还剩17页未读，
继续阅读
所属成套资源：2025年高考数学精品教案多份
成套系列资料，整套一键下载
2025年高考数学精品教案第八章 平面解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
展开
这是一份2025年高考数学精品教案第八章 平面解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系，共20页。
学生用书P177
1.直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则
常用结论
与圆的切线有关的结论
（1）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）上一点P（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；
（2）过圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）外一点P（x0，y0）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则P，A，B，C四点共圆，且AB所在直线的方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；
（3）若圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），则过圆外一点P（x0，y0）的切线长d＝（x0－a）2＋（y0－b）2－r2.
2.圆与圆的位置关系
（1）设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R，r（R＞r），则
（2）两圆相交时，公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 （*），圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 （**），若两圆相交，则两圆有一条公共弦，由（*）－（**），得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0 （***）.方程（***）表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程.
注意 （1）方程（***）存在的前提是两圆相交；（2）两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.
规律总结
圆系方程
1.[多选]下列说法正确的是（ AD ）
A.若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切
B.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交
C.“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件
D.过圆O：x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2
2.[易错题]若半径为1的圆C与圆（x＋1）2＋（y－2）2＝9相切，则圆C的圆心C的轨迹方程为 （x＋1）2＋（y－2）2＝16或（x＋1）2＋（y－2）2＝4 .
解析 若两圆外切，则点C与点（－1，2）间的距离为4，点C在以（－1，2）为圆心，4为半径的圆上，此时点C的轨迹方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝16；若两圆内切，则点C与点（－1，2）间的距离为2，点C在以（－1，2）为圆心，2为半径的圆上，此时点C的轨迹方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝4.
3.[易错题]已知圆C：x2＋y2＝9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为 x＝3或4x＋3y－15＝0 .
解析 由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，则切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，由｜k×0－0+1－3k｜k2＋（－1）2＝3，解得k＝－43，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0.
4.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为 x2＋y2－3x＋y－1＝0 .
解析 易知x2＋y2－2y－4＝0不符合题意，设所求圆的方程为x2+y2-4x+2y+λx2+y2-2y－4=0λ≠-1，
则（1＋λ）x2－4x＋（1＋λ）y2＋（2－2λ）y－4λ＝0，
把圆心坐标（21+λ，λ－11+λ）代入直线l的方程2x＋4y－1＝0，可得λ＝13，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
5.[浙江高考]已知直线y＝kx＋b（k＞0）与圆x2＋y2＝1和圆（x－4）2＋y2＝1均相切，则k＝ 33 ，b＝ -233 .
解析 解法一 因为直线y＝kx＋b（k＞0）与圆x2＋y2＝1，圆（x－4）2＋y2＝1都相切，所以｜b｜1+k2＝｜4k＋b｜1+k2＝1，得k＝33，b＝－233.
解法二 因为直线y＝kx＋b（k＞0）与圆x2＋y2＝1，圆（x－4）2＋y2＝1都相切，
所以直线y＝kx＋b必过两圆心连线的中点（2，0），
所以2k＋b＝0.设直线y＝kx＋b的倾斜角为θ，则sin θ＝12，又k＞0，所以θ＝π6，所以k＝tan π6＝33，b＝－2k＝－233.
学生用书P178
命题点1 直线与圆的位置关系
例1 （1）[多选/2021新高考卷Ⅱ]已知直线l：ax＋by－r2＝0（r＞0）与圆C：x2＋y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（ ABD ）
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
解析 对于A，若点A（a，b）在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＝r，所以直线l与圆C相切，故A正确；对于B，若点A（a，b）在圆C内，则a2＋b2＜r2，所以圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＞r，所以直线l与圆C相离，故B正确；对于C，若点A（a，b）在圆C外，则a2＋b2＞r2，所以圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＜r，所以直线l与圆C相交，故C不正确；对于D，因为点A在直线l上，所以a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＝r，所以直线l与圆C相切，D正确.故选ABD.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]设点A（－2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，则a的取值范围是 [13,32] .
解析 解法一 由题意知点A（－2，3）关于直线y＝a的对称点为A'（－2，2a－3），所以kA'B＝3－a2，所以直线A'B的方程为y＝3－a2x＋a，即（3－a）x－2y＋2a＝0.由题意知直线A'B与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，易知圆心为（－3，－2），半径为1，所以｜－3（3－a）＋（－2）×（－2）+2a｜（3－a）2＋（－2）2≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得13≤a≤32，所以实数a的取值范围是[13，32].
解法二 设已知圆关于直线y＝a的对称圆为圆C，则易知圆心C（－3，2a＋2），半径r=1.
又直线AB的方程为y＝a－32x＋a，即（a－3）x－2y＋2a＝0.
于是，根据题意可知直线AB与圆C有公共点，从而可得|(a－3)(－3）－2（2a+2）+2a｜（a－3）2＋（－2）2≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得13≤a≤32.故所求a的取值范围是[13，32].
方法技巧
直线与圆的位置关系的判断方法
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中，若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离不易表达，则用代数法.
训练1 （1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是 （ A ）
A.相交B.相切
C.相离D.不确定
解析 解法一（代数法） 由mx－y+1－m=0，x2＋（y－1）2=5，消去y，整理得（1＋m2）x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆C相交.
解法二（几何法） 由题意知，圆心C（0，1）到直线l的距离d＝｜m｜m2+1＜1＜5，故直线l与圆C相交.
解法三（点与圆的位置关系法） 直线l：mx－y＋1－m＝0过定点（1，1），因为点（1，1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，所以直线l与圆C相交.
（2）[2023重庆市调研质量抽测（一）]已知圆C：x2＋y2＝16上恰有3个点到直线l：y＝3x＋b（b＞0）的距离等于2，则b的值为 4 .
解析 如图，分别作直线l1，l2与直线l平行，且与直线l的距离均为2.圆C：x2＋y2＝16，则圆心坐标为（0，0），半径r＝4.圆心（0，0）到直线l：3x－y＋b＝0的距离d＝｜b｜2.因为圆C上恰有3个点到直线l的距离等于2，由图可知，圆C与l2相切，与l1有2个交点，（转化为圆C与直线l1，l2的位置关系）
则d+2=4，d－2<4，得｜b｜2=2，｜b｜2<6，又b＞0，所以b＝4.
命题点2 圆的弦长问题
例2 （1）[2023全国卷甲]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为5，C的一条渐近线与圆（x－2）2＋（y－3）2＝1交于A，B两点，则｜AB｜＝（ D ）
A.55B.255C.355D.455
解析 根据双曲线的离心率e＝5＝ca，得c＝5a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，b2a2＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交.
解法一 由y=2x，（x－2）2＋（y－3）2=1，得5x2－16x＋12＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝165，x1x2＝125.所以｜AB｜＝1+22｜x1－x2｜＝5×（165）2－4×125＝455，故选D.
解法二 则圆心（2，3）到渐近线y＝2x的距离d＝｜2×2－3｜22＋（－1）2＝55，所以｜AB｜＝21－d2＝21－（55）2＝455，故选D.
（2）[2023新高考卷Ⅱ]已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值 2（答案不唯一） .
解析 设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知☉C的圆心C（1，0），半径R＝2，C到直线l的距离d＝21+m2，（提示：点（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝｜Ax0＋By0＋C｜A2＋B2）｜AB｜＝2R2－d2＝24－（21+m2）2＝4｜m｜1+m2.由S△ABC＝85，得12×4｜m｜1+m2×21+m2＝85，整理得2m2－5｜m｜＋2＝0，解得m＝±2或m＝±12.
方法技巧
求解圆的弦长问题的方法
训练2 （1）[2021北京高考]已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k的值发生变化时，直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2，则m的值为（ C ）
A.±2B.±2C.±3D.±3
解析 解法一（几何法） 设直线l与y轴交于点A（0，m），由题意知，圆心C（0，0），当k的值发生变化时，要使直线l被圆C所截得的弦长最小，则圆心C到直线l的距离最大，为｜AC｜，即｜m｜＝22－12＝3，所以m＝±3.
解法二（代数法） 由x2＋y2=4，y＝kx＋m得（k2＋1）x2＋2kmx＋m2－4＝0.设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－2kmk2+1，x1x2＝m2－4k2+1.则｜AB｜＝1+k2｜x1－x2｜＝1+k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1+k2（－2kmk2+1）2－4·m2－4k2+1＝24－m2k2+1.
显然当k＝0时，弦长取得最小值24－m2＝2，解得m＝±3.
（2）[多选/2024南京市第五高级中学模拟]已知圆O：x2＋y2＝9，过点A（2，0）的直线l与圆O交于M，N两点，则（ BD ）
A.存在直线l，使得｜MN｜＝4
B.使得｜MN｜为整数的直线l有3条
C.存在直线l，使得△MON的面积为92
D.存在直线l，使得△MON的面积为934
解析 因为圆O的半径为3，｜OA｜＝2，所以232－22≤｜MN｜≤6，即25≤｜MN｜≤6，故A不正确.
若｜MN｜为整数，则｜MN｜＝5或｜MN｜＝6，且满足｜MN｜＝5的直线l有2条，满足｜MN｜＝6的直线有1条，故B正确.
S△MON＝12｜OM｜｜ON｜sin∠MON＝92sin∠MON，且点O到直线l的距离的最大值为2.
若S＝92，则sin∠MON＝1，则∠MON＝π2，则O到直线l的距离为3csπ4＝322＞2，不符合条件，故C不正确.
若S＝934，则sin∠MON＝32，则∠MON＝π3或2π3.若∠MON＝π3，则O到直线l的距离为3csπ6＝332＞2，不符合条件；若∠MON＝2π3，则O到直线l的距离为3csπ3＝32＜2，符合条件，故D正确.故选BD.
命题点3 圆的切线问题
例3 [2023新高考卷Ⅰ]过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（ B ）
A.1B.154C.104D.64
解析 如图，x2＋y2－4x－1＝0，即（x－2）2＋y2＝5，所以圆心坐标为（2，0），半径r＝5，所以圆心到点（0，－2）的距离为（2－0）2＋（0+2）2＝22，因为圆心与点（0，－2）的连线平分角α，所以sin α2＝r22＝522＝104，所以cs α2＝64，所以sinα=2sinα2csα2=2×104×64=154.故选B.
例4 已知点P（2＋1，2－2），点M（3，1），圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4.
（1）求过点P的圆C的切线方程；
（2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.
解析 由题意得圆心C（1，2），半径r＝2.
（1）∵（2＋1－1）2＋（2－2－2）2＝4，∴点P在圆C上.
又kPC＝2－2－22+1－1＝－1，∴切线的斜率k＝－1kPC＝1.
∴过点P的圆C的切线方程是y－（2－2）＝x－（2＋1），即x－y＋1－22＝0.
（2）∵（3－1）2＋（1－2）2＝5＞4，
∴点M在圆C外部.
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C（1，2）到直线x-3=0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，∴直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝｜k－2+1－3k｜k2+1＝r＝2，解得k＝34.
∴切线方程为y－1＝34（x－3），即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵｜MC｜＝（3－1）2＋（1－2）2＝ 5，
∴过点M的圆C的切线长为｜MC｜2－r2＝5－4＝1.
方法技巧
1.求过圆O上一点P（x0，y0）的切线l方程的方法
利用OP与l垂直及l过点P求切线方程.
2.求过圆外一点的切线方程的方法
注意 （1）求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系.（2）设直线方程时注意对斜率是否存在进行讨论.
3.过圆外一点M作圆的切线，求切线长的技巧
先求M与圆心的距离d，再由勾股定理求得切线长为d2－r2（其中r为圆的半径）.
训练3 （1）[2023重庆市二调]已知直线l：x－y＋8＝0与x轴交于点A，过直线l上的动点P作圆x2＋y2＝16的两条切线，切点分别为C，D，则直线CD恒过定点的坐标为 (-2，2) ；若M是线段CD的中点，则｜AM｜的最小值为 42 .
解析 解法一 设点P坐标为（x0，y0），O为坐标原点，连接OP，易证C，D两点在以OP为直径的圆上，故C，D两点为此圆与圆x2＋y2＝16的交点，由x2＋y2=16，（x－x02）2＋（y－y02）2＝14（x02＋y02),化简得x0x＋y0y＝16，此方程即直线CD的方程，又点P是直线l上的动点，所以y0＝x0＋8，所以直线CD的方程为x0x＋（x0＋8）y＝16，即x0（x＋y）＋8y＝16.当x＋y＝0，8y＝16时，y＝2，x＝－2.故直线CD过定点(-2，2).令定点为F，由OM⊥CD知，OM⊥MF，又｜OF｜＝22，所以点M在以OF为直径的圆上，其轨迹方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝2，设圆心为N，则N（－1，1）.又A（－8，0），｜AN｜＝（－1+8）2＋12＝52，故｜AM｜的最小值为52－2＝42.
解法二 依题意，设点P坐标为（x0，x0＋8），则CD：x0x＋（x0＋8）y＝16.（二级结论：从圆外一点P（x0，y0），引圆x2＋y2＝r2的两条切线，切点弦所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2）
后同解法一.
（2）[2021天津高考]若斜率为3的直线与y轴交于点A，与圆x2＋（y－1）2＝1相切于点B，则｜AB｜＝ 3 .
解析 设直线AB的方程为y＝3x＋b，则点A（0，b），由于直线AB与圆x2+y－12=1相切，且圆心为C（0，1），半径为1，则｜b－1｜2＝1，解得b＝－1或b＝3，所以｜AC｜＝2，因为｜BC｜＝1，所以｜AB｜＝｜AC｜2－｜BC｜2＝3.
命题点4 圆与圆的位置关系
角度1 圆与圆位置关系的判断
例5 [2023安徽省十校联考]已知直线l：mx＋y－3m－2＝0与圆M:x－52+y－42=25交于A，B两点， 则当弦AB最短时，圆M与圆N：（x＋2m）2＋y2＝9的位置关系是（ B ）
A.内切B.外离C.外切D.相交
解析 易知直线l：mx＋y－3m－2＝0即m（x－3）＋y－2＝0，可知l过定点P（3，2），因为（3－5）2＋（2－4）2＜25，故P（3，2）在圆M：（x－5）2＋（y－4）2＝25内.故弦AB最短时直线l垂直于PM，又kPM＝4－25－3＝1，所以1×（－m）＝－1，解得m＝1，此时圆N的方程是（x＋2）2＋y2＝9.两圆圆心之间的距离｜MN｜=(5+2)2+(4－0)2=65，两圆半径分别为5，3，又65＞64＝5＋3，所以这两圆外离.故选B.
角度2 两圆的公切线问题
例6 [2022新高考卷Ⅰ]写出与圆x2＋y2＝1和（x－3）2＋（y－4）2＝16都相切的一条直线的方程 x＝－1（答案不唯一） .
解法一 如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O（0，0），半径r1＝1，圆（x－3）2＋（y－4）2＝16的圆心为A（3，4），半径r2＝4，所以｜OA｜＝5，r1＋r2＝5，所以｜OA｜＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1；②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称，易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝43x，由x＝－1，y＝43x，得x＝－1，y＝－43，由对称性可知公切线l2过点（－1，－43），设公切线l2的方程为y＋43＝k（x＋1），则点O（0，0）到l2的距离为1，所以1＝｜k－43｜k2+1，解得k＝724，所以公切线l2的方程为y＋43＝724（x＋1），即7x－24y－25＝0；③还有一条公切线l3与直线l：y＝43x垂直，设公切线l3的方程为y＝－34x＋t，易知t＞0，则点O（0，0）到l3的距离为1，所以1＝｜t｜（－34）2＋（－1）2，解得t＝54或t＝－54（舍去），所以公切线l3的方程为y＝－34x＋54，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x-24y-25=0或3x＋4y－5＝0.
解法二 若两圆公切线的斜率不存在，则设其方程为x＝m，由题意得｜m｜＝1，且｜m－3｜＝4，解得m＝－1，所以此时两圆公切线的方程为x＝－1.
若两圆公切线的斜率存在，则设其方程为y＝kx＋b，由题意得｜b｜k2+1＝1，｜3k－4+b｜k2+1＝4，
所以有｜3k－4＋b｜＝4｜b｜，所以可得3k－4＋b＝±4b，即b＝k－43或b＝45－35k.
将b＝k－43代入｜b｜k2+1＝1化简可得k＝724，b＝－2524；
将b＝45－35k代入｜b｜k2+1＝1化简可得k＝－34，b＝54.
则可得两圆公切线的方程为y＝724x－2524或y＝－34x＋54，
即7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
综上，可知两圆公切线的方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
角度3 两圆相交的公共弦问题
例7 圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为 x－2y＋4＝0 ，公共弦长为 25 .
解析 联立两圆的方程，得x2＋y2－2x+10y－24=0，x2＋y2+2x+2y－8=0，两式相减并整理得x－2y＋4＝0，所以两圆公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0.
解法一 设两圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点的坐标满足x－2y+4=0，x2＋y2+2x+2y－8=0，解得x1＝－4，y1=0或x2=0，y2=2.所以｜AB｜＝（0+4）2＋（2－0）2＝25，即公共弦长为25.
解法二 由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得（x－1）2＋（y＋5）2＝50，其圆心坐标为（1，－5），半径r＝52，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离d＝｜1－2×（－5）+4｜1+(－2）2＝35.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝（35）2＋l2，解得l＝5，故公共弦长2l＝25.
方法技巧
1.判断两圆的位置关系常用的方法是几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.两圆的公切线问题实质为直线与圆的相切问题，利用两圆圆心到公切线的距离分别等于两圆的半径列方程组求解.
3.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
训练4 （1）[2023湖南省六校联考]在平面直角坐标
系xOy 中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（ B ）
A.0B.43C.34D.7
解析 圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，则圆C的标准方程为（x－4）2＋y2＝1，则圆C是以C（4，0）为圆心，1为半径的圆.若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则圆心C到直线y＝kx－2的距离d≤2，即｜4k－2｜k2+1≤2，解得0≤k≤43，即k的最大值为43.故选B.
（2）[多选/2023海南省文昌中学模拟]已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2+y2-2y-1=0的交点为A，B，直线l：x＋y＋λ＝0与圆O1交于C，D两点，则下列结论正确的是（ CD ）
A.直线AB的方程为x－y＋2＝0
B.圆O2上存在两点P和Q，使得｜PQ｜＞｜AB｜
C.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋2
D.若O1C⊥O1D，则λ＝－3或λ＝1
解析 圆O1的圆心为O1（1，0），半径r1＝2，圆O2的圆心为O2（0，1），半径r2＝2，所以｜O1O2｜＝（1－0）2＋（0－1）2＝2，r1－r2＜｜O1O2｜＜r1＋r2，所以两圆相交，所以将两圆的方程作差可得直线AB的方程，为x－y＋1＝0，故A错误；
圆心O1到直线AB的距离为d1＝22＝2，所以｜AB｜＝2r12－d12＝22，对于圆O2上的任意两点P，Q，｜PQ｜≤2r2＝｜AB｜，故B错误；
圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为d1＋r1＝2＋2，故C正确；
因为O1C⊥O1D，所以圆心O1到直线CD的距离为2，所以｜1+λ｜2＝2，故λ＝－3或λ＝1，故D正确.故选CD.
1.[命题点1，2/多选/2024甘肃酒泉联考]下列关于直线l：y＝kx＋b与圆C：x2＋y2＝1的说法正确的是（ ABD ）
A.若直线l与圆C相切，则b2－k2为定值
B.若4b2－k2＝1，则直线l被圆C截得的弦长为定值
C.若4b2－k2＝1，则圆上仅有两个点到直线l的距离为12
D.当b＝12时，直线与圆相交
解析 圆C：x2＋y2＝1的圆心为（0，0），半径为1，
对于A选项，若l：y＝kx＋b与圆C：x2＋y2＝1相切，
则｜b｜k2+1＝1，可得b2－k2＝1，A正确；
对于B选项，若4b2－k2＝1，则圆心到直线的距离为｜b｜k2+1＝12，此时直线被圆截得的弦长为212－（12）2＝3，B正确；
对于C选项，由B选项知，圆心到直线的距离为12＝1－12，此时圆上有3个点到直线l的距离为12，C错误；
对于D选项，当b＝12时，直线的方程为y＝kx＋12，即直线过定点（0，12），又02+122<1，可得点（0，12）在圆内，故直线与圆相交，D正确.
故选ABD.
2.[命题点1，4/多选/2024河源中学模拟]已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：（x－3）2＋（y－3）2＝4，P，Q分别是圆O，圆C上的动点，则下列说法错误的是（ AC ）
A.圆O与圆C相交
B.｜PQ｜的取值范围是[32－4，32＋4]
C.x－y＝2是圆O与圆C的一条公切线
D.过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M，N，则存在点Q，使得∠MQN＝90°
解析 对于A选项，由题意可得，圆O的圆心为O（0，0），半径r1＝2，圆C的圆心为C（3，3），半径r2＝2，因为两圆的圆心距｜OC｜＝32＞2＋2＝r1＋r2，所以两圆外离，故A错误；
对于B选项，｜PQ｜的最大值为｜OC｜＋r1＋r2＝32＋4，最小值为｜OC｜－r1－r2＝32－4，故B正确；
对于C选项，显然直线x－y＝2与直线OC平行，因为两圆的半径相等，所以其外公切线与圆心的连线平行，由直线OC：y＝x，设外公切线为y＝x＋t，则两平行线间的距离为2，即｜t｜2＝2，t＝±22，故y＝x±22，故C错误；
对于D选项，易知当∠MQN＝90°时，四边形OMQN为正方形，故当｜QO｜＝22时，∠MQN＝90°，因为圆x2＋y2＝8与圆C相交，所以圆C上存在点Q，使得∠MQN＝90°.故D正确.故选AC.
3.[命题点2/2023高三名校联考（一）]若直线kx－y＋1－2k＝0与圆x2＋y2＝9分别交于M，N两点，则弦MN长度的最小值为 4 .
解析 由kx－y＋1－2k＝0，得k（x－2）＋（－y＋1）＝0，所以直线kx－y＋1－2k＝0过定点A（2，1）.圆x2＋y2＝9的圆心O（0，0），半径r＝3，易知A（2，1）在圆x2＋y2＝9的内部，连接OA，则当直线kx－y＋1－2k＝0与OA垂直时，弦MN的长度最小，连接OM，则｜OM｜＝r＝3，又｜OA｜＝（2－0）2＋（1－0）2＝5，所以｜MN｜min＝232－（5）2＝4，所以弦MN长度的最小值为4.
4.[命题点3，4]过点D（1，－2）作圆C：（x－1）2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线的方程为（ B ）
A.2y－1＝0B.2y＋1＝0
C.x＋2y－1＝0D.x－2y＋1＝0
解析 解法一 由圆C：（x－1）2＋y2＝1的方程可知其圆心为C（1，0），半径为1.
连接CD，易得以线段CD为直径的圆的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝1.
将两圆的方程相减，可得公共弦AB所在直线的方程为2y＋1＝0.故选B.
解法二 由与圆的切线有关的结论，得弦AB所在直线的方程为（1－1）（x－1）＋（－2）y＝1，即2y＋1＝0.
5.[命题点4角度1]已知圆C1：x2＋（y－2）2＝4与圆C2：x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则m的取值范围是（ D ）
A.（－∞，－5]B.[5，＋∞）
C.[－5，5]D.（－∞，－5]∪[5，＋∞）
解析 圆C1的圆心为C1（0，2），半径r1＝2.把圆C2的方程化成标准方程，得（x＋m）2＋y2＝1，所以圆C2的圆心为C2（－m，0），半径r2＝1.因为圆C1与圆C2至少有三条公切线，所以圆C1与圆C2相离或外切，所以｜C1C2｜≥r1＋r2，即m2+4≥3，解得m≤－5或m≥5.
6.[命题点4角度3/多选/2023江西省五校联考]已知圆Q：（x－2）2＋（y－2）2＝2，O为坐标原点，以OQ为直径作圆Q'，交圆Q于A，B两点，则△OAB的面积为（ A ）
A.332B.334C.3D.32
解析 如图，根据题意，圆Q的圆心为Q（2，2），则｜OQ｜＝22，以OQ为直径作圆Q'，则Q'为OQ的中点，则Q'（1，1），圆Q'的半径为｜OQ'｜＝2，故圆Q'的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2，联立圆Q与圆Q'的方程得（x－2）2＋（y－2）2=2，（x－1）2＋（y－1）2=2，整理得x+y=3，即直线AB的方程为x＋y－3＝0，则点O到直线AB的距离为32＝322，点Q到直线AB的距离为12＝22，则｜AB｜＝2×2－12＝6，故△OAB的面积为12×322×6＝332.故选A.
学生用书·练习帮P352
1.[2024江苏无锡市第一中学校考]已知点M（x0，y0）在圆x2＋y2＝2外，则直线x0x+y0y=2与圆的位置关系是（ B ）
A.相切B.相交C.相离D.不确定
解析 因为点M（x0，y0）为圆x2＋y2＝2外一点，所以x02＋y02＞2，又圆x2＋y2＝2的圆心为（0，0），半径r＝2，所以圆心（0，0）到直线x0x＋y0y＝2的距离d＝｜0+0－2｜x02＋y02<22=2，即d＜r，所以直线x0x＋y0y＝2与该圆的位置关系为相交.故选B.
2.[2023广东百校联考]若直线l：kx－y＋2－k＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y－4＝0交于A，B两点，则当△ABC的周长最小时，k＝（ C ）
A.12B.－12C.1D.－1
解析 直线l恒过点D（1，2），圆心C（2，1），点D在圆内，当CD⊥l时，｜AB｜最小，△ABC的周长最小，由C（2，1），D（1，2），易得kCD＝－1，所以k＝1，故选C.
3.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0（a＞0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：（x－1）2＋（y－1）2＝1的位置关系是（ B ）
A.内切B.相交C.外切D.相离
解析 由题知圆M：x2＋（y－a）2＝a2（a＞0），圆心（0，a）到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M与圆N的圆心距｜MN｜＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交.
4.[2023福建漳州质检]已知A，B分别为x轴，y轴上的动点，若以AB为直径的圆与直线2x＋y－4＝0相切，则该圆面积的最小值为（ C ）
A.π5B.2π5C.4π5D.π
解析 设O为坐标原点，以AB为直径的圆为圆C，与直线2x＋y－4＝0相切于点D，点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，d＝45，圆C的半径为r，则2r＝｜CO｜＋｜CD｜≥d，即r≥25，当且仅当O，C，D三点共线时取等号，故圆C的面积S＝πr2≥4π5.
5.[2023河北石家庄质检]“a≥22”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2:x－a2+y+a2=1有公切线”的（ A ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 记圆C1、圆C2的半径分别为r1，r2，由题意可知C1（0，0），r1＝2，C2a,-a，r2＝1，当且仅当圆C1和圆C2内含时，两圆没有公切线，即圆C1和圆C2有公切线的充要条件为｜C1C2｜≥r1－r2＝2－1＝1，即2a2≥1，解得a≤－22或a≥22.因为“a≥22”是“a≤－22或a≥22”的充分不必要条件，所以“a≥22”是“圆C1与圆C2有公切线”的充分不必要条件，故选A.
6.[2023河南省适应性测试]过圆x2＋y2＝4上的一点作圆x2＋y2＝1的两条切线，则连接两切点的线段长为（ D ）
A.2B.1C.32D.3
解析 如图，记P是圆x2＋y2＝4上任一点，过P作圆x2＋y2＝1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，连接OA，OB，AB，OP，则OA⊥AP.可得｜OA｜＝1，｜OP｜＝2，在Rt△OAP中，cs∠AOP＝12，∴∠AOP＝60°，∴∠AOB＝2∠AOP＝120°，又｜OA｜＝｜OB｜＝1，∴｜AB｜＝3，即连接两切点的线段长为3，故选D.
7.已知圆C：x2＋y2＋4x＋1＝0，过圆外一点P作圆C的切线，切点为A.若｜PA｜＝2｜PO｜（O为坐标原点），则｜PC｜的最小值为（ D ）
A.4B.4－2
C.4－3D.4－5
解析 圆C：x2＋y2＋4x＋1＝0的标准方程为（x＋2）2＋y2＝3，则圆C的圆心为C（－2，0），半径为3.如图，连接AC，因为PA是圆C的切线，切点为A，所以PA⊥AC，所以PC2-PA2=3，又｜PA｜＝2｜PO｜，所以PC2－2PO2=3.
设P（x，y），则（x＋2）2＋y2－2（x2＋y2）＝3，整理得x2＋y2－4x＝1，即（x－2）2＋y2＝5，可知点P在以M（2，0）为圆心，5为半径的圆上，所以｜PC｜的最小值为｜CM｜－5＝4－5，故选D.
8.[多选/2023吉林长春模拟]已知两个圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和C2：x－a2+y2=4相交，则a的值可以是（ BCD ）
A.－2B.0C.1D.2
解析 因为x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，所以（x－1）2＋（y＋2）2＝1，所以圆C1的圆心为C1（1，－2），半径r1＝1，且圆C2的圆心为C2（a，0），半径r2＝2.
因为两圆相交，所以｜r1－r2｜＜｜C1C2｜＜｜r1＋r2｜，即1＜（a－1）2+4＜3，即－3解得1－5＜a＜1＋5，结合选项可知，符合条件的为B，C，D.
9.[开放创新]写出与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的一个圆的方程： （x－1）2＋（y＋1）2＝2（答案不唯一） .
解析 x2＋y2＋2x－2y＝0可化为（x＋1）2＋（y－1）2＝（2）2，所以与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的圆的圆心可以在直线y＝－x上，直线y＝－x与圆x2+y2+2x-2y=0的交点为O（0，0），P（－2，2），直线y＝－x与直线x－y－4＝0的交点为A（2，－2）.若所求的圆与直线x－y－4＝0相切，与圆x2＋y2＋2x－2y＝0外切，则圆心坐标为（1，－1），半径为2，此时圆的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝2.
10.已知直线l：x－y＋2＝0，圆C：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0.
（1）求证：直线l与圆C相交；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求以弦AB为直径的圆的方程.
解析 （1）由x2＋y2+2x+2y－2=0，x－y+2=0，可得x2＋4x＋3＝0，
解得x＝－3或x＝－1，所以y＝－1或y＝1，
所以交点坐标为（－3，－1），（－1，1），
所以直线l与圆C相交.
（2）由（1）知线段AB的中点坐标为（－2，0），
｜AB｜＝[－3－（－1）]2＋（－1－1）2＝22，
所以以弦AB为直径的圆的方程为（x＋2）2＋y2＝2.
11.已知A，B是圆C：（x－3）2＋（y－1）2＝9上的两个动点，且｜AB｜＝25，若P0，－3，则点P到直线AB距离的最大值为（ D ）
A.2B.3C.4D.7
解析 圆C：（x－3）2＋（y－1）2＝9的圆心C（3，1），半径r＝3，则｜PC｜＝（3－0）2＋（1+3）2＝5.
设P，C到直线AB的距离分别为d1，d2，
因为｜AB｜＝2r2－d22＝29－d22＝25，解得d2＝2，
如图，分别过P，C作PN⊥AB，CM⊥AB，垂足分别为N，M，过C作CD⊥PN，垂足为D，
显然当P，C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大，
则d1＝｜PD｜＋｜DN｜＝|PC|2-|CD|2+d2=25－|CD|2+2≤7，当且仅当｜CD｜＝0，即直线AB与直线PC垂直时，等号成立，所以点P到直线AB距离的最大值为7.故选D.
12.[全国卷Ⅰ]已知☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA，PB，切点为A，B，当｜PM｜·｜AB｜最小时，直线AB的方程为（ D ）
A.2x－y－1＝0B.2x＋y－1＝0
C.2x－y＋1＝0D.2x＋y＋1＝0
解析 由☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0 ①，
得☉M：（x－1）2＋（y－1）2＝4，所以圆心M（1，1）.
如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为12｜PM｜·｜AB｜，
欲使｜PM｜·｜AB｜最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小.
因为｜AM｜＝2，所以只需｜PA｜最小.
又｜PA｜＝｜PM｜2－｜AM｜2＝｜PM｜2－4，
所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为｜2+1+2｜5＝5，此时PM⊥l，
易求出此时直线PM的方程为x－2y＋1＝0.
由2x＋y+2=0，x－2y+1=0，得x＝－1，y=0，所以P（－1，0）.
易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋（y－12）2＝（52）2，即x2＋y2－y－1＝0 ②，
①－②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.
13.[2024安徽新安中学校考]已知点M（1，0），N（1，3），圆C：x2＋y2＝1，直线l过点N.
（1）若直线l与圆C相切，求l的方程；
（2）若直线l与圆C交于不同的两点A，B，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值.
解析 （1）若直线l的斜率不存在，则l的方程为x＝1，
此时直线l与圆C相切，故x＝1符合条件；
若直线l的斜率存在，设其方程为y＝k（x－1）＋3，
即kx－y－k＋3＝0，
由直线l与圆C相切，圆心（0，0）到l的距离为1，得｜－k+3｜k2+1＝1，解得k＝43，
所以直线l的方程为y＝43（x－1）＋3，即4x－3y＋5＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝1或4x－3y＋5＝0.
（2）由（1）可知，l与圆C有两个交点时，斜率存在，
此时设l的方程为kx－y－k＋3＝0，
由kx－y－k+3=0，x2＋y2=1，得（1＋k2）x2－（2k2－6k）x＋k2－6k＋8＝0，
则Δ＝（2k2－6k）2－4（1＋k2）（k2－6k＋8）＝24k－32＞0，解得k＞43.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝2k2－6kk2+1，x1x2＝k2－6k+8k2+1 （*），
所以k1＋k2＝y1x1－1＋y2x2－1＝k（x1－1）+3x1－1＋k（x2－1）+3x2－1＝2k＋3x1－1＋3x2－1＝2k＋3（x1＋x2－2）x1x2－（x1＋x2）+1，
将（*）代入上式整理得k1＋k2＝2k＋－18k－69＝－23，
故k1＋k2为定值－23.
14.[2024江西广丰中学校考]已知圆H：x2＋（y－3）2＝10，点B（1，0）与C（3，2）为圆H上两点.
（1）若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；
（2）对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围.
解析（1）由圆H：x2＋（y－3）2＝10，可得圆心H（0，3），半径r＝10.
因为过点C的直线l被圆H截得的弦长为2，则圆心H到l的距离d＝（10）2－12＝3，
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝3，满足题意.
当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x－3）＋2，即kx－y－3k＋2＝0，
则d＝｜－3－3k+2｜k2+1＝3，可得k＝43，
所以l的方程为4x－3y－6＝0.
综上，直线l的方程是x＝3或4x－3y－6＝0.
（2）因为B（1，0），H（0，3），所以直线BH的方程为x＋y3＝1，即3x＋y－3＝0.
设P（m，n），因为点P在线段BH上，所以3m＋n－3＝0且m∈[0，1]，所以n＝3－3m.
设N（x，y），因为M为线段PN的中点，所以M（m＋x2，n＋y2），即M（m＋x2，3－3m＋y2）.
设圆C：（x－3）2＋（y－2）2＝r2，
由M，N在圆C上得（x－3）2＋（y－2）2＝r2，（m＋x2－3）2＋（3－3m＋y2－2）2＝r2，
整理得（x－3）2＋（y－2）2＝r2，（x＋m－6）2＋（y－3m－1）2=4r2，
若M，N存在，则方程组有解，即圆心为C（3，2），半径为r的圆与圆心为C'（6－m，3m＋1），半径为2r的圆有公共点，
根据两圆的位置关系可知2r－r≤｜CC'｜≤2r＋r，
即r≤[3－（6－m)]2＋[2－（3m+1)]2≤3r在m∈[0，1]时恒成立，
所以r2≤（m－3）2＋（1－3m）2≤9r2，
即r2≤10m2－12m＋10≤9r2，所以r2≤（10m2－12m+10）min，9r2≥（10m2－12m+10）max，
设f（m）＝10m2－12m＋10＝10（m－35）2＋325，m∈[0，1]，
所以f（m）∈[325，10]，
所以r2≤325，9r2≥10，即109≤r2≤325，解得103≤r≤4105.
若M为PN的中点，则点P在圆C外，
所以（m－3）2＋（n－2）2＞r2，
即（m－3）2＋（1－3m）2＞r2在m∈[0，1]时恒成立，
所以r2＜（10m2－12m+10）min＝325，解得r＜4105.
综上所述，半径r的取值范围为[103，4105）.
15.[情境创新/2024安徽屯溪一中模拟]图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为1的圆O的一段圆弧，且该段圆弧所对的圆周角为2π5.设圆C的圆心C在点O与该段圆弧中点的连线所在直线上.若该段圆弧上存在四点满足过这四点分别作圆O的切线，这四条切线与圆C也相切，则该段圆弧上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为（参考数据：cs 2π5＝5－14）（ D ）
A.（0，5－1]B.（0，5]
C.（0，5－1）D.（0，5）
解析 如图，设圆弧的中点为M，
该段圆弧所对的圆周角为2π5，则其所对的圆心角为4π5，圆O的半径为｜OM｜＝1，在圆弧上取两点A，B，则∠AOB≤4π5.由图可知，当过点A，B的切线刚好是圆O与圆C的外公切线时，劣弧AB上一定还存在点S，T，使过点S，T的切线为两圆的内公切线，设圆O与圆C的两条外公切线交于点D，则圆C的圆心C只能在线段MD上，且不包括端点，过点C分别向AD，BD作垂线，垂足分别为R，P，则CR即为圆C的半径，此时该段圆弧上存在四点A，B，S，T，满足过这四点分别作圆O的切线，这四条切线与圆C也相切.设线段OC交圆C于点N，则该段圆弧上的点与圆C上的点的最短距离即为线段MN的长度.在Rt△AOD中，｜OD｜＝｜OA｜cs∠AOD＝｜OA｜cs∠AOB2≤｜OA｜cs2π5＝15－14＝5＋1，｜MN｜＝｜OC｜－｜OM｜－｜CN｜＝｜OC｜－1－｜CR｜＜｜OD｜－1－0≤5＋1－1＝5，即该段圆弧上的点与圆C上的点的最短距离｜MN｜的取值范围为（0，5）. 故选D.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
直线与圆的位置关系
2022新高考卷ⅡT15；2021新高考卷ⅡT11；2021全国卷甲T20
本讲是高考的命题热点，主要考查：（1）直线与圆的位置关系的判断，圆与圆的位置关系的判断，切线问题，弦长问题；（2）将圆的方程及几何性质，直线与圆、圆与圆的位置关系作为研究圆锥曲线几何量的条件.主要以选择题、填空题的形式出现，也可能作为解答题的一部分考查，难度中等.在2025年高考的备考中重视常规考向的同时注意与圆锥曲线的综合命题.
圆的弦长问题
2023新高考卷ⅡT15；2023全国卷甲T8；2021北京T9
圆的切线问题
2023新高考卷ⅠT6；2022新高考卷ⅠT14；2022全国卷甲T14；2020全国卷ⅠT11；2019全国卷ⅢT21
圆与圆的位置关系
2022新高考卷ⅠT14
位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0
1
2
判定方法
代数法
Δ① ＜ 0
Δ② ＝ 0
Δ③ ＞ 0
几何法
d④ ＞ r
d⑤ ＝ r
d⑥ ＜ r
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图形
公共点个数
0
1
2
1
0
d，R，r的关系
⑦ d＞R＋r
⑧ d＝R＋r
⑨ R－r＜d＜R＋r
⑩ d＝R－r
⑪ d＜R－r
公切线条数
⑫ 4
⑬ 3
⑭ 2
⑮ 1
0
过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ∈R）.
过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程
x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）（该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意）.
几何法
由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.
代数法
联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，利用Δ判断.
点与圆的位置关系法
若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
几何法
设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则｜AB｜＝2r2－d2.在解决圆的弦长问题时，多用几何法.
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A（xA，yA），B（xB，yB）两点，则｜AB｜＝1+k2·｜xA－xB｜＝1+1k2｜yA－yB｜（其中k≠0）.特别地，当k＝0时，｜AB｜＝｜xA－xB｜；当斜率不存在时，｜AB｜＝｜yA－yB｜.
几何法
设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解.
代数法
设出直线方程，再与圆的方程联立，得到一个关于x或y的一元二次方程，利用Δ＝0求解.
学生用书P177
1.直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则
常用结论
与圆的切线有关的结论
（1）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）上一点P（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；
（2）过圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）外一点P（x0，y0）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则P，A，B，C四点共圆，且AB所在直线的方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；
（3）若圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），则过圆外一点P（x0，y0）的切线长d＝（x0－a）2＋（y0－b）2－r2.
2.圆与圆的位置关系
（1）设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R，r（R＞r），则
（2）两圆相交时，公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 （*），圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 （**），若两圆相交，则两圆有一条公共弦，由（*）－（**），得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0 （***）.方程（***）表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程.
注意 （1）方程（***）存在的前提是两圆相交；（2）两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.
规律总结
圆系方程
1.[多选]下列说法正确的是（ AD ）
A.若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切
B.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交
C.“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件
D.过圆O：x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2
2.[易错题]若半径为1的圆C与圆（x＋1）2＋（y－2）2＝9相切，则圆C的圆心C的轨迹方程为 （x＋1）2＋（y－2）2＝16或（x＋1）2＋（y－2）2＝4 .
解析 若两圆外切，则点C与点（－1，2）间的距离为4，点C在以（－1，2）为圆心，4为半径的圆上，此时点C的轨迹方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝16；若两圆内切，则点C与点（－1，2）间的距离为2，点C在以（－1，2）为圆心，2为半径的圆上，此时点C的轨迹方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝4.
3.[易错题]已知圆C：x2＋y2＝9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为 x＝3或4x＋3y－15＝0 .
解析 由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，则切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，由｜k×0－0+1－3k｜k2＋（－1）2＝3，解得k＝－43，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0.
4.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为 x2＋y2－3x＋y－1＝0 .
解析 易知x2＋y2－2y－4＝0不符合题意，设所求圆的方程为x2+y2-4x+2y+λx2+y2-2y－4=0λ≠-1，
则（1＋λ）x2－4x＋（1＋λ）y2＋（2－2λ）y－4λ＝0，
把圆心坐标（21+λ，λ－11+λ）代入直线l的方程2x＋4y－1＝0，可得λ＝13，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
5.[浙江高考]已知直线y＝kx＋b（k＞0）与圆x2＋y2＝1和圆（x－4）2＋y2＝1均相切，则k＝ 33 ，b＝ -233 .
解析 解法一 因为直线y＝kx＋b（k＞0）与圆x2＋y2＝1，圆（x－4）2＋y2＝1都相切，所以｜b｜1+k2＝｜4k＋b｜1+k2＝1，得k＝33，b＝－233.
解法二 因为直线y＝kx＋b（k＞0）与圆x2＋y2＝1，圆（x－4）2＋y2＝1都相切，
所以直线y＝kx＋b必过两圆心连线的中点（2，0），
所以2k＋b＝0.设直线y＝kx＋b的倾斜角为θ，则sin θ＝12，又k＞0，所以θ＝π6，所以k＝tan π6＝33，b＝－2k＝－233.
学生用书P178
命题点1 直线与圆的位置关系
例1 （1）[多选/2021新高考卷Ⅱ]已知直线l：ax＋by－r2＝0（r＞0）与圆C：x2＋y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（ ABD ）
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
解析 对于A，若点A（a，b）在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＝r，所以直线l与圆C相切，故A正确；对于B，若点A（a，b）在圆C内，则a2＋b2＜r2，所以圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＞r，所以直线l与圆C相离，故B正确；对于C，若点A（a，b）在圆C外，则a2＋b2＞r2，所以圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＜r，所以直线l与圆C相交，故C不正确；对于D，因为点A在直线l上，所以a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝r2a2＋b2＝r，所以直线l与圆C相切，D正确.故选ABD.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]设点A（－2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，则a的取值范围是 [13,32] .
解析 解法一 由题意知点A（－2，3）关于直线y＝a的对称点为A'（－2，2a－3），所以kA'B＝3－a2，所以直线A'B的方程为y＝3－a2x＋a，即（3－a）x－2y＋2a＝0.由题意知直线A'B与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，易知圆心为（－3，－2），半径为1，所以｜－3（3－a）＋（－2）×（－2）+2a｜（3－a）2＋（－2）2≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得13≤a≤32，所以实数a的取值范围是[13，32].
解法二 设已知圆关于直线y＝a的对称圆为圆C，则易知圆心C（－3，2a＋2），半径r=1.
又直线AB的方程为y＝a－32x＋a，即（a－3）x－2y＋2a＝0.
于是，根据题意可知直线AB与圆C有公共点，从而可得|(a－3)(－3）－2（2a+2）+2a｜（a－3）2＋（－2）2≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得13≤a≤32.故所求a的取值范围是[13，32].
方法技巧
直线与圆的位置关系的判断方法
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中，若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离不易表达，则用代数法.
训练1 （1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是 （ A ）
A.相交B.相切
C.相离D.不确定
解析 解法一（代数法） 由mx－y+1－m=0，x2＋（y－1）2=5，消去y，整理得（1＋m2）x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆C相交.
解法二（几何法） 由题意知，圆心C（0，1）到直线l的距离d＝｜m｜m2+1＜1＜5，故直线l与圆C相交.
解法三（点与圆的位置关系法） 直线l：mx－y＋1－m＝0过定点（1，1），因为点（1，1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，所以直线l与圆C相交.
（2）[2023重庆市调研质量抽测（一）]已知圆C：x2＋y2＝16上恰有3个点到直线l：y＝3x＋b（b＞0）的距离等于2，则b的值为 4 .
解析 如图，分别作直线l1，l2与直线l平行，且与直线l的距离均为2.圆C：x2＋y2＝16，则圆心坐标为（0，0），半径r＝4.圆心（0，0）到直线l：3x－y＋b＝0的距离d＝｜b｜2.因为圆C上恰有3个点到直线l的距离等于2，由图可知，圆C与l2相切，与l1有2个交点，（转化为圆C与直线l1，l2的位置关系）
则d+2=4，d－2<4，得｜b｜2=2，｜b｜2<6，又b＞0，所以b＝4.
命题点2 圆的弦长问题
例2 （1）[2023全国卷甲]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为5，C的一条渐近线与圆（x－2）2＋（y－3）2＝1交于A，B两点，则｜AB｜＝（ D ）
A.55B.255C.355D.455
解析 根据双曲线的离心率e＝5＝ca，得c＝5a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，b2a2＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交.
解法一 由y=2x，（x－2）2＋（y－3）2=1，得5x2－16x＋12＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝165，x1x2＝125.所以｜AB｜＝1+22｜x1－x2｜＝5×（165）2－4×125＝455，故选D.
解法二 则圆心（2，3）到渐近线y＝2x的距离d＝｜2×2－3｜22＋（－1）2＝55，所以｜AB｜＝21－d2＝21－（55）2＝455，故选D.
（2）[2023新高考卷Ⅱ]已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值 2（答案不唯一） .
解析 设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知☉C的圆心C（1，0），半径R＝2，C到直线l的距离d＝21+m2，（提示：点（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝｜Ax0＋By0＋C｜A2＋B2）｜AB｜＝2R2－d2＝24－（21+m2）2＝4｜m｜1+m2.由S△ABC＝85，得12×4｜m｜1+m2×21+m2＝85，整理得2m2－5｜m｜＋2＝0，解得m＝±2或m＝±12.
方法技巧
求解圆的弦长问题的方法
训练2 （1）[2021北京高考]已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k的值发生变化时，直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2，则m的值为（ C ）
A.±2B.±2C.±3D.±3
解析 解法一（几何法） 设直线l与y轴交于点A（0，m），由题意知，圆心C（0，0），当k的值发生变化时，要使直线l被圆C所截得的弦长最小，则圆心C到直线l的距离最大，为｜AC｜，即｜m｜＝22－12＝3，所以m＝±3.
解法二（代数法） 由x2＋y2=4，y＝kx＋m得（k2＋1）x2＋2kmx＋m2－4＝0.设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－2kmk2+1，x1x2＝m2－4k2+1.则｜AB｜＝1+k2｜x1－x2｜＝1+k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1+k2（－2kmk2+1）2－4·m2－4k2+1＝24－m2k2+1.
显然当k＝0时，弦长取得最小值24－m2＝2，解得m＝±3.
（2）[多选/2024南京市第五高级中学模拟]已知圆O：x2＋y2＝9，过点A（2，0）的直线l与圆O交于M，N两点，则（ BD ）
A.存在直线l，使得｜MN｜＝4
B.使得｜MN｜为整数的直线l有3条
C.存在直线l，使得△MON的面积为92
D.存在直线l，使得△MON的面积为934
解析 因为圆O的半径为3，｜OA｜＝2，所以232－22≤｜MN｜≤6，即25≤｜MN｜≤6，故A不正确.
若｜MN｜为整数，则｜MN｜＝5或｜MN｜＝6，且满足｜MN｜＝5的直线l有2条，满足｜MN｜＝6的直线有1条，故B正确.
S△MON＝12｜OM｜｜ON｜sin∠MON＝92sin∠MON，且点O到直线l的距离的最大值为2.
若S＝92，则sin∠MON＝1，则∠MON＝π2，则O到直线l的距离为3csπ4＝322＞2，不符合条件，故C不正确.
若S＝934，则sin∠MON＝32，则∠MON＝π3或2π3.若∠MON＝π3，则O到直线l的距离为3csπ6＝332＞2，不符合条件；若∠MON＝2π3，则O到直线l的距离为3csπ3＝32＜2，符合条件，故D正确.故选BD.
命题点3 圆的切线问题
例3 [2023新高考卷Ⅰ]过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（ B ）
A.1B.154C.104D.64
解析 如图，x2＋y2－4x－1＝0，即（x－2）2＋y2＝5，所以圆心坐标为（2，0），半径r＝5，所以圆心到点（0，－2）的距离为（2－0）2＋（0+2）2＝22，因为圆心与点（0，－2）的连线平分角α，所以sin α2＝r22＝522＝104，所以cs α2＝64，所以sinα=2sinα2csα2=2×104×64=154.故选B.
例4 已知点P（2＋1，2－2），点M（3，1），圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4.
（1）求过点P的圆C的切线方程；
（2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.
解析 由题意得圆心C（1，2），半径r＝2.
（1）∵（2＋1－1）2＋（2－2－2）2＝4，∴点P在圆C上.
又kPC＝2－2－22+1－1＝－1，∴切线的斜率k＝－1kPC＝1.
∴过点P的圆C的切线方程是y－（2－2）＝x－（2＋1），即x－y＋1－22＝0.
（2）∵（3－1）2＋（1－2）2＝5＞4，
∴点M在圆C外部.
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C（1，2）到直线x-3=0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，∴直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝｜k－2+1－3k｜k2+1＝r＝2，解得k＝34.
∴切线方程为y－1＝34（x－3），即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵｜MC｜＝（3－1）2＋（1－2）2＝ 5，
∴过点M的圆C的切线长为｜MC｜2－r2＝5－4＝1.
方法技巧
1.求过圆O上一点P（x0，y0）的切线l方程的方法
利用OP与l垂直及l过点P求切线方程.
2.求过圆外一点的切线方程的方法
注意 （1）求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系.（2）设直线方程时注意对斜率是否存在进行讨论.
3.过圆外一点M作圆的切线，求切线长的技巧
先求M与圆心的距离d，再由勾股定理求得切线长为d2－r2（其中r为圆的半径）.
训练3 （1）[2023重庆市二调]已知直线l：x－y＋8＝0与x轴交于点A，过直线l上的动点P作圆x2＋y2＝16的两条切线，切点分别为C，D，则直线CD恒过定点的坐标为 (-2，2) ；若M是线段CD的中点，则｜AM｜的最小值为 42 .
解析 解法一 设点P坐标为（x0，y0），O为坐标原点，连接OP，易证C，D两点在以OP为直径的圆上，故C，D两点为此圆与圆x2＋y2＝16的交点，由x2＋y2=16，（x－x02）2＋（y－y02）2＝14（x02＋y02),化简得x0x＋y0y＝16，此方程即直线CD的方程，又点P是直线l上的动点，所以y0＝x0＋8，所以直线CD的方程为x0x＋（x0＋8）y＝16，即x0（x＋y）＋8y＝16.当x＋y＝0，8y＝16时，y＝2，x＝－2.故直线CD过定点(-2，2).令定点为F，由OM⊥CD知，OM⊥MF，又｜OF｜＝22，所以点M在以OF为直径的圆上，其轨迹方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝2，设圆心为N，则N（－1，1）.又A（－8，0），｜AN｜＝（－1+8）2＋12＝52，故｜AM｜的最小值为52－2＝42.
解法二 依题意，设点P坐标为（x0，x0＋8），则CD：x0x＋（x0＋8）y＝16.（二级结论：从圆外一点P（x0，y0），引圆x2＋y2＝r2的两条切线，切点弦所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2）
后同解法一.
（2）[2021天津高考]若斜率为3的直线与y轴交于点A，与圆x2＋（y－1）2＝1相切于点B，则｜AB｜＝ 3 .
解析 设直线AB的方程为y＝3x＋b，则点A（0，b），由于直线AB与圆x2+y－12=1相切，且圆心为C（0，1），半径为1，则｜b－1｜2＝1，解得b＝－1或b＝3，所以｜AC｜＝2，因为｜BC｜＝1，所以｜AB｜＝｜AC｜2－｜BC｜2＝3.
命题点4 圆与圆的位置关系
角度1 圆与圆位置关系的判断
例5 [2023安徽省十校联考]已知直线l：mx＋y－3m－2＝0与圆M:x－52+y－42=25交于A，B两点， 则当弦AB最短时，圆M与圆N：（x＋2m）2＋y2＝9的位置关系是（ B ）
A.内切B.外离C.外切D.相交
解析 易知直线l：mx＋y－3m－2＝0即m（x－3）＋y－2＝0，可知l过定点P（3，2），因为（3－5）2＋（2－4）2＜25，故P（3，2）在圆M：（x－5）2＋（y－4）2＝25内.故弦AB最短时直线l垂直于PM，又kPM＝4－25－3＝1，所以1×（－m）＝－1，解得m＝1，此时圆N的方程是（x＋2）2＋y2＝9.两圆圆心之间的距离｜MN｜=(5+2)2+(4－0)2=65，两圆半径分别为5，3，又65＞64＝5＋3，所以这两圆外离.故选B.
角度2 两圆的公切线问题
例6 [2022新高考卷Ⅰ]写出与圆x2＋y2＝1和（x－3）2＋（y－4）2＝16都相切的一条直线的方程 x＝－1（答案不唯一） .
解法一 如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O（0，0），半径r1＝1，圆（x－3）2＋（y－4）2＝16的圆心为A（3，4），半径r2＝4，所以｜OA｜＝5，r1＋r2＝5，所以｜OA｜＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1；②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称，易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝43x，由x＝－1，y＝43x，得x＝－1，y＝－43，由对称性可知公切线l2过点（－1，－43），设公切线l2的方程为y＋43＝k（x＋1），则点O（0，0）到l2的距离为1，所以1＝｜k－43｜k2+1，解得k＝724，所以公切线l2的方程为y＋43＝724（x＋1），即7x－24y－25＝0；③还有一条公切线l3与直线l：y＝43x垂直，设公切线l3的方程为y＝－34x＋t，易知t＞0，则点O（0，0）到l3的距离为1，所以1＝｜t｜（－34）2＋（－1）2，解得t＝54或t＝－54（舍去），所以公切线l3的方程为y＝－34x＋54，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x-24y-25=0或3x＋4y－5＝0.
解法二 若两圆公切线的斜率不存在，则设其方程为x＝m，由题意得｜m｜＝1，且｜m－3｜＝4，解得m＝－1，所以此时两圆公切线的方程为x＝－1.
若两圆公切线的斜率存在，则设其方程为y＝kx＋b，由题意得｜b｜k2+1＝1，｜3k－4+b｜k2+1＝4，
所以有｜3k－4＋b｜＝4｜b｜，所以可得3k－4＋b＝±4b，即b＝k－43或b＝45－35k.
将b＝k－43代入｜b｜k2+1＝1化简可得k＝724，b＝－2524；
将b＝45－35k代入｜b｜k2+1＝1化简可得k＝－34，b＝54.
则可得两圆公切线的方程为y＝724x－2524或y＝－34x＋54，
即7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
综上，可知两圆公切线的方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
角度3 两圆相交的公共弦问题
例7 圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为 x－2y＋4＝0 ，公共弦长为 25 .
解析 联立两圆的方程，得x2＋y2－2x+10y－24=0，x2＋y2+2x+2y－8=0，两式相减并整理得x－2y＋4＝0，所以两圆公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0.
解法一 设两圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点的坐标满足x－2y+4=0，x2＋y2+2x+2y－8=0，解得x1＝－4，y1=0或x2=0，y2=2.所以｜AB｜＝（0+4）2＋（2－0）2＝25，即公共弦长为25.
解法二 由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得（x－1）2＋（y＋5）2＝50，其圆心坐标为（1，－5），半径r＝52，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离d＝｜1－2×（－5）+4｜1+(－2）2＝35.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝（35）2＋l2，解得l＝5，故公共弦长2l＝25.
方法技巧
1.判断两圆的位置关系常用的方法是几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.两圆的公切线问题实质为直线与圆的相切问题，利用两圆圆心到公切线的距离分别等于两圆的半径列方程组求解.
3.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
训练4 （1）[2023湖南省六校联考]在平面直角坐标
系xOy 中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（ B ）
A.0B.43C.34D.7
解析 圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，则圆C的标准方程为（x－4）2＋y2＝1，则圆C是以C（4，0）为圆心，1为半径的圆.若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则圆心C到直线y＝kx－2的距离d≤2，即｜4k－2｜k2+1≤2，解得0≤k≤43，即k的最大值为43.故选B.
（2）[多选/2023海南省文昌中学模拟]已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2+y2-2y-1=0的交点为A，B，直线l：x＋y＋λ＝0与圆O1交于C，D两点，则下列结论正确的是（ CD ）
A.直线AB的方程为x－y＋2＝0
B.圆O2上存在两点P和Q，使得｜PQ｜＞｜AB｜
C.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋2
D.若O1C⊥O1D，则λ＝－3或λ＝1
解析 圆O1的圆心为O1（1，0），半径r1＝2，圆O2的圆心为O2（0，1），半径r2＝2，所以｜O1O2｜＝（1－0）2＋（0－1）2＝2，r1－r2＜｜O1O2｜＜r1＋r2，所以两圆相交，所以将两圆的方程作差可得直线AB的方程，为x－y＋1＝0，故A错误；
圆心O1到直线AB的距离为d1＝22＝2，所以｜AB｜＝2r12－d12＝22，对于圆O2上的任意两点P，Q，｜PQ｜≤2r2＝｜AB｜，故B错误；
圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为d1＋r1＝2＋2，故C正确；
因为O1C⊥O1D，所以圆心O1到直线CD的距离为2，所以｜1+λ｜2＝2，故λ＝－3或λ＝1，故D正确.故选CD.
1.[命题点1，2/多选/2024甘肃酒泉联考]下列关于直线l：y＝kx＋b与圆C：x2＋y2＝1的说法正确的是（ ABD ）
A.若直线l与圆C相切，则b2－k2为定值
B.若4b2－k2＝1，则直线l被圆C截得的弦长为定值
C.若4b2－k2＝1，则圆上仅有两个点到直线l的距离为12
D.当b＝12时，直线与圆相交
解析 圆C：x2＋y2＝1的圆心为（0，0），半径为1，
对于A选项，若l：y＝kx＋b与圆C：x2＋y2＝1相切，
则｜b｜k2+1＝1，可得b2－k2＝1，A正确；
对于B选项，若4b2－k2＝1，则圆心到直线的距离为｜b｜k2+1＝12，此时直线被圆截得的弦长为212－（12）2＝3，B正确；
对于C选项，由B选项知，圆心到直线的距离为12＝1－12，此时圆上有3个点到直线l的距离为12，C错误；
对于D选项，当b＝12时，直线的方程为y＝kx＋12，即直线过定点（0，12），又02+122<1，可得点（0，12）在圆内，故直线与圆相交，D正确.
故选ABD.
2.[命题点1，4/多选/2024河源中学模拟]已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：（x－3）2＋（y－3）2＝4，P，Q分别是圆O，圆C上的动点，则下列说法错误的是（ AC ）
A.圆O与圆C相交
B.｜PQ｜的取值范围是[32－4，32＋4]
C.x－y＝2是圆O与圆C的一条公切线
D.过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M，N，则存在点Q，使得∠MQN＝90°
解析 对于A选项，由题意可得，圆O的圆心为O（0，0），半径r1＝2，圆C的圆心为C（3，3），半径r2＝2，因为两圆的圆心距｜OC｜＝32＞2＋2＝r1＋r2，所以两圆外离，故A错误；
对于B选项，｜PQ｜的最大值为｜OC｜＋r1＋r2＝32＋4，最小值为｜OC｜－r1－r2＝32－4，故B正确；
对于C选项，显然直线x－y＝2与直线OC平行，因为两圆的半径相等，所以其外公切线与圆心的连线平行，由直线OC：y＝x，设外公切线为y＝x＋t，则两平行线间的距离为2，即｜t｜2＝2，t＝±22，故y＝x±22，故C错误；
对于D选项，易知当∠MQN＝90°时，四边形OMQN为正方形，故当｜QO｜＝22时，∠MQN＝90°，因为圆x2＋y2＝8与圆C相交，所以圆C上存在点Q，使得∠MQN＝90°.故D正确.故选AC.
3.[命题点2/2023高三名校联考（一）]若直线kx－y＋1－2k＝0与圆x2＋y2＝9分别交于M，N两点，则弦MN长度的最小值为 4 .
解析 由kx－y＋1－2k＝0，得k（x－2）＋（－y＋1）＝0，所以直线kx－y＋1－2k＝0过定点A（2，1）.圆x2＋y2＝9的圆心O（0，0），半径r＝3，易知A（2，1）在圆x2＋y2＝9的内部，连接OA，则当直线kx－y＋1－2k＝0与OA垂直时，弦MN的长度最小，连接OM，则｜OM｜＝r＝3，又｜OA｜＝（2－0）2＋（1－0）2＝5，所以｜MN｜min＝232－（5）2＝4，所以弦MN长度的最小值为4.
4.[命题点3，4]过点D（1，－2）作圆C：（x－1）2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线的方程为（ B ）
A.2y－1＝0B.2y＋1＝0
C.x＋2y－1＝0D.x－2y＋1＝0
解析 解法一 由圆C：（x－1）2＋y2＝1的方程可知其圆心为C（1，0），半径为1.
连接CD，易得以线段CD为直径的圆的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝1.
将两圆的方程相减，可得公共弦AB所在直线的方程为2y＋1＝0.故选B.
解法二 由与圆的切线有关的结论，得弦AB所在直线的方程为（1－1）（x－1）＋（－2）y＝1，即2y＋1＝0.
5.[命题点4角度1]已知圆C1：x2＋（y－2）2＝4与圆C2：x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则m的取值范围是（ D ）
A.（－∞，－5]B.[5，＋∞）
C.[－5，5]D.（－∞，－5]∪[5，＋∞）
解析 圆C1的圆心为C1（0，2），半径r1＝2.把圆C2的方程化成标准方程，得（x＋m）2＋y2＝1，所以圆C2的圆心为C2（－m，0），半径r2＝1.因为圆C1与圆C2至少有三条公切线，所以圆C1与圆C2相离或外切，所以｜C1C2｜≥r1＋r2，即m2+4≥3，解得m≤－5或m≥5.
6.[命题点4角度3/多选/2023江西省五校联考]已知圆Q：（x－2）2＋（y－2）2＝2，O为坐标原点，以OQ为直径作圆Q'，交圆Q于A，B两点，则△OAB的面积为（ A ）
A.332B.334C.3D.32
解析 如图，根据题意，圆Q的圆心为Q（2，2），则｜OQ｜＝22，以OQ为直径作圆Q'，则Q'为OQ的中点，则Q'（1，1），圆Q'的半径为｜OQ'｜＝2，故圆Q'的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2，联立圆Q与圆Q'的方程得（x－2）2＋（y－2）2=2，（x－1）2＋（y－1）2=2，整理得x+y=3，即直线AB的方程为x＋y－3＝0，则点O到直线AB的距离为32＝322，点Q到直线AB的距离为12＝22，则｜AB｜＝2×2－12＝6，故△OAB的面积为12×322×6＝332.故选A.
学生用书·练习帮P352
1.[2024江苏无锡市第一中学校考]已知点M（x0，y0）在圆x2＋y2＝2外，则直线x0x+y0y=2与圆的位置关系是（ B ）
A.相切B.相交C.相离D.不确定
解析 因为点M（x0，y0）为圆x2＋y2＝2外一点，所以x02＋y02＞2，又圆x2＋y2＝2的圆心为（0，0），半径r＝2，所以圆心（0，0）到直线x0x＋y0y＝2的距离d＝｜0+0－2｜x02＋y02<22=2，即d＜r，所以直线x0x＋y0y＝2与该圆的位置关系为相交.故选B.
2.[2023广东百校联考]若直线l：kx－y＋2－k＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y－4＝0交于A，B两点，则当△ABC的周长最小时，k＝（ C ）
A.12B.－12C.1D.－1
解析 直线l恒过点D（1，2），圆心C（2，1），点D在圆内，当CD⊥l时，｜AB｜最小，△ABC的周长最小，由C（2，1），D（1，2），易得kCD＝－1，所以k＝1，故选C.
3.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0（a＞0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：（x－1）2＋（y－1）2＝1的位置关系是（ B ）
A.内切B.相交C.外切D.相离
解析 由题知圆M：x2＋（y－a）2＝a2（a＞0），圆心（0，a）到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M与圆N的圆心距｜MN｜＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交.
4.[2023福建漳州质检]已知A，B分别为x轴，y轴上的动点，若以AB为直径的圆与直线2x＋y－4＝0相切，则该圆面积的最小值为（ C ）
A.π5B.2π5C.4π5D.π
解析 设O为坐标原点，以AB为直径的圆为圆C，与直线2x＋y－4＝0相切于点D，点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，d＝45，圆C的半径为r，则2r＝｜CO｜＋｜CD｜≥d，即r≥25，当且仅当O，C，D三点共线时取等号，故圆C的面积S＝πr2≥4π5.
5.[2023河北石家庄质检]“a≥22”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2:x－a2+y+a2=1有公切线”的（ A ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 记圆C1、圆C2的半径分别为r1，r2，由题意可知C1（0，0），r1＝2，C2a,-a，r2＝1，当且仅当圆C1和圆C2内含时，两圆没有公切线，即圆C1和圆C2有公切线的充要条件为｜C1C2｜≥r1－r2＝2－1＝1，即2a2≥1，解得a≤－22或a≥22.因为“a≥22”是“a≤－22或a≥22”的充分不必要条件，所以“a≥22”是“圆C1与圆C2有公切线”的充分不必要条件，故选A.
6.[2023河南省适应性测试]过圆x2＋y2＝4上的一点作圆x2＋y2＝1的两条切线，则连接两切点的线段长为（ D ）
A.2B.1C.32D.3
解析 如图，记P是圆x2＋y2＝4上任一点，过P作圆x2＋y2＝1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，连接OA，OB，AB，OP，则OA⊥AP.可得｜OA｜＝1，｜OP｜＝2，在Rt△OAP中，cs∠AOP＝12，∴∠AOP＝60°，∴∠AOB＝2∠AOP＝120°，又｜OA｜＝｜OB｜＝1，∴｜AB｜＝3，即连接两切点的线段长为3，故选D.
7.已知圆C：x2＋y2＋4x＋1＝0，过圆外一点P作圆C的切线，切点为A.若｜PA｜＝2｜PO｜（O为坐标原点），则｜PC｜的最小值为（ D ）
A.4B.4－2
C.4－3D.4－5
解析 圆C：x2＋y2＋4x＋1＝0的标准方程为（x＋2）2＋y2＝3，则圆C的圆心为C（－2，0），半径为3.如图，连接AC，因为PA是圆C的切线，切点为A，所以PA⊥AC，所以PC2-PA2=3，又｜PA｜＝2｜PO｜，所以PC2－2PO2=3.
设P（x，y），则（x＋2）2＋y2－2（x2＋y2）＝3，整理得x2＋y2－4x＝1，即（x－2）2＋y2＝5，可知点P在以M（2，0）为圆心，5为半径的圆上，所以｜PC｜的最小值为｜CM｜－5＝4－5，故选D.
8.[多选/2023吉林长春模拟]已知两个圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和C2：x－a2+y2=4相交，则a的值可以是（ BCD ）
A.－2B.0C.1D.2
解析 因为x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，所以（x－1）2＋（y＋2）2＝1，所以圆C1的圆心为C1（1，－2），半径r1＝1，且圆C2的圆心为C2（a，0），半径r2＝2.
因为两圆相交，所以｜r1－r2｜＜｜C1C2｜＜｜r1＋r2｜，即1＜（a－1）2+4＜3，即－3
9.[开放创新]写出与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的一个圆的方程： （x－1）2＋（y＋1）2＝2（答案不唯一） .
解析 x2＋y2＋2x－2y＝0可化为（x＋1）2＋（y－1）2＝（2）2，所以与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的圆的圆心可以在直线y＝－x上，直线y＝－x与圆x2+y2+2x-2y=0的交点为O（0，0），P（－2，2），直线y＝－x与直线x－y－4＝0的交点为A（2，－2）.若所求的圆与直线x－y－4＝0相切，与圆x2＋y2＋2x－2y＝0外切，则圆心坐标为（1，－1），半径为2，此时圆的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝2.
10.已知直线l：x－y＋2＝0，圆C：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0.
（1）求证：直线l与圆C相交；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求以弦AB为直径的圆的方程.
解析 （1）由x2＋y2+2x+2y－2=0，x－y+2=0，可得x2＋4x＋3＝0，
解得x＝－3或x＝－1，所以y＝－1或y＝1，
所以交点坐标为（－3，－1），（－1，1），
所以直线l与圆C相交.
（2）由（1）知线段AB的中点坐标为（－2，0），
｜AB｜＝[－3－（－1）]2＋（－1－1）2＝22，
所以以弦AB为直径的圆的方程为（x＋2）2＋y2＝2.
11.已知A，B是圆C：（x－3）2＋（y－1）2＝9上的两个动点，且｜AB｜＝25，若P0，－3，则点P到直线AB距离的最大值为（ D ）
A.2B.3C.4D.7
解析 圆C：（x－3）2＋（y－1）2＝9的圆心C（3，1），半径r＝3，则｜PC｜＝（3－0）2＋（1+3）2＝5.
设P，C到直线AB的距离分别为d1，d2，
因为｜AB｜＝2r2－d22＝29－d22＝25，解得d2＝2，
如图，分别过P，C作PN⊥AB，CM⊥AB，垂足分别为N，M，过C作CD⊥PN，垂足为D，
显然当P，C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大，
则d1＝｜PD｜＋｜DN｜＝|PC|2-|CD|2+d2=25－|CD|2+2≤7，当且仅当｜CD｜＝0，即直线AB与直线PC垂直时，等号成立，所以点P到直线AB距离的最大值为7.故选D.
12.[全国卷Ⅰ]已知☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA，PB，切点为A，B，当｜PM｜·｜AB｜最小时，直线AB的方程为（ D ）
A.2x－y－1＝0B.2x＋y－1＝0
C.2x－y＋1＝0D.2x＋y＋1＝0
解析 由☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0 ①，
得☉M：（x－1）2＋（y－1）2＝4，所以圆心M（1，1）.
如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为12｜PM｜·｜AB｜，
欲使｜PM｜·｜AB｜最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小.
因为｜AM｜＝2，所以只需｜PA｜最小.
又｜PA｜＝｜PM｜2－｜AM｜2＝｜PM｜2－4，
所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为｜2+1+2｜5＝5，此时PM⊥l，
易求出此时直线PM的方程为x－2y＋1＝0.
由2x＋y+2=0，x－2y+1=0，得x＝－1，y=0，所以P（－1，0）.
易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋（y－12）2＝（52）2，即x2＋y2－y－1＝0 ②，
①－②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.
13.[2024安徽新安中学校考]已知点M（1，0），N（1，3），圆C：x2＋y2＝1，直线l过点N.
（1）若直线l与圆C相切，求l的方程；
（2）若直线l与圆C交于不同的两点A，B，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值.
解析 （1）若直线l的斜率不存在，则l的方程为x＝1，
此时直线l与圆C相切，故x＝1符合条件；
若直线l的斜率存在，设其方程为y＝k（x－1）＋3，
即kx－y－k＋3＝0，
由直线l与圆C相切，圆心（0，0）到l的距离为1，得｜－k+3｜k2+1＝1，解得k＝43，
所以直线l的方程为y＝43（x－1）＋3，即4x－3y＋5＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝1或4x－3y＋5＝0.
（2）由（1）可知，l与圆C有两个交点时，斜率存在，
此时设l的方程为kx－y－k＋3＝0，
由kx－y－k+3=0，x2＋y2=1，得（1＋k2）x2－（2k2－6k）x＋k2－6k＋8＝0，
则Δ＝（2k2－6k）2－4（1＋k2）（k2－6k＋8）＝24k－32＞0，解得k＞43.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝2k2－6kk2+1，x1x2＝k2－6k+8k2+1 （*），
所以k1＋k2＝y1x1－1＋y2x2－1＝k（x1－1）+3x1－1＋k（x2－1）+3x2－1＝2k＋3x1－1＋3x2－1＝2k＋3（x1＋x2－2）x1x2－（x1＋x2）+1，
将（*）代入上式整理得k1＋k2＝2k＋－18k－69＝－23，
故k1＋k2为定值－23.
14.[2024江西广丰中学校考]已知圆H：x2＋（y－3）2＝10，点B（1，0）与C（3，2）为圆H上两点.
（1）若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；
（2）对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围.
解析（1）由圆H：x2＋（y－3）2＝10，可得圆心H（0，3），半径r＝10.
因为过点C的直线l被圆H截得的弦长为2，则圆心H到l的距离d＝（10）2－12＝3，
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝3，满足题意.
当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x－3）＋2，即kx－y－3k＋2＝0，
则d＝｜－3－3k+2｜k2+1＝3，可得k＝43，
所以l的方程为4x－3y－6＝0.
综上，直线l的方程是x＝3或4x－3y－6＝0.
（2）因为B（1，0），H（0，3），所以直线BH的方程为x＋y3＝1，即3x＋y－3＝0.
设P（m，n），因为点P在线段BH上，所以3m＋n－3＝0且m∈[0，1]，所以n＝3－3m.
设N（x，y），因为M为线段PN的中点，所以M（m＋x2，n＋y2），即M（m＋x2，3－3m＋y2）.
设圆C：（x－3）2＋（y－2）2＝r2，
由M，N在圆C上得（x－3）2＋（y－2）2＝r2，（m＋x2－3）2＋（3－3m＋y2－2）2＝r2，
整理得（x－3）2＋（y－2）2＝r2，（x＋m－6）2＋（y－3m－1）2=4r2，
若M，N存在，则方程组有解，即圆心为C（3，2），半径为r的圆与圆心为C'（6－m，3m＋1），半径为2r的圆有公共点，
根据两圆的位置关系可知2r－r≤｜CC'｜≤2r＋r，
即r≤[3－（6－m)]2＋[2－（3m+1)]2≤3r在m∈[0，1]时恒成立，
所以r2≤（m－3）2＋（1－3m）2≤9r2，
即r2≤10m2－12m＋10≤9r2，所以r2≤（10m2－12m+10）min，9r2≥（10m2－12m+10）max，
设f（m）＝10m2－12m＋10＝10（m－35）2＋325，m∈[0，1]，
所以f（m）∈[325，10]，
所以r2≤325，9r2≥10，即109≤r2≤325，解得103≤r≤4105.
若M为PN的中点，则点P在圆C外，
所以（m－3）2＋（n－2）2＞r2，
即（m－3）2＋（1－3m）2＞r2在m∈[0，1]时恒成立，
所以r2＜（10m2－12m+10）min＝325，解得r＜4105.
综上所述，半径r的取值范围为[103，4105）.
15.[情境创新/2024安徽屯溪一中模拟]图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为1的圆O的一段圆弧，且该段圆弧所对的圆周角为2π5.设圆C的圆心C在点O与该段圆弧中点的连线所在直线上.若该段圆弧上存在四点满足过这四点分别作圆O的切线，这四条切线与圆C也相切，则该段圆弧上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为（参考数据：cs 2π5＝5－14）（ D ）
A.（0，5－1]B.（0，5]
C.（0，5－1）D.（0，5）
解析 如图，设圆弧的中点为M，
该段圆弧所对的圆周角为2π5，则其所对的圆心角为4π5，圆O的半径为｜OM｜＝1，在圆弧上取两点A，B，则∠AOB≤4π5.由图可知，当过点A，B的切线刚好是圆O与圆C的外公切线时，劣弧AB上一定还存在点S，T，使过点S，T的切线为两圆的内公切线，设圆O与圆C的两条外公切线交于点D，则圆C的圆心C只能在线段MD上，且不包括端点，过点C分别向AD，BD作垂线，垂足分别为R，P，则CR即为圆C的半径，此时该段圆弧上存在四点A，B，S，T，满足过这四点分别作圆O的切线，这四条切线与圆C也相切.设线段OC交圆C于点N，则该段圆弧上的点与圆C上的点的最短距离即为线段MN的长度.在Rt△AOD中，｜OD｜＝｜OA｜cs∠AOD＝｜OA｜cs∠AOB2≤｜OA｜cs2π5＝15－14＝5＋1，｜MN｜＝｜OC｜－｜OM｜－｜CN｜＝｜OC｜－1－｜CR｜＜｜OD｜－1－0≤5＋1－1＝5，即该段圆弧上的点与圆C上的点的最短距离｜MN｜的取值范围为（0，5）. 故选D.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
直线与圆的位置关系
2022新高考卷ⅡT15；2021新高考卷ⅡT11；2021全国卷甲T20
本讲是高考的命题热点，主要考查：（1）直线与圆的位置关系的判断，圆与圆的位置关系的判断，切线问题，弦长问题；（2）将圆的方程及几何性质，直线与圆、圆与圆的位置关系作为研究圆锥曲线几何量的条件.主要以选择题、填空题的形式出现，也可能作为解答题的一部分考查，难度中等.在2025年高考的备考中重视常规考向的同时注意与圆锥曲线的综合命题.
圆的弦长问题
2023新高考卷ⅡT15；2023全国卷甲T8；2021北京T9
圆的切线问题
2023新高考卷ⅠT6；2022新高考卷ⅠT14；2022全国卷甲T14；2020全国卷ⅠT11；2019全国卷ⅢT21
圆与圆的位置关系
2022新高考卷ⅠT14
位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0
1
2
判定方法
代数法
Δ① ＜ 0
Δ② ＝ 0
Δ③ ＞ 0
几何法
d④ ＞ r
d⑤ ＝ r
d⑥ ＜ r
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图形
公共点个数
0
1
2
1
0
d，R，r的关系
⑦ d＞R＋r
⑧ d＝R＋r
⑨ R－r＜d＜R＋r
⑩ d＝R－r
⑪ d＜R－r
公切线条数
⑫ 4
⑬ 3
⑭ 2
⑮ 1
0
过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ∈R）.
过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程
x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）（该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意）.
几何法
由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.
代数法
联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，利用Δ判断.
点与圆的位置关系法
若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
几何法
设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则｜AB｜＝2r2－d2.在解决圆的弦长问题时，多用几何法.
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A（xA，yA），B（xB，yB）两点，则｜AB｜＝1+k2·｜xA－xB｜＝1+1k2｜yA－yB｜（其中k≠0）.特别地，当k＝0时，｜AB｜＝｜xA－xB｜；当斜率不存在时，｜AB｜＝｜yA－yB｜.
几何法
设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解.
代数法
设出直线方程，再与圆的方程联立，得到一个关于x或y的一元二次方程，利用Δ＝0求解.
相关教案
2025年高考数学精品教案第八章 平面解析几何 第1讲 直线的方程： 这是一份2025年高考数学精品教案第八章 平面解析几何 第1讲 直线的方程，共12页。
2025年高考数学精品教案第八章 平面解析几何 第2讲 两条直线的位置关系： 这是一份2025年高考数学精品教案第八章 平面解析几何 第2讲 两条直线的位置关系，共13页。
2025年高考数学精品教案第八章 平面解析几何 第5讲 椭 圆： 这是一份2025年高考数学精品教案第八章 平面解析几何 第5讲 椭 圆，共20页。
