湖南省名校联盟2024-2025学年高二上学期入学考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知空间向量，，若，则（ ）
A. 1B. C. D. 3
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知空间向量，，则以为单位正交基底时坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 样本数据：48，49，50，50，50，50，51，52的方差为（ ）
A. 1B. 1.25C. 2.5D. 4
5. 底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数图象两个相邻对称中心为，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位时间内心跳的次数）与其自身体重满足的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg、脉搏率为205次，若经测量一匹马的脉搏率为41次，则这匹马的体重为（ ）
A. 350kgB. 450kgC. 500kgD. 250kg
8. 已知函数，若方程在区间上有且仅有2个不等实根，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则（ ）
A. 为偶函数B. 的值域为
C. 在上单调递减D.
11. 已知正数，满足且，则（ ）
A. 的最小值为16B. 的最小值为4
C. 的最小值为D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数在0,+∞上单调递减，则______.
13. 的取值范围为______.
14. 已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立如图所示空间直角坐标系，点在平面内运动，则点到，，，这四点的距离之和的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在空间直角坐标系中，已知点，，.
（1）若，求值；
（2）求的最小值.
16. 已知为纯虚数.
（1）求；
（2）求.
17. 2024年西部数学邀请赛于8月4日至10日在上海隆重举行，此次赛事不仅是对中学生数学能力的一次全面考验，更是对数学教育未来发展的深刻实践探索，共有200多名学生参赛，引起社会广泛关注，点燃了全社会对数学的热情.甲、乙、丙3名同学各自独立去做2024年西部数学邀请赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为.
（1）求乙、丙各自解出该题概率；
（2）求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.
18. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求四棱柱被平面截得的截面周长；
（3）求直线与平面所成角的正切值.
19. 已知，，分别为锐角内角的对边，，，（为外接圆的半径）.
（1）证明：；
（2）求的最小值.