+陕西省渭南市富平县2023-2024学年九年级上学期摸底数学试卷

这是一份+陕西省渭南市富平县2023-2024学年九年级上学期摸底数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，c＝2cm，则d＝（ ）
A．8cmB．0.5cmC．2cmD．3cm
2．（3分）当一个四边形的两组对边分别平行，两条邻边相等时，这个四边形是（ ）
A．正方形B．矩形C．菱形D．无法确定
3．（3分）计算：（﹣a2）3•a3结果为（ ）
A．﹣a9B．a9C．﹣a8D．a8
4．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4）（ ）
A．（5，4）B．（8，4）C．（5，3）D．（8，3）
5．（3分）一次函数y＝﹣2x+b的图象向下平移3个单位长度后，恰好经过点A（2，﹣3），则b的值为（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是BC，E，F分别是AP，PQ的中点．BC＝12，则线段EF的长为（ ）
A．6B．6.5C．7D．5
7．（3分）陕西历史文化悠久，旅游资源丰富．节假日期间，小康和小乐两家准备从A．大雁塔、B．兵马俑、C．华清池三个著名景点中各选择一个景点旅游（除正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀，记下卡片上的字母，然后将卡片放回，再由小乐抽取，各自抽到的卡片上的字母表示他们选择的旅游景点．那么他俩恰好能抽到同一景点的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）一元二次方程x2﹣1＝8的根为 ．
10．（3分）如图，已知五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'相似，且五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的相似比为3：4，则C'D'的长为 cm．
11．（3分）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为 颗．
12．（3分）在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的矩形空地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），已知种植实验作物的面积为171平方米，设小道的宽为x米 ．
13．（3分）如图，四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上滑动，在滑动的过程中，且EH＝FG，四边形EFGH的周长为 ．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解方程：x2+5x+7＝3x+11．
15．（5分）如图，直线l1∥l2∥l3，若，EF＝9，求DE的长．
16．（5分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0的两个实数根，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．
17．（5分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，请用尺规作图法在边AC、BC上分别确定点E、F，连接DE，使得四边形CEDF是菱形．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）已知：如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE＝BC，交DC于点F．求证：DE＝CF．
19．（5分）某超市设计的“国庆大酬宾”促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”“20元”“20元”和“40元”的字样，规定：在本超市同一日内，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．超市根据两个小球所标金额的和直接进行减价优惠
（1）从箱子里任意摸出一个球，摸到球上标有“50元”字样的球是 事件；（填“不可能”“必然”或“随机”）
（2）用列表或画树状图法求李叔叔这天获得的优惠金额大于50元的概率．
20．（5分）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，毛笔45支，共用了2055元
21．（6分）在数学活动课上，老师出了一道题，让同学们解答．
在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，连接DF．求证：四边形BFDE是矩形．
小星和小红分别给出了自己的思路：
小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明；
小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
（1）小星的思路 ，小红的思路 （选填“正确”或“错误”）；
（2）请选择小红或小星的思路完善证明过程．
22．（7分）某书店为了迎接2017年4月23日的“世界读书日”，计划购进A、B两类图书进行销售，若购进A、B两类图书共1000本，购进B类图书所需费用y（元）与购买数量x（本）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该书店购进A类图书400本，则购进A、B两类图书共需要多少元？
23．（7分）某校为了提高学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼时间进行了调查统计
请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图，本次所抽取学生每天参加体育锻炼的众数为 小时，扇形统计图中n＝ ；
（2）计算本次所抽取学生每天参加体育锻炼的平均时间；
（3）若该校共有1000名学生，请估计该校每天参加体育锻炼时间为2小时的学生人数．
24．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，AE＝AF，连接EF
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接OE，若点E是AB的中点，，OB＝2OA
25．（8分）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司在某地投放了一批共享汽车，据统计，七月份的全天包车数为25次/月，八、九月的全天包车数持续走高，九月份的全天包车数达到64次/月．
（1）若从七月份到九月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）从十月份起，全天包车数稳定于64次/月，一段时间后，尽可能地让利顾客，经调查发现，平均每月的全天包车数增加1.6次，当租金降价多少元时
26．（10分）问题提出：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为 ；
问题探究：
（2）如图2，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，CD边上的两个动点，且BE＝CF，求证：AE＝AF；
问题解决：
（3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，其中AB＝40米，AD＝CD．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊DE，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边AB和边BC上，为了节省成本，要求绿色长廊DE，试求DE+DF的最小值．（长廊宽度忽略不计）
2023-2024学年陕西省渭南市富平县九年级（上）摸底数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，c＝2cm，则d＝（ ）
A．8cmB．0.5cmC．2cmD．3cm
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴ad＝cb，
∵a＝1cm，b＝4cm，
∴d＝2（cm），
故选：A．
【点评】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．
2．（3分）当一个四边形的两组对边分别平行，两条邻边相等时，这个四边形是（ ）
A．正方形B．矩形C．菱形D．无法确定
【分析】由菱形的判定可得出答案．
【解答】解：∵四边形的两组对边分别平行，
∴这个四边形是平行四边形，
∵两条邻边相等，
∴这个四边形是菱形，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，正方形的判定，矩形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
3．（3分）计算：（﹣a2）3•a3结果为（ ）
A．﹣a9B．a9C．﹣a8D．a8
【分析】利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算计算并判断．
【解答】解：（﹣a2）3•a8＝﹣a6•a3＝﹣a3．
故选：A．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算．
4．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4）（ ）
A．（5，4）B．（8，4）C．（5，3）D．（8，3）
【分析】根据点A的坐标是（3，4），可得OA的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点B的坐标．
【解答】解：∵点A的坐标是（3，4），
∴OA＝8，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB＝5，
则点B的坐标为（8，8）．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
5．（3分）一次函数y＝﹣2x+b的图象向下平移3个单位长度后，恰好经过点A（2，﹣3），则b的值为（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
【分析】直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而将（2，﹣3）代入求出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象向下平移3个单位，
∴y＝﹣6x+b﹣3，
把（2，﹣6）代入得：﹣3＝﹣2×3+b﹣3，
解得：b＝4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数与几何变换，正确掌握一次函数平移规律是解题关键．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是BC，E，F分别是AP，PQ的中点．BC＝12，则线段EF的长为（ ）
A．6B．6.5C．7D．5
【分析】因为Q点不动，所以AQ不变．根据中位线定理，可得EF的长．
【解答】解：连接AQ，
∵E、F分别是AP，
则EF为△APR的中位线，
∴EF＝AQ＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质及三角形中位线定理，难度适中，根据中位线定理得出EF＝AQ是解题的突破口．
7．（3分）陕西历史文化悠久，旅游资源丰富．节假日期间，小康和小乐两家准备从A．大雁塔、B．兵马俑、C．华清池三个著名景点中各选择一个景点旅游（除正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀，记下卡片上的字母，然后将卡片放回，再由小乐抽取，各自抽到的卡片上的字母表示他们选择的旅游景点．那么他俩恰好能抽到同一景点的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及他俩恰好能抽到同一景点的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中他俩恰好能抽到同一景点的结果有3种，
∴他俩恰好能抽到同一景点的概率为＝．
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8．（3分）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【分析】先根据新定义得到关于x的方程，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
【解答】解：∵a⊗b＝b2﹣ab，
∴（k﹣3）⊗x＝k可化为x7﹣（k﹣3）x﹣k＝0，
∵Δ＝[﹣（k﹣6）]2﹣4×（﹣k）＝k3﹣2k+9＝（k﹣6）2+8＞7，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点评】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）一元二次方程x2﹣1＝8的根为 x1＝3，x2＝﹣3 ．
【分析】方程利用直接开平方法即可求出解．
【解答】解：x2﹣1＝7，
x2＝9，
∴x＝±7，
∴x1＝3，x7＝﹣3．
故答案为：x1＝7，x2＝﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
10．（3分）如图，已知五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'相似，且五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的相似比为3：4，则C'D'的长为 3.2 cm．
【分析】利用相似多边形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'相似，且五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的相似比为3：4，
∴＝，
∴＝，
解得：C′D′＝6.2，
∴C'D'的长为3.6cm，
故答案为：3.2．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
11．（3分）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为 35 颗．
【分析】设袋中红色幸运星有x颗，根据“摸到红色幸运星的频率稳定在0.5”，列出关于x的方程，解之可得答案．
【解答】解：设袋中红色幸运星有x颗，
根据题意，得：，
解得：x＝35，
经检验：x＝35是原分式方程的解．
故答案为：35．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12．（3分）在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的矩形空地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），已知种植实验作物的面积为171平方米，设小道的宽为x米 （20﹣x）（10﹣x）＝171 ．
【分析】利用平移的性质列式即可．
【解答】解：设小道的宽为x米，根据题意列方程为：
（20﹣x）（10﹣x）＝171，
故答案为：（20﹣x）（10﹣x）＝171．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关是解题的关键．
13．（3分）如图，四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上滑动，在滑动的过程中，且EH＝FG，四边形EFGH的周长为 12 ．
【分析】由正方形的性质推出∠ABD＝∠ADB＝45°，∠A＝∠ADC＝90°，AD＝CD，由平行线的性质得到∠AEH＝∠ABD＝45°，∠AHE＝∠ADB＝45°，判定△AEH是等腰直角三角形，得到 AH＝HE，同理：CG＝FG，推出DH＝DG，判定△DHG是等腰直角三角形，得到HD＝GH，因此AH+DH＝（EH+GH），判定四边形EFGH是平行四边形，由四边形EFGH的周长为，求出EH+HG＝×6＝3，得到AD＝×3＝3，即可求出正方形ABCD的周长为4×3＝12．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠A＝∠ADC＝90°，
∵EH∥BD，
∴∠AEH＝∠ABD＝45°，∠AHE＝∠ADB＝45°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AH＝HE，
同理：△CFG是等腰直角三角形，
∴CG＝FG，
∵EH＝FG，
∴AH＝CG，
∴AD﹣AH＝CD﹣CG，
∴DH＝DG，
∵∠ADC＝90°，
∴△DHG是等腰直角三角形，
∴HD＝GH，
∴AH+DH＝（EH+GH），
∵EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH的周长为，
∴EH+HG＝×6，
∴AD＝×5，
∴正方形ABCD的周长为4×5＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形，平行四边形的判定，平行线的性质，关键是由正方形的性质，平行线的性质，判定△AEH是等腰直角三角形，△DHG是等腰直角三角形，得到AH+DH＝（EH+GH），判定四边形EFGH是平行四边形，得到EH+HG＝×6＝3，即可求出AD＝×3＝3．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解方程：x2+5x+7＝3x+11．
【分析】整理后，利用配方法求解即可．
【解答】解：x2+2x＝5，
x2+2x+3＝4+1，即（x+6）2＝5，
∴x+5＝±，
∴x1＝﹣7+，x2＝﹣4﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
15．（5分）如图，直线l1∥l2∥l3，若，EF＝9，求DE的长．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案．
【解答】解：∵l1∥l2∥l2，
∴＝，即＝，
解得：DE＝．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
16．（5分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0的两个实数根，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．
【分析】两根之和等于，两根之积等于．据此即可求解．
【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x3+（2k﹣1）x﹣k﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x3＝﹣（2k﹣1），x4x2＝﹣k﹣1，
∵x3+x2﹣4x3x2＝2，
∴﹣（7k﹣1）﹣4（﹣k﹣6）＝2，
解得．
【点评】本题考查了根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），解题关键是牢记两根之和等于，两根之积等于．据此即可求解．
17．（5分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，请用尺规作图法在边AC、BC上分别确定点E、F，连接DE，使得四边形CEDF是菱形．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】作线段CD的垂直平分线交边AC、BC分别于点E、F，即可得到菱形．
【解答】解：作线段CD的垂直平分线交边AC、BC分别于点E、F，DF，
故四边形CEDF即为所求，
理由如下：
由已知得：CE＝DE，CF＝DF，
在△ABC中，CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠FCD，
∵CO＝CO，∠COE＝∠COF＝90°，
∴△COE≌△COF（ASA），
∴CE＝CF，
∴CE＝DE＝CF＝DF，
∴四边形CEDF是菱形．
【点评】本题考查线段垂直平分线尺规作图，菱形的判定方法，熟练掌握菱形判定方法是关键．
18．（5分）已知：如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE＝BC，交DC于点F．求证：DE＝CF．
【分析】连接BF，由四边形ABCD是正方形，可得∠C＝∠ADC＝90°，∠BDC＝45°，可得DE＝EF，由EF⊥BD，得∠FEB＝90°，进而证明Rt△BEF≌Rt△BCF可得EF＝CF，等量代换即可得DE＝CF．
【解答】证明：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠ADC＝90°，∠BDC＝45°，
∵EF⊥BD，
∴∠FEB＝90°，
在Rt△BEF和Rt△BCF中，
BF＝BF，BC＝BE，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）．
∴EF＝CF．
∵∠FED＝90°，∠BDC＝45°，
∴∠DFE＝45°，
∴DE＝EF，
∴DE＝CF．
【点评】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
19．（5分）某超市设计的“国庆大酬宾”促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”“20元”“20元”和“40元”的字样，规定：在本超市同一日内，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．超市根据两个小球所标金额的和直接进行减价优惠
（1）从箱子里任意摸出一个球，摸到球上标有“50元”字样的球是 不可能 事件；（填“不可能”“必然”或“随机”）
（2）用列表或画树状图法求李叔叔这天获得的优惠金额大于50元的概率．
【分析】（1）根据不可能事件的定义可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及李叔叔这天获得的优惠金额大于50元的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，从箱子里任意摸出一个球．
故答案为：不可能．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中李叔叔这天获得的优惠金额大于50元的结果有：（20，（20，（40，（40，共6种，
∴李叔叔这天获得的优惠金额大于50元的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、随机事件，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．（5分）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，毛笔45支，共用了2055元
【分析】设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元，根据“购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了2055元”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出钢笔的单价，再将其代入（x+4）中，即可求出毛笔的单价．
【解答】解：设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元，
根据题意得：30x+45（x+4）＝2055，
解得：x＝25，
∴x+4＝25+4＝29．
答：钢笔的单价为25元，毛笔的单价为29元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
21．（6分）在数学活动课上，老师出了一道题，让同学们解答．
在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，连接DF．求证：四边形BFDE是矩形．
小星和小红分别给出了自己的思路：
小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明；
小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
（1）小星的思路 正确 ，小红的思路 正确 （选填“正确”或“错误”）；
（2）请选择小红或小星的思路完善证明过程．
【分析】（1）由矩形的判定方法即可得出答案；
（2）小红的思路：由平行四边形的性质得出CD∥AB，AD＝CB，∠A＝∠C，易证∠BED＝∠EBF＝∠BEC＝90°，再证△ADF≌△CBE（SAS），得出∠DFA＝∠BEC＝90°，即可得出结论；小星的思路：由平行四边形的性质得出CD∥AB，CD＝AB，求出BF＝DE，则四边形BFDE是平行四边形，再由∠BED＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）解：小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明，正确，
小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明，正确，
故答案为：正确，正确；
（2）证明：小红的思路：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD＝CB，
∵BE⊥CD，
∴BE⊥AB，
∴∠BED＝∠EBF＝∠BEC＝90°，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠DFA＝∠BEC＝90°，
∴∠BED＝∠EBF＝∠DFB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
小星的思路：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵AF＝CE，
∴AB﹣AF＝CD﹣CE，
即BF＝DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴平行四边形BFDE是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和矩形的判定是解题的关键．
22．（7分）某书店为了迎接2017年4月23日的“世界读书日”，计划购进A、B两类图书进行销售，若购进A、B两类图书共1000本，购进B类图书所需费用y（元）与购买数量x（本）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该书店购进A类图书400本，则购进A、B两类图书共需要多少元？
【分析】（1）根据函数图象可以分段求出各段对应的函数解析式；
（2）根据题意可以分别求得两类图书的花费，从而可以求得两类图书总的花费．
【解答】解：（1）当0≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式是y＝kx，
100k＝1800，
解得，k＝18，
即当0≤x≤100时，y与x之间的函数关系式是y＝18x，
当x＞100时，设y与x之间的函数关系式是y＝ax+b，
，解得，，
即当x＞100时，y与x之间的函数关系式是y＝15x+300，
∴y与x之间的函数关系式是：y＝；
（2）书店购进A类图书400本，则购进B类图书600本，
则A类图书花费：400×16＝6400（元），
B类图书花费：15×600+300＝9300（元），
∴购进A、B两类图书共需要：6400+9300＝15700（元），
答：购进A、B两类图书共需要15700元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．
23．（7分）某校为了提高学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼时间进行了调查统计
请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图，本次所抽取学生每天参加体育锻炼的众数为 1 小时，扇形统计图中n＝ 144° ；
（2）计算本次所抽取学生每天参加体育锻炼的平均时间；
（3）若该校共有1000名学生，请估计该校每天参加体育锻炼时间为2小时的学生人数．
【分析】（1）根据0.5小时的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，求得1.5小时的人数，再求出本次所抽取学生每天参加体育锻炼的众数，然后再求出n的值即可；
（2）根据平均数的概念进行计算即可；
（3）根据统计图中的数据可以估计出该校学生每天参加体育锻炼的时间为2小时的学生人数．
【解答】解：（1）10÷20%＝50，
50﹣10﹣20﹣8＝12，
∴参加调查的学生人数共有50人，每天参加体育锻炼时间为0.5小时的学生人数为10人，每天参加体育锻炼时间为1.5小时的学生人数为12人，
∴本次所抽取学生每天参加体育锻炼的众数为6小时，
∵，
∴n＝144，
故答案为：1，144°；
（2）抽取学生每天参加体育锻炼的平均时间为：（小时）；
（3）（人），
答：估计该校学生每天参加体育锻炼的时间为6小时的学生人数为160人．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图、众数及平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，AE＝AF，连接EF
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接OE，若点E是AB的中点，，OB＝2OA
【分析】（1）由平行四边形的性质得∠CAD＝∠ACB，再证∠BAC＝∠DAC，得BA＝BC，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD＝BD＝2，AC⊥BD，由直角三角形斜边上的中线性质得AB＝2OE，然后根据勾股定理和菱形面积公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵AC⊥EF，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴BA＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴∠AOB＝90°，
∵点E是AB的中点，
∴，
∵OB＝2OA，
∴在Rt△AOB中，OA2+OB8＝AB2，即，
∴OA＝2，OB＝4，
∴AC＝4，BD＝8，
∴．
【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质，等腰三角形的性质、菱形的面积、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
25．（8分）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司在某地投放了一批共享汽车，据统计，七月份的全天包车数为25次/月，八、九月的全天包车数持续走高，九月份的全天包车数达到64次/月．
（1）若从七月份到九月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）从十月份起，全天包车数稳定于64次/月，一段时间后，尽可能地让利顾客，经调查发现，平均每月的全天包车数增加1.6次，当租金降价多少元时
【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率x，根据九月份的全天包车数达到64次/月列方程求解即可得到答案；
（2）设租金降价y元，根据金额＝单价×数量列式求解即可得到答案；
【解答】解：（1）设全天包车数的月平均增长率x，由题意可得，
25（1+x）2＝64，
解得：，（不符合题意，
答：全天包车数的月平均增长率为60%；
（2）设租金降价y元，
此时租金为：（120﹣y）元，数量为：（64+1.6y），
（120﹣y）（64+1.6y）＝8800，
解得：y8＝10，y2＝70
∵尽可能地让利顾客，
∴y＝70，
答：当租金降价70元时，公司月营业额为8800元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式．
26．（10分）问题提出：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为 ；
问题探究：
（2）如图2，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，CD边上的两个动点，且BE＝CF，求证：AE＝AF；
问题解决：
（3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，其中AB＝40米，AD＝CD．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊DE，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边AB和边BC上，为了节省成本，要求绿色长廊DE，试求DE+DF的最小值．（长廊宽度忽略不计）
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形及勾股定理可得，根据S△PAB＝S△PCD得到点P在线段BC、AD的垂直平分线上，则PB＝PC，PA＝PD，得到PC+PD＝PB+PD，则当P、B、D点共线时PB+PD取得最小值，即可得到答案；
（2）证明△ABE≌△ACF（SAS），即可得到结论；
（3）证明四边形ABCD是正方形，则AB＝BC＝CD＝DA＝40，连接CE，证明△BCE≌△CDF（SAS），则DF＝CE，DE+DF＝DE+CE，延长DA到点G，使得AG＝DA＝40，连接CG，EG，证明DE+DF＝DE+CE＝GE+CE，得到当点C、E、G三点共线时，GE+CE取得最小值，即是CG的长，由勾股定理求出CG的长即可．
【解答】（1）解：连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，∠BCD＝90°，
∴，
∵S△PAB＝S△PCD，
∴点P到AB、CD的距离相等，
∴点P在线段BC、AD的垂直平分线上，
∴PB＝PC，PA＝PD，
∴PC+PD＝PB+PD，
当P、B、D点共线时PB+PD取得最小值，
此时，
即PC+PD的最小值为；
故答案为：；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠ACF＝∠B＝60°，
又∵BE＝CF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴AE＝AF；
（3）解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝40，
连接CE，
∵AE＝BF，
∴BE＝CF，
∵∠B＝∠C＝90°，BC＝CD，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴DF＝CE，
∴DE+DF＝DE+CE，
延长DA到点G，使得AG＝DA＝40，EG，
∵∠BAD＝90°，
∴点D和点G关于AB成轴对称，
∴DE＝GE，
∴DE+DF＝DE+CE＝GE+CE，
∵GE+CE≥GC，
当点C、E、G三点共线时，即是CG的长，
在Rt△CDG中，∠CDG＝90°，CD＝40，
∴，
即GE+CE的最小值为，
∴DE+DF的最小值为．
【点评】此题考查了正方形的判定和性质、菱形的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当辅助线和数形结合是解题的关键．
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