高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.5点、线间的对称关系【六大题型】(原卷版+解析)

这是一份高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.5点、线间的对称关系【六大题型】(原卷版+解析)，共21页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc12234" 【题型1 点关于点的对称问题】 PAGEREF _Tc12234 \h 1
\l "_Tc26468" 【题型2 直线关于点的对称问题】 PAGEREF _Tc26468 \h 3
\l "_Tc29193" 【题型3 点关于直线的对称问题】 PAGEREF _Tc29193 \h 5
\l "_Tc12850" 【题型4 直线关于直线的对称问题】 PAGEREF _Tc12850 \h 7
\l "_Tc13341" 【题型5 光线反射问题】 PAGEREF _Tc13341 \h 8
\l "_Tc32538" 【题型6 将军饮马问题】 PAGEREF _Tc32538 \h 12
【知识点1 点关于点的对称】
1．点关于点的对称
【题型1 点关于点的对称问题】
【例1】（2023·四川·高二专题练习）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（ ）
A．(0,4)B．(0,2)C．(−2,4)D．(4,−2)
【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为 (5,6) ．
【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为 ．
【变式1-3】（2023·江西·高二阶段练习（理））已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(−2,−3)，则点P(x,y)到原点的距离是 .
【知识点2 直线关于点的对称】
1．直线关于点的对称
【题型2 直线关于点的对称问题】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）直线l:x+2y−1=0关于点(1,−1)对称的直线l′的方程为（ ）
A．2x−y−5=0B．x+2y−3=0C．x+2y+3=0D．2x−y−1=0
【变式2-1】（2022·高二课时练习）点P(1,2)在直线l上，直线l1与l关于点(0,1)对称，则一定在直线l1上的点为（ ）
A．(12,32)B．(−1,32)C．(−1,0)D．(12,0)
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）直线2x+3y−6=0关于点−1,2对称的直线方程是（ ）
A．3x−2y−10=0B．3x−2y−23=0
C．2x+3y−4=0D．2x+3y−2=0
【变式2-3】（2022·全国·高二专题练习）直线ax+3y−9=0与直线x−3y+b=0关于原点对称，则a,b的值是
A．a=−1，b=−9B．a=−1，b=9
C．a=1，b=−9D．a=1，b=9
【知识点3 直线关于点的对称】
1．两点关于某直线对称
(4)几种特殊位置的对称：
【题型3 点关于直线的对称问题】
【例3】（2023·全国·高一专题练习）点P2,0关于直线l:x−y+3=0的对称点Q的坐标为（ ）．
A．−3,5B．−1,−4C．4,1D．2,3
【变式3-1】（2023秋·吉林白城·高二校考期末）点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（ ）
A．(−1,−3)B．(−1,−4)C．(4,1)D．(2,3)
【变式3-2】（2022秋·高二校考课时练习）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（ ）.
A．a=-1，b=2B．a=4，b=-2
C．a=2，b=4D．a=4，b=2
【变式3-3】（2022·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣2B．3C．5D．7
【知识点4 直线关于直线的对称】

【题型4 直线关于直线的对称问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）直线2x+3y+4=0关于y轴对称的直线方程为（ ）
A．2x+3y−4=0B．2x−3y+4=0
C．2x−3y−4=0D．3x+2y−4=0
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）如果直线y=ax+2与直线y=3x−b关于直线y=x对称，那么（ ）
A．a=13,b=6B．a=13,b=−6C．a=3,b=−2D．a=3,b=6
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）已知直线l1：ax−y+3=0与直线l2关于直线l：x+y−1=0对称，直线l2与直线l3：x+3y−1=0垂直，则a的值为（ ）
A．−13B．13C．3D．−3
【题型5 光线反射问题】
【例5】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点A2,4射出，倾斜角为60∘，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（ ）
A．3x−y+4−23=0B．x−3y−2−43=0
C．3x+y+4−23=0D．x+3y−2−43=0
【变式5-1】（2022秋·山东济南·高二统考期中）一条沿直线传播的光线经过点P−4,8和Q−3,6，然后被直线y=x−3反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．x+2y−3=0B．2x+y−15=0
C．x−2y−5=0D．x+2y+3=0
【变式5-2】（2022秋·河北邢台·高二统考阶段练习）如图，已知A4,0，B0,6，从点P2,0射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程长为（ ）
A．126513B．813013C．448113D．163013
【变式5-3】（2023春·山东东营·高二校考开学考试）已知：A0,4，B0,−4，C4,0，E0,2，F0,−2，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（ ）
A．−∞,−14B．−14,0C．−∞,−18D．−18,0
【题型6 将军饮马问题】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(−2,0)，若将军从山脚下的点A(1,0)处出发，河岸线所在直线的方程为x+y=3，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．27B．5C．15D．29
【变式6-1】（2022秋·河北石家庄·高二统考期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求x2+1+x2−2x+5最小（ ）
A．5B．10C．1+5D．2+2
【变式6-2】（2022秋·四川成都·高三校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(−2,0)，若将军从山脚下的点A(3,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．1453B．37C．1353D．163
【变式6-3】（2022秋·安徽滁州·高二校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B3,4，若将军从点A−2,0处出发，河岸线所在直线方程为y=x，则“将军饮马”的最短总路程为 （ ）
A．5B．35C．4D．53
专题2.5 点、线间的对称关系【六大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc12234" 【题型1 点关于点的对称问题】 PAGEREF _Tc12234 \h 1
\l "_Tc26468" 【题型2 直线关于点的对称问题】 PAGEREF _Tc26468 \h 3
\l "_Tc29193" 【题型3 点关于直线的对称问题】 PAGEREF _Tc29193 \h 5
\l "_Tc12850" 【题型4 直线关于直线的对称问题】 PAGEREF _Tc12850 \h 7
\l "_Tc13341" 【题型5 光线反射问题】 PAGEREF _Tc13341 \h 8
\l "_Tc32538" 【题型6 将军饮马问题】 PAGEREF _Tc32538 \h 12
【知识点1 点关于点的对称】
1．点关于点的对称
【题型1 点关于点的对称问题】
【例1】（2023·四川·高二专题练习）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（ ）
A．(0,4)B．(0,2)C．(−2,4)D．(4,−2)
【解题思路】根据中点坐标公式即可求解.
【解答过程】解：设Ba,b，由题知，点A和点B的中点为2,1，则
4+a2=20+b2=1解得：a=0，b=2
所以B点的坐标为0,2
故选：B.
【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为 (5,6) ．
【解题思路】由中点坐标公式求解即可
【解答过程】设点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点为B(x,y)，
则点P为AB的中点．
∴ 3=1+x24=2+y2
解得x=5y=6．
∴点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为(5,6)．
故答案为：(5,6)．
【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为 3,−6 ．
【解题思路】设出A点关于B点的对称点C的坐标，然后直接代入中点坐标公式计算．
【解答过程】设C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B点是A，C的中点，
所以x+52=4y+82=1，解得x=3y=−6．
所以C的坐标为3,−6．
故答案为：3,−6.
【变式1-3】（2023·江西·高二阶段练习（理））已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(−2,−3)，则点P(x,y)到原点的距离是 17 .
【解题思路】根据对称性，结合中点坐标公式、两点间距离公式进行求解即可.
【解答过程】根据中点坐标公式，得x−22=1，且5−32=y．
解得x=4，y=1，所以点P的坐标为(4,1)，
则点P(x,y)到原点的距离d=(4−0)2+(1−0)2=17．
故答案为：17.
【知识点2 直线关于点的对称】
1．直线关于点的对称
【题型2 直线关于点的对称问题】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）直线l:x+2y−1=0关于点(1,−1)对称的直线l′的方程为（ ）
A．2x−y−5=0B．x+2y−3=0C．x+2y+3=0D．2x−y−1=0
【解题思路】根据直线关于直线外一点(1,−1)的对称直线互相平行可知其斜率，再取l上一点求其关于点(1,−1)的对称点，即可求出l′的方程.
【解答过程】由题意得l′//l，故设l′:x+2y+c=0 (c≠−1)，
在l上取点A(1,0)，则点A(1,0)关于点(1,−1)的对称点是A′(1,−2)，
所以1+2×(−2)+c=0，即c=3，
故直线l′的方程为x+2y+3=0.
故选：C.
【变式2-1】（2022·高二课时练习）点P(1,2)在直线l上，直线l1与l关于点(0,1)对称，则一定在直线l1上的点为（ ）
A．(12,32)B．(−1,32)C．(−1,0)D．(12,0)
【解题思路】根据两直线关于点对称，利用中点公式即可求直线l上P(1,2)的对称点，且该点在直线l1上.
【解答过程】由题设，P(1,2)关于(0,1)对称的点必在l1上，若该点为(x,y)，
∴{1+x2=02+y2=1，解得{x=−1y=0，即(−1,0)一定在直线l1上.
故选：C.
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）直线2x+3y−6=0关于点−1,2对称的直线方程是（ ）
A．3x−2y−10=0B．3x−2y−23=0
C．2x+3y−4=0D．2x+3y−2=0
【解题思路】设对称的直线方程上的一点的坐标为x，y,则其关于点−1,2对称的点的坐标为(−2−x,4−y)，代入已知直线即可求得结果.
【解答过程】设对称的直线方程上的一点的坐标为x，y，
则其关于点−1,2对称的点的坐标为(−2−x,4−y)，
因为点(−2−x,4−y)在直线2x+3y−6=0上，
所以2−2−x+34−y−6=0即2x+3y−2=0.
故选：D.
【变式2-3】（2022·全国·高二专题练习）直线ax+3y−9=0与直线x−3y+b=0关于原点对称，则a,b的值是
A．a=−1，b=−9B．a=−1，b=9
C．a=1，b=−9D．a=1，b=9
【解题思路】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），分别代入已知的直线方程，即可求得结论．
【解答过程】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），则am+3n−9=0−m+3n+b=0
∵点（m，n）是直线ax+3y﹣9＝0上任意一点
∴a＝﹣1，b＝﹣9
故选A．
【知识点3 直线关于点的对称】
1．两点关于某直线对称
(4)几种特殊位置的对称：
【题型3 点关于直线的对称问题】
【例3】（2023·全国·高一专题练习）点P2,0关于直线l:x−y+3=0的对称点Q的坐标为（ ）．
A．−3,5B．−1,−4C．4,1D．2,3
【解题思路】利用中点和斜率来求得Q点坐标.
【解答过程】设点P2,0关于直线l:x−y+3=0的对称点的坐标为a,b，
则b−0a−2×1=−1a+22−b2+3=0，解得a=−3b=5．
所以点Q的坐标为−3,5.
故选：A.
【变式3-1】（2023秋·吉林白城·高二校考期末）点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（ ）
A．(−1,−3)B．(−1,−4)C．(4,1)D．(2,3)
【解题思路】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.
【解答过程】设点P(2,0)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为(a,b)，
则{b−0a−2×(−1)=−1a+22+b2+1=0，解得{a=−1b=−3.
所以点Q的坐标为(−1,−3)
故选：A.
【变式3-2】（2022秋·高二校考课时练习）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（ ）.
A．a=-1，b=2B．a=4，b=-2
C．a=2，b=4D．a=4，b=2
【解题思路】利用点关于直线对称的性质即可求得结果.
【解答过程】点A，B关于直线4x+3y=11对称，则kAB=34，
即b+2−(−b)a+2−(b−a)=34， ①
且AB中点(b+22,1)在已知直线上，
代入得2(b+2)+3=11， ②
联立①②组成的方程组，解得a=4b=2，
故选：D.
【变式3-3】（2022·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣2B．3C．5D．7
【解题思路】先利用线段的中点公式求出线段AB的中点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2＝0，结合斜率关系列方程组，求得m,n，从而求得m+n的值．
【解答过程】∵A（1，﹣2）和B（m，n）关于直线x+2y﹣2＝0对称，
∴线段AB的中点C（1+m2，−2+n2）在直线x+2y﹣2＝0上，
∴1+m2−2+n﹣2＝0．
∴m+2n＝7，
而n+2m−1×（−12）＝﹣1，得2m﹣n＝4，
解方程组m+2n=72m−n=4，可得m＝3，n＝2，
∴m+n＝5.
故选：C.
【知识点4 直线关于直线的对称】

【题型4 直线关于直线的对称问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）直线2x+3y+4=0关于y轴对称的直线方程为（ ）
A．2x+3y−4=0B．2x−3y+4=0
C．2x−3y−4=0D．3x+2y−4=0
【解题思路】利用对称性质可得原直线上的点关于y轴的对称点，代入对称点，即可得到答案.
【解答过程】设点Px,y是所求直线上任意一点，则P关于y轴的对称点为P−x,y，且在直线2x+3y+4=0上，代入可得−2x+3y+4=0，即2x−3y−4=0.
故选：C.
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
【解题思路】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.
【解答过程】设对称直线方程为x+2y+c=0，
1+11+22=c−11+22，解得c=3或c=−1（舍去）.
所以所求直线方程为x+2y+3=0.
故选：B.
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）如果直线y=ax+2与直线y=3x−b关于直线y=x对称，那么（ ）
A．a=13,b=6B．a=13,b=−6C．a=3,b=−2D．a=3,b=6
【解题思路】由题意在y=ax+2上任取一点(0,2)，其关于直线y=x的对称点在y=3x−b上，代入可求出b，然后在y=3x−b上任取一点，其关于直线y=x的对称点在y=ax+2上，代入可求出a.
【解答过程】在y=ax+2上取一点(0,2)，
则由题意可得其关于直线y=x的对称点(2,0)在y=3x−b上，
所以0=6−b，得b=6，
在y=3x−6上取一点(0,−6)，
则其关于直线y=x的对称点(−6,0)在y=ax+2上，
所以0=−6a+2，得a=13，
综上a=13,b=6，
故选：A.
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）已知直线l1：ax−y+3=0与直线l2关于直线l：x+y−1=0对称，直线l2与直线l3：x+3y−1=0垂直，则a的值为（ ）
A．−13B．13C．3D．−3
【解题思路】利用直线l2与直线l3：x+3y−1=0垂直，求得l2的斜率，然后求得l1与l的交点坐标，在直线l1上取点0,3，求出该点关于l的对称点，利用斜率公式求得a的值.
【解答过程】解：直线l2与直线l3：x+3y−1=0垂直，则kl2×kl3=−1，即kl2=3，
∵直线l1：ax−y+3=0与直线l2关于直线l：x+y−1=0对称，
∵由ax−y+3=0x+y−1=0得x=−2a+1y=3+aa+1得交点坐标−4a+1,3−aa+1，
在直线l1上取点0,3，设该点关于l对称的点为Pm,n，则m2+n+32−1=0n−3m×−1=−1，得m=−2,n=1，故kl2=3+aa+1−1−2a+1+2=3，解得a=13，
故选：B.
【题型5 光线反射问题】
【例5】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点A2,4射出，倾斜角为60∘，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（ ）
A．3x−y+4−23=0B．x−3y−2−43=0
C．3x+y+4−23=0D．x+3y−2−43=0
【解题思路】根据对称关系可求得反射光线斜率和所经过点A′2,−4，利用点斜式可得直线方程.
【解答过程】点A2,4关于x轴的对称点为A′2,−4，
又反射光线倾斜角为180∘−60∘=120∘，∴斜率k=−3，
∴反射光线所在直线方程为：y+4=−3x−2，即3x+y+4−23=0.
故选：C.
【变式5-1】（2022秋·山东济南·高二统考期中）一条沿直线传播的光线经过点P−4,8和Q−3,6，然后被直线y=x−3反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．x+2y−3=0B．2x+y−15=0
C．x−2y−5=0D．x+2y+3=0
【解题思路】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线y=x−3的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解.
【解答过程】入射光线所在的直线方程为y−68−6=x−−3−4−−3，即2x+y=0，
联立方程组x−y−3=0,2x+y=0,解得x=1,y=−2,即入射点的坐标为1,−2．
设P关于直线y=x−3对称的点为P′a,b，
则a−42−b+82−3=0,b−8a−−4=−1,解得a=11,b=−7,即P′11,−7．
因为反射光线所在直线经过入射点和P′点，
所以反射光线所在直线的斜率为−7−−211−1=−12，
所以反射光线所在的直线方程为y+2=−12x−1，
即x+2y+3=0．
故选：D.
【变式5-2】（2022秋·河北邢台·高二统考阶段练习）如图，已知A4,0，B0,6，从点P2,0射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程长为（ ）
A．126513B．813013C．448113D．163013
【解题思路】求出P关于AB的对称点P1和它关于y轴的对称点P2，则P1P2就是所求的路程长.
【解答过程】解：直线AB的方程为x4+y6=1，即3x+2y−12=0，
设点P2,0关于直线AB的对称点为P1a,b，
则ba−2=233⋅a+22+2⋅b2−12=0，解得a=6213b=2413，即P16213,2413，
又点P2,0关于y轴的对称点为P2−2,0，
由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长P1P2=6213+22+24132=813013．
故选：B.
【变式5-3】（2023春·山东东营·高二校考开学考试）已知：A0,4，B0,−4，C4,0，E0,2，F0,−2，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（ ）
A．−∞,−14B．−14,0C．−∞,−18D．−18,0
【解题思路】根据光线的入射光线和反射光线之间的规律，可先求F点关于直线BC的对称点P，再求P关于直线AC的对称点M,由此可确定动点D在直线BC上的变动范围，进而求的其斜率的取值范围.
【解答过程】由题意可知：直线BC 的方程为y=x−4 ，直线AC的方程为y=−x+4，如图：
设F0,−2关于直线BC的对称点为P(a,b)，则b+2a=−1b−22=a2−4,
解得a=2b=−4，故P2,−4，
同理可求P2,−4关于直线AC的对称点为M(8,2),
连接MA,ME,ME交AC于N，
而MN方程为y=2,联立y=2y=−x+4得N点坐标为N(2,2)，
连接PA,PN，分别交BC于H,G,
PA方程为：y=−4x+4，和直线BC方程y=x−4联立，
解得H点坐标为H(85，−125),
PN的方程为x=2,和直线BC方程y=x−4联立解得G(2,−2)，
连接FG,FH,则H,G之间即为动点D点的变动范围，
而kFG=0,kFH=−125+285=−14 ,
故FD斜率的取值范围是(−14,0) ，
故选B.
【题型6 将军饮马问题】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(−2,0)，若将军从山脚下的点A(1,0)处出发，河岸线所在直线的方程为x+y=3，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．27B．5C．15D．29
【解题思路】设B(−2,0)关于x+y=3的对称点为(x,y)，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程.
【解答过程】由B(−2,0)关于x+y=3的对称点为(x,y)，
所以{x−22+y2=3yx+2=1，可得{x=3y=5，即对称点为(3,5)，又A(1,0)
所以“将军饮马”的最短总路程为(3−1)2+52=29.
故选：D.
【变式6-1】（2022秋·河北石家庄·高二统考期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求x2+1+x2−2x+5最小（ ）
A．5B．10C．1+5D．2+2
【解题思路】将已知变形设出P0,1，Q1,2，则x2+1+x2−2x+5为点Sx,0分别到点P0,1，Q1,2的距离之和，则PS+QS≥P′Q，即可根据两点间距离计算得出答案.
【解答过程】x2+1+x2−2x+5，
=x−02+0−12+x−12+0−22，
设P0,1，Q1,2，Sx,0，
则x2+1+x2−2x+5为点Sx,0分别到点P0,1，Q1,2的距离之和，
点P关于x轴的对称点的坐标为P′0,−1，
连接P′Q，
则PS+QS≥P′Q=1−02+2−−12=10，
当且仅当P′，S，Q三点共线时取等号，
故选：B.
【变式6-2】（2022秋·四川成都·高三校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(−2,0)，若将军从山脚下的点A(3,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．1453B．37C．1353D．163
【解题思路】先求点B(−2,0)关于直线x+y=4对称的点C(a,b)，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【解答过程】
如图，设B(−2,0)关于直线x+y=4对称的点为C(a,b)，
则有a−22+b2=4ba+2=1 ，可得a=4b=6，可得C(4,6)，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为AC，
此时AC=(4−3)2+(6−0)2=37，
故选：B.
【变式6-3】（2022秋·安徽滁州·高二校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B3,4，若将军从点A−2,0处出发，河岸线所在直线方程为y=x，则“将军饮马”的最短总路程为 （ ）
A．5B．35C．4D．53
【解题思路】求出点A关于直线y=x的对称点A′的坐标，数形结合可得出“将军饮马”的最短总路程为A′B，利用平面内两点间的距离公式可求得结果.
【解答过程】点A−2,0关于直线y=x的对称点为A′0,−2，如下图所示：
在直线y=x上任取一点M，由对称性可知AM=A′M，
所以，AM+BM=A′M+BM≥A′B=3−02+4+22=35，
当且仅当点M为线段A′M与直线y=x的交点时，等号成立，
故“将军饮马”的最短总路程为35.
故选：B.点
对称轴
对称点坐标
P(a,b)
x轴
(a,-b)
y轴
(-a,b)
y=x
(b,a)
y=-x
(-b,-a)
x=m(m≠0)
(2m-a,b)
y=n(n≠0)
(a,2n-b)
点
对称轴
对称点坐标
P(a,b)
x轴
(a,-b)
y轴
(-a,b)
y=x
(b,a)
y=-x
(-b,-a)
x=m(m≠0)
(2m-a,b)
y=n(n≠0)
(a,2n-b)