高三数学一轮复习第五章平面向量、复数第四课时复数学案

这是一份高三数学一轮复习第五章平面向量、复数第四课时复数学案，共16页。

[典例1] (1)已知i为虚数单位，则i607的共轭复数为( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
(2)(2024·诸暨模拟)已知a，b，c∈R，i是虚数单位，若1+aib+i＝ci，则( )
A．a＝b B．a＝1b
C．a＝－b D．a＝－1b
(1)A (2)C [(1)因为i607＝(i2)303·i＝－i，－i的共轭复数为i．
(2)由题意得1＋ai＝ci(b＋i)＝－c＋bci，
则1=-c，a=bc，则a＝－b，故选C．]
解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
跟进训练1 (1)若复数z＝11-i＋ai(i为虚数单位，a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
(2)(2024·杭州质检)设复数z＝a－i且z1+i＝1＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝________，|z|＝________．
(1)B (2)－6 10 [(1)依题意，复数z＝11-i＋ai＝1+i1-i1+i＋ai＝12＋a+12i，其实部与虚部互为相反数，
所以12＋a+12＝0，
解得a＝－1，故选B．
(2)由z1+i＝1＋bi得z＝(1＋bi)(1＋i)＝1－b＋(1＋b)i．
因为复数z＝a－i，所以1-b=a，1+b=-1，
解得a=3，b=-2，则ab＝－6，z＝a－i＝3－i，则|z|＝32+-12＝10．]
考点二 复数的四则运算
1．复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：z1z2＝a+bic+di＝a+bic-dic+dic-di＝ac+bd+bc-adic2+d2(c＋di≠0)．
2．几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1+OZ2，Z1Z2＝OZ2-OZ1．
[典例2] (1)2-i1+2i＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
(2)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( )
A．0 B．1
C．2 D．2
(3)(2024·浙江十校联盟联考)已知两非零复数z1，z2，若z1·z2∈R，则一定成立的是( )
A．z1＋z2∈R B．z1·z2∈R
C．z1z2∈R D．z1z2∈R
(1)D (2)D (3)D [(1)2-i1+2i＝2-i1-2i1+2i1-2i＝-5i5＝－i．故选D．
(2)法一：z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，
|z2－2z|＝|－2|＝2．
法二：|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|
＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i||－1＋i|＝2．故选D．
(3)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则由z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i∈R得ad＋bc＝0，
则z1z2＝a+bic-di＝a+bic+dic-dic+di
＝ac-bd+ad+bcic2+d2＝ac-bdc2+d2∈R，其他选项可逐一排除．故选D．]
记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i；②1+i1-i＝i；③1-i1+i＝－i；④a+bii＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N)．
跟进训练2 (1)(2024·台州评估测试)已知复数z满足(3－4i)z＝i(其中i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．25 B．125
C．5 D．15
(2)(2024·镇海中学检测)已知i是虚数单位，且复数z1＝1－2i，z2＝3＋mi(m∈R)，则|z1|＝______，若z2z1是实数，则实数m＝________．
(3)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________．
(1)D (2)5 －6 (3)23 [(1)由(3－4i)z＝i，得复数z＝i3-4i，所以|z|＝i3-4i＝15．
(2)因为复数z1＝1－2i，所以|z1|＝|1－2i|＝1+4＝5．
设z2z1＝b，则z2＝z1b，即3＋mi＝b(1－2i)＝b－2bi，
所以3＝b，m＝－2b＝－6．
(3)法一：设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，因为z1＋z2＝3＋i，
所以2z1＝(3＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(3－a)＋(1－b)i．
因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，
所以3+a2+1+b2＝4，①
3-a2+1-b2＝4，②
①2＋②2得a2＋b2＝12．
所以|z1－z2|＝a2+b2＝23．
法二：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量OA，OB，则z1＋z2对应向量OA+OB．
由题知|OA|＝|OB|＝|OA+OB|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作▱OACB，则z1－z2对应向量BA，OA＝AC＝OC＝2，可得BA＝2OA sin 60°＝23．
故|z1－z2|＝|BA|＝23．]
考点三 复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ．
[典例3] (1)在复平面内，复数z＝1－i对应的向量为OP，复数z2对应的向量为OQ，那么向量PQ对应的复数为( )
A．1－i B．1＋i
C．－1＋i D．－1－i
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
(1)D (2)B [(1)因为z2＝－2i，而PQ＝OQ-OP，故向量PQ对应的复数为－2i－(1－i)＝－1－i，故选D．
(2)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i的对应点在第二象限，则a+1<0，1-a>0，
∴a<－1，故选B．]
复数z＝a＋biZ(a，b)，运用几何意义，对应转化．
跟进训练3 (1)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3，1) B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
(2)(2024·金丽衢十二校联考)复数z满足：z·i＝1＋3i，其中i为虚数单位，则z对应的点位于复平面的第________象限；|z|＝________．
(1)A (2)四 2 [(1)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以m+3＞0，m-1＜0，解得－3＜m＜1，故选A．
(2)因为z·i＝1＋3i，所以复数z＝1+3ii＝i-3-1＝3－i，所以复数z对应的点的坐标为(3，－1)，故复数z对应的点位于复平面的第四象限，且|z|＝32+-12＝2．]
【教师备用】
(多选)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是( )
A．点P0的坐标为(1，2)
B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为22
ACD [复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1，2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，
即x-12+y2＝x2+y-12，整理得y＝x，
即点Z在直线y＝x上，C正确；
易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0，Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为1-22＝22，故D正确．故选ACD．]
课后习题(三十) 复数
1．(湘教版必修第二册P103练习T2改编)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
A [因为z为纯虚数，所以x2-1=0，x-1≠0，所以x＝－1．]
2．(人教A版必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是( )
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
D [CA＝CB+BA＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i．]
3．(人教A版必修第二册P95复习参考题7T7改编)若复数z满足方程zi＝1－i，则复数z对应点的坐标在第________象限．
二 [由题意可得z＝1-ii＝1-i-ii·-i＝－i(1－i)＝－1－i，所以z＝－1＋i．故复数z对应点的坐标在第二象限．]
4．(人教A版必修第二册P73练习T2改编)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，则|z1·z2|＝________．
5 [z1＝－2＋i，z2＝1＋2i，
z1·z2＝(－2＋i)(1＋2i)＝－4－3i．
所以|z1·z2|＝5．]
5．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i，则z1z2＝( )
A．－10 B．10
C．－8 D．8
A [∵z1＝3－i，z1，z2在复平面内所对应的点关于虚轴对称，
∴z2＝－3－i，
∴z1z2＝－9－1＝－10．]
6．(2024·石家庄模拟)已知i是虚数单位，则化简1+i1-i2 024的结果为( )
A．i B．－i
C．－1 D．1
D [因为1+i1-i＝1+i21-i1+i＝1+2i+i22＝i，
所以1+i1-i2 024＝i2 024＝i4＝1．]
7．设i是虚数单位，若复数a＋5i2+i(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3 B．3
C．1 D．－1
D [a＋5i2+i＝a＋5i2-i2+i2-i＝a＋2i＋1＝(a＋1)＋2i．
因为是纯虚数，所以a＋1＝0，则a＝－1．]
8．如图，若向量OZ对应的复数为z，则z＋4z表示的复数为( )
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
D [由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋4z＝1－i＋41-i＝1－i＋41+i1-i1+i＝1－i＋4+4i2＝1－i＋2＋2i＝3＋i．故选D．]
9．(多选)(2024·湖北十堰三模)已知复数z1＝1－3i，z2＝3＋i，则( )
A．|z1＋z2|＝6
B．z1－z2＝－2＋2i
C．z1z2＝6－8i
D．z1z2在复平面内对应的点位于第二象限
BC [由题意可知，z1+z2＝42+-22＝25，A错误；
z1－z2＝－2＋2i，B正确；
z1z2＝1-3i3+i＝3＋i－9i－3i2＝6－8i，C正确；z1z2在复平面内对应的点在第四象限，D错误．故选BC．]
10．i是虚数单位，复数8-i2+i＝________．
3－2i [8-i2+i＝8-i2-i2+i2-i＝16+i2-10i5＝15-10i5＝3－2i．]
11．若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则另外一个根是________，a＝________．
2＋3i 13 [设方程的另外一根为x，则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13．]
12．(2024·温州模拟)已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且z1-i＝3＋2i，则a＝________，b＝________．
5 1 [由z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，可得z＝a－bi，
所以z1-i＝1+i2(a－bi)＝a+b2＋a-b2i＝3＋2i，
故a+b2＝3，a-b2＝2，
所以a＝5，b＝1．]
阶段提能(九) 平面向量、复数
1．(人教A版必修第二册P24第21题)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO＝AB+AC，|OA|＝|AB|，则向量BA在向量BC上的投影向量为( )
A．14BC B．34BC
C．－14BC D．－34BC
A [如图，由2AO＝AB+AC知O为BC的中点．
因为O为△ABC的外接圆圆心，
所以OA＝OB＝OC．
因为|OA|＝|AB|，所以AB＝OB＝OA＝OC，
所以△ABO为正三角形，
∠ABO＝60°，所以BA在BC上的投影向量为12BO＝14BC．]
2．(人教A版必修第二册P52习题6.4第1题)若非零向量AB与AC满足ABAB+ACAC·BC＝0，且ABAB·ACAC＝12，则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
D [由ABAB+ACAC·BC＝0，
知ABAB+ACAC⊥BC，
∴△ABC中，∠A的平分线与边BC垂直，
∴AB＝AC．
又∵ABAB·ACAC＝12，∴cs ∠BAC＝12．
∵0°<∠BAC<180°，∴∠BAC＝60°．
∴△ABC为等边三角形，故选D．]
3．(人教A版必修第二册P52习题6.4第2题)已知O，N，P在△ABC所在平面内，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，NA+NB+NC＝0，且PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
C [∵|OA|＝|OB|＝|OC|，∴O到三角形三个顶点的距离相等，
∴O是三角形的外心．
∵PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，
∴PB·(PA-PC)＝0，PB·CA＝0，
∴PB⊥CA，
同理得到另外两个向量都与边垂直，
得到P是三角形的垂心．由NA+NB+NC＝0，可知点N为△ABC的重心．
故选C．]
4．(人教B版必修第三册P90习题8-1B第3题)若向量a＝(x，2x)，b＝(－3x，2)，且a与b的夹角为钝角，求x的取值范围．
[解] ∵a与b的夹角为钝角，
∴cs 〈a，b〉<0且a与b不共线．
∴-3x2+4x<0，2x≠2x·-3x，解得x≠0，x≠-13，x>43或x<0，
故满足条件的x的取值范围是-∞，-13∪-13，0∪43，+∞．
5．(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝1-i2+2i，则z－z＝( )
A．－i B．i
C．0 D．1
A [因为z＝1-i2+2i＝1-i221+i1-i＝－12i，
所以z＝12i，所以z－z＝－12i－12i＝－i．
故选A．]
6．(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A [因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A．]
7．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记CA＝m，CD＝n，则CB＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
B [因为点D在边AB上，BD＝2DA，
所以BD＝2DA，
即CD-CB＝2(CA-CD)，
所以CB＝3CD－2CA＝3n－2m＝－2m＋3n．
故选B．]
8．(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
D [因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．
故选D．]
9．(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
C [∵(a＋i)(1－ai)＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋(1－a2)i＝2，
∴2a＝2且1－a2＝0，
解得a＝1，故选C．]
10．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cs α，sin α)，P2(cs β，－sin β)，P3(cs (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则( )
A．|OP1|＝|OP2|
B．|AP1|＝|AP2|
C．OA·OP3＝OP1·OP2
D．OA·OP1＝OP2·OP3
AC [由题可知，|OP1|＝cs2α+sin2α＝1，
|OP2|＝cs2β+-sinβ2
所以|OP1|＝|OP2|，故A正确；
取α＝π4，则P122，22，取β＝5π4，
则P2-22，22，则|AP1|≠|AP2|，故B错误；
因为OA·OP3＝cs (α＋β)，
OP1·OP2＝cs αcs β－sin αsin β＝cs (α＋β)，
所以OA·OP3＝OP1·OP2，故C正确；
因为OA·OP1＝cs α，OP2·OP3＝cs βcs (α＋β)－sin βsin (α＋β)＝cs (α＋2β)，取α＝π4，β＝π4，
则OA·OP1＝22，OP2·OP3＝cs 3π4＝－22，
所以OA·OP1≠OP2·OP3，故D错误．
故选AC．]
11．(2021·北京卷)已知a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，则(a＋b)·c＝________；a·b＝________．
0 3 [计算可得(a＋b)·c＝(4，0)·(0，1)＝0，a·b＝4－1＝3．]
12．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝3，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
3 [由|a－b|＝3，得a2－2a·b＋b2＝3，
即2a·b＝a2＋b2－3．由|a＋b|＝|2a－b|，
得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，
整理得，3a2－6a·b＝0，
所以3a2－3(a2＋b2－3)＝0，
所以b2＝3，所以|b|＝3．]
内容
意义
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫做复数，其中实部为a，虚部为b
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设OZ对应的复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝a2+b2