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河北省邯郸市魏县2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（原卷版）
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这是一份河北省邯郸市魏县2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（原卷版），共5页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，复数满足，则（ ）
A.
B. 复数在复平面内所对应的点的坐标是
C.
D. 复数在复平面内所对应的点为，则
3 已知向量满足，则（ ）
A. 5B. C. D. 20
4. 若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5. 用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（ ）
A. B. 2C. D.
8. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（ ）
①，②，③，④．
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若一组数据的方差为0.2，则的方差为1
B. 68，60，62，78，70，84，74，46，73，82这组数据的第80百分位数是80
C. 样本相关系数可以用来判断成对样本数据正相关还是负相关
D 若变量，则
10 已知函数在处的切线方程为，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 在区间上的最大值和最小值之和为
C. 为的极小值点
D. 方程有两个不同的根（e为自然对数的底）
11. 双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布，伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上任意一点，当双纽线过点时，下列说法中正确的有（ ）
A. B.
C. 的最大值为D. 当时，与曲线只有一个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，且，则该双曲线的离心率为_______．
13. 已知，则的最小值为______．
14. 若直线与曲线和都相切，则直线的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）如图，射线绕点旋转后交线段于点，且，求的面积的最小值．
16. 已知是上的动点，点，线段的中垂线交直线于点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知直线的方程为，过点的直线（不与轴重合）与曲线相交于两点，过点作，垂足为．证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
17. 如图，在平行四边形中，，四边形为矩形，平面平面，点在线段上运动．
（1）当时，试确定点的位置并证明；
（2）在（1）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值．
18. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）证明：当时，成立
19. 在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点处，他每步走动都会有的概率向左移动1个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率．
（1）若这个人开始时位于点处，且．
（ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；
（ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率；
（ⅲ）已知，若，求；
（2）已知是关于的连续函数．
（ⅰ）分别写出当和时，的值（直接写出即可，不必说明理由）；
（ⅱ）求关于的表达式．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，复数满足，则（ ）
A.
B. 复数在复平面内所对应的点的坐标是
C.
D. 复数在复平面内所对应的点为，则
3 已知向量满足，则（ ）
A. 5B. C. D. 20
4. 若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5. 用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（ ）
A. B. 2C. D.
8. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（ ）
①，②，③，④．
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若一组数据的方差为0.2，则的方差为1
B. 68，60，62，78，70，84，74，46，73，82这组数据的第80百分位数是80
C. 样本相关系数可以用来判断成对样本数据正相关还是负相关
D 若变量，则
10 已知函数在处的切线方程为，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 在区间上的最大值和最小值之和为
C. 为的极小值点
D. 方程有两个不同的根（e为自然对数的底）
11. 双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布，伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上任意一点，当双纽线过点时，下列说法中正确的有（ ）
A. B.
C. 的最大值为D. 当时，与曲线只有一个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，且，则该双曲线的离心率为_______．
13. 已知，则的最小值为______．
14. 若直线与曲线和都相切，则直线的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）如图，射线绕点旋转后交线段于点，且，求的面积的最小值．
16. 已知是上的动点，点，线段的中垂线交直线于点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知直线的方程为，过点的直线（不与轴重合）与曲线相交于两点，过点作，垂足为．证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
17. 如图，在平行四边形中，，四边形为矩形，平面平面，点在线段上运动．
（1）当时，试确定点的位置并证明；
（2）在（1）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值．
18. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）证明：当时，成立
19. 在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点处，他每步走动都会有的概率向左移动1个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率．
（1）若这个人开始时位于点处，且．
（ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；
（ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率；
（ⅲ）已知，若，求；
（2）已知是关于的连续函数．
（ⅰ）分别写出当和时，的值（直接写出即可，不必说明理由）；
（ⅱ）求关于的表达式．
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