[数学]福建省2025届高三高考模拟试题(解析版)

这是一份[数学]福建省2025届高三高考模拟试题(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】集合，
集合，
所以.
故选：A.
2. 已知复数（是虚数单位），则的共轭复数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选：B.
3. 已知向量，若，则实数（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】D
【解析】，，
由，则有，
解得.故选：D.
4. 方程在内根的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】由题意，，
即，可得或，
解得或
又因为，所以，
故选：D.
5. 已知某圆台上下底面半径（单位：cm）分别为2和5，高（单位：cm）为3，则该圆台的体积（单位：）是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为圆台上下底面半径分别为2 cm和5 cm，高为3 cm，
所以该圆台的体积为.
故选：C.
6. 对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. 或B. 或C. 或D.
【答案】A
【解析】依题意，对任意的实数，不等式恒成立，
整理得，令，
则，解得或.
故选：A.
7. 在钝角中，，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由正弦定理得，
所以，
因为钝角中，，
当为锐角时，，得，则，
所以，则，所以；
当为钝角时，，得，则，
所以，则，
所以；
综上：．
故选：C.
8. 当时，恒成立，则整数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若，则对任意，由，
知，
故原不等式对x>1恒成立；
若，则由，
知，
故原不等式对不成立.
所以整数的最大值为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量X，Y，其中，已知随机变量X的分布列如下表
若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由可得：①，
又因为，故C正确.
所以，
则②，所以由①②可得：，故A正确，B错误；
,
，故D错误.
故选：AC.
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 函数的周期是
B. 函数的图像关于直线对称
C. 函数在上是减函数
D. 函数的最大值为
【答案】AD
【解析
A：由正弦型函数的周期公式可知：该函数的周期为，故本命题是真命题；
B：，令：，
，所以不是该函数的对称轴，因此本命题是假命题；
C：，由，
即，所以该函数在上是增函数，所以本命题是假命题；
D：
，显然该函数的最大值为，因此本命题是真命题，
故选：AD.
11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（ ）
A. 双曲线的离心率
B. 为定值
C. AB的最小值为3
D. 若直线与双曲线的渐近线交于、两点，点为的中点，（为坐标原点）的斜率为，则
【答案】ABD
【解析】双曲线的渐近线方程为，圆与渐近线相切，则，即，所以，则，故A正确；
由A选项可得双曲线两条渐近线方程为，设为双曲线上任意一点，则，所以点到两渐近线的距离，，所以为定值，故B正确；
过与渐近线垂直的方程分别与渐近线组成方程组求出交点坐标，，解得交点，同理得，因为为双曲线右支上的动点，所以，则，故C错误；
对D选项，设、，则，又、在双曲线的两条渐近线上，则，两式相减可得，即，两式相加可得，即，又，，所以，
故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，是函数的两个零点，且，当时，最小值与最大值之和为________．
【答案】
【解析】
，
由，得，得，
因为是函数两个零点，且，
所以的最小正周期为，所以，得，
所以，
由，得，则，
所以，得，
所以，
所以最小值与最大值之和为.
13. 已知双曲线，，为双曲线的左右焦点，过做斜率为正的直线交双曲线左支于，两点，若，，则双曲线的离心率是______．
【答案】
【解析】因为，则，，
且，可知为等腰直角三角形，

则，，
且，即，
整理可得，所以双曲线的离心率.
14. 已知平面向量，的夹角为，与的夹角为，，和在上的投影为x，y，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为平面向量，的夹角为，与的夹角为，
所以与的夹角为，
所以根据正弦定理可得，，
所以，所以，
因为，所以，
所以在上的投影为，
在上的投影为，
所以
，
因为，所以，所以，
所以当时，取得最小值，
且最小值为，
当时，取得最大值，且最大值为，
所以的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，．
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围．
解：（1）在锐角中，，
则，，
于是，即，而，则，
所以.
（2）由（1）知，，由，得，
由正弦定理得
，
而，则，，
所以的取值范围是.
16. 由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.

（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
（1）证明：连接、，由分别为的中点，则，
又平面，平面，故平面，
正四棱台中，且，
则四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，故平面，
又，且平面，平面，
故平面平面，又平面，故平面；

（2）解：正四棱台中，上下底面中心的连线底面，
底面为正方形，故，
故可以为原点，、、为轴，建立空间直角坐标系，
由，侧面与底面所成角为，
则，
则，，，
假设在线段上存在点满足题设，则，
设，则，
，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，令，则，，即，
因为直线与平面所成的角的正弦值为，
故，
解得或（舍），故，
故线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，
此时线段的长为.

17. 小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了24元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A、B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A、B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A、B、C猜中的概率分别为，，，且A、B、C是否猜中互不影响．
（1）求A恰好获得8元的概率；
（2）设A获得的金额为X元，求X的分布列及X的数学期望．
解：（1）若A恰好获得8元红包，则结果为A未猜中，B未猜中，C猜中，
故A恰好获得8元的概率为；
（2）X的可能取值为0，8，12，24，
则，，
，，
所以X的分布列为：
数学期望为
18. 设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”.
（1）若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由;
（2）已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由.
（3）若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有.
解：（1）令,因为,则,,不满足对任意的,均成立,故不是“平缓函数”.
（2）命题为真命题.
因为,
不妨令,
因为是“平缓函数”,
则
所以,
故命题为真命题.
（3）因为是以为周期的周期函数,不妨设,
当时,因为函数是“平缓函数”,
则;
当时,不妨设,则,
因为是以为周期的周期函数,
则,
因为函数是“平缓函数”,
所以
,
所以对任意的,均有,
因为是以为周期的周期函数,
所以对任意的,均有.
19. 点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知．
（1）求数列、的通项公式；
（2）记点到直线（即直线）的距离为，
（I）求证：；
（II）求证：，若值与（I）相同，则求此时的最小值．
（1）解：曲线上点处的切线的斜率为，
故得到的方程为，
联立方程，消去y得：，
化简得：，所以：或，
由得到点的坐标，
由就得到点的坐标，
所以：，
故数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以：，；
（2）证明：（I）由（1）知：，，
所以直线的方程为：，
化简得：，
因为，
所以，
；
（II）
，
与（I）中相同，当时，此时最小值为．X
1
2
3
4
5
p
m
n
X
0
8
12
24
P