD的面积为 ．
三、解答题：（本大题共6个小题，共52分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（1）计算：；
（2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
18．（6分）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝，y＝．
19．（8分）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
20．（9分）雅安市某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完，接着又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元．
（1）求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元；
（2）如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每个熊猫毛绒玩具的售价至少是多少元？
21．（9分）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：，；
解决下列问题：
（1）分式是 分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．
22．（10分）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
四、填空题：（本大题共2个小题，每小题4分，共8分）将答案直接写在答题卡相应题号的横线上.
23．（4分）若关于x的分式方程无解，则m＝ ．
24．（4分）等边△ABC边长为4，点D是线段CA上的动点，将线段DB绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接AE，点D在运动过程中，△ADE的周长的最小值为 ．
五、解答题：（本大题共1个小题，共12分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
25．（12分）在一次数学综合与实践活动中，老师给出如下探究任务：先画一个平行四边形，再画两条直线，将该平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．小安同学画了如下三种情形：
（1）利用小安的分割方法：你认为两直线的交点O的位置在 ．
（2）如图①，在平行四边形ABCD中，EF，MN就是使含有一组对顶角的两个图形全等的两直线，EF分别与BA，DC的延长线交于点P，Q．请利用（1）的结论证明：PA＝CQ．
（3）如图②，将一张平行四边形的纸片ABCD沿过对角线AC的中点O的直线EF折叠，折痕交边AD，BC于点E，F，点A落在点A1处，点B落在点B1处．FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，AD于点H，I．求证：EI＝FG．
参考答案
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意。
1．（3分）9的平方根是（ ）
A．±9B．9C．±3D．3
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3．
故选：C．
2．（3分）下列图形中，中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项B、C、D的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
3．（3分）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝15m，则A、B间的距离是（ ）
A．18mB．24mC．28mD．30m
【解答】解：∵D、E分别是OA、OB的中点，
∴DE是△OAB的中位线，
∴，
∴AB＝2DE＝2×15＝30cm，
故选：D．
4．（3分）已知正多边形的一个外角等于60°，则该正多边形的边数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：360°÷60°＝6．
故该正多边形的边数为6．
故选：D．
5．（3分）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2+5x﹣1＝x（x+5）﹣1B．16x2y＝2x2•8y
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4D．am+an＝a（m+n）
【解答】解：∵x2+5x﹣1＝x（x+5）﹣1不是因式分解，
∴选项A不符合题意；
∵16x2y＝2x2•8y不是因式分解，
∴选项B不符合题意；
∵（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4不是因式分解，
∴选项C不符合题意；
∵am+an＝a（m+n）是因式分解，
∴选项D符合题意，
故选：D．
6．（3分）某校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设航模、机器人、计算机编程分别用A，B，C表示，
树状图如下：
由上可得，一共有6种等可能性，其中恰好选中航模和机器人的可能性有2种，
∴恰好选中航模和机器人的概率为＝，
故选：A．
7．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO
D．AB∥DC，AD＝BC
【解答】解：A、∵∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB∥DC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
8．（3分）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：
①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；
③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3；
④d﹣b＝3（a﹣c）．
其中正确的有（ ）
A．①③B．②③④C．①②④D．②③
【解答】解：由图象可得：对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故①说法正确；
由于a＜0，d＜0，所以函数y2＝ax+d的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②说法正确，
由图象可得当x＜3时，一次函数y1＝ax+b图象在y2＝cx+d的图象上方，
∴ax+b＞cx+d的解集是x＜3，故③说法不正确；
∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为3，
∴3a+b＝3c+d
∴3a﹣3c＝d﹣b，
∴d﹣b＝3（a﹣c）．故④说法正确，
故选：C．
9．（3分）直角三角形的两边长m，n满足，则第三边长是（ ）
A．5B．5或C．4或D．4
【解答】解：∵，
∴（m﹣3）2+＝0．
∴m﹣3＝0且2n﹣8＝0．
∴m＝3，n＝4．
①n＝4为斜角边时，则第三边长为：＝；
②n＝4为直角边时，则第三边长为：＝5；
综上所述，第三边长为5或．
故选：B．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝2BC，DE平分∠ADC，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，下列结论中正确的有（ ）
①∠BDC＝30°；
②DE＝BC；
③OD＝AD；
④S平行四边形ABCD＝AD•BD．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：在平行四边形ABCD中，
∴∠DAB＝∠BCD＝180°﹣120°＝60°，
AB＝CD，∠ADC＝∠ABC＝120°，BO＝OD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC＝60°，
∴∠AED＝180°﹣∠DAB﹣∠ADE＝60°＝∠D＝∠ADE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，
∵AB＝2BC，
∴AB＝2AD＝2AE，
∴E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵DE＝AE，
∴DE＝BE，
∴∠EDB＝∠EBD＝∠AED＝30°，
∴∠ADB＝∠ADE+∠EDB＝90°，
∴∠BDC＝30°；S平行四边形ABCD＝AD•BD，
故①、④正确；
∵AD＝AE＝DE，AD＝BC，
∴DE＝BC，
故②正确；
∵OD＝BD，AD＝AB，BD≠AB，
∴OD≠AD，
故③错误，
正确的有3个，
故选：C．
11．（3分）若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．﹣4B．﹣9C．﹣16D．﹣21
【解答】解：，
a﹣x+3（x﹣3）＝﹣8，
a﹣x+3x﹣9＝﹣8，
2x＝1﹣a，
，
∵关于x的方程有正整数解，
∴1﹣a＝2或4或6或8或10或12或14或16或18，
∴a＝﹣1或﹣3或﹣5或﹣7或﹣9或﹣11或﹣13或﹣15或﹣17，
∵x﹣3≠0，
∴，
1﹣a≠24，
a≠﹣23，
，
由①得：2x+4≤9+3x，
﹣x≤5，
x≥﹣5，
由②得：8x＜a﹣17，
，
∴不等式组的解集为：，
∵关于x的不等式组有且只有3个整数解，
∴，
﹣24≤a﹣17＜﹣16，
﹣7≤a＜1，
∴符合条件的所有整数a为﹣1或﹣3或﹣5或﹣7，
∴符合条件的所有整数a的和为：﹣1﹣3﹣5﹣7＝﹣16，
故选：C．
12．（3分）如图，AD为△ABC中∠BAC的外角平分线，BD⊥AD于D，E为BC中点，DE＝5，AC＝3，则AB长为（ ）
A．8.5B．8C．7.5D．7
【解答】解：延长BD、CA交于点H，
在△ADH和△ADB中，
，
∴△ADH≌△ADB（ASA）
∴BD＝DH，AB＝AH，
∵BD＝DH，BE＝EC，
∴CH＝2DE＝10，
∴AH＝CH﹣AC＝7，
∴AB＝AH＝7，
故选：D．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）将答䇲直接写在答题卡相应题号的横线上.
13．（3分）因式分解：a2b﹣b＝ b（a+1）（a﹣1） ．
【解答】解：a2b﹣b＝b（a2﹣1）＝b（a+1）（a﹣1）．
故答案为：b（a+1）（a﹣1）．
14．（3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为 90° ．
【解答】解：如图：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，
∴OB＝OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，
∵∠BOD＝90°，
∴旋转的角度为90°．
故答案为：90°．
15．（3分）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为 1＜x＜2 ．
【解答】解：设A点坐标为（x，2），
把A（x，2）代入y＝2x，
得2x＝2，解得x＝1，
则A点坐标为（1，2），
所以当x＞1时，2x＞kx+b，
∵函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），
∴x＜2时，kx+b＞0，
∴不等式0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜2．
故答案为：1＜x＜2．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①点C为圆心，以适当长为半径画弧交AC于点E，交BC于点F；②分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线CP交AB于点D，若AC＝9，BC＝12，则△ACD的面积为 ．
【解答】解：过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，
∵由题意可知CP是∠ACB的平分线，
∴DG＝DH．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，
∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD，即×9×12＝×9DG+×12DG，解得DG＝，
∴△ACD的面积＝×9×＝．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共6个小题，共52分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（1）计算：；
（2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：（1）
＝﹣1﹣2+1+4
＝4﹣；
（2），
由①得，x＜2，
由②得，x≥﹣2，
故不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
在数轴上表示为：
．
18．（6分）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝，y＝．
【解答】解：（﹣x﹣1）÷
＝×
＝
＝﹣1
∵x＝，y＝
∴﹣1＝﹣1＝﹣1＝﹣1
19．（8分）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
【解答】解：（1）被抽查的学生人数是 40÷20%＝200（人），
∵，
∴扇形统计图中m的值是40，
答：被抽查的学生人数为200人，扇形统计图中m的值为40；
（2）200﹣60﹣80﹣40＝20（人），
补全的条形统计图如图所示．
（3）∵（人），
∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有360人．
20．（9分）雅安市某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完，接着又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元．
（1）求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元；
（2）如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每个熊猫毛绒玩具的售价至少是多少元？
【解答】解：（1）设第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是x元，则第二批熊猫毛绒玩具每个的进价是（x+5）元，
根据题意得：＝×1.5，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原分式方程的解．
答：第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是25元；
（2）设每个熊猫毛绒玩具的售价为y元，
根据题意得：2500÷25×（1+1.5）y﹣2500﹣4500≥（2500+4500）×25%，
解得：y≥35．
答：每个熊猫毛绒玩具的售价至少是35元．
21．（9分）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：，；
解决下列问题：
（1）分式是 真 分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．
【解答】解：（1）分式是真分式；
故答案为：真；
（2）；
（3）原式＝，
∵分式的值为整数，
∴x+2＝±1或±13，
∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．
22．（10分）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE＝∠DFE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED，
∴BE＝FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE＝DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）①BC＝BD＝3时，由勾股定理得，AB＝＝＝2，
所以，四边形BDFC的面积＝3×2＝6；
②BC＝CD＝3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
所以，AG＝BC＝3，
所以，DG＝AG﹣AD＝3﹣1＝2，
由勾股定理得，CG＝＝＝，
所以，四边形BDFC的面积＝3×＝3；
③BD＝CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC＝2AD＝2，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．
四、填空题：（本大题共2个小题，每小题4分，共8分）将答案直接写在答题卡相应题号的横线上.
23．（4分）若关于x的分式方程无解，则m＝ ﹣4或6或1 ．
【解答】解：（1）x＝﹣2为原方程的增根，
此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m＝3×（﹣2﹣2），
解得m＝6．
（2）x＝2为原方程的增根，
此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（2+2）+2m＝3×（2﹣2），
解得m＝﹣4．
（3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），
得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），
化简得：（m﹣1）x＝﹣10．
当m＝1时，整式方程无解．
综上所述，当m＝﹣4或m＝6或m＝1时，原方程无解．
24．（4分）等边△ABC边长为4，点D是线段CA上的动点，将线段DB绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接AE，点D在运动过程中，△ADE的周长的最小值为 4+2 ．
【解答】解：连接BE，作BF⊥AC于点F，则∠AFB＝90°，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴AB＝CB＝AC＝4，∠ABC＝60°，
由旋转得DE＝DB，∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴EB＝DB，∠DBE＝90°，
∴∠ABE＝∠CBD＝60°﹣∠ABD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD，
∴AE+AD+DE＝CD+AD+DB＝AC+DB＝4+DB，
∵AF＝CF＝AC＝2，
∴FB＝＝＝2，
∵DB≥FB，
∴4+DB≥4+2，
∴AE+AD+DE≥4+2，
∴△ADE的周长的最小值为4+2，
故答案为：4+2．
五、解答题：（本大题共1个小题，共12分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
25．（12分）在一次数学综合与实践活动中，老师给出如下探究任务：先画一个平行四边形，再画两条直线，将该平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．小安同学画了如下三种情形：
（1）利用小安的分割方法：你认为两直线的交点O的位置在 平行四边形的对称中心（或对角线的交点） ．
（2）如图①，在平行四边形ABCD中，EF，MN就是使含有一组对顶角的两个图形全等的两直线，EF分别与BA，DC的延长线交于点P，Q．请利用（1）的结论证明：PA＝CQ．
（3）如图②，将一张平行四边形的纸片ABCD沿过对角线AC的中点O的直线EF折叠，折痕交边AD，BC于点E，F，点A落在点A1处，点B落在点B1处．FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，AD于点H，I．求证：EI＝FG．
【解答】（1）解：这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）．
故答案为：平行四边形的对称中心（或对角线的交点）；
（2）证明：连接AC，则AC经过点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠P＝∠Q，
∵∠AOP＝∠QOC，
∴△AOP≌△COQ（AAS），
∴AP＝CQ；
（3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AD∥BC，OA＝OC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
由折叠的性质得：AE＝A1E，∠A1＝∠A，∠B1＝∠B，
∴A1E＝CF，∠A1＝∠C，∠B1＝∠B＝∠D，
∵∠DHI＝∠B1HG，
∴∠DIH＝∠B1GH，
∵∠A1IE＝∠DIH，∠B1GH＝∠CGF，
∴∠A1IE＝∠CGF，
在△A1IE与△CGF中，
，
∴△A1IE≌△CGF（AAS），
∴EI＝FG．