高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破专题3.2导数在函数单调性、极值中的应用(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破专题3.2导数在函数单调性、极值中的应用(原卷版+解析)，共52页。试卷主要包含了若过点，函数，的最小值为______.等内容，欢迎下载使用。


知识点总结
利用导数解决单调性问题
本考点以考查导数的运算以及导函数值与函数单调性之间的关系为主，其中含有参数的函数的单调性问题是高考的热点．
1．函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系
(1)在某个区间(a，b)上，如果 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；
(2)在某个区间(a，b)上，如果 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减．
2．用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系
(1)在区间(a，b)内，f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充分不必要条件．
(2)f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间(a，b)内恒成立是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的必要不充分条件．
(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间上都不恒等于零，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充要条件．
利用导数解决极值与最值问题
1．函数的极值与导数
2．函数的最值与导数
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的 ；
②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
典型例题分析
考向一 求函数的单调区间(不含参数)
例1 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
答案 D
解析 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.所以单调递增区间为(2，＋∞).
确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
考向二 讨论含参函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．
解 由已知得f′(x)＝a＋ eq \f(1,x)＝ eq \f(ax＋1,x)(x>0)，
①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).
②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝－ eq \f(1,a).在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,a)))上，f′(x)>0；在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)，＋∞))上，f′(x)<0.函数f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,a)))，单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)，＋∞)).
1．(1)研究含参数的函数单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
2．个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．
考向三 函数单调性的简单应用
例3 (多选)定义在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cs xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则( )
A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＞ eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))) B． eq \r(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＞f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＞ eq \r(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))) D． eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＞ eq \r(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))
答案 CD
解析 构造函数g(x)＝ eq \f(f（x）,cs x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)， eq \f(f（x）,g（x）)”等特征式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．
考向四 利用导数解决函数的极值问题
例4 如图所示是函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的图象，给出下列四个结论：
①f(x)在区间(－3，1)上是增函数；
②f(x)在区间(2，4)上是减函数，在区间(－1，2)上是增函数；
③1是f(x)的极大值点；
④－1是f(x)的极小值点．
其中正确的结论是( )
A．①③ B．②③
C．②③④ D．②④
答案 D
解析 由题意，得－3＜x＜－1或2＜x＜4时，f′(x)＜0；－1＜x＜2或x＞4时，f′(x)＞0，故函数y＝f(x)在(－3，－1)和(2，4)上单调递减，在(－1，2)和(4，＋∞)上单调递增，－1是f(x)的极小值点，2是f(x)的极大值点，故②④正确．
函数极值问题的常见类型及解题策略
(1)已知导函数图象判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数值符号．
(2)已知函数求极值．求f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根的两侧的符号→得出结论．
(3)已知极值求参数．若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且f(x)在该点左、右两侧的导数值符号相反．
考向五 利用导数求函数的最值
例5 已知函数f(x)＝ex cs x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．
解 (1)∵f(x)＝ex cs x－x，
∴f(0)＝1，f′(x)＝ex(cs x－sin x)－1，
∴f′(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)f′(x)＝ex(cs x－sin x)－1，
令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝－2ex sin x≤0在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上恒成立，且仅在x＝0处等号成立，
∴g(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减，
∴g(x)≤g(0)＝0，∴f′(x)≤0且仅在x＝0处等号成立，∴f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减，
∴f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－ eq \f(π,2).
求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
提醒：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
考向六 利用导数求解函数极值和最值的综合问题
例6 甲、乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时．已知该汽车每小时的运输成本t(元)关于速度x(千米/时)的函数关系式是t＝ eq \f(1,19200)x4－ eq \f(1,160)x3＋15x.
(1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为多少元？
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求出此时运输成本的最小值．
解 (1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为 eq \f(400,60)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,19200)×604－\f(1,160)×603＋15×60))＝1500元．所以当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为1500元．
(2)设全程运输成本为f(x)元，则f(x)＝ eq \f(400,x)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,19200)x4－\f(1,160)x3＋15x))＝ eq \f(1,48)x3－ eq \f(5,2)x2＋6000(0当00，所以函数f(x)在(0，80)上单调递减，在(80，100]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(80)＝ eq \f(2000,3).所以为使全程运输成本最少，汽车应以80千米/时的速度行驶，此时运输成本取得最小值 eq \f(2000,3)元．
1．解决函数极值、最值综合问题的策略
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．
(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．
(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．
2．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域．
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
(4)回归实际问题作答．
基础题型训练
一、单选题
1．函数的减区间为
A．B．C．D．
2．已知函数的大致图像如图所示，现有如下说法：①；②；③；则正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是
A．B．C．D．
4．若过点（0，－1）可以作三条直线与函数相切，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，＋∞）B．（2，＋∞）C．[3，＋∞）D．（3，＋∞）
5．已知，，对，，使得，则的最小值为
A．B．C．D．
6．已知函数在上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．设函数在R上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数a的可能取值为（ ）
A．B．0C．1D．2
8．已知函数f(x)＝xlnx﹣ax2﹣1，当a＞0时，函数f(x)的极值点的个数可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
三、填空题
9．若是函数的一个极值点，则______．
10．函数，的最小值为______.
11．若函数在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是_____
12．若存在两个正实数，使等式成立，（其中）则实数的取值范围是________．
四、解答题
13．已知函数，讨论函数的单调性；
14．已知的一个极值点为2．
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的最值．
15．已知函数（为自然对数的底数）.
（1）当时，求证：函数在上恰有一个零点；
（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围.
16．已知曲线．
(1)若，过点作的切线，求切线的方程；
(2)当有3个零点时，求a的取值范围．
提升题型训练
一、单选题
1．若函数的导函数图象如图所示，则该函数图象大致是（ ）
B．
C．D．
2．函数的极小值为（ ）
A．0B．C．D．不存在
3．若，，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．在半径为R的球内放置一圆柱体，使圆柱体的两底面圆周上所有的点都在球面上，当圆柱体的体积最大时，其高为（ ）
A．RB．RC．RD．R
5．如图所示是的图象，则正确的判断个数是（ ）
①在上是减函数；②是极大值点；
③是极值点；④）在上先减后增．
A．0B．1C．2D．3
6．函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．函数为偶函数B．函数的最小值为
C．函数的最大值为D．函数在上有两个极值点
三、填空题
9．函数在处有极值，则常数a＝______．
10．曲线在点处的切线方程为___________．
11．已知是定义在上的偶函数，其导函数，若，，，则不等式的解集为________.
12．设为正实数，若则的取值范围是__________．
四、解答题
13．求函数的单调递减区间．
14．求下列函数的单调区间：
（1）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
（2）f(x)＝sin x－x(015．已知函数（，常数）．
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
16．已知，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)已知当时，函数有两个零点，求证：．
3.2 导数在函数单调性、极值中的应用
思维导图
知识点总结
利用导数解决单调性问题
本考点以考查导数的运算以及导函数值与函数单调性之间的关系为主，其中含有参数的函数的单调性问题是高考的热点．
1．函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系
(1)在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；
(2)在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减．
2．用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系
(1)在区间(a，b)内，f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充分不必要条件．
(2)f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间(a，b)内恒成立是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的必要不充分条件．
(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间上都不恒等于零，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充要条件．
利用导数解决极值与最值问题
1．函数的极值与导数
2．函数的最值与导数
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
典型例题分析
考向一 求函数的单调区间(不含参数)
例1 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
答案 D
解析 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.所以单调递增区间为(2，＋∞).
确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
考向二 讨论含参函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．
解 由已知得f′(x)＝a＋ eq \f(1,x)＝ eq \f(ax＋1,x)(x>0)，
①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).
②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝－ eq \f(1,a).在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,a)))上，f′(x)>0；在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)，＋∞))上，f′(x)<0.函数f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,a)))，单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)，＋∞)).
1．(1)研究含参数的函数单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
2．个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．
考向三 函数单调性的简单应用
例3 (多选)定义在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cs xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则( )
A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＞ eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))) B． eq \r(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＞f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＞ eq \r(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))) D． eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＞ eq \r(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))
答案 CD
解析 构造函数g(x)＝ eq \f(f（x）,cs x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)， eq \f(f（x）,g（x）)”等特征式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．
考向四 利用导数解决函数的极值问题
例4 如图所示是函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的图象，给出下列四个结论：
①f(x)在区间(－3，1)上是增函数；
②f(x)在区间(2，4)上是减函数，在区间(－1，2)上是增函数；
③1是f(x)的极大值点；
④－1是f(x)的极小值点．
其中正确的结论是( )
A．①③ B．②③
C．②③④ D．②④
答案 D
解析 由题意，得－3＜x＜－1或2＜x＜4时，f′(x)＜0；－1＜x＜2或x＞4时，f′(x)＞0，故函数y＝f(x)在(－3，－1)和(2，4)上单调递减，在(－1，2)和(4，＋∞)上单调递增，－1是f(x)的极小值点，2是f(x)的极大值点，故②④正确．
函数极值问题的常见类型及解题策略
(1)已知导函数图象判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数值符号．
(2)已知函数求极值．求f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根的两侧的符号→得出结论．
(3)已知极值求参数．若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且f(x)在该点左、右两侧的导数值符号相反．
考向五 利用导数求函数的最值
例5 已知函数f(x)＝ex cs x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．
解 (1)∵f(x)＝ex cs x－x，
∴f(0)＝1，f′(x)＝ex(cs x－sin x)－1，
∴f′(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)f′(x)＝ex(cs x－sin x)－1，
令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝－2ex sin x≤0在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上恒成立，且仅在x＝0处等号成立，
∴g(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减，
∴g(x)≤g(0)＝0，∴f′(x)≤0且仅在x＝0处等号成立，∴f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减，
∴f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－ eq \f(π,2).
求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
提醒：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
考向六 利用导数求解函数极值和最值的综合问题
例6 甲、乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时．已知该汽车每小时的运输成本t(元)关于速度x(千米/时)的函数关系式是t＝ eq \f(1,19200)x4－ eq \f(1,160)x3＋15x.
(1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为多少元？
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求出此时运输成本的最小值．
解 (1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为 eq \f(400,60)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,19200)×604－\f(1,160)×603＋15×60))＝1500元．所以当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为1500元．
(2)设全程运输成本为f(x)元，则f(x)＝ eq \f(400,x)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,19200)x4－\f(1,160)x3＋15x))＝ eq \f(1,48)x3－ eq \f(5,2)x2＋6000(0当00，所以函数f(x)在(0，80)上单调递减，在(80，100]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(80)＝ eq \f(2000,3).所以为使全程运输成本最少，汽车应以80千米/时的速度行驶，此时运输成本取得最小值 eq \f(2000,3)元．
1．解决函数极值、最值综合问题的策略
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．
(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．
(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．
2．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域．
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
(4)回归实际问题作答．
基础题型训练
一、单选题
1．定义在上的连续可导函数，当时，满足，则函数的零点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】构造，求导，根据题意可得的单调性，的零点个数转化为与的交点个数，画出简图即可求解.
【详解】解：由可得，即，
所以.
令，则在上单调递增.
令，则.
所以的零点个数为方程的根的个数，即与的交点个数.
作出简图(如图所示)，
由图可知与的图象没有交点.
所以函数的零点的个数为0.
故选:A.
2．若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据极值点的概念，转化为导函数有零点求参数范围问题
【详解】由已知得，若函数在上有极值点，则在上有解，即，解得.
故选：D
3．若函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，则a的取值范围是（ ）
A．(－∞，－)B．(－∞，－)∪ (，＋∞)
C．(－，)D．(，＋∞)
【答案】B
【分析】求出导函数，根据函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，则函数有两不同的零点，即，从而可得答案.
【详解】解：，
因为函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，
所以函数有两不同的零点，
即，解得或，
所以a的取值范围是(－∞，－)∪ (，＋∞).
故选：B.
4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征.如函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用排除法求解，先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性即可
【详解】解：函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，所以排除BC，
当时，，则，
当时，，当时，，
所以在递增，在上递减，
所以排除D，
故选：A
5．已知函数的定义城为，对任意的，有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，求导分析单调性即可比较大小．
【详解】令，有，
可得函数在上单调递增，有，
得，又有，
有，有．
故选：A
6．已知是定义在R上的函数，是的导函数，满足：，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数求得的单调性，由此求得不等式的解集.
【详解】令，则，
所以在R上单调递增，不等式可化为，
而，则，即，
所以，即不等式解集为.
故选：D
二、多选题
7．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A．
B．函数在上递增，在上递减
C．函数的极值点为，
D．函数的极大值为
【答案】ABD
【解析】对A，B由导数与函数单调性的关系，即可判断，， 的大小以及的单调性，对C，D由极值的定义即可判断.
【详解】解：由题图知可，当时，，
当时，，当时，，
所以在上递增，
在上递减，在上递增，
对A，，故A错误；
对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误；
对C，函数的极值点为，，故C正确；
对D，函数的极大值为，故D错误.
故选：ABD.
8．已知奇函数，，且，当时，，当时，，下列说法正确的是（ ）
A．是周期为的函数
B．是最小正周期为的函数
C．关于中心对称
D．直线与若有3个交点，则
【答案】AC
【分析】根据奇函数，，且，可确定函数的周期，即可判断A；设确定函数的奇偶性与对称性即可判断函数B，C；根据可判断函数在上的单调性，结合对称性与周期性即可得函数的大致图象，根据直线与若有3个交点，列不等式即可求的取值范围，即可判断D.
【详解】解：因为，所以的图象关于对称，又因为为奇函数，所以，则，
则，故是周期为的函数，故A正确；
设，其定义域为，则，所以关于中心对称，即关于中心对称，故C正确；
又，所以为上的奇函数，结合可得，即
故是周期为的函数，故B错误；
当，所以，故在上单调递增，由于关于中心对称，所以在上单调递增，
且当时，，又函数的周期为，则可得大致图象如下：
若直线与若有3个交点，则或，解得或，故，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
9．若函数在上的最小值为，则实数的值为________．
【答案】.
【详解】试题分析：，（1）当时，函数在上为增函数，最小值为，则，矛盾舍去；（2）当时，，则，此时为增函数；，则，此时函数为减函数．当，即时，则函数在为增函数，所以的最小值为，则，矛盾舍去；当，即时，则函数在为减函数，在为增函数，则的最小值为，解得：，满足条件；当，即时，则函数在为减函数，则的最小值为，解得：，矛盾舍去．综上，．
考点：1．导数在函数中的应用；2．分类讨论的思想与方法．
【易错点晴】本题主要考查的是导数在函数中的应用，属于中档题．若求函数的最小值，必然找函数的增减性，属于需要求函数的导数．因为导数中含有参数，则对进行分类讨论．另外在求解过程中，需要注意求出的值是否满足前提，否则很容易出现错误．
10．，若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______
【答案】
【分析】分析可知，，使得，求出函数在上的值域，可得出实数的取值范围.
【详解】因为，则，
有已知条件可得：，使得，即，
当，所以.
故答案为：.
11．已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表：
的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：
①在区间上单调递增；
②有2个极大值点；
③的值域为；
④如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4．
其中，所有正确结论的序号是______．
【答案】③④
【分析】画出函数图象，数形结合作出判断.
【详解】根据函数的导函数的图象与表格，整理出函数的大致图象，如图所示．
对于①，在区间上单调递减，故①错误；
对于②，有1个极大值点，2个极小值点，故②错误；
对于③，根据函数的极值和端点值可知，的值域为，故③正确；
对于④，如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4，故④正确．
综上所述，所有正确结论的序号是③④．
故答案为：③④
12．已知曲线：，点是曲线上的一点，则点到坐标原点的距离的最小值是______．
【答案】3
【分析】设点，得出，从而得出点到坐标原点的距离，结合导数求出最小值即可.
【详解】设点，则有，
所以，
点到坐标原点的距离，
设，，
则，
在上，，在上，，
所以在时有最小值，
所以的最小值为.
故答案为：3
四、解答题
13．已知函数．
(1)若单调递减，求的取值范围；
(2)若有两个极值点且，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题知在恒成立，进而，求解最大值即可得答案；
（2）由题知且，进而将所证明问题转化为证明，再根据，，得，再令，则，进一步转化为证明不等式，再构造函数，，求最值即可证明.
【详解】（1）解：由题知函数的定义域为，，
因为单调递减，
所以在恒成立，即在恒成立，
所以，在恒成立，
令，则，
所以，当时，单调递增；当时，单调递减；
所以，当时，取得极大值，也是最大值.
所以，解得，即的取值范围为.
（2）解：由（1）知，
因为有两个极值点，
所以，有两个变号零点，
所以，结合（1）知，，
另一方面，当时，与的图象至多只有一个交点，
所以，且，
要证，只需证，
由得，则，
所以，
，
令，则，
所以，要证，只需证
令，，则，
令，，则
所以，在上单调递增，
所以，在成立，即在上单调递减，
所以，即
所以，成立，
所以，成立，原不等式成立.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合已知条件，将问题转化为证明，进而利用导数证明不等式即可.
14．已知，设函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．
【分析】（1）求出函数导数，讨论的范围确定导数正负可得出单调性；
（2）根据可将不等式等价为，构造函数，求出导数，当时，易得；当时，得出函数单调性，可转化为恒成立，构造函数，利用导数可出.
【详解】解：（1），且，
①，，单调递增：
②，，单调递减：
③，，
时，，单调递减；
时，，单调递增．
（2），
即，，即，
令，则，
在单调递增，，即，即，
，则原不等式等价为，
即，
令，
则，
令，可得，
当时，，则在单调递减，
则只需满足，，解得，；
当时，可得在单调递增，在单调递减，
则，整理可得，
令，则，
则可得在单调递增，在单调递减，
则，故时，恒成立，
综上，.
【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是构造合适的函数，将不等式等价转化为利用导数求函数的最值问题.
15．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设是两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增.
(2)证明见解析
【分析】（1）先求函数的定义域，对函数求导，令导数为0，解出，然后在定义域范围内分析即可.
（2）利用分析法证明，变形要证明的式子，结合构造新函数利用函数的导数进行证明.
【详解】（1）的定义域为，
，
令，得：，
当变化时的关系如下表：
在上单调递减；在上单调递增.
（2）证明：要证，
只需证：
根据，只需证：
不妨设，由得：；
两边取指数，，化简得：
令：，则，
根据（1）得在上单调递减；
在上单调递增（如下图所示），
由于在上单调递减，在上单调递增，
要使且，
则必有，即
由得：.
要证，只需证：，
由于在上单调递增，要证：，
只需证：，
又，只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
即证，
令，
只需证：，
，
令，
在上单调递减，
所以，
所以
所以在上单调递减，所以
所以
所以：.
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，
难度相当大，主要考向有以下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，
在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，
对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
16．求函数的极小值．
【答案】
【分析】利用导数判断原函数的单调性，并结合极值的定义运算求值.
【详解】∵，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，函数取到极小值.
提升题型训练
一、单选题
1．若函数的导函数图象如图所示，则该函数图象大致是（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接根据导函数的图像判断原函数的单调性即可.
【详解】由导函数图像可知，原函数的单调性为先单增后单减再单增，符合的只有A选项.
故选：A
2．函数的极小值为（ ）
A．0B．C．D．不存在
【答案】A
【分析】求出函数导数，根据导数判断出函数的单调性，即可求出极小值.
【详解】，，
令，解得或；令，解得，
在单调递增，在单调递减，
在处取得极小值为0.
故选：A.
3．若，，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据结构，构造函数，利用导数判断出单调性，直接利用充要条件的定义进行判断.
【详解】构造函数，则，
令，则，
故为减函数，且
故
故在上单调递减.
故由可得，即，
反之故由可得，根据减函数可得.
故“”是“”成立的充要条件.
故选：C
4．在半径为R的球内放置一圆柱体，使圆柱体的两底面圆周上所有的点都在球面上，当圆柱体的体积最大时，其高为（ ）
A．RB．RC．RD．R
【答案】A
【分析】由题意画出图形，利用勾股定理可得，得出圆柱的体积公式，换元后求导，利用导数求出体积的最大值时对应的高即可.
【详解】设圆柱底面圆半径为，高为，如图，
则，
故，
则，
圆柱体积为，
设，则
所以，
故
当时，，当 时，，当 时， ，
所以当时，圆柱体积取得最大值，此时
故选：A
5．如图所示是的图象，则正确的判断个数是（ ）
①在上是减函数；②是极大值点；
③是极值点；④）在上先减后增．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据导函数图象的正负性得到原函数的增减性，再依次判断即可
【详解】解：对于①，由图可得当时，，所以在递增，故错误；
对于②，由图可得当时，，单调递增；时，，单调递减，所以是函数的极大值点，故正确；
对于③，当时，，单调递增；当时，，单调递增，所以不是函数的极值点，故错误；
对于④，在区间内导数先为负数后为正数，所以函数先递减后递增，故正确，
故选：C
6．函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，进而可得出函数的图象.
【详解】解：因为，所以，
令，则，
令，解得，且时，，时，，
所以时，单调递减，时，单调递增，且，，，
所以在上存在，使得，又，令，则有2个实数根，
所以当或时，，当时，，
所以函数在和上是增函数，在上是减函数，且，，结合选项得出A选项符合函数的大致图象.
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性与极值是解决本题的关键．难度中等．
二、多选题
7．已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】构造函数，需借助导函数判断函数的单调性，利用函数单调性进行求解．
【详解】令，则．
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
当时，取最大值，．
的值域为，
，即，当且仅当时，等号成立．
则有，故A选项错；，故B选项对；，故C选项错；
令，，
当时，，单调递减；
由，则有，即 ，
由，可得，故D选项对．
故选：AC．
8．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．函数为偶函数B．函数的最小值为
C．函数的最大值为D．函数在上有两个极值点
【答案】AC
【分析】根据奇偶性直接判断A；结合求解最值判断BC；利用导数，结合三角函数性质求解极值点个数判断D.
【详解】解：对于A选项，函数定义域为，，所以函数为偶函数，故正确；
对于B选项，，
所以，当时，函数有最小值，故错误；
对于C选项，由于，故当时，函数有最大值，故正确；
对于D选项，当，，令得或，
令在上的两个实数根为，则，
所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增；
当当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，在处取得极大值，在和处取得极小值，
所以，函数在上有三个极值点，故错误.
故选：AC
三、填空题
9．函数在处有极值，则常数a＝______．
【答案】1
【分析】根据极值定义可得，求导并将代入计算即可求得
【详解】由可得，
又在处有极值，所以可得，
即，所以.经检验满足题意，
故答案为：1
10．曲线在点处的切线方程为___________．
【答案】.
【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】详解：
所以，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
11．已知是定义在上的偶函数，其导函数，若，，，则不等式的解集为________.
【答案】
【分析】由是偶函数且，可得是以3为周期的函数，则，将化为，构造函数，根据已知条件可判断出此函数在上单调递增，从而可求得结果.
【详解】由是偶函数且，
得，
即函数是以3为周期的函数，
则，
将化为，
令，则，
由得恒成立，
即在上单调递增，
所以由，得，
即不等式的解集为，
故答案为：.
12．设为正实数，若则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据，可得，进而，有，而，令，得到，再用导数法求解，
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
令，，
所以，
当时，，当时，
所以当时，取得最大值，
又，
所以取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用和导数法求最值，还考查了运算求解的能力，属于难题，
四、解答题
13．求函数的单调递减区间．
【答案】.
【分析】由题可知，函数的定义域为，根据导数的运算法则进行求导得出，令，求出范围，最后利用导数研究函数的单调性即可得出结果.
【详解】解：，可知函数的定义域为，
，
令，即，解得：，
所以函数的单调递减区间为.
14．求下列函数的单调区间：
（1）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
（2）f(x)＝sin x－x(0【答案】（1）增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2) ；（2）单调递减区间为(0，π) ．
【分析】求出导函数，由得增区间，由得减区间．
【详解】解:（1）＝6x2＋6x－36．
由>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由<0解得 －3故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
减区间是(－3，2)．
（2）＝cs x－1．
因为0故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)，无增区间．
15．已知函数（，常数）．
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为，令，求出函数的导函数，根据函数的单调性求出的最小值，进而求出的取值范围即可．
【详解】（1）时，，，
令，解得或，
故的递增区间是；
（2）若函数在上单调递增，
故在恒成立，
故，
令，则，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
故的取值范围是.
16．已知，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)已知当时，函数有两个零点，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；
（2）分两种情况讨论，当，利用一次函数的性质求解，当时，，设，只需即可；
（3）由，原不等式转化为证明，由得，所以的两个零点，可得，则，令，，利用导数研究函数的单调性，可证得，因为时，在上单调递减，即可证得．
【详解】（1），∴，
当时，在上单调递增，
当时，考虑时，令，，
当即时，在单调递减，在单调递增；
当即时，在单调递减，在单调递增．
（2）方法一：（参变分离）
，
当时，，
∴．
当时，，
设，∴，
∴在单调递减，
∴，则，∴，
综上所述：．
方法二：（最值法）
若，只需，，
由（1）可得：
①当时，在上单调递增，
∴即可，得，解得：，
∴．
②当时，在单调递减，在单调递增，
∴，得，解得：，
∴，
③时，在单调递减，在单调递增，
∴，即，即，
令，设，
则，
∴在单调递减，则，
所以不等式无解．
（此处也可不构造函数，，显然时，此式小于零，即可得出结论）
综上所述：．
（3）注意到，所以所证明不等式转化为证明，
∵，∴，
所以的两个零点．
方法一：
由可得：，
∴，∴，∴，
令，，则，
令，则当时，，
∴在单调递减，∴，即，
∴在单调递减，，即，
当时，在单调递减，
当时，在单调递减，而，则在单调递减，
∴时，在上单调递减，
∴．
方法二：
由可得：，
下面考虑证明，∴，
下证：，
因为，所以只需证，
由，
所以只需证，
令，，∴，
令，，
∴在单调递减，∴，即，
∴在单调递减，∴，
∴，所以得证．
当时，在单调递减，
当时，在单调递减，而，则在单调递减，
∴时，在上单调递减，
∴．
x
0
2
4
5
3
1
2.5
1
3
0
1
无意义
0
无意义