【新高考题型】8+3+3高三数学小题速练“8+3+3”小题速练(12)(学生版+解析)
展开1.小李同学参加了高三以来进行的6次数学测试,6次成绩依次为: 90分、100分、120分、115分、130分、125分.则这组成绩数据的上四分位数为( )
A. 120B. 122.5C. 125D. 130
2.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足,若,则( )
A. 2B. C. D.
4.设是两条异面直线,下列命题中正确是( )
A. 过且与平行的平面有且只有一个
B. 过且与垂直的平面有且只有一个
C. 过空间一点与均相交的直线有且只有一条
D. 过空间一点与均平行的平面有且只有一个
5.2023 年11月30日,重庆市轨道交通新开通 6 个站点,包括5号线中段忠恕沱、红岩村、歇台子3个站点和10号线南湖、万寿路、兰花路3个站点,为广大市民的出行提供了更多便利.某同学从中随机选择4个站点实地考察周边情况,则在红岩村被选中的条件下,10号线不少于2个站点的概率为( )
A. B. C. D.
6.公元年,唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时,使用一个原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是立体的高,意思是两个同高的立体,如在等高处的截面积相等,则体积相等.更详细点说就是,介于两个平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两个平面的平面所截,如果两个截面的面积相等,则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.打印技术发展至今,已经能够满足少量个性化的打印需求,现在用打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图,其在高度为的水平截面的面积可以近似用函数,拟合,则该“睡美人城堡”的体积约为( )
A.B.C.D.
7.设为抛物线的焦点,为上一点且在第一象限,在点处的切线交轴于,交轴于,若,则直线的斜率为( )
A. -2B. C. D.
8.在直角梯形,,,,,,分别为,的中点,点在以A为圆心,为半径的圆弧上变动(如图所示),若,其中,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数中最小值为2的是( )
A. B.
C. D.
10.已知点在圆上,点,,则( )
A. 存在点,使得B.
C. 存在点,使得D.
11.在正方体中,,为的中点,是正方形内部一点(不含边界),则下列说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 平面内存在一条直线与直线成角
C. 若到边距离为,且,则点的轨迹为抛物线的一部分
D. 以的边所在直线为旋转轴将旋转一周,则在旋转过程中,到平面的距离的取值范围是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知双曲线的一条渐近线为,则该双曲线的离心率为__________.
13.已知函数,若的最小值为,则________.
14.已知函数(,)且),若恒成立,则的最小值为_____
2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(12)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.小李同学参加了高三以来进行的6次数学测试,6次成绩依次为: 90分、100分、120分、115分、130分、125分.则这组成绩数据的上四分位数为( )
A. 120B. 122.5C. 125D. 130
【答案】C
【解析】将6次成绩分数从小到大排列依次为:,
由于,故这组成绩数据的上四分位数为第5个数125,
故选:C
2.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由,得,解得,
所以,
因为,
所以以,
所以,
所以.
故选:B.
3.已知数列满足,若,则( )
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,,
所以,,,
所以数列的周期为3.
所以.
故选:D.
4.设是两条异面直线,下列命题中正确是( )
A. 过且与平行的平面有且只有一个
B. 过且与垂直的平面有且只有一个
C. 过空间一点与均相交的直线有且只有一条
D. 过空间一点与均平行的平面有且只有一个
【答案】A
【解析】
对于A,过上一点作的平行直线,则与确定一平面,由平面,
平面,所以平面,故A正确;
对于B,设过的平面为,若平面,则,故若与不垂直,则不存在过的平面与垂直,故B错误;
对于C,当点与确定一个平面,且与平行时,如图,则过空间一点与均相交的直线不存在,故C错误;
对于D,当点与中一条确定的平面与另一条直线平行时,满足条件的平面就不存在,故D错误.
故选:A.
5.2023 年11月30日,重庆市轨道交通新开通 6 个站点,包括5号线中段忠恕沱、红岩村、歇台子3个站点和10号线南湖、万寿路、兰花路3个站点,为广大市民的出行提供了更多便利.某同学从中随机选择4个站点实地考察周边情况,则在红岩村被选中的条件下,10号线不少于2个站点的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在红岩村被选中的条件下,还需从其它5个站点中选择3个,共有种选法,
其中10号线不少于2个站点的选法有种,
故在红岩村被选中的条件下,10号线不少于2个站点的概率为,
故选:B
6.公元年,唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时,使用一个原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是立体的高,意思是两个同高的立体,如在等高处的截面积相等,则体积相等.更详细点说就是,介于两个平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两个平面的平面所截,如果两个截面的面积相等,则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.打印技术发展至今,已经能够满足少量个性化的打印需求,现在用打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图,其在高度为的水平截面的面积可以近似用函数,拟合,则该“睡美人城堡”的体积约为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】如下图所示:
圆锥的高和底面半径为,平行于圆锥底面的截面角圆锥的母线于点,
设截面圆圆心为点,且,则,
易知,则,即,可得,
所以,截面圆圆的半径为,圆的面积为,
又因为,
根据祖暅原理知,该“睡美人城堡”的体积与一个底面圆半径为,
高为的圆锥的体积近似相等,
所以该“睡美人城堡”的体积约为,
故选:D.
7.设为抛物线的焦点,为上一点且在第一象限,在点处的切线交轴于,交轴于,若,则直线的斜率为( )
A. -2B. C. D.
【答案】D
【解析】
易知,设,
则在点处的切线方程为,
所以,显然N为中点,
由抛物线定义可知,
即为以F为顶点的等腰三角形,所以,即,
所以直线的斜率为.
故选:D
8.在直角梯形,,,,,,分别为,的中点,点在以A为圆心,为半径的圆弧上变动(如图所示),若,其中,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】结合题意建立直角坐标,如图所示:
.
则,,,,,,
则,,,,
∵,
∴,
∴,,
∴,,
∴,
∵,∴,∴,
∴,故,即.
故选:A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数中最小值为2的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】由题意,
A项,,故A正确;
B项,在中,,所以,当且仅当时,等号成立,故B正确;
C项,,,故,当且仅当即时等号成立,C错误;
D项,,,只有当时才有,当且仅当即时等号成立,故D错误.
故选:AB
10.已知点在圆上,点,,则( )
A. 存在点,使得B.
C. 存在点,使得D.
【答案】ABD
【解析】圆即,圆心,半径,又,
所以,因为点在圆上,所以,
所以存在点,使得,故A对.
因为,所以点在圆外,又,点在圆内,
所以当与圆相切时,取最大值,
此时,所以,故B对.
对于D,设,若
,
又点在圆上,一定成立,故D对,C错.
故选:ABD.
11.在正方体中,,为的中点,是正方形内部一点(不含边界),则下列说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 平面内存在一条直线与直线成角
C. 若到边距离为,且,则点的轨迹为抛物线的一部分
D. 以的边所在直线为旋转轴将旋转一周,则在旋转过程中,到平面的距离的取值范围是
【答案】ACD
【解析】A.如图, 连结,则,
因为平面,平面,所以,
且,平面,
所以平面,平面,
所以,同理,且,且平面,
所以平面,且平面,
所以平面平面,故A正确;
B.将正方体中,分离出四棱锥,取的中点,连结,
因为平面,,,
即,
则与平面所成角的最小值是,,
所以,
因为线面角是线与平面内的线所成的最小角,所以平面内不存在一条直线与直线成角,故B错误;
C.如图,取的中点,连结,平面,作于点,则
因为,则,即点到点的距离和点到的距离相等,即可点形成的轨迹是抛物线,故C正确;
D.连结交于点,取的中点,连结,
则点的运动轨迹是平面内以为圆心,为半径的圆,
易知,由,知,,且平面,
所以平面,平面,
所以平面平面,
,
如图,与圆的交点分别为,
当点位于点时,点到平面的距离分别取得最大值和最小值,
且距离的最大值为,
距离的最小值为,
所以点到平面的距离的取值范围是,故D正确.
故选:ACD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知双曲线的一条渐近线为,则该双曲线的离心率为__________.
【答案】2
【解析】由题意得,易知双曲线,即的渐近线方程为得
所以该双曲线的离心率
故答案为:.
13.已知函数,若的最小值为,则________.
【答案】
【解析】,,或,
.
故答案为: .
14.已知函数(,)且),若恒成立,则的最小值为______.
【答案】
【解析】函数的定义域为,
当时,可得在上单调递增,,不合题意;
当时,,令,解得,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以当时,有极小值,也是最小值,
又因为且,所以,
则,得,所以,
设,,令,得,
当,,
当,,
所以在区间单调递减,单调递增,
所以,即的最小值为.
故答案为:
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