[数学]安徽省皖江名校联盟2025届高三上学期第一次联考试题(解析版)

这是一份[数学]安徽省皖江名校联盟2025届高三上学期第一次联考试题(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
2. 已知复数满足，则复数共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】由，可得，
所以，所以.
所以复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.
故选：C.
3. 已知平面向量、满足，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，又，，
因为，所以，
所以在以为圆心，4为半径的圆上，又，
则，即.
故选：A.
4. 树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（ ）
A. 20种B. 40种C. 60种D. 80种
【答案】C
【解析】由题意可知两名男生必须分开在两组，则有1女1男一组，余下一组；
2女1男一组，余下一组；3女1男一组，余下一组；4女1男一组，余下一组；
所以分配方法为.
故选：C.
5. 有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率（ ）
A. 0.054B. 0.0535C. 0.0515D. 0.0525
【答案】B
【解析】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件、、，该零件为次品为事件，
则，，，，，
任取一个零件是次品的概率
，
故选：B.
6. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设中点为C，则，
∵，
∴，∴，
∵，即，
又∵直线与圆交于不同的两点，
∴，故，
则，
.
故选：C．
7. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ）
A. B. 28C. D. 14
【答案】A
【解析】先作出的大致图象，如下：

令，则，
根据的图象可知：要满足题意必须有两个不等根，
且有两个整数根，有三个整数根，
结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意，
因为，当且仅当时取得等号，
又，易知其定义域内单调递减，
即，此时有两个整数根或，
而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根小于2，
显然只有符合题意，当时有，则，
解方程得的另一个正根为，
又，
此时五个整数根依次是，
显然最大的根和最小的根和为.
故选：A.
8. “三角换元思想”是三角函数中的基本思想.运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题.譬如：已知，求的最大值.我们令，，则.这样我们就把原问题转化为三角函数最值问题.已知是曲线上的点，则的最大值为（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】D
【解析】设，
由，可得，
则，
设，则，
所以，令，则，
所以在上单调递减，
所以在上单调递增，所以当时取最大值，
最大值为，所以的最大值为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ）
A. 直线与平面所成的角等于
B. 四棱锥的体积为
C. 两条异面直线和所成的角为
D. 二面角的平面角的余弦值为
【答案】ABC
【解析】如图，
取的中点，连接，则，
而平面，平面，
得，平面
则平面，
所以是直线与平面所成的角为，故A正确；
点到平面的距离为的长度为，
则，故B正确；
易证，所以异面直线和所成角为或其补角，
因为为等边三角形，所以两条异面直线和所成的角为，故C正确；
连接，由，所以，
又，所以为二面角的平面角，
易求得，
又，，
由余弦定理可得，故D错误．
故选：ABC．
10. 已知数列满足，则（ ）
A. B. 的前n项和为
C. 的前100项和为100D. 的前30项和为357
【答案】AD
【解析】当时，，
当时，，
两式相减可得：，
所以，
显然当时，满足，故，故A正确；
由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误；
令，的前100项和为：
，故C错误；
令，
所以的前30项和为：
，故D正确.
故选：AD.
11. 中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 点P的横坐标的取值范围是
B. OP的最大值是
C. 面积的最大值为2
D. 的取值范围是
【答案】BCD
【解析】设是曲线上任意一点，根据双纽线的定义可得：，
当时，曲线的方程为，
对于A：整理可得：，则，
可得，解得，故A错误；
对于B，，
因为，所以，所以，
所以，即曲线上任意一点到坐标原点的距离的最大值为，故B正确；
对于C：，令，则，
所以，
所以当时，，所以面积的最大值为，故C正确；
对于D：，
当且仅当，即时取等号，
，
所以，
所以的取值范围是，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则______.
【答案】
【解析】由，可得①，
由，可得②，
所以①+②，可得,
所以，所以.
13. 椭圆C：的左右焦点分别为、，点M为其上的动点.当为钝角时，点M的横坐标的取值范围是________
【答案】
【解析】设，焦点，.
因为为钝角，所以，
即.
整理得：.
因点Mx,y在椭圆上，，
代入得解得，
又因为，所以点纵坐标的取值范围.
14. “算24”游戏是以除去大小王的52张扑克牌为载体，任意抽取4张，把扑克牌对应的4个整数（，，，）通过加减乘除（没有乘方开方）以及括号运算，使最后的运算结果是24的一个数学游戏.因为和扑克牌的花色无关，所以游戏可以看作在集合中每次任选1个数，选4次得到4个整数，记为数组，因为算24和选取4个数的顺序无关，可以假设.比如.显然游戏不同的牌组就对应不同的数组，那么所有不同的数组一共有______个.如果数组为，写出一个结果为24的算式______.
【答案】1820
【解析】因为数组，且，
若中四个数相等，所有不同的数组一共有个；
若中三个数相等，所有不同的数组一共有个；
若有且仅有2个数相等，所有不同的数组一共有个；
若中有2组2个数相等，所有不同的数组一共有个；
若中没有数相等，所有不同的数组一共有个；
所以所有不同的数组一共有个；
如果数组为，则.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为，面积为S，且.
（1）求B；
（2）若，，D为边的中点，求的长.
解：（1）由三角形面积公式及条件可知：，
由余弦定理知，
所以，
因为，所以；
（2）结合（1）的结论，根据余弦定理有，
所以，易知，
所以，
即.
16. 如图，四棱锥中，底面 是矩形，，，，M是的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
（1）证明：取中点，连接，与交于Q点，
在底面矩形中，易知，
所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以，
易知，所以，
由题意可知,
所以，而相交，且平面，
所以平面；
（2）解：由上可知，，，
以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0、、、、，
设平面的法向量为m=x,y,z，则，，
则，取，则，
设，其中，
则，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
则，
解得，即.
17. 高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为.在一次模拟考试中：
（1）小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p；
（2）小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
解：（1）根据题意可知，，
若该题有2个选项正确，则，
若该题有3个选项正确，则，
则分布列如下：
所以，
解之得；
（2）不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件，
“有3个选项正确”为事件，
若小明选择方案①，
记小明该题得分为，则的可能取值为2，3，对应概率为：
，
故；
若小明选择方案②，
记小明该题得分为，则的可能取值为，对应概率为：
，
，
故，
若小明选择方案③，
记小明该题得分为Z，则Z的可能取值为，对应概率为：
，
.
故，
，
故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案②.
18. 已知双曲线C：的离心率为2.且经过点.
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围.
解：（1）由题意可得，解得，
故双曲线方程为.
（2）当直线斜率不存在时，可设，
则，
将其代入双曲线方程，
又，解得，
此时，
当直线斜率存在时，设其方程为，设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立，
故，
则
，
化简得，此时，
所以
，
当时，此时，
当时，此时，
，故，
因此，
综上可得.
19. 给出以下三个材料：
①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，；
②若，定义；
③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式.
例如在点处的泰勒展开式为
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的泰勒展开式；
（2）用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位；
（3）现已知，试求的值.
解：（1），，，，
所以，，，，
由
所以.
（2）由（1）可得.
（3）因为①，
对，
两边求导可得：，
所以，
所以②，
比较①②中的系数，可得：
，
所以.X
0
4
6
P