北京市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版）

这是一份北京市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了9．4等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共24分，每题3分)
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义判断作答即可．
【详解】解：A中，是最简二次根式，故符合要求；
B 中，不是最简二次根式，故不符合要求；
C中，不是最简二次根式，故不符合要求；
D中，不是最简二次根式，故不符合要求；
故选：A．
2. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】A、∵
∴是直角三角形，
故A不符合题意；
B、
∴ 不是直角三角形，故B符合题意；
C、∵
∴设
∴
∴ 是直角三角形
故C不符合题意；
D、∵
∴
∴是直角三角形，
故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
3. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（）
A. B. C. 3D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
直接把代入一元二次方程得到关于的方程，然后解一次方程即可．
【详解】解：把代入方程，
得
解得．
故选：C．
4. 若点，在抛物线上，则的值为（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的解析式可知函数对称轴为，从而得出的值．
【详解】由函数可知对称轴是直线，
由，可知，M，N两点关于对称轴对称，即
，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，注意掌握二次函数图像上点的对称性是解题的关键．
5. 某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的月平均增长率为，根据题意可得方程_______．
【答案】
【解析】
【分析】设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的月平均增长率为，根据题意得
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，从折线统计图获取数据建立一元二次方程是解题的关键．
6. 在奥运会跳水项目中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成绩．去掉这两个分数的前后， 一定不发生变化的统计量是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了中位数、众数、算术平均数、方差的含义和判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响.
【详解】解：中位数为大小排序后中间1位数或者中间2位数的平均数，故去掉一个最大的数和最小的数后，排序中间的1位数或2位数仍在中间，没有变化，故中位数不变．平均数，众数，方差都可能变化．
故选：B．
7. 如图，在中，点E、D、F分别在边上，且，，下列四个判断中，不正确的是（ ）
A. 四边形是平行四边形
B. 如果平分，那么四边形是菱形
C. 如果，那么四边形是矩形
D. 如果且，那么四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形，逐项判断即可得出答案．
【详解】A．因为，，所以四边形是平行四边形．故A选项正确，不符合题意；
B．如果，四边形是平行四边形，所以四边形是矩形．故B选项正确，不符合题意；
C．因为平分，所以，
∵，，
∴，
∴，又因为四边形是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确，不符合题意；
D．∵且，
∴D为的中点．
∵，，
∴E为的中点，F为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．故D选项错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点，熟练掌握判定定理是解题的关键．
8. 如图，在正方形中，点E，F分别是边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，交于点D，连接设，，，给出下面三个结论：
①；②；③．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，①根据即可判断；②根据题意可推出四边形是正方形，结合即可判断；③证，结合即可判断；
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴
∴
即：，故③错误；
∵，，
∴四边形均是矩形
∵，
∴四边形是正方形
∴
∴
∵
∴，故①正确；
∵,
∴
∵
∴
∴
∵
∴，故②正确；
故选：A
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】x≥5
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵在实数范围内有意义，
∴x−5⩾0，解得x⩾5．
故答案为：x≥5
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式．
10. 若点和点在一次函数的图象上，则______（用“＞”、“＜”或“＝”连接）．
【答案】＞
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的增减性，根据，一次函数的函数值y随x的增大而减小解答．
【详解】∵
∴函数值y随x的增大而减小，
∵
∴
故答案为：＞．
11. 已知中，D、E、F分别是边的中点，若的周长为10，则的周长为________．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线的定义和性质“三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半”．利用三角形中位线的性质进行推导即可得到答案．
【详解】解：∵点、、分别是的中点，
∴、、是的三条中位线，
∴、、，
∵的周长是10，
∴
∴
∴的周长是20．
故答案为：20．
12. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：
要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择___________．
【答案】乙
【解析】
【分析】方差是反映一组数据波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛．
【详解】解：∵3.6＜7.4＜8.1，
∴甲和乙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定，
∵95＞92，
∴乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高，
∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙．
故答案为：乙
【点睛】此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13. 在平行四边形中，，，过点D作于点H，连接．若平分，则的长是 _______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理．根据平行四边形的性质得出，，推出，进而得出，则，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为__________
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当时，y随x的增大而增大，求得当时，；时，，即可求解．
【详解】解：由题意得，，对称轴，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵当时，；时，，
∴当时，函数值y的取值范围为，
故答案为：．
15. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________
【答案】##
【解析】
【分析】可先求得抛物线的对称轴，以及开口方向，再由条件可求得关于的不等式，可求得答案．本题主要考查二次函数图象性质，由函数的增减性，对称轴，以及开口方向得到关于的不等式是解题的关键．
【详解】解：，
对称轴为，
抛物线开口向下，
在对称轴右侧随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
即，
故答案为：
16. 如图，在正方形中，点E、F、G分别在上，，，与于点P，连接，则的最小值为______．

【答案】##
【解析】
【分析】过点E作于点M，取的中点Q，连接，根据正方形的性质证明，然后根据直角三角形性质可得，当Q、D、P共线时，DP有最小值；最后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：如图：过点E作于点M，取的中点Q，连接，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴,
在和中，，
∴，
∴,
∵,
∴.,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是直角三角形，Q是的中点，
∴，
∵,
∴，
∴,
∵，
∴当Q、D、P共线时，有最小值，
∵，,
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题是解答本题的关键．
三、解答题(共60分，第17题4分，第18-19题，每题8分，第20题-22题，每题6分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)
17. 计算：
【答案】
【解析】
分析】先化简二次根式，再算乘除，最后算加减．
【详解】解：
=
=
=．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则，理解二次根式的性质，准确化简各数是解题关键．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
因式分解得，，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：，
∵，
∴，
∴，．
19. 下表给出一个二次函数的一些取值情况：

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）根据图象说明：当x 取何值时，y的值大于0？
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、图解法求一元二次不等式，（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用描点法作图即可；
（3）根据图象求解即可．
【小问1详解】
解：设这个二次函数的解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴这个二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：这个二次函数的图象如图所示：
【小问3详解】
解：由图可得，当或时，．
20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【答案】（1）m＜；（2）m=2．
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围；
（2）找出m取值范围中的正整数，然后分别代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的m的值．
【详解】（1）∵依题意，得△=（-4）2﹣4（2m﹣1）＞0，
∴m＜，
即m的取值范围是m＜；
（2）∵m为正整数，
∴m=1或2，
当m=1时，方程为x2﹣4x+1=0的根不是整数；
当m=2时，方程为x2﹣4x+3=0的根x1=1，x2=3，都是整数，
综上所述，m=2．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
21. 如图，在中，交于点E，交的延长线于点F，且，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先利用平行四边形的性质得出，，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，根据菱形的判定即可证明．
（2）由菱形的性质得出，进而得出，根据勾股定理得出，利用平行四边形的性质得出，根据菱形的性质求菱形的面积即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴
∵，
∴．
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
∵四边形是菱形，
∴．
∴
在中，，，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定以及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握菱形的判定定理以及性质是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+bk≠0的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数解析式，函数图象的平移，一次函数的图象，找出临界点是解题关键．
（1）据一次函数平移时k不变可知，再把点代入求出b的值，进而可得出结论；
（2）由题意可得临界值为当时，两条直线都过点，即可得出当时，都大于，根据，可得可取值2，可得出m的取值范围．
【小问1详解】
解：∵一次函数y=kx+bk≠0的图象由函数的图象平移得到，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，函数的函数值都大于，即图象在上方，由下图可知：
临界值为当时，两条直线都过点，
∴当时，都大于，
又∵，
∴可取值2，即，
∴的取值范围为．
23. 学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场人口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．
（1）请在图2中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的解析式；
（2）“技”与“之”的水平距离为米．小明想同时达到如下两个设计效果：
① “科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；
②“技”与“科”距地面高度差为1.5米．
小明的设计能否实现？若能实现，直接写出的值；若不能实现，请说明理由．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）能实现；
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，写出点的坐标，代入求解析式即可；
（2）设“技”坐标，表示“科”，列出方程解方程即可．
【小问1详解】
解：如图，以抛物线顶点为原点，以抛物线对称轴为轴，建立平面直角坐标系．
设这条抛物线表示的二次函数为．
∵抛物线过点，
∴
∴
∴这条抛物线表示的二次函数为．
【小问2详解】
能实现；．
由“技”与“之”的水平距离为米，设“技”，“之”，
则 “科”，
“技”与“科”距地面的高度差为1.5米，
，
解得：或(舍去)
【点睛】本题考查运用二次函数解决实际问题，建立适当的平面直角坐标系，求出函数解析式是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求a的值；
（2）求抛物线的对称轴(用含m的式子表示)；
（3）点，，在抛物线上．
①若则m的取值范围是 ；
②若则m的取值范围是
【答案】（1）
（2）对称轴为
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）点代入得抛物线解析式求解即可；
（2）利用对称轴公式求解即可；
（3）①根据二次函数的增减性可得抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，即；②根据二次函数的增减性可得抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，即，再分别求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
把点代入得，，
解得；
【小问2详解】
解：∵抛物线，
∴对称轴为；
【小问3详解】
解：由（2）可得，对称轴为，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，
①当时，得，即，
∴，
解得，
故答案为：；
②若时，，即，
当时，，
∴或，
解得，
∴，
当时，，
此时，不等式恒成立，
综上所述，若时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式、抛物线对称轴公式、二次函数的性质、绝对值及解一元一次不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25. 如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点Q．

（1）依题意补全图形；
（2）求的度数；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据正方形的性质得，，根据轴对称得，，，根据三角形的外角性质及角的和差可得根据同角的余角相等等量代换得出，得为等腰直角三角形，得，
（3）过点C作交延长线于点H，证，，根据全等三角形的性质可得，，在中，，得结论．
【小问1详解】
依题意补全图形，如图．
【小问2详解】
解：四边形是正方形，
，．
点B，F是关于直线对称，
，，．
．
．
，
．
，
．
，即．
【小问3详解】
．
证明：过点C作交延长线于点H．

．
，
．
．
，
．
．
．
．
在中，．
．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．甲
乙
丙
丁
平均数（分）
92
95
95
92
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
x
0
1
2
3
4
y
3
0
0
3