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高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第44练条件概率及独立重复实验(原卷版+解析)
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这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第44练条件概率及独立重复实验(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。
1.（人A选择性必修三P52练习T2变式）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ）
A．0.92B．0.93C．0.94D．0.95
2. （人A选择性必修三P52习题7.1T1变式）目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（ ）
A．B．C．D．
3. （人A选择性必修三P52习题7.1T5变式）某学校在甲乙丙三个地区进行新生录取，三个地区的录取比例分别为，，．现从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的概率是__________．
4. （人A选择性必修三P52习题7.1T8变式）从，，，，中，甲、乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的数是的倍数，则甲取到的数大于乙取到的数的概率为______．
二、考点分类练
(一)相互独立事件
5. “事件与事件相互独立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ）
A．0.56B．0.14C．0.24D．0.94
(二) 独立重复实验
7．（2023届上海市嘉定区高三上学期一模）甲、乙两人弈棋，根据以往总共次的对弈记录，甲取胜次，乙取胜次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（ ）
A．元B．元C．元D．元
8. （2023届江苏省南通市如东高级中学高三上学期12月模拟）某校为丰富同学课余生活，活跃校园气氛，促进年级之间的友好关系，决定在高二､高三之间进行知识抢答赛，比赛规则如下：每个年级选出3名同学参加比赛，第一场比赛从两个年级的3名同学中各出1人进行抢答，失败者淘汰，失败者所在年级的第二名同学上场，以此类推，直至一方年级的3名同学全部淘汰，比赛结束.已知每个年级的3名同学之间已经排定好比赛顺序，且每个同学在每场比赛中胜利或失败的概率均为.
(1)求比赛结束时刚比赛完第四场的概率；
(2)已知其中一个年级的同学甲排在第二个上场，求甲所参加的比赛场数的分布列与数学期望.
(三)条件概率
9. （2023届广东省珠海市第四中学高三上学期摸底）已知事件A，B，若，，则（ ）
A．B．C．D．
10. （多选）一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A“这3个球都是红球”，事件B“这3个球中至少有1个红球”，事件C“这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（ ）
A．事件A发生的概率为B．事件B发生的概率为
C．事件C发生的概率为D．
11. （2022届重庆市第八中学校高考模拟）为了保障学生们的合法权益，并保证高考的公平性，重庆市施行的新高考方案中再选科目的高考成绩采用赋分制.赋分制在一定程度上缩小了试题难度不同带来的分数差，也在一定程度上减少了学科难度不一造成的分数差.2022年高考成绩公布后，重庆市某中学收集了部分学生的高考成绩，其中地理成绩均在（单位：分），将收集到的地理成绩按分组，得到频率分布直方图如下.
(1)求，并估计该校2022年高考地理科的平均成绩；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)已知该校2022年所有参加高考的学生中历史类考生占20%，物理类考生占80%，历史类考生中选考地理的占90%，物理类考生中选考地理的占5%，历史类考生中高考地理成绩不低于90分的占8%，若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，求选到历史类考生的概率（以样本中各区间的频率作为相应事件的概率）.
(四)全概率公式
12. （2023届辽宁省实验中学高三上学期期中）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则由乙箱中取出的是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
13. （多选）（2023届福建省莆田锦江中学高三上学期考试）甲袋子中有5个黑球，4个白球，乙袋子中有3个黑球，4个白球．假设这些球除了颜色外其他都相同，分两次从袋子中取球，第一次先从甲袋子中随机取出一球放入乙袋子，分别用事件，表示由甲袋子取出的球是黑球，白球：第二次再从乙袋子中随机取出两球，分别用事件，表示从乙袋子取出的球是“两球都为黑球”，“两球为一黑一白”，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
14. （2023届广东省汕头市高三上学期期末）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．
(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．
三、最新模拟练
15．（2023届吉林省长春市高三上学期质量监测）已知某家族有、两种遗传性状，该家族某位成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，、两种遗传性状都不出现的概率为．则该成员在出现性状的条件下，出现性状的概率为（ ）
A．B．C．D．
16. （2023届江苏省南通市海安市高三上学期学情检测）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ）
A．A与B不互斥B．A与D互斥但不对立
C．C与D互斥D．A与C相互独立
17. （多选）（2023届重庆市南开中学高三上学期质量检测）假设某市场供应的口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
在该市场中任意买一口罩，用分别表示买到的口罩为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则（ ）
A．B．C．D．
18. （多选）（2023届江苏省苏州市高三上学期12月模拟）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种
19. （2023届福建福州第十一中学高三上学期期中）一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是___________.
20. （2023届广东省广州大学附属中学高三上学期月考）数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就．在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念．二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用．已知对于正整数a，，若存在一个整数x，使得n整除，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．从1到20这20个整数中机抽取一个整数a，记事件“a与12互质”，“a是12的二次非剩余”，则______．
21. （2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期适应性月考）由于身体及心理方面的差异，人们往往认为女性驾驶员比男性驾驶员更容易发生交通事故.为调查女性驾驶员是否比男性驾驶员更容易发生交通事故，同学们组成了调查小组，对其所在城市进行了调查研究，结果却显示为：该市2021年男女驾驶员的比例为，男性驾驶员平均万人的发案率为，女性驾驶员平均万人的发案率为.（发案即发生了交通事故，暂不区分其是否为肇事责任人）
(1)若在全市驾驶员中随机抽取3人，则恰有1位女驾驶员的概率是多少？
(2)若该市一名驾驶员在2021年发生了交通事故，则其为女性的概率是多少？（结果保留到小数点后第三位）
22. （2023届湖北省十一校高三上学期12月联考）某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
23. （2023届浙江省新高考研究高三上学期8月测试）2022年8月7日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区100位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)估计奶茶爱好者年龄位于区间的概率；
(3)已知奶茶爱好者喜欢浙江奶茶品牌“古茗”的概率为，该地区奶茶爱好者年龄位于区间的人口数占该地区奶茶爱好者总人口数的，从该地区选出1名奶茶爱好者，若此人的年龄位于区间，求此人喜欢古茗的概率.
四、高考真题练
24．（2022新高考全国卷1）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）,同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组）,得到如下数据：
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据,给出的估计值,并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附,
25.（2021新高考全国卷1）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立
26.（2021新高考全国卷1）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
五、综合提升练
27. 有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，随机取一个零件，记“零件为次品”，“零件为第台车床加工”，则下列结论：
①，
②，
③，
④
其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
28. （多选）（2022届山东省高三 “山东学情”联考）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）
A．B．
C．事件与事件不相互独立D．，，是两两互斥的事件
29.2022年3月初，新冠病毒肺炎疫情在上海爆发，并以极快的速度在上海传播开来．因该病毒暂无临床特效药可用，因此防控难度极大．上海某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户6口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该6名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为，且相互独立，该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，此时______．
30.在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第代的遗传设想为第次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父本来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状，（或），在父本和母本中以同样的比例出现，则在随机杂交试验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是，称、分别为父本和母本中遗传因子和的频率，实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：
（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是，后代遗传性状为，（或），的概率分别是多少？
（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为，（或）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，其中、为定值且，求杂交所得子代的三种遗传性状，（或），所占的比例，，；
（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状，（或），所占的比例分别为：，，，设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式，，
（ⅰ）证明是等差数列；
（ⅱ）求，，的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
0.5
0.3
0.2
球队胜率
0.6
0.8
0.7
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
第44练 条件概率及独立重复实验
一、课本变式练
1.（人A选择性必修三P52练习T2变式）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ）
A．0.92B．0.93C．0.94D．0.95
【答案】B
【解析】由甲乙两厂所占比例及对应的合格率可得，故选B
2. （人A选择性必修三P52习题7.1T1变式）目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设公司男、女员工的人数分别为和，则男员工中，肥胖者有人，
女员工中，肥胖者有人，设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件，
则，，则.故选D.
3. （人A选择性必修三P52习题7.1T5变式）某学校在甲乙丙三个地区进行新生录取，三个地区的录取比例分别为，，．现从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的概率是__________．
【答案】
【解析】记事件，，表示此人选自甲乙丙三个地区，事件：此人被录取；则，，，，．
4. （人A选择性必修三P52习题7.1T8变式）从，，，，中，甲、乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的数是的倍数，则甲取到的数大于乙取到的数的概率为______．
【答案】
【解析】设事件表示“甲取到的数比乙大”，事件表示“甲取到的数是5的倍数”，
则甲取到的数是5的倍数，甲取到的数大于乙取到的数的概率为，
，
，
所以，
即甲取到的数大于乙取到的数的概率为.
二、考点分类练
(一)相互独立事件
5. “事件与事件相互独立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当事件与事件相互独立时，，
时，事件与事件相互独立，所以 “事件相互独立”是“”的充要条件.故选C.
6. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ）
A．0.56B．0.14C．0.24D．0.94
【答案】A
【解析】因为甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，所以甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为.故选A.
(二) 独立重复实验
7．（2023届上海市嘉定区高三上学期一模）甲、乙两人弈棋，根据以往总共次的对弈记录，甲取胜次，乙取胜次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】C
【解析】依题意知：甲乙胜负的概率都是假设比赛继续，甲只需三场中赢得一场即获得全额奖金，
甲获胜的概率（元），故选C
8. （2023届江苏省南通市如东高级中学高三上学期12月模拟）某校为丰富同学课余生活，活跃校园气氛，促进年级之间的友好关系，决定在高二､高三之间进行知识抢答赛，比赛规则如下：每个年级选出3名同学参加比赛，第一场比赛从两个年级的3名同学中各出1人进行抢答，失败者淘汰，失败者所在年级的第二名同学上场，以此类推，直至一方年级的3名同学全部淘汰，比赛结束.已知每个年级的3名同学之间已经排定好比赛顺序，且每个同学在每场比赛中胜利或失败的概率均为.
(1)求比赛结束时刚比赛完第四场的概率；
(2)已知其中一个年级的同学甲排在第二个上场，求甲所参加的比赛场数的分布列与数学期望.
【解析】（1）打完第四局结束,则赢的一方只能输一局且只能为前三局
设比赛结束时刚比赛完第四场为事件
（2）设甲参加的比赛场数为, 可能的取值为.
当时,
当时,
当时,
当时,
的分布列为则随机变量的分布列为：
则数学期望为
．
(三)条件概率
9. （2023届广东省珠海市第四中学高三上学期摸底）已知事件A，B，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为, .所以.故选A.
10. （多选）一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A“这3个球都是红球”，事件B“这3个球中至少有1个红球”，事件C“这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（ ）
A．事件A发生的概率为B．事件B发生的概率为
C．事件C发生的概率为D．
【答案】ABC
【解析】由题意7个球中任取3个球的基本事件总数为：
这3个球都是红球的基本事件数为：，
所以事件A发生的概率为：，故A错误，
这3个球中至少有1个红球的基本事件数为：
，
所以事件B发生的概率为：，故B错误，
这3个球中至多有1个红球的基本事件数为：
，
事件C发生的概率为,故C错误，
因为，
所以由条件概率公式得：，
故D正确，故选ABC.
11. （2022届重庆市第八中学校高考模拟）为了保障学生们的合法权益，并保证高考的公平性，重庆市施行的新高考方案中再选科目的高考成绩采用赋分制.赋分制在一定程度上缩小了试题难度不同带来的分数差，也在一定程度上减少了学科难度不一造成的分数差.2022年高考成绩公布后，重庆市某中学收集了部分学生的高考成绩，其中地理成绩均在（单位：分），将收集到的地理成绩按分组，得到频率分布直方图如下.
(1)求，并估计该校2022年高考地理科的平均成绩；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)已知该校2022年所有参加高考的学生中历史类考生占20%，物理类考生占80%，历史类考生中选考地理的占90%，物理类考生中选考地理的占5%，历史类考生中高考地理成绩不低于90分的占8%，若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，求选到历史类考生的概率（以样本中各区间的频率作为相应事件的概率）.
【解析】（1）由题意可得：，
解得，
估计该校2022年高考地理科的平均成绩为.
（2）该校2022年所有参加高考的学生中任选1名，记“选到历史类考生”为事件A，“选到物理类考生”为事件B，“选到选考地理的考生”为事件C，则有，
∴，
记“选到高考地理成绩不低于90分”为事件D，则，
∴，
故，
若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，选到历史类考生的概率.
(四)全概率公式
12. （2023届辽宁省实验中学高三上学期期中）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则由乙箱中取出的是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，乙箱中取出的是红球的概率为.故选D
13. （多选）（2023届福建省莆田锦江中学高三上学期考试）甲袋子中有5个黑球，4个白球，乙袋子中有3个黑球，4个白球．假设这些球除了颜色外其他都相同，分两次从袋子中取球，第一次先从甲袋子中随机取出一球放入乙袋子，分别用事件，表示由甲袋子取出的球是黑球，白球：第二次再从乙袋子中随机取出两球，分别用事件，表示从乙袋子取出的球是“两球都为黑球”，“两球为一黑一白”，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】由题意得：，，
，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D正确.故选AD
14. （2023届广东省汕头市高三上学期期末）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．
(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．
【解析】（1）设表示“甲球员担当边锋”；表示“甲球员担当前卫”；表示“甲球员担当中场”；表示“球队赢了某场比赛”，
则
，
该球队某场比赛输球的概率为，
（2）由（1）知： ,
所以 ，
所以球员甲担当前卫的概率为
（3）同（2）
由于，所以应多安排甲球员担任边锋，来增大赢球的几率.
三、最新模拟练
15．（2023届吉林省长春市高三上学期质量监测）已知某家族有、两种遗传性状，该家族某位成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，、两种遗传性状都不出现的概率为．则该成员在出现性状的条件下，出现性状的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】记事件该家族某位成员出现性状，事件该家族某位成员出现性状，
则，，，则，
又因为，则，
故所求概率为.故选B.
16. （2023届江苏省南通市海安市高三上学期学情检测）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ）
A．A与B不互斥B．A与D互斥但不对立
C．C与D互斥D．A与C相互独立
【答案】D
【解析】由，，，即，故A、B互斥，A错误；
由，A、D互斥且对立，B错误；
又，，则，C与D不互斥，C错误；
由，，，
所以，即A与C相互独立，D正确.故选D
17. （多选）（2023届重庆市南开中学高三上学期质量检测）假设某市场供应的口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
在该市场中任意买一口罩，用分别表示买到的口罩为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由题中表格可知,
故,A正确；
，B错误；
,
故C正确；
，D错误，故选
18. （多选）（2023届江苏省苏州市高三上学期12月模拟）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种
【答案】AB
【解析】记第一次抽到第i号球的事件分别为，则有，
对于A，在第一次抽到2号球的条件下，则2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为，A正确；
对于B，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，而两两互斥，和为，
，记第二次抽到3号球的事件为，
，B正确；
对于C，记第二次在第i号盒内抽到1号球的事件分别为，而两两互斥，和为，
，记第二次抽到1号球的事件为，
，
第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同，
，，
，即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，C不正确；
对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，
将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同放法，
由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，D不正确.故选AB
19. （2023届福建福州第十一中学高三上学期期中）一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是___________.
【答案】
【解析】设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得故
20. （2023届广东省广州大学附属中学高三上学期月考）数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就．在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念．二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用．已知对于正整数a，，若存在一个整数x，使得n整除，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．从1到20这20个整数中机抽取一个整数a，记事件“a与12互质”，“a是12的二次非剩余”，则______．
【答案】
【解析】在1到20中与12互质的有1,5,7,11,13,17,19，即；
由二次剩余的定义，假设a是12的二次非剩余，则整数的整数不存在，
当时，，当时，，
当时，不存在，
即，
由事件中有7种情况，事件有5种情况，
所以.
21. （2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期适应性月考）由于身体及心理方面的差异，人们往往认为女性驾驶员比男性驾驶员更容易发生交通事故.为调查女性驾驶员是否比男性驾驶员更容易发生交通事故，同学们组成了调查小组，对其所在城市进行了调查研究，结果却显示为：该市2021年男女驾驶员的比例为，男性驾驶员平均万人的发案率为，女性驾驶员平均万人的发案率为.（发案即发生了交通事故，暂不区分其是否为肇事责任人）
(1)若在全市驾驶员中随机抽取3人，则恰有1位女驾驶员的概率是多少？
(2)若该市一名驾驶员在2021年发生了交通事故，则其为女性的概率是多少？（结果保留到小数点后第三位）
【解析】（1）解：因为该市2021年男女驾驶员的比例为，
所以，在全市驾驶员中随机抽取1人是女驾驶员的概率为，
设在全市驾驶员中随机抽取3人，女驾驶员的人数为，
所以，
所以，恰有1位女驾驶员的概率是.
（2）解：设事件：驾驶员为女性，事件：驾驶员发生的交通事故.
所以，，，
所以，根据全概率公式，，
所以，
所以，该市一名驾驶员在2021年发生了交通事故，则其为女性的概率是多少.
22. （2023届湖北省十一校高三上学期12月联考）某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
【解析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，2，
，，
由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：
；
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则､､彼此互斥，且，
，
，
，
，
，
，
所求概率即是发生的条件下发生的概率：.
23. （2023届浙江省新高考研究高三上学期8月测试）2022年8月7日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区100位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)估计奶茶爱好者年龄位于区间的概率；
(3)已知奶茶爱好者喜欢浙江奶茶品牌“古茗”的概率为，该地区奶茶爱好者年龄位于区间的人口数占该地区奶茶爱好者总人口数的，从该地区选出1名奶茶爱好者，若此人的年龄位于区间，求此人喜欢古茗的概率.
【解析】（1）估计奶茶爱好者的平均年龄（岁）
（2）由题图，得奶茶爱好者年龄位于区间的频率为，
故奶茶爱好者年龄位于区间的概率为.
（3）设任选一名奶茶爱好者年龄位于区间,
设任选一名奶茶爱好者喜欢“古茗”
由条件概率公式可得：.
四、高考真题练
24．（2022新高考全国卷1）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）,同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组）,得到如下数据：
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据,给出的估计值,并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附,
【解析】(1)由题意知,,
,
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)证明：,
,
(ii) 由已知得,,
又,,
所以
25.（2021新高考全国卷1）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】由于有放回的取球，则，，，，，，，，其中，故甲与丁相互独立.
26.（2021新高考全国卷1）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
【解析】（1）X的所有可能取值为0，20，100.
，
，
，
所以X的分布列为
（2）假设先答B类问题，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100.
，
，
，
所以Y的分布列为
所以，
由（1）可知.
因为，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.
五、综合提升练
27. 有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，随机取一个零件，记“零件为次品”，“零件为第台车床加工”，则下列结论：
①，
②，
③，
④
其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【解析】因为，故①正确；
因为，故②正确；
因为，，所以，故③正确；
由上可得，又因为，故④错误．正确的有3个.故选C.
28. （多选）（2022届山东省高三 “山东学情”联考）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）
A．B．
C．事件与事件不相互独立D．，，是两两互斥的事件
【答案】BCD
【解析】甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；
再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，
对A，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，当发生时，，当不发生时，，事件与事件不相互独立，故C正确；
对D，，，不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确；故选BCD．
29.2022年3月初，新冠病毒肺炎疫情在上海爆发，并以极快的速度在上海传播开来．因该病毒暂无临床特效药可用，因此防控难度极大．上海某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户6口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该6名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为，且相互独立，该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，此时______．
【答案】
【解析】由题意可得，该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”，则前4人检测为阴性，第5人为阳性或前5人检测为阴性，第6人为阳性，由相互独立事件同时发生的概率公式，得
令，即，
解得(舍)或（舍）或.
当时，；
当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数取得极大值，也是最大值.
所以.
30.在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第代的遗传设想为第次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父本来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状，（或），在父本和母本中以同样的比例出现，则在随机杂交试验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是，称、分别为父本和母本中遗传因子和的频率，实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：
（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是，后代遗传性状为，（或），的概率分别是多少？
（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为，（或）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，其中、为定值且，求杂交所得子代的三种遗传性状，（或），所占的比例，，；
（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状，（或），所占的比例分别为：，，，设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式，，
（ⅰ）证明是等差数列；
（ⅱ）求，，的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？
【解析】（1）因为上代父本、母本的遗传性状都是，故子代的遗传性状有：，，，，共4种，故，（或），的概率分别是，，.
（2）由题可得，，，；
（3）由（2）知，，，，
∴，
则，∴是公差为1的等差数列：
，其中，
∴，，于是，
，，，
对于，越大，越小，所以这种实验长期进行下去，越来越小，而是子代中所占的比例，也即性状会渐渐消失.
X
0
1
2
3
P
场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
0.5
0.3
0.2
球队胜率
0.6
0.8
0.7
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
Y
0
80
100
P
0.4
0.12
0.48
1.（人A选择性必修三P52练习T2变式）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ）
A．0.92B．0.93C．0.94D．0.95
2. （人A选择性必修三P52习题7.1T1变式）目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（ ）
A．B．C．D．
3. （人A选择性必修三P52习题7.1T5变式）某学校在甲乙丙三个地区进行新生录取，三个地区的录取比例分别为，，．现从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的概率是__________．
4. （人A选择性必修三P52习题7.1T8变式）从，，，，中，甲、乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的数是的倍数，则甲取到的数大于乙取到的数的概率为______．
二、考点分类练
(一)相互独立事件
5. “事件与事件相互独立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ）
A．0.56B．0.14C．0.24D．0.94
(二) 独立重复实验
7．（2023届上海市嘉定区高三上学期一模）甲、乙两人弈棋，根据以往总共次的对弈记录，甲取胜次，乙取胜次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（ ）
A．元B．元C．元D．元
8. （2023届江苏省南通市如东高级中学高三上学期12月模拟）某校为丰富同学课余生活，活跃校园气氛，促进年级之间的友好关系，决定在高二､高三之间进行知识抢答赛，比赛规则如下：每个年级选出3名同学参加比赛，第一场比赛从两个年级的3名同学中各出1人进行抢答，失败者淘汰，失败者所在年级的第二名同学上场，以此类推，直至一方年级的3名同学全部淘汰，比赛结束.已知每个年级的3名同学之间已经排定好比赛顺序，且每个同学在每场比赛中胜利或失败的概率均为.
(1)求比赛结束时刚比赛完第四场的概率；
(2)已知其中一个年级的同学甲排在第二个上场，求甲所参加的比赛场数的分布列与数学期望.
(三)条件概率
9. （2023届广东省珠海市第四中学高三上学期摸底）已知事件A，B，若，，则（ ）
A．B．C．D．
10. （多选）一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A“这3个球都是红球”，事件B“这3个球中至少有1个红球”，事件C“这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（ ）
A．事件A发生的概率为B．事件B发生的概率为
C．事件C发生的概率为D．
11. （2022届重庆市第八中学校高考模拟）为了保障学生们的合法权益，并保证高考的公平性，重庆市施行的新高考方案中再选科目的高考成绩采用赋分制.赋分制在一定程度上缩小了试题难度不同带来的分数差，也在一定程度上减少了学科难度不一造成的分数差.2022年高考成绩公布后，重庆市某中学收集了部分学生的高考成绩，其中地理成绩均在（单位：分），将收集到的地理成绩按分组，得到频率分布直方图如下.
(1)求，并估计该校2022年高考地理科的平均成绩；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)已知该校2022年所有参加高考的学生中历史类考生占20%，物理类考生占80%，历史类考生中选考地理的占90%，物理类考生中选考地理的占5%，历史类考生中高考地理成绩不低于90分的占8%，若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，求选到历史类考生的概率（以样本中各区间的频率作为相应事件的概率）.
(四)全概率公式
12. （2023届辽宁省实验中学高三上学期期中）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则由乙箱中取出的是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
13. （多选）（2023届福建省莆田锦江中学高三上学期考试）甲袋子中有5个黑球，4个白球，乙袋子中有3个黑球，4个白球．假设这些球除了颜色外其他都相同，分两次从袋子中取球，第一次先从甲袋子中随机取出一球放入乙袋子，分别用事件，表示由甲袋子取出的球是黑球，白球：第二次再从乙袋子中随机取出两球，分别用事件，表示从乙袋子取出的球是“两球都为黑球”，“两球为一黑一白”，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
14. （2023届广东省汕头市高三上学期期末）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．
(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．
三、最新模拟练
15．（2023届吉林省长春市高三上学期质量监测）已知某家族有、两种遗传性状，该家族某位成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，、两种遗传性状都不出现的概率为．则该成员在出现性状的条件下，出现性状的概率为（ ）
A．B．C．D．
16. （2023届江苏省南通市海安市高三上学期学情检测）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ）
A．A与B不互斥B．A与D互斥但不对立
C．C与D互斥D．A与C相互独立
17. （多选）（2023届重庆市南开中学高三上学期质量检测）假设某市场供应的口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
在该市场中任意买一口罩，用分别表示买到的口罩为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则（ ）
A．B．C．D．
18. （多选）（2023届江苏省苏州市高三上学期12月模拟）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种
19. （2023届福建福州第十一中学高三上学期期中）一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是___________.
20. （2023届广东省广州大学附属中学高三上学期月考）数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就．在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念．二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用．已知对于正整数a，，若存在一个整数x，使得n整除，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．从1到20这20个整数中机抽取一个整数a，记事件“a与12互质”，“a是12的二次非剩余”，则______．
21. （2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期适应性月考）由于身体及心理方面的差异，人们往往认为女性驾驶员比男性驾驶员更容易发生交通事故.为调查女性驾驶员是否比男性驾驶员更容易发生交通事故，同学们组成了调查小组，对其所在城市进行了调查研究，结果却显示为：该市2021年男女驾驶员的比例为，男性驾驶员平均万人的发案率为，女性驾驶员平均万人的发案率为.（发案即发生了交通事故，暂不区分其是否为肇事责任人）
(1)若在全市驾驶员中随机抽取3人，则恰有1位女驾驶员的概率是多少？
(2)若该市一名驾驶员在2021年发生了交通事故，则其为女性的概率是多少？（结果保留到小数点后第三位）
22. （2023届湖北省十一校高三上学期12月联考）某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
23. （2023届浙江省新高考研究高三上学期8月测试）2022年8月7日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区100位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)估计奶茶爱好者年龄位于区间的概率；
(3)已知奶茶爱好者喜欢浙江奶茶品牌“古茗”的概率为，该地区奶茶爱好者年龄位于区间的人口数占该地区奶茶爱好者总人口数的，从该地区选出1名奶茶爱好者，若此人的年龄位于区间，求此人喜欢古茗的概率.
四、高考真题练
24．（2022新高考全国卷1）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）,同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组）,得到如下数据：
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据,给出的估计值,并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附,
25.（2021新高考全国卷1）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立
26.（2021新高考全国卷1）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
五、综合提升练
27. 有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，随机取一个零件，记“零件为次品”，“零件为第台车床加工”，则下列结论：
①，
②，
③，
④
其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
28. （多选）（2022届山东省高三 “山东学情”联考）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）
A．B．
C．事件与事件不相互独立D．，，是两两互斥的事件
29.2022年3月初，新冠病毒肺炎疫情在上海爆发，并以极快的速度在上海传播开来．因该病毒暂无临床特效药可用，因此防控难度极大．上海某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户6口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该6名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为，且相互独立，该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，此时______．
30.在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第代的遗传设想为第次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父本来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状，（或），在父本和母本中以同样的比例出现，则在随机杂交试验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是，称、分别为父本和母本中遗传因子和的频率，实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：
（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是，后代遗传性状为，（或），的概率分别是多少？
（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为，（或）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，其中、为定值且，求杂交所得子代的三种遗传性状，（或），所占的比例，，；
（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状，（或），所占的比例分别为：，，，设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式，，
（ⅰ）证明是等差数列；
（ⅱ）求，，的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
0.5
0.3
0.2
球队胜率
0.6
0.8
0.7
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
第44练 条件概率及独立重复实验
一、课本变式练
1.（人A选择性必修三P52练习T2变式）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ）
A．0.92B．0.93C．0.94D．0.95
【答案】B
【解析】由甲乙两厂所占比例及对应的合格率可得，故选B
2. （人A选择性必修三P52习题7.1T1变式）目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设公司男、女员工的人数分别为和，则男员工中，肥胖者有人，
女员工中，肥胖者有人，设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件，
则，，则.故选D.
3. （人A选择性必修三P52习题7.1T5变式）某学校在甲乙丙三个地区进行新生录取，三个地区的录取比例分别为，，．现从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的概率是__________．
【答案】
【解析】记事件，，表示此人选自甲乙丙三个地区，事件：此人被录取；则，，，，．
4. （人A选择性必修三P52习题7.1T8变式）从，，，，中，甲、乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的数是的倍数，则甲取到的数大于乙取到的数的概率为______．
【答案】
【解析】设事件表示“甲取到的数比乙大”，事件表示“甲取到的数是5的倍数”，
则甲取到的数是5的倍数，甲取到的数大于乙取到的数的概率为，
，
，
所以，
即甲取到的数大于乙取到的数的概率为.
二、考点分类练
(一)相互独立事件
5. “事件与事件相互独立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当事件与事件相互独立时，，
时，事件与事件相互独立，所以 “事件相互独立”是“”的充要条件.故选C.
6. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ）
A．0.56B．0.14C．0.24D．0.94
【答案】A
【解析】因为甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，所以甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为.故选A.
(二) 独立重复实验
7．（2023届上海市嘉定区高三上学期一模）甲、乙两人弈棋，根据以往总共次的对弈记录，甲取胜次，乙取胜次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】C
【解析】依题意知：甲乙胜负的概率都是假设比赛继续，甲只需三场中赢得一场即获得全额奖金，
甲获胜的概率（元），故选C
8. （2023届江苏省南通市如东高级中学高三上学期12月模拟）某校为丰富同学课余生活，活跃校园气氛，促进年级之间的友好关系，决定在高二､高三之间进行知识抢答赛，比赛规则如下：每个年级选出3名同学参加比赛，第一场比赛从两个年级的3名同学中各出1人进行抢答，失败者淘汰，失败者所在年级的第二名同学上场，以此类推，直至一方年级的3名同学全部淘汰，比赛结束.已知每个年级的3名同学之间已经排定好比赛顺序，且每个同学在每场比赛中胜利或失败的概率均为.
(1)求比赛结束时刚比赛完第四场的概率；
(2)已知其中一个年级的同学甲排在第二个上场，求甲所参加的比赛场数的分布列与数学期望.
【解析】（1）打完第四局结束,则赢的一方只能输一局且只能为前三局
设比赛结束时刚比赛完第四场为事件
（2）设甲参加的比赛场数为, 可能的取值为.
当时,
当时,
当时,
当时,
的分布列为则随机变量的分布列为：
则数学期望为
．
(三)条件概率
9. （2023届广东省珠海市第四中学高三上学期摸底）已知事件A，B，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为, .所以.故选A.
10. （多选）一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A“这3个球都是红球”，事件B“这3个球中至少有1个红球”，事件C“这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（ ）
A．事件A发生的概率为B．事件B发生的概率为
C．事件C发生的概率为D．
【答案】ABC
【解析】由题意7个球中任取3个球的基本事件总数为：
这3个球都是红球的基本事件数为：，
所以事件A发生的概率为：，故A错误，
这3个球中至少有1个红球的基本事件数为：
，
所以事件B发生的概率为：，故B错误，
这3个球中至多有1个红球的基本事件数为：
，
事件C发生的概率为,故C错误，
因为，
所以由条件概率公式得：，
故D正确，故选ABC.
11. （2022届重庆市第八中学校高考模拟）为了保障学生们的合法权益，并保证高考的公平性，重庆市施行的新高考方案中再选科目的高考成绩采用赋分制.赋分制在一定程度上缩小了试题难度不同带来的分数差，也在一定程度上减少了学科难度不一造成的分数差.2022年高考成绩公布后，重庆市某中学收集了部分学生的高考成绩，其中地理成绩均在（单位：分），将收集到的地理成绩按分组，得到频率分布直方图如下.
(1)求，并估计该校2022年高考地理科的平均成绩；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)已知该校2022年所有参加高考的学生中历史类考生占20%，物理类考生占80%，历史类考生中选考地理的占90%，物理类考生中选考地理的占5%，历史类考生中高考地理成绩不低于90分的占8%，若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，求选到历史类考生的概率（以样本中各区间的频率作为相应事件的概率）.
【解析】（1）由题意可得：，
解得，
估计该校2022年高考地理科的平均成绩为.
（2）该校2022年所有参加高考的学生中任选1名，记“选到历史类考生”为事件A，“选到物理类考生”为事件B，“选到选考地理的考生”为事件C，则有，
∴，
记“选到高考地理成绩不低于90分”为事件D，则，
∴，
故，
若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，选到历史类考生的概率.
(四)全概率公式
12. （2023届辽宁省实验中学高三上学期期中）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则由乙箱中取出的是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，乙箱中取出的是红球的概率为.故选D
13. （多选）（2023届福建省莆田锦江中学高三上学期考试）甲袋子中有5个黑球，4个白球，乙袋子中有3个黑球，4个白球．假设这些球除了颜色外其他都相同，分两次从袋子中取球，第一次先从甲袋子中随机取出一球放入乙袋子，分别用事件，表示由甲袋子取出的球是黑球，白球：第二次再从乙袋子中随机取出两球，分别用事件，表示从乙袋子取出的球是“两球都为黑球”，“两球为一黑一白”，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】由题意得：，，
，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D正确.故选AD
14. （2023届广东省汕头市高三上学期期末）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．
(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．
【解析】（1）设表示“甲球员担当边锋”；表示“甲球员担当前卫”；表示“甲球员担当中场”；表示“球队赢了某场比赛”，
则
，
该球队某场比赛输球的概率为，
（2）由（1）知： ,
所以 ，
所以球员甲担当前卫的概率为
（3）同（2）
由于，所以应多安排甲球员担任边锋，来增大赢球的几率.
三、最新模拟练
15．（2023届吉林省长春市高三上学期质量监测）已知某家族有、两种遗传性状，该家族某位成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，、两种遗传性状都不出现的概率为．则该成员在出现性状的条件下，出现性状的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】记事件该家族某位成员出现性状，事件该家族某位成员出现性状，
则，，，则，
又因为，则，
故所求概率为.故选B.
16. （2023届江苏省南通市海安市高三上学期学情检测）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ）
A．A与B不互斥B．A与D互斥但不对立
C．C与D互斥D．A与C相互独立
【答案】D
【解析】由，，，即，故A、B互斥，A错误；
由，A、D互斥且对立，B错误；
又，，则，C与D不互斥，C错误；
由，，，
所以，即A与C相互独立，D正确.故选D
17. （多选）（2023届重庆市南开中学高三上学期质量检测）假设某市场供应的口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
在该市场中任意买一口罩，用分别表示买到的口罩为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由题中表格可知,
故,A正确；
，B错误；
,
故C正确；
，D错误，故选
18. （多选）（2023届江苏省苏州市高三上学期12月模拟）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种
【答案】AB
【解析】记第一次抽到第i号球的事件分别为，则有，
对于A，在第一次抽到2号球的条件下，则2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为，A正确；
对于B，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，而两两互斥，和为，
，记第二次抽到3号球的事件为，
，B正确；
对于C，记第二次在第i号盒内抽到1号球的事件分别为，而两两互斥，和为，
，记第二次抽到1号球的事件为，
，
第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同，
，，
，即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，C不正确；
对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，
将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同放法，
由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，D不正确.故选AB
19. （2023届福建福州第十一中学高三上学期期中）一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是___________.
【答案】
【解析】设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得故
20. （2023届广东省广州大学附属中学高三上学期月考）数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就．在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念．二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用．已知对于正整数a，，若存在一个整数x，使得n整除，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．从1到20这20个整数中机抽取一个整数a，记事件“a与12互质”，“a是12的二次非剩余”，则______．
【答案】
【解析】在1到20中与12互质的有1,5,7,11,13,17,19，即；
由二次剩余的定义，假设a是12的二次非剩余，则整数的整数不存在，
当时，，当时，，
当时，不存在，
即，
由事件中有7种情况，事件有5种情况，
所以.
21. （2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期适应性月考）由于身体及心理方面的差异，人们往往认为女性驾驶员比男性驾驶员更容易发生交通事故.为调查女性驾驶员是否比男性驾驶员更容易发生交通事故，同学们组成了调查小组，对其所在城市进行了调查研究，结果却显示为：该市2021年男女驾驶员的比例为，男性驾驶员平均万人的发案率为，女性驾驶员平均万人的发案率为.（发案即发生了交通事故，暂不区分其是否为肇事责任人）
(1)若在全市驾驶员中随机抽取3人，则恰有1位女驾驶员的概率是多少？
(2)若该市一名驾驶员在2021年发生了交通事故，则其为女性的概率是多少？（结果保留到小数点后第三位）
【解析】（1）解：因为该市2021年男女驾驶员的比例为，
所以，在全市驾驶员中随机抽取1人是女驾驶员的概率为，
设在全市驾驶员中随机抽取3人，女驾驶员的人数为，
所以，
所以，恰有1位女驾驶员的概率是.
（2）解：设事件：驾驶员为女性，事件：驾驶员发生的交通事故.
所以，，，
所以，根据全概率公式，，
所以，
所以，该市一名驾驶员在2021年发生了交通事故，则其为女性的概率是多少.
22. （2023届湖北省十一校高三上学期12月联考）某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
【解析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，2，
，，
由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：
；
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则､､彼此互斥，且，
，
，
，
，
，
，
所求概率即是发生的条件下发生的概率：.
23. （2023届浙江省新高考研究高三上学期8月测试）2022年8月7日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区100位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)估计奶茶爱好者年龄位于区间的概率；
(3)已知奶茶爱好者喜欢浙江奶茶品牌“古茗”的概率为，该地区奶茶爱好者年龄位于区间的人口数占该地区奶茶爱好者总人口数的，从该地区选出1名奶茶爱好者，若此人的年龄位于区间，求此人喜欢古茗的概率.
【解析】（1）估计奶茶爱好者的平均年龄（岁）
（2）由题图，得奶茶爱好者年龄位于区间的频率为，
故奶茶爱好者年龄位于区间的概率为.
（3）设任选一名奶茶爱好者年龄位于区间,
设任选一名奶茶爱好者喜欢“古茗”
由条件概率公式可得：.
四、高考真题练
24．（2022新高考全国卷1）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）,同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组）,得到如下数据：
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据,给出的估计值,并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附,
【解析】(1)由题意知,,
,
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)证明：,
,
(ii) 由已知得,,
又,,
所以
25.（2021新高考全国卷1）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】由于有放回的取球，则，，，，，，，，其中，故甲与丁相互独立.
26.（2021新高考全国卷1）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
【解析】（1）X的所有可能取值为0，20，100.
，
，
，
所以X的分布列为
（2）假设先答B类问题，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100.
，
，
，
所以Y的分布列为
所以，
由（1）可知.
因为，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.
五、综合提升练
27. 有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，随机取一个零件，记“零件为次品”，“零件为第台车床加工”，则下列结论：
①，
②，
③，
④
其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【解析】因为，故①正确；
因为，故②正确；
因为，，所以，故③正确；
由上可得，又因为，故④错误．正确的有3个.故选C.
28. （多选）（2022届山东省高三 “山东学情”联考）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）
A．B．
C．事件与事件不相互独立D．，，是两两互斥的事件
【答案】BCD
【解析】甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；
再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，
对A，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，当发生时，，当不发生时，，事件与事件不相互独立，故C正确；
对D，，，不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确；故选BCD．
29.2022年3月初，新冠病毒肺炎疫情在上海爆发，并以极快的速度在上海传播开来．因该病毒暂无临床特效药可用，因此防控难度极大．上海某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户6口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该6名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为，且相互独立，该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，此时______．
【答案】
【解析】由题意可得，该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”，则前4人检测为阴性，第5人为阳性或前5人检测为阴性，第6人为阳性，由相互独立事件同时发生的概率公式，得
令，即，
解得(舍)或（舍）或.
当时，；
当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数取得极大值，也是最大值.
所以.
30.在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第代的遗传设想为第次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父本来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状，（或），在父本和母本中以同样的比例出现，则在随机杂交试验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是，称、分别为父本和母本中遗传因子和的频率，实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：
（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是，后代遗传性状为，（或），的概率分别是多少？
（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为，（或）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，其中、为定值且，求杂交所得子代的三种遗传性状，（或），所占的比例，，；
（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状，（或），所占的比例分别为：，，，设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式，，
（ⅰ）证明是等差数列；
（ⅱ）求，，的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？
【解析】（1）因为上代父本、母本的遗传性状都是，故子代的遗传性状有：，，，，共4种，故，（或），的概率分别是，，.
（2）由题可得，，，；
（3）由（2）知，，，，
∴，
则，∴是公差为1的等差数列：
，其中，
∴，，于是，
，，，
对于，越大，越小，所以这种实验长期进行下去，越来越小，而是子代中所占的比例，也即性状会渐渐消失.
X
0
1
2
3
P
场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
0.5
0.3
0.2
球队胜率
0.6
0.8
0.7
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
Y
0
80
100
P
0.4
0.12
0.48
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