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高中数学8.1 基本立体图形随堂练习题
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这是一份高中数学8.1 基本立体图形随堂练习题，共25页。
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的六面体是长方体
D．底面是矩形的四棱柱是长方体
2．（2022春·天津和平·高一天津市第二十一中学校联考期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A． 是棱台B． 是圆台
C． 不是棱柱D． 是棱锥
3．（2022·高一课时练习）如图所示的简单组合体的组成是（ ）
A．棱柱、棱台B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台D．棱柱、棱柱
4．（2022春·广东汕头·高一汕头市潮阳林百欣中学校考期中）（多选）如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
5．（2022春·江苏苏州·高一校考期中）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
（2）由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体
（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
A．3个B．2个C．1个D．0
6．（2022云南）一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（ ）
A．前，程B．你，前C．似，棉D．程，锦
7（2022·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．正棱锥的所有侧棱长相等
B．圆柱的母线垂直于底面
C．直棱柱的侧面都是全等的矩形
D．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形
8．（2022·高一课时练习）用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（ ）
A．8B．C．D．
9．（2022广西）已知圆柱的高为2，若它的轴截面为正方形，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．2πC．D．8π
10．（2022·高一课时练习）若一个圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（2022春·山东泰安·高一统考期中）（多选）如图长方体被一个平面截成两个几何体，其中，则（ ）
A．几何体是一个六面体
B．几何体是一个四棱台
C．几何体是一个四棱柱
D．几何体是一个三棱柱
12．（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）（多选）用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（ ）
A．四棱台B．四棱柱C．三棱柱D．三棱锥
13．（2022春·广东广州·高一广州市培英中学校考期中）（多选）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是
A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．正方体
14（2022·全国·高一假期作业）如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，侧面积为，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为___________cm.
15（2022春·山西晋中·高一校考期中）已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达的最短路线的长为___________.
16（2022春·黑龙江·高一哈九中校考期中）在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________．
17．（2022春·山西运城·高一校联考期中）已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为______.
18．（2022春·安徽池州·高一统考期末）在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为
19．（20222·广东佛山）如图，某圆柱的高为，底面圆的半径为，则在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为______．
20．（2022春·安徽池州·高一统考期中）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m．
1．（2022春·广东江门·高一新会陈经纶中学校考期中）（多选）长方体的棱长，则从点沿长方体表面到达点的距离可以为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·河南·高一校联考期末）若圆锥的侧面展开图是半径为5，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ）
A．B．4C．D．
3．（2022春·山东滨州·高一统考期中）已知正三棱柱的所有棱长都是2，点M在棱AC上运动，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全国·高一假期作业）在正四棱锥中，，为的中点，为的中点，则从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高一专题练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且．若点、、分别为棱、、上的动点（不包含端点），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021春·广东揭阳·高一揭阳第一中学校考期中）如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期末）已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·高一假期作业）在正方体中，，E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A．B．C．4D．
9．（2022·全国·高一专题练习）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
8.1 基本立体图形（精练）
1．（2022春·北京·高一北京育才学校校考阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．四棱柱是平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的六面体是长方体
D．底面是矩形的四棱柱是长方体
【答案】C
【解析】对于A，当四棱柱的底面是梯形时，则此四棱柱不是平行六面体，所以A错误，
对于B，直平行六面体是平行六面体的侧棱与底面垂直，底面可以是一般的平行四边形，则它不是长方体，所以B错误，
对于C，根据长方体的结构特征可知，六个面都是矩形的六面体是长方体，所以C正确，
对于D，当四棱柱的侧棱与底面不垂直时，则不是长方体，所以D错误，
故选：C
2．（2022春·天津和平·高一天津市第二十一中学校联考期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A． 是棱台B． 是圆台
C． 不是棱柱D． 是棱锥
【答案】D
【解析】对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误；
对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误；
对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误；
对D，符合棱锥的定义，正确．
故选：D．
3．（2022·高一课时练习）如图所示的简单组合体的组成是（ ）
A．棱柱、棱台B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台D．棱柱、棱柱
【答案】B
【解析】由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成.故选：B.
4．（2022春·广东汕头·高一汕头市潮阳林百欣中学校考期中）（多选）如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】BD
【解析】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，
如图，截面的形状只可能为四边形和六边形.故选：BD
5．（2022春·江苏苏州·高一校考期中）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
（2）由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体
（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
A．3个B．2个C．1个D．0
【答案】C
【解析】（1）
如图，侧棱延长线可能不交于一点，故（1）错误
（2）正确，符合多面体的定义
（3）不正确，不存在这样的正六棱锥，正六边形中心与各个顶点连线，构成了6个全等的小正三角，所以正六棱锥棱长不可能与底边相等，故（3）错误.
（4）错误 . 不一定是正三棱锥,如图所示:
三棱锥中有. 满足底面为等边三角形. 三个侧面 ，， 都是等腰三角形，但长度不一定等于，即三条侧棱不一定全部相等．
故选：C
6．（2022云南）一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（ ）
A．前，程B．你，前C．似，棉D．程，锦
【答案】A
【解析】因为“祝”字面和“前”字面中间隔着“你”字面，所以“祝”字面和“前”字面相对，同理“你”字面和“程”字面中间隔着“前”字面，所以“你”字面和“程”字面相对，故选：A.
7（2022·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．正棱锥的所有侧棱长相等
B．圆柱的母线垂直于底面
C．直棱柱的侧面都是全等的矩形
D．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形
【答案】C
【解析】对于A,根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长相等,故A正确；
对于B,根据圆柱是由矩形绕其一边旋转而成的几何体,可知圆柱的母线与底面垂直,故B正确；
对于C,直棱柱的侧面都是矩形,但不一定全等,故C错误；
对于D,圆锥的轴截面是全等的等腰三角形,故D正确.
综上可知,错误的为C故选:C
8．（2022·高一课时练习）用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（ ）
A．8B．C．D．
【答案】B
【解析】当圆柱的高为4时，设圆柱的底面半径为，则，则，则圆柱轴截面面积为， 当圆柱的高为2时，设圆柱的底面半径为，则，则，则圆柱轴截面面积为， 综上所述，圆柱的轴截面面积为，故选：B.
9．（2022广西）已知圆柱的高为2，若它的轴截面为正方形，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．2πC．D．8π
【答案】B
【解析】圆柱的高为2，若它的轴截面为正方形，则圆柱的底面半径为1，其体积为2π.故选:B
10．（2022·高一课时练习）若一个圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】设底面半径为r．因为轴截面是等腰直角三角形，所以圆锥的高也是r．据题意得，解得．故选：C.
11．（2022春·山东泰安·高一统考期中）（多选）如图长方体被一个平面截成两个几何体，其中，则（ ）
A．几何体是一个六面体
B．几何体是一个四棱台
C．几何体是一个四棱柱
D．几何体是一个三棱柱
【答案】ACD
【解析】在长方体中，，，所以，
因为有六个面，所以几何体是一个六面体，故A正确；
因为，所以侧棱的延长线不能交于一点，故不是四棱台，故B错误；
因为几何体的侧棱平行且相等，四边形与四边形是平行且全等的四边形，
所以几何体为四棱柱，
同理几何体是一个三棱柱，故C、D正确；
故选：ACD
12．（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）（多选）用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（ ）
A．四棱台B．四棱柱C．三棱柱D．三棱锥
【答案】BCD
【解析】如图三棱柱，连接，则可得平面截三棱柱，得到一个三棱锥，所以D正确，
若用一个平行于平面的平面去截三棱柱，如图平面，则得到一个三棱柱和一个四棱柱，所以BC正确，
因为四棱台的上下底面要平行，所以要得到四棱台，则截面要与三棱柱的上下底面相交，而四棱台的侧棱延长后交与一点，棱柱的侧棱是相互平行的，所以用一个平面去截一个三棱柱，不可能得到一个四棱台，所以A错误，
故选：BCD
13．（2022春·广东广州·高一广州市培英中学校考期中）（多选）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是
A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．正方体
【答案】ACD
【解析】圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形，
三棱锥平行于底面的截面是三角形，
正方体的截面可能是三角形，如图：
故选：ACD
14（2022·全国·高一假期作业）如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，侧面积为，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为___________cm.
【答案】
【解析】将正三棱柱沿侧棱展开，其侧面展开图如图所示，
依题意，由侧面积为，所以，则，
依题意沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线为；
故答案为：
15（2022春·山西晋中·高一校考期中）已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达的最短路线的长为___________.
【答案】10
【解析】将正三棱柱的侧面展开两次，再拼接到一起，
其侧面展开图，如图所示的矩形，连接，
因为正三棱柱的底面边长为1，高为8，可得矩形的底边长为，高为，
所以.
故答案为：.
16（2022春·黑龙江·高一哈九中校考期中）在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________．
【答案】
【解析】
将正三棱锥沿棱展开，得到如下图形，
由展开图可得，沿爬行时，路程最短；
因为，，
所以，
因此.
故答案为：.
17．（2022春·山西运城·高一校联考期中）已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为______.
【答案】
【解析】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点间的线段距离最短.
即蚂蚁爬行的最短的路线为，
由，，，
，
从而最短距离为.
18．（2022春·安徽池州·高一统考期末）在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为
【答案】3
【解析】取的中点F，连接，如下图：
因为E为的中点，所以点E、F关于平面对称，所以，最小值为.
19．（20222·广东佛山）如图，某圆柱的高为，底面圆的半径为，则在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为______．
【答案】
【解析】如图，将圆柱侧面展开，
，
则在圆柱侧面的展开图上，最短路径的长度为．
故答案为：.
20．（2022春·安徽池州·高一统考期中）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m．
【答案】
【解析】如图所示，根据题意可得为边长为的正三角形，
所以，
所以圆锥底面周长，
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得，
故，则，
所以，
所以小猫所经过的最短路程是．
故答案为：
1．（2022春·广东江门·高一新会陈经纶中学校考期中）（多选）长方体的棱长，则从点沿长方体表面到达点的距离可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】则从点沿长方体表面到达有三种展开方式，
若以为轴展开，则，
若以为轴展开，则，
若以为轴展开，则.
故选：ABC.
2．（2022春·河南·高一校联考期末）若圆锥的侧面展开图是半径为5，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【解析】设圆锥的底面圆半径为r，则，解得r＝4，
设截面与圆锥底面的交线长为a（），由题意，截面是一个等腰三角形，
截面三角形的高，所以截面面积
，当且仅当，即
时等号成立，
故选：C．
3．（2022春·山东滨州·高一统考期中）已知正三棱柱的所有棱长都是2，点M在棱AC上运动，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图，将三棱柱的上底面ABC
沿AC展开至与平面共面，
此时．
因为，且，
由余弦定理可得，
解得，
所以的最小值为．
故选：A.
4．（2022·全国·高一假期作业）在正四棱锥中，，为的中点，为的中点，则从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分以下几种情况讨论：
（1）当点沿着平面、到点，将平面、延展为同一平面，如下图所示：
易知、均为等边三角形，延展后，，，
所以，四边形为菱形，所以，且，
因为、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，此时；
（2）当点沿着平面、到点，将平面、延展至同一平面，如下图所示：
连接，则，且，，，
因为，由余弦定理可得；
（3）当点沿着平面、到点，连接，如下图所示：
则，，，
由余弦定理可得；
（4）当点沿着平面、、到点，将这三个侧面延展为同一平面，如下图所示：
易知、、三点共线，且，，，
由余弦定理可得.
综上所述，从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为.
故选：C.
5．（2022·全国·高一专题练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且．若点、、分别为棱、、上的动点（不包含端点），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】把四棱锥沿展开，得到如图所示图形：
的最小时，点与共线时，所以求的最小值即求的长度，
因为，，
所以在中，结合余弦定理得，所以，因为，所以，
在中，
,
故选：C.
6．（2021春·广东揭阳·高一揭阳第一中学校考期中）如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，将正四棱柱的侧面展开，
则的最小值为．
在中，，，
则．
故选：D
7．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期末）已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设侧棱长为，则由底面边长为3，高为1，由可求得，
如图，设，则，且，于是，
所以，
当且仅当即时取等号
故四边形的面积最大值为，
故选：C.
8．（2022·全国·高一假期作业）在正方体中，，E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【解析】取的中点为M，连接EM，，则，且，则．又正方体中，，所以，，因此，所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，因此该等腰梯形的高为，所以该截面的面积为．
故选：D．
9．（2022·全国·高一专题练习）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）将长方体与顶点相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示：
则的长就为最短路线．
若蚂蚁沿前侧面和上底面爬行，如图1，
则经过的最短路程为，
若蚂蚁沿侧面爬行，如图2，
则经过的最短路程为，
若蚂蚁沿左侧面和上底面爬行，如图3，
则经过的最短路程为，
，
∴所以蚂蚁经过的最短路程是；
（2）最长的路线应该是依次经过棱长为的路线，
由，
所以最长路程是．
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的六面体是长方体
D．底面是矩形的四棱柱是长方体
2．（2022春·天津和平·高一天津市第二十一中学校联考期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A． 是棱台B． 是圆台
C． 不是棱柱D． 是棱锥
3．（2022·高一课时练习）如图所示的简单组合体的组成是（ ）
A．棱柱、棱台B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台D．棱柱、棱柱
4．（2022春·广东汕头·高一汕头市潮阳林百欣中学校考期中）（多选）如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
5．（2022春·江苏苏州·高一校考期中）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
（2）由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体
（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
A．3个B．2个C．1个D．0
6．（2022云南）一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（ ）
A．前，程B．你，前C．似，棉D．程，锦
7（2022·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．正棱锥的所有侧棱长相等
B．圆柱的母线垂直于底面
C．直棱柱的侧面都是全等的矩形
D．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形
8．（2022·高一课时练习）用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（ ）
A．8B．C．D．
9．（2022广西）已知圆柱的高为2，若它的轴截面为正方形，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．2πC．D．8π
10．（2022·高一课时练习）若一个圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（2022春·山东泰安·高一统考期中）（多选）如图长方体被一个平面截成两个几何体，其中，则（ ）
A．几何体是一个六面体
B．几何体是一个四棱台
C．几何体是一个四棱柱
D．几何体是一个三棱柱
12．（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）（多选）用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（ ）
A．四棱台B．四棱柱C．三棱柱D．三棱锥
13．（2022春·广东广州·高一广州市培英中学校考期中）（多选）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是
A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．正方体
14（2022·全国·高一假期作业）如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，侧面积为，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为___________cm.
15（2022春·山西晋中·高一校考期中）已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达的最短路线的长为___________.
16（2022春·黑龙江·高一哈九中校考期中）在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________．
17．（2022春·山西运城·高一校联考期中）已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为______.
18．（2022春·安徽池州·高一统考期末）在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为
19．（20222·广东佛山）如图，某圆柱的高为，底面圆的半径为，则在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为______．
20．（2022春·安徽池州·高一统考期中）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m．
1．（2022春·广东江门·高一新会陈经纶中学校考期中）（多选）长方体的棱长，则从点沿长方体表面到达点的距离可以为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·河南·高一校联考期末）若圆锥的侧面展开图是半径为5，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ）
A．B．4C．D．
3．（2022春·山东滨州·高一统考期中）已知正三棱柱的所有棱长都是2，点M在棱AC上运动，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全国·高一假期作业）在正四棱锥中，，为的中点，为的中点，则从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高一专题练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且．若点、、分别为棱、、上的动点（不包含端点），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021春·广东揭阳·高一揭阳第一中学校考期中）如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期末）已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·高一假期作业）在正方体中，，E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A．B．C．4D．
9．（2022·全国·高一专题练习）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
8.1 基本立体图形（精练）
1．（2022春·北京·高一北京育才学校校考阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．四棱柱是平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的六面体是长方体
D．底面是矩形的四棱柱是长方体
【答案】C
【解析】对于A，当四棱柱的底面是梯形时，则此四棱柱不是平行六面体，所以A错误，
对于B，直平行六面体是平行六面体的侧棱与底面垂直，底面可以是一般的平行四边形，则它不是长方体，所以B错误，
对于C，根据长方体的结构特征可知，六个面都是矩形的六面体是长方体，所以C正确，
对于D，当四棱柱的侧棱与底面不垂直时，则不是长方体，所以D错误，
故选：C
2．（2022春·天津和平·高一天津市第二十一中学校联考期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A． 是棱台B． 是圆台
C． 不是棱柱D． 是棱锥
【答案】D
【解析】对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误；
对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误；
对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误；
对D，符合棱锥的定义，正确．
故选：D．
3．（2022·高一课时练习）如图所示的简单组合体的组成是（ ）
A．棱柱、棱台B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台D．棱柱、棱柱
【答案】B
【解析】由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成.故选：B.
4．（2022春·广东汕头·高一汕头市潮阳林百欣中学校考期中）（多选）如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】BD
【解析】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，
如图，截面的形状只可能为四边形和六边形.故选：BD
5．（2022春·江苏苏州·高一校考期中）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
（2）由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体
（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
A．3个B．2个C．1个D．0
【答案】C
【解析】（1）
如图，侧棱延长线可能不交于一点，故（1）错误
（2）正确，符合多面体的定义
（3）不正确，不存在这样的正六棱锥，正六边形中心与各个顶点连线，构成了6个全等的小正三角，所以正六棱锥棱长不可能与底边相等，故（3）错误.
（4）错误 . 不一定是正三棱锥,如图所示:
三棱锥中有. 满足底面为等边三角形. 三个侧面 ，， 都是等腰三角形，但长度不一定等于，即三条侧棱不一定全部相等．
故选：C
6．（2022云南）一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（ ）
A．前，程B．你，前C．似，棉D．程，锦
【答案】A
【解析】因为“祝”字面和“前”字面中间隔着“你”字面，所以“祝”字面和“前”字面相对，同理“你”字面和“程”字面中间隔着“前”字面，所以“你”字面和“程”字面相对，故选：A.
7（2022·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．正棱锥的所有侧棱长相等
B．圆柱的母线垂直于底面
C．直棱柱的侧面都是全等的矩形
D．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形
【答案】C
【解析】对于A,根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长相等,故A正确；
对于B,根据圆柱是由矩形绕其一边旋转而成的几何体,可知圆柱的母线与底面垂直,故B正确；
对于C,直棱柱的侧面都是矩形,但不一定全等,故C错误；
对于D,圆锥的轴截面是全等的等腰三角形,故D正确.
综上可知,错误的为C故选:C
8．（2022·高一课时练习）用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（ ）
A．8B．C．D．
【答案】B
【解析】当圆柱的高为4时，设圆柱的底面半径为，则，则，则圆柱轴截面面积为， 当圆柱的高为2时，设圆柱的底面半径为，则，则，则圆柱轴截面面积为， 综上所述，圆柱的轴截面面积为，故选：B.
9．（2022广西）已知圆柱的高为2，若它的轴截面为正方形，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．2πC．D．8π
【答案】B
【解析】圆柱的高为2，若它的轴截面为正方形，则圆柱的底面半径为1，其体积为2π.故选:B
10．（2022·高一课时练习）若一个圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】设底面半径为r．因为轴截面是等腰直角三角形，所以圆锥的高也是r．据题意得，解得．故选：C.
11．（2022春·山东泰安·高一统考期中）（多选）如图长方体被一个平面截成两个几何体，其中，则（ ）
A．几何体是一个六面体
B．几何体是一个四棱台
C．几何体是一个四棱柱
D．几何体是一个三棱柱
【答案】ACD
【解析】在长方体中，，，所以，
因为有六个面，所以几何体是一个六面体，故A正确；
因为，所以侧棱的延长线不能交于一点，故不是四棱台，故B错误；
因为几何体的侧棱平行且相等，四边形与四边形是平行且全等的四边形，
所以几何体为四棱柱，
同理几何体是一个三棱柱，故C、D正确；
故选：ACD
12．（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）（多选）用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（ ）
A．四棱台B．四棱柱C．三棱柱D．三棱锥
【答案】BCD
【解析】如图三棱柱，连接，则可得平面截三棱柱，得到一个三棱锥，所以D正确，
若用一个平行于平面的平面去截三棱柱，如图平面，则得到一个三棱柱和一个四棱柱，所以BC正确，
因为四棱台的上下底面要平行，所以要得到四棱台，则截面要与三棱柱的上下底面相交，而四棱台的侧棱延长后交与一点，棱柱的侧棱是相互平行的，所以用一个平面去截一个三棱柱，不可能得到一个四棱台，所以A错误，
故选：BCD
13．（2022春·广东广州·高一广州市培英中学校考期中）（多选）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是
A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．正方体
【答案】ACD
【解析】圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形，
三棱锥平行于底面的截面是三角形，
正方体的截面可能是三角形，如图：
故选：ACD
14（2022·全国·高一假期作业）如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，侧面积为，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为___________cm.
【答案】
【解析】将正三棱柱沿侧棱展开，其侧面展开图如图所示，
依题意，由侧面积为，所以，则，
依题意沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线为；
故答案为：
15（2022春·山西晋中·高一校考期中）已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达的最短路线的长为___________.
【答案】10
【解析】将正三棱柱的侧面展开两次，再拼接到一起，
其侧面展开图，如图所示的矩形，连接，
因为正三棱柱的底面边长为1，高为8，可得矩形的底边长为，高为，
所以.
故答案为：.
16（2022春·黑龙江·高一哈九中校考期中）在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________．
【答案】
【解析】
将正三棱锥沿棱展开，得到如下图形，
由展开图可得，沿爬行时，路程最短；
因为，，
所以，
因此.
故答案为：.
17．（2022春·山西运城·高一校联考期中）已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为______.
【答案】
【解析】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点间的线段距离最短.
即蚂蚁爬行的最短的路线为，
由，，，
，
从而最短距离为.
18．（2022春·安徽池州·高一统考期末）在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为
【答案】3
【解析】取的中点F，连接，如下图：
因为E为的中点，所以点E、F关于平面对称，所以，最小值为.
19．（20222·广东佛山）如图，某圆柱的高为，底面圆的半径为，则在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为______．
【答案】
【解析】如图，将圆柱侧面展开，
，
则在圆柱侧面的展开图上，最短路径的长度为．
故答案为：.
20．（2022春·安徽池州·高一统考期中）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m．
【答案】
【解析】如图所示，根据题意可得为边长为的正三角形，
所以，
所以圆锥底面周长，
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得，
故，则，
所以，
所以小猫所经过的最短路程是．
故答案为：
1．（2022春·广东江门·高一新会陈经纶中学校考期中）（多选）长方体的棱长，则从点沿长方体表面到达点的距离可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】则从点沿长方体表面到达有三种展开方式，
若以为轴展开，则，
若以为轴展开，则，
若以为轴展开，则.
故选：ABC.
2．（2022春·河南·高一校联考期末）若圆锥的侧面展开图是半径为5，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【解析】设圆锥的底面圆半径为r，则，解得r＝4，
设截面与圆锥底面的交线长为a（），由题意，截面是一个等腰三角形，
截面三角形的高，所以截面面积
，当且仅当，即
时等号成立，
故选：C．
3．（2022春·山东滨州·高一统考期中）已知正三棱柱的所有棱长都是2，点M在棱AC上运动，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图，将三棱柱的上底面ABC
沿AC展开至与平面共面，
此时．
因为，且，
由余弦定理可得，
解得，
所以的最小值为．
故选：A.
4．（2022·全国·高一假期作业）在正四棱锥中，，为的中点，为的中点，则从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分以下几种情况讨论：
（1）当点沿着平面、到点，将平面、延展为同一平面，如下图所示：
易知、均为等边三角形，延展后，，，
所以，四边形为菱形，所以，且，
因为、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，此时；
（2）当点沿着平面、到点，将平面、延展至同一平面，如下图所示：
连接，则，且，，，
因为，由余弦定理可得；
（3）当点沿着平面、到点，连接，如下图所示：
则，，，
由余弦定理可得；
（4）当点沿着平面、、到点，将这三个侧面延展为同一平面，如下图所示：
易知、、三点共线，且，，，
由余弦定理可得.
综上所述，从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为.
故选：C.
5．（2022·全国·高一专题练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且．若点、、分别为棱、、上的动点（不包含端点），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】把四棱锥沿展开，得到如图所示图形：
的最小时，点与共线时，所以求的最小值即求的长度，
因为，，
所以在中，结合余弦定理得，所以，因为，所以，
在中，
,
故选：C.
6．（2021春·广东揭阳·高一揭阳第一中学校考期中）如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，将正四棱柱的侧面展开，
则的最小值为．
在中，，，
则．
故选：D
7．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期末）已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设侧棱长为，则由底面边长为3，高为1，由可求得，
如图，设，则，且，于是，
所以，
当且仅当即时取等号
故四边形的面积最大值为，
故选：C.
8．（2022·全国·高一假期作业）在正方体中，，E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【解析】取的中点为M，连接EM，，则，且，则．又正方体中，，所以，，因此，所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，因此该等腰梯形的高为，所以该截面的面积为．
故选：D．
9．（2022·全国·高一专题练习）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）将长方体与顶点相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示：
则的长就为最短路线．
若蚂蚁沿前侧面和上底面爬行，如图1，
则经过的最短路程为，
若蚂蚁沿侧面爬行，如图2，
则经过的最短路程为，
若蚂蚁沿左侧面和上底面爬行，如图3，
则经过的最短路程为，
，
∴所以蚂蚁经过的最短路程是；
（2）最长的路线应该是依次经过棱长为的路线，
由，
所以最长路程是．
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