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    高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)重难点突破03最全归纳平面向量中的范围与最值问题(十大题型)(原卷版+解析)
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    高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)重难点突破03最全归纳平面向量中的范围与最值问题(十大题型)(原卷版+解析)

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    这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)重难点突破03最全归纳平面向量中的范围与最值问题(十大题型)(原卷版+解析),共74页。


    技巧一.平面向量范围与最值问题常用方法:
    (1)定义法
    第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
    第二步:运用基木不等式求其最值问题
    第三步:得出结论
    (2)坐标法
    第一步:根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
    第二步:将平面向量的运算坐标化
    第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
    (3)基底法
    第一步:利用其底转化向量
    第二步:根据向量运算律化简目标
    第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
    (4)几何意义法
    第一步:先确定向量所表达的点的轨迹
    第二步:根据直线与曲线位置关系列式
    第三步:解得结果
    技巧二.极化恒等式
    (1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:
    证明:不妨设 ,则,


    ①②两式相加得:
    (2)极化恒等式:
    上面两式相减,得:————极化恒等式
    ①平行四边形模式:
    几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
    ②三角形模式:(M为BD的中点)
    A
    B
    C
    M
    技巧三.矩形大法
    矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点,证明:.
    【证明】(坐标法)设,以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xy,
    则,设,则
    技巧四.等和线
    (1)平面向量共线定理
    已知,若,则三点共线;反之亦然.
    (2)等和线
    平面内一组基底及任一向量,,若点在直线上或者在平行于的直线上,则(定值),反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线.
    ①当等和线恰为直线时,;
    ②当等和线在点和直线之间时,;
    ③当直线在点和等和线之间时,;
    ④当等和线过点时,;
    ⑤若两等和线关于点对称,则定值互为相反数;
    技巧五.平行四边形大法
    1、中线长定理
    2、为空间中任意一点,由中线长定理得:
    两式相减:
    技巧六.向量对角线定理
    题型一:三角不等式
    例1.(2023·全国·高三专题练习)已知向量满足,若对任意,恒成立,则 的取值范围是___________.
    例2.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量满足:,若对满足条件的任意向量,恒成立,则的最小值是______________.
    例3.已知向量满足,,若关于的方程有解,记向量的夹角为,则的取值范围是___________.
    变式1.已知是平面向量,且是互相垂直的单位向量,若对任意均有的最小值为,则的最小值为___________.
    变式2.已知平面向量满足,设,若,则的取值范围为________.
    变式3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量,,满足,,,则的取值范围是___________.
    题型二:定义法
    例4.已知向量,的夹角为,且,向量满足,且,记,,则的最大值为______.
    例5.(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量,,满足,,,向量与向量的夹角为,则的最大值为______.
    例6.(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量,满足,,且,若向量满足,则的最大值是______.
    变式4.已知向量,满足,,且,若向量与的夹角为30°,则的最大值是___________.
    变式5.已知向量,满足,若以向量为基底,将向量表示成 为实数),都有,则的最小值为________
    变式6.已知向量、满足:,.设与的夹角为,则的最大值为___________.
    题型三:基底法
    例7.已知菱形ABCD的边长为2,,点E,F分在边BC,CD上,,.若,则的最小值为___________.
    例8.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形的边长为,,点、分别在边,上,,,若,则的最小值__________.
    例9.如图,菱形ABCD的边长为4,,M为DC的中点,若N为菱形内任意一点(含边界),则的最大值为_____________.
    变式7.菱形的边长为,,若为菱形内任意一点(含边界),则的最大值为______.
    变式8.如图,菱形的边长为为的中点,若为菱形内任意一点(含边界),则的最大值为___________.
    变式9.平面四边形ABCD是边长为2的菱形,且,点N是DC边上的点,且,点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点,则的最大值为______.
    变式10.(2023·全国·高三专题练习)已知向量,满足,.若,且,则的最大值为______.
    变式11.已知平面向量,,满足,,,且与的夹角为,则的最大值为 ______________.
    变式12.已知平面向量、、满足,,,,则最大值为__________.
    变式13.在中,为边上任意一点,为的中点,且满足,则的最小值为________.
    题型四:几何意义法
    例10.(2023·全国·模拟预测)已知,,是平面向量,满足,,,则向量在向量上的投影的数量的最小值是______.
    例11.(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量,,满足:,的夹角为,与的夹角为,,,则的取值范围是__________.
    例12.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量夹角为,且平面向量满足记为()的最小值,则的最大值是__________.
    变式14.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量,,满足,,与的夹角为,则的最大值为___________.
    变式15.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量,,满足:,的夹角为,与的夹角为,,,则的取值范围是______.
    变式16.已知非零平面向量,,满足,且,若与的夹角为,且,则的最大值是______.
    变式17.(2023·全国·高三专题练习)平面向量满足:的夹角为,,则的最大值为_____.
    变式18.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量,,满足,且,若与的夹角为,且,则的模取值范围是___________.
    变式19.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量,,,若,且,则的取值范围是______.
    变式20.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量,满足,且,若向量满足,则的最大值为________.
    变式21.(2023·浙江·模拟预测)已知向量,,满足,与的夹角为,则的最大值为______.
    变式22.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量满足:,向量与向量的夹角为,,向量与向量的夹角为,则的最大值为___________.
    题型五:坐标法
    例13.(2023·全国·高三专题练习)已知向量,满足,,则的最大值为___________.
    例14.(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量满足,,,的夹角为,且,则的最大值是______.
    例15.设平面向量,,满足,与的夹角为,则的最大值为______.
    变式23.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量,,满足,,,与的夹角是,则的最大值为__________.
    变式24.(2023·河北·统考模拟预测)如图,在边长为2的正方形中.以为圆心,1为半径的圆分别交,于点,.当点在劣弧上运动时,的最小值为_________.
    变式25.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量,,满足,,,,则的最小值为______.
    变式26.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图,在平面四边形中,,,,若点为边上的动点,则的最小值为______.
    变式27.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知,,则的最小值是______.
    变式28.(2023·浙江·模拟预测)已知向量,满足,且的最小值为1(为实数),记,,则最大值为______.
    变式29.在矩形中,,,,分别是,上的动点,且满足,设,则的最小值为( )
    A.48B.49C.50D.51
    题型六:极化恒等式
    例16.(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为的正方形内有一内切圆,是内切圆的一条弦,点为正方形四条边上的动点,当弦的长度最大时,的取值范围是_________.
    例17.(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD中,EF是CD边上长为6 的可移动的线段,,, ,则的取值范围为 ________________ .
    例18.(2023·陕西榆林·三模)四边形为菱形,,,是菱形所在平面的任意一点,则的最小值为________.
    变式30.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点,且,则的最小值为( )
    A.16B.12C.5D.4
    变式31.(2023·重庆八中模拟预测)中,,,,PQ为内切圆的一条直径,M为边上的动点,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    题型七:矩形大法
    例19.已知圆与,定点,A、B分别在圆和圆上,满足,则线段AB的取值范围是 .
    例20.在平面内,已知,,,若,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    例21.(2023·全国·高三专题练习)已知圆,点,M、N为圆O上两个不同的点,且若,则的最小值为______.
    变式32.设向量,,满足,,,则的最小值是( )
    A.B.C.D.1
    题型八:等和线
    例22.如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆,为圆上任一点,若,则的最大值为( )
    A.B.2C.D.1
    例23.在中,M为BC边上任意一点,N为线段AM上任意一点,若(,),则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    例24.(2023·全国·高三专题练习)如图,,点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时,的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    变式33.(2023·全国·高三专题练习)在扇形中,,为弧上的一动点,若,则的取值范围是_________.
    变式34.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形中,,为弧上的一个动点.若,则的取值范围是________.
    变式35.(2023·全国·高三专题练习)在扇形中,,,C为弧上的一个动点,若,则的取值范围是______.
    变式36.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图,在扇形中,,C为弧AB上的一个动点,若,则的取值范围是________.
    变式37.(2023·全国·高三专题练习)如图,,点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且,则实数对可以是( )
    A.B.C.D.
    变式38.如图,B是的中点,,P是平行四边形内(含边界)的一点,且,则下列结论正确的个数为( )
    ①当时,
    ②当P是线段的中点时,,
    ③若为定值1,则在平面直角坐标系中,点P的轨迹是一条线段
    ④的最大值为
    A.1B.2C.3D.4
    变式39.(2023·全国·高三专题练习)在中,,点在线段(含端点)上运动,点是以为圆心,1为半径的圆及内部一动点,若,则的最大值为( )
    A.1B.C.D.
    变式40.在中,为上的中线,为的中点,,分别为线段,上的动点(不包括端点A,B,C),且M,N,G三点共线,若,,则的最小值为( )
    A.B.C.2D.
    变式41.(2023·全国·高三专题练习)在中,,M为线段EF的中点,若,则的最大值为( )
    A.B.C.D.
    变式42.在扇形中,,,为弧上的一个动点,且.则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    变式43.(2023·全国·高三专题练习)如图,在扇形中,,为弧上且与不重合的一个动点,且,若()存在最大值,则的取值范围为( )

    A.B.C.D.
    题型九:平行四边形大法
    例25.如图,圆是半径为1的圆,,设,为圆上的任意2个点,则的取值范围是___________.
    例26.如图,C,D在半径为1的上,线段是的直径,则的取值范围是_________.
    例27.(2023·浙江·模拟预测)已知为单位向量,平面向量,满足,的取值范围是____.
    变式44.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为的两圆和圆外切于点,点是圆上一点,点是圆上一点,则的取值范围为_______.
    变式45.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆,圆的半径分别为1,2,且两圆外切于点,点,分别是圆,圆上的两动点,则的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    题型十:向量对角线定理
    例28.已知平行四边形,,,,与交于点,若记,,,则( )
    B. C. D.
    例29.如图,在圆中,若弦,弦,则的值是( )
    B.C.D.
    例30.如图,在四边形ABCD中,,若,,,则等于( )
    A. B.C.D.
    重难点突破03 最全归纳平面向量中的范围与最值问题
    目录
    技巧一.平面向量范围与最值问题常用方法:
    (1)定义法
    第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
    第二步:运用基木不等式求其最值问题
    第三步:得出结论
    (2)坐标法
    第一步:根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
    第二步:将平面向量的运算坐标化
    第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
    (3)基底法
    第一步:利用其底转化向量
    第二步:根据向量运算律化简目标
    第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
    (4)几何意义法
    第一步:先确定向量所表达的点的轨迹
    第二步:根据直线与曲线位置关系列式
    第三步:解得结果
    技巧二.极化恒等式
    (1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:
    证明:不妨设 ,则,


    ①②两式相加得:
    (2)极化恒等式:
    上面两式相减,得:————极化恒等式
    ①平行四边形模式:
    几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
    ②三角形模式:(M为BD的中点)
    A
    B
    C
    M
    技巧三.矩形大法
    矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点,证明:.
    【证明】(坐标法)设,以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xy,
    则,设,则
    技巧四.等和线
    (1)平面向量共线定理
    已知,若,则三点共线;反之亦然.
    (2)等和线
    平面内一组基底及任一向量,,若点在直线上或者在平行于的直线上,则(定值),反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线.
    ①当等和线恰为直线时,;
    ②当等和线在点和直线之间时,;
    ③当直线在点和等和线之间时,;
    ④当等和线过点时,;
    ⑤若两等和线关于点对称,则定值互为相反数;
    技巧五.平行四边形大法
    1、中线长定理
    2、为空间中任意一点,由中线长定理得:
    两式相减:
    技巧六.向量对角线定理
    题型一:三角不等式
    例1.(2023·全国·高三专题练习)已知向量满足,若对任意,恒成立,则 的取值范围是___________.
    【答案】
    【解析】解析:因为,
    则, 因为,
    由,
    由,即,由,则恒成立.
    由,即


    解得,又
    所以.
    故答案为:
    例2.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量满足:,若对满足条件的任意向量,恒成立,则的最小值是______________.
    【答案】
    【解析】由题意设, ,
    由, ,
    化简得恒成立,所以, ,


    当且仅当且时取到等号;
    故答案为: .
    例3.已知向量满足,,若关于的方程有解,记向量的夹角为,则的取值范围是___________.
    【答案】
    【解析】不妨令,
    由,可得;

    故可得,
    整理得,
    要使得该方程有解,则,
    整理得,又因为,
    故可得,解得.
    又因为,故可得,
    故可得.
    故答案为:.
    变式1.已知是平面向量,且是互相垂直的单位向量,若对任意均有的最小值为,则的最小值为___________.
    【答案】
    【解析】根据的最小值为,代入得关于的一元二次不等式,利用等号可以取到判断出,然后设为轴的方向向量,为轴方向向量,,则得关于点的轨迹方程,利用抛物线的定义将向量模长转化为距离,计算最小值.,即,所以,即,设为轴的方向向量,为轴方向向量,所以,对应的坐标为,所以,得;,因为为抛物线向上平移个单位,所以焦点坐标为,准线为,所以点到的距离与到的距离相等,,当且仅当时,取最小值.
    故答案为:
    变式2.已知平面向量满足,设,若,则的取值范围为________.
    【答案】
    【解析】设,则,则由条件知,
    所以,所以,

    所以.
    故答案为:.
    变式3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量,,满足,,,则的取值范围是___________.
    【答案】.
    【解析】如图,
    设,则,
    取的中点,
    则,

    又,



    ,即.
    故答案为:.
    题型二:定义法
    例4.已知向量,的夹角为,且,向量满足,且,记,,则的最大值为______.
    【答案】
    【解析】

    设,则,
    由,知,即,
    所以,
    因为,所以点在线段上,
    设,则,
    所以
    故原问题转化为求的最大值,
    在中,由余弦定理知,
    ,当且仅当时,等号成立,
    故的最小值为,
    因为,所以,即,
    所以,
    即,即,
    所以.
    故答案为:
    例5.(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量,,满足,,,向量与向量的夹角为,则的最大值为______.
    【答案】
    【解析】依题意可知,所以,不妨设,,,则,
    由与的夹角为可知,所以四点共圆,即点在的外接圆上.
    ,则,由正弦定理得的外接圆直径,所以的最大值为.
    故答案为:.
    例6.(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量,满足,,且,若向量满足,则的最大值是______.
    【答案】6
    【解析】如图,设,,,,
    连接,,
    则由可知四边形为矩形,
    则.
    由,
    可得,
    连接,
    则,
    所以点在以点为圆心,4为半径的圆上,
    所以的最大值为.
    故答案为:6.
    变式4.已知向量,满足,,且,若向量与的夹角为30°,则的最大值是___________.
    【答案】
    【解析】

    所以, 所以,
    所以,
    因为,
    所以
    所以四点共圆.设外接圆半径为,
    要使最大,所以必须过圆心,
    此时,在中,由余弦定理得.
    由正弦定理得.
    故答案为:
    变式5.已知向量,满足,若以向量为基底,将向量表示成 为实数),都有,则的最小值为________
    【答案】
    【解析】由题可知,
    不妨设,,,则点、分别在以原点为圆心,半径分别为和的圆上运动,
    又 为实数),都有,
    所以当、、三点共线时且此线与半径为2的圆相切时,向量的夹角最大,此时,的最小.
    此时,在中,由余弦定理可得,
    ,
    故答案为:.
    变式6.已知向量、满足:,.设与的夹角为,则的最大值为___________.
    【答案】/
    【解析】设,则,设向量、的夹角为,
    若,则,可得,
    由题意可得,解得,
    所以,,,
    所以,,
    当时,即当时,取得最小值,此时取得最大值,
    且.
    故答案为:.
    题型三:基底法
    例7.已知菱形ABCD的边长为2,,点E,F分在边BC,CD上,,.若,则的最小值为___________.
    【答案】
    【解析】如图,
    ,,且,


    由题意可得,,,

    ,则,
    (当且仅当时等号成立),
    的最小值为.
    故答案为:.
    例8.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形的边长为,,点、分别在边,上,,,若,则的最小值__________.
    【答案】
    【解析】,.由于,在区间上为增函数,故当时取得最小值为.
    例9.如图,菱形ABCD的边长为4,,M为DC的中点,若N为菱形内任意一点(含边界),则的最大值为_____________.
    【答案】/
    【解析】由题意,设,

    所以时,取得最大值.
    故答案为:.
    变式7.菱形的边长为,,若为菱形内任意一点(含边界),则的最大值为______.
    【答案】/
    【解析】设,


    所以当,时,取得最大值.
    故答案为:.
    变式8.如图,菱形的边长为为的中点,若为菱形内任意一点(含边界),则的最大值为___________.
    【答案】36
    【解析】,,其中,
    所以

    所以当时,取得最大值,最大值为.
    故答案为:36
    变式9.平面四边形ABCD是边长为2的菱形,且,点N是DC边上的点,且,点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点,则的最大值为______.
    【答案】/
    【解析】如图所示,

    根据数量积的几何意义知:当点M在C点时,在上的投影向量与同向,且长度最长,
    所以此时最大,
    因为,,
    所以

    所以的最大值为.
    故答案为:
    变式10.(2023·全国·高三专题练习)已知向量,满足,.若,且,则的最大值为______.
    【答案】
    【解析】令,,则,故,又,所以.以为直径作直角三角形的外接圆,进而得出当时,即取得最大值.
    令,连接.设,因为,所以点在直线上,又,所以,即,所以.结合图形可知,当时,即取得最大值,且.
    故答案为:
    变式11.已知平面向量,,满足,,,且与的夹角为,则的最大值为 ______________.
    【答案】
    【解析】∵,,,
    ∴cs<,>=﹣,即与的夹角为,
    如图,作,,,连接AC,BC,则=,=,
    ∴∠ACB=,
    又∠AOB=,∴O,A,C,B四点共圆,
    故当OC为圆的直径时,||最大,
    此时A=B=,OA=,OB=1,∠BOC=﹣∠AOC,
    在中,OC=,
    在中,OC=,
    ∴=,即=,
    ∴cs∠AOC=(﹣cs∠AOC+sin∠AOC),
    整理得,2cs∠AOC=sin∠AOC,
    ∴tan∠AOC=2,cs∠AOC=,
    ∴OC==,即||的最大值为.
    故答案为:.
    变式12.已知平面向量、、满足,,,,则最大值为__________.
    【答案】
    【解析】设与所成夹角为

    因为,,所以的夹角为
    设,则
    所以,设到的距离为
    则,所以
    因为,所以点落在以点为圆心,以为半径的圆上
    所以到的距离最大值为
    所以的最大值为
    所以的最大值为
    故答案为:
    变式13.在中,为边上任意一点,为的中点,且满足,则的最小值为________.
    【答案】/
    【解析】由为边上任意一点,则,

    可得,则,即,由,可得,则,
    故,
    当时,取得最小值为.
    故答案为:.
    题型四:几何意义法
    例10.(2023·全国·模拟预测)已知,,是平面向量,满足,,,则向量在向量上的投影的数量的最小值是______.
    【答案】
    【解析】由,则,
    即,即,即,
    又由,所以,,
    不妨设,,,
    则,即,
    即,则
    故向量在向量上的投影的数量为,
    又,所以,
    所以向量在向量上的投影的数量的最小值是.
    故答案为:.
    例11.(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量,,满足:,的夹角为,与的夹角为,,,则的取值范围是__________.
    【答案】
    【解析】如图:
    以点为起点作向量,,,
    则,,,
    由,的夹角为,与的夹角为可知:四点共圆,
    由,得,,
    在中:,即
    所以,所以,
    由同弧所对的圆周角相等,可得,
    设,则,
    在中:,
    所以,

    ,,
    ,,

    则的取值范围是
    故答案为:
    例12.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量夹角为,且平面向量满足记为()的最小值,则的最大值是__________.
    【答案】
    【解析】设,,,则,,
    依题意可知,,,,故点在△的外接圆上.
    其半径,为点到直线的距离,
    显然,当运动到点处时,有最大值.
    故答案为:.
    变式14.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量,,满足,,与的夹角为,则的最大值为___________.
    【答案】
    【解析】∵,,∴,
    如图所示,设平面向量,,都是以O为起点,终点分别是A,B,C,
    则平面向量+的终点N到O的距离为2,
    设AB的中点为M,则|MN|=1,∴N在以M为圆心,半径为1的圆周上.
    由与的夹角为,∴点C在以AB为弦的圆周角为的优弧上,
    当C,M,N共线,且C,N在直线AB的两侧,并且CM⊥AB时,|CN|最大,也就是取得最大值,
    此时,, |CN|=,
    故答案为:.
    变式15.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量,,满足:,的夹角为,与的夹角为,,,则的取值范围是______.
    【答案】
    【解析】如图:
    以点为起点作向量,,,
    则,,,
    由,的夹角为,与的夹角为可知:四点共圆,
    由,得,,
    在中:,即
    所以,所以,
    由同弧所对的圆周角相等,可得,
    设,则,
    在中:,
    所以,

    ,,
    ,,

    则的取值范围是
    故答案为:
    变式16.已知非零平面向量,,满足,且,若与的夹角为,且,则的最大值是______.
    【答案】/
    【解析】根据题意,作图如下:
    令,
    根据题意可得:,且,
    取中点为,故,点在以为直径的圆上运动;
    显然当三点共线时,取得最大值,即;
    不妨设三角形的外接圆圆心为,显然,
    在三角形中,由正弦定理可得:,即,
    故,当且仅当时取得,同时;
    显然当三点共线时,取得最大值,
    此时
    故,当且仅当,且四点共线时取得.
    故答案为:.
    变式17.(2023·全国·高三专题练习)平面向量满足:的夹角为,,则的最大值为_____.
    【答案】/
    【解析】设,,,则有,,
    设线段的中点为,则,,


    因为,,
    所以的外接圆的直径,
    所以点的轨迹是过、且半径为2的圆(除去两点),记圆心为,
    当在圆上时,,此时(不能与重合),
    所以,
    当不在圆上时, ,,又,
    所以,所以,
    所以,
    所以,
    故的最大值为.
    故答案为:
    变式18.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量,,满足,且,若与的夹角为,且,则的模取值范围是___________.
    【答案】
    【解析】如图1,令,,,则,取AB中点M .
    由,可得,

    所以,即C在以M为圆心、为半径的圆上.
    由,当O、M、C三点共线时(M在线段OC上),.
    由于O在以AB为弦的圆弧上,设圆心为G,
    由正弦定理可知,即,
    当时,圆G半径取得最大值.
    当O、M、G三点共线(G在线段OM上),且时,
    取得最大值,此时,
    所以.
    如图2,显然当O、M、C三点共线(点C在线段OM上),
    当时,圆G半径取得最小值.
    ,即M、G两点重合.取得最小值为2.
    则时,.
    故向量的模取值范围是
    故答案为:
    变式19.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量,,,若,且,则的取值范围是______.
    【答案】
    【解析】由题意知:向量,为单位向量,
    因为,所以,则,
    所以,即与夹角为.
    如图作向量,,,
    则,,,,
    因此,
    则,
    所以,
    故,,三点共线,即点在线段上,
    则的几何意义表示线段的中点到线段上点的距离,
    记线段的中点为,过点作于点,则,
    ,所以,
    因此,
    由图形可得,,
    所以的取值范围为.
    故答案为:.
    变式20.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量,满足,且,若向量满足,则的最大值为________.
    【答案】/
    【解析】因为,所以,
    又,,
    如图,向量的终点在以A点为圆心1为半径的圆上,
    又,
    所以的最大值为,即的最大值为.
    故答案为:.
    变式21.(2023·浙江·模拟预测)已知向量,,满足,与的夹角为,则的最大值为______.
    【答案】
    【解析】因为,所以,.
    设,,,则,
    ,,.
    因为与的夹角为,所以,
    的外接圆的直径为:
    则动点的轨迹是半径为的圆中的优弧(不含点,),
    由,则动点的轨迹是以点为圆心、半径为的圆,如图,
    结合图形可知,当点,,,四点共线,且在线段的延长线上时,最大,且最大值是,
    故的最大值为.
    故答案为:
    变式22.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量满足:,向量与向量的夹角为,,向量与向量的夹角为,则的最大值为___________.
    【答案】60
    【解析】
    如图所示,设
    所以,,
    因为向量与向量的夹角为,向量与向量的夹角为,
    所以 所以,
    所以四点共圆.
    在△中,由正弦定理得
    所以因为.
    在△中,由余弦定理得,
    所以.
    所以的最大值为60.
    故答案为:60
    题型五:坐标法
    例13.(2023·全国·高三专题练习)已知向量,满足,,则的最大值为___________.
    【答案】5
    【解析】令,



    令,
    设,则
    ,,
    令,
    若函数存在极值点,则是函数的唯一极值点,
    显然,函数在取得最值,

    故答案为:5.
    例14.(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量满足,,,的夹角为,且,则的最大值是______.
    【答案】
    【解析】由题意设,,
    所以,
    即.
    所以的最大值为圆上点到原点距离的最大值,即.
    故答案为:.
    例15.设平面向量,,满足,与的夹角为,则的最大值为______.
    【答案】/
    【解析】由题知,,与的夹角为,
    以的起点为原点,的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系,
    则,设,
    因为,
    所以,
    化简得,即,
    所以的终点落在以为圆心,半径为的圆上,
    易知在圆内,,
    所以的最大值为,
    故答案为:.
    变式23.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量,,满足,,,与的夹角是,则的最大值为__________.
    【答案】5
    【解析】如图,设,
    因为与的夹角是,
    所以,所以点所在的圆中,弧所对的圆心角为,
    所以点在两圆弧或上,
    因为,设,
    把代入中化简得

    因为此方程有解,所以
    即,
    化简得,解得;
    把代入中化简得

    因为此方程有解,所以
    即,
    化简得,解得;
    所以的最大值为5
    变式24.(2023·河北·统考模拟预测)如图,在边长为2的正方形中.以为圆心,1为半径的圆分别交,于点,.当点在劣弧上运动时,的最小值为_________.
    【答案】/
    【解析】如图,以点为坐标原点建立平面直角坐标系,
    则,设,
    则,
    则,
    由,得,
    所以当,即时,取得最小值.
    故答案为:.
    变式25.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量,,满足,,,,则的最小值为______.
    【答案】2
    【解析】在平面直角坐标系内,令,设,
    由,得,由,得,由,得,即,

    则,当且仅当或时取等号,
    所以的最小值为2.
    故答案为:2
    变式26.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图,在平面四边形中,,,,若点为边上的动点,则的最小值为______.
    【答案】
    【解析】以点为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图平面直角坐标系,
    则,,,
    设点坐标为,则,,,
    ∴,
    ∴当时,,
    故答案为:.
    变式27.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知,,则的最小值是______.
    【答案】
    【解析】设,

    由,则
    即点在以为焦点,长轴为的椭圆上
    所以满足
    则,且
    故当时,有最小值
    故答案为:
    变式28.(2023·浙江·模拟预测)已知向量,满足,且的最小值为1(为实数),记,,则最大值为______.
    【答案】-3
    【解析】设,
    由的最小值为1(为实数),
    到OA距离为1,
    如图建立坐标系,,
    ,,




    令,得,
    单调递减;
    单调递增;
    单调递减;
    单调递增;


    ,即最大值为
    故答案为:
    变式29.在矩形中,,,,分别是,上的动点,且满足,设,则的最小值为( )
    A.48B.49C.50D.51
    【答案】B
    【解析】如图,建立平面直角坐标系,
    则,,,,
    设,,因为,
    所以,,.
    因为,所以,,
    所以.
    当且仅当,即,时取等号.
    故选: B.
    题型六:极化恒等式
    例16.(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为的正方形内有一内切圆,是内切圆的一条弦,点为正方形四条边上的动点,当弦的长度最大时,的取值范围是_________.
    【答案】
    【解析】如下图所示:
    设正方形的内切圆为圆,当弦的长度最大时,为圆的一条直径,

    当为正方形的某边的中点时,,
    当与正方形的顶点重合时,,即,
    因此,.
    故答案为:.
    例17.(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD中,EF是CD边上长为6 的可移动的线段,,, ,则的取值范围为 ________________ .
    【答案】
    【解析】在上取一点,使得,取的中点,连接,,
    如图所示:
    则,,,
    ,即.

    当时,取得最小值,此时,
    所以.
    当与重合时,,,
    则,
    当与重合时,,,
    则,
    所以,即的取值范围为.
    故答案为:
    例18.(2023·陕西榆林·三模)四边形为菱形,,,是菱形所在平面的任意一点,则的最小值为________.
    【答案】
    【解析】由题设,,取的中点,连接,,,
    则,,
    所以.
    故答案为:
    变式30.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点,且,则的最小值为( )
    A.16B.12C.5D.4
    【答案】C
    【解析】如图,延长到D,使得.
    因为,所以点P在直线上.
    取线段的中点O,连接,
    则.
    显然当时,取得最小值,
    因为,则,所以,
    所以的最小值为.
    故选:C.
    变式31.(2023·重庆八中模拟预测)中,,,,PQ为内切圆的一条直径,M为边上的动点,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】由题可知,,所以是直角三角形,,
    设内切圆半径为,则,解得,
    设内切圆圆心为,因为是内切圆的一条直径,
    所以,,
    则,,
    所以,
    因为M为边上的动点,所以;当与重合时,,
    所以的取值范围是,
    故选:C
    题型七:矩形大法
    例19.已知圆与,定点,A、B分别在圆和圆上,满足,则线段AB的取值范围是 .
    【答案】
    【解析】以为邻边作矩形,则
    由得
    ,即,
    的轨迹是以为圆心,半径为的圆,


    例20.在平面内,已知,,,若,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】因为,
    所以四边形是平行四边形,
    又,所以四边形是矩形,
    从而,因为,所以,即
    例21.(2023·全国·高三专题练习)已知圆,点,M、N为圆O上两个不同的点,且若,则的最小值为______.
    【答案】/
    【解析】解法1:如图,因为,所以,故四边形为矩形,
    设的中点为S,连接,则,
    所以,
    又为直角三角形,所以,故①,
    设,则由①可得,
    整理得:,
    从而点S的轨迹为以为圆心,为半径的圆,
    显然点P在该圆内部,所以,
    因为,所以 ;
    解法2:如图,因为,所以,
    故四边形为矩形,由矩形性质,,
    所以,从而,
    故Q点的轨迹是以O为圆心,为半径的圆,
    显然点P在该圆内,所以.
    故答案为: .
    变式32.设向量,,满足,,,则的最小值是( )
    A.B.C.D.1
    【答案】B
    【解析】建立坐标系,以向量,的角平分线所在的直线为轴,使得,的坐标分别为,,设的坐标为,
    因为,
    所以,化简得,
    表示以为圆心,为半径的圆,
    则的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值,
    因为圆到原点的距离为,所以圆上的点到原点的距离的最小值为,
    故选:B
    题型八:等和线
    例22.如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆,为圆上任一点,若,则的最大值为( )
    A.B.2C.D.1
    【答案】A
    【解析】
    作BC的平行线与圆相交于点P,与直线AB相交于点E,与直线AC相交于点F,
    设,则,
    ∵BC//EF,∴设,则
    ∴,


    故选:A.
    例23.在中,M为BC边上任意一点,N为线段AM上任意一点,若(,),则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】由题意,设,,
    当时,,所以,
    所以,从而有;
    当时,因为(,),
    所以,即,
    因为、、三点共线,所以,即.
    综上,的取值范围是.
    故选:C.
    例24.(2023·全国·高三专题练习)如图,,点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时,的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】
    如图,,
    点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,
    且.,
    由向量加法的平行四边形法则,
    为平行四边形的对角线,
    该四边形应是以与的反向延长线为两邻边,
    当时,要使点落在指定区域内,即点应落在上,

    的取值范围为.
    故选:B
    变式33.(2023·全国·高三专题练习)在扇形中,,为弧上的一动点,若,则的取值范围是_________.
    【答案】
    【解析】以O为原点,分别为x,y轴正方向建立平面直角坐标系.

    则.不妨设.
    因为,所以,解得:,
    所以.
    因为在上单调递减,在上单调递减,所以在上单调递减.
    所以当时最大;当时最小.
    所以的取值范围是.
    故答案为:.
    变式34.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形中,,为弧上的一个动点.若,则的取值范围是________.
    【答案】
    【解析】由题意可知,在扇形中,,为弧上的一个动点.
    不妨设,以为原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,
    令,则,,,,
    又,
    则,则,
    则,
    又,
    则,
    则,
    即,
    故答案为:.
    变式35.(2023·全国·高三专题练习)在扇形中,,,C为弧上的一个动点,若,则的取值范围是______.
    【答案】
    【解析】如图所示,建立平面直角坐标系以O为坐标原点,所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则,,
    设,则,
    由得
    从而
    则,易知,
    故在上单调递增,
    ∴,.
    故.
    故答案为:
    变式36.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图,在扇形中,,C为弧AB上的一个动点,若,则的取值范围是________.
    【答案】
    【解析】如图所示,以为原点,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,
    则根据题意可知,,,设,.
    由,得,,

    点在弧上由运动,在,上逐渐变大,变小,逐渐变大,
    当时取得最大值4,当时取得最小值.
    的取值范围是,.
    故答案为:.
    变式37.(2023·全国·高三专题练习)如图,,点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且,则实数对可以是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】根据平面向量基本定理和平行四边形法则可知:
    若取,则,点在阴影区域内,A正确;
    若取,则,点在直线的上方,B错误;
    若取,则,点在直线的下方,C错误;
    若取,则,点在射线上,D错误,
    故选:A.
    变式38.如图,B是的中点,,P是平行四边形内(含边界)的一点,且,则下列结论正确的个数为( )
    ①当时,
    ②当P是线段的中点时,,
    ③若为定值1,则在平面直角坐标系中,点P的轨迹是一条线段
    ④的最大值为
    A.1B.2C.3D.4
    【答案】C
    【解析】当时,,则在线段上,故,故①错
    当是线段的中点时,
    ,故②对
    为定值1时,,,三点共线,又是平行四边形内(含边界)的一点,故的轨迹是线段,故③对
    如图,过作,交于,作,交的延长线于,
    则:;
    又;,;
    由图形看出,当与重合时:;
    此时取最大值0,取最小值1;所以取最大值,故④正确
    所以选项②③④正确.
    故选:C
    变式39.(2023·全国·高三专题练习)在中,,点在线段(含端点)上运动,点是以为圆心,1为半径的圆及内部一动点,若,则的最大值为( )
    A.1B.C.D.
    【答案】C
    【解析】由题意,所以,即为等边三角形,以为轴,线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系,
    则,
    分别以为圆心作半径为1的圆,如图,是所在圆的最低或最高点,点在线段,半圆,线段,半圆所围区域内,设,则,,
    ,,,
    由得,
    所以,,
    因为,所以,即的最大值是.
    故选:C.
    变式40.在中,为上的中线,为的中点,,分别为线段,上的动点(不包括端点A,B,C),且M,N,G三点共线,若,,则的最小值为( )
    A.B.C.2D.
    【答案】D
    【解析】由题意,
    设,,
    则,
    所以,,得,
    所以(当且仅当时等号成立).
    故选:D
    变式41.(2023·全国·高三专题练习)在中,,M为线段EF的中点,若,则的最大值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】,

    故,故.
    当时等号成立.
    故选:.
    变式42.在扇形中,,,为弧上的一个动点,且.则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】以为原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,
    令,则,
    因为,则,,,
    又,
    则,
    则,
    则,
    又,
    易知为减函数,
    由单调性易得其值域为.
    故选:B.
    变式43.(2023·全国·高三专题练习)如图,在扇形中,,为弧上且与不重合的一个动点,且,若()存在最大值,则的取值范围为( )

    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】设扇形所在圆的半径为1,以所在的直线为轴,为原点建立平面直角坐标系,
    设,则,由题意可得

    则在上不是单调函数,从而在上一定有零点
    即在时有解,可得
    解得,经检验此时取得最大值
    故答案选
    题型九:平行四边形大法
    例25.如图,圆是半径为1的圆,,设,为圆上的任意2个点,则的取值范围是___________.
    【答案】
    【解析】连接,,设是线段的中点,连接,则有.
    设为和的夹角.



    (当即时取等)
    因为,所以当时,有最小值.

    (当即时取等)
    当时,有最大值为3,
    即有最大值3,所以的取值范围是.
    故答案为:
    例26.如图,C,D在半径为1的上,线段是的直径,则的取值范围是_________.
    【答案】
    【解析】以点O为原点,所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
    设点,,
    则,,
    则,
    其中,
    所以的最大值为:

    则当时,取得最大值,
    最小值为,
    则当时,取得最小值,
    综上,的取值范围为.
    故答案为:.
    例27.(2023·浙江·模拟预测)已知为单位向量,平面向量,满足,的取值范围是____.
    【答案】
    【解析】建系,不妨设,,,则,再利用柯西不等式将所求转化为,利用换元法求出最大值,最小值显然为共线方向时取得.不妨设,,,由已知,得,,
    ,令
    ,则,又显然当,向量反
    向时,最小,即,,此时,综上,的取值范围是.
    故答案为:.
    变式44.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为的两圆和圆外切于点,点是圆上一点,点是圆上一点,则的取值范围为_______.
    【答案】
    【解析】设点关于点的对称点为,则点在圆上,
    所以,

    因为

    所以,,
    因为,
    当且仅当、同向且、反向时,,
    当时,则,所以,,
    所以,,所以,,
    因为,则,
    故当且四边形为菱形时,,
    因此,.
    故答案为:.
    变式45.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆,圆的半径分别为1,2,且两圆外切于点,点,分别是圆,圆上的两动点,则的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【解析】连接分别与两圆交于,又两圆外切于点,
    三点共线,连,延长交圆与,连,
    分别为圆,圆的直径,

    又,,
    设为中点,连,
    先固定,根据向量数量积的定义,
    当在同向投影最大值时为与平行的圆切线的切点,
    记为图中的点,此时在投影

    当且仅当,等号成立,
    同理当在投影最小(在反向上)时,
    为与平行的圆切线的切点,
    记为图中的点,此时在投影,

    当且仅当时,等号成立,

    所以的数量积取值范围是.
    故选:C.
    题型十:向量对角线定理
    例28.已知平行四边形,,,,与交于点,若记,,,则( )
    B. C. D.
    【答案】C
    【解析】由对角线向量定理得,
    所以,
    而,
    所以,选择C.
    例29.如图,在圆中,若弦,弦,则的值是( )
    B.C.D.
    【答案】D
    【解析】如图所示,由对角向量定理得
    所以选D.
    例30.如图,在四边形ABCD中,,若,,,则等于( )
    A. B.C.D.
    【答案】A
    【解析】如图所示,由对角线向量定理得
    =,所以选A.
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