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湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题
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这是一份湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题，共7页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知单位向量满足，则的最小值为，关于向量，下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题学校：安陆一中命题教师：陈汉荣李治国余华萍审题学校：安陆一中
考试时间：2024年9月5日下午14：30-16：30
试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多（）
A.20 B.30 C.40 D.50
2.已知复数满足：，则复数的虚部为（）
A. B.-2 C.2 D.
3.已知，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
4.已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（）
A. B. C. D.
5.掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现小于4的点”，“第二枚出现大于3的点”，则与B的关系为（）
A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等
6.在三棱锥中，三个侧面与底面所成的角均相等，顶点在内的射影为，则是的（）
A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心
7.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（）
A. B.34 C.52 D.
8.已知单位向量满足，则的最小值为（）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.关于向量，下列命题中正确的是（）
A.若，则. B.若，则.
C.若，则. D.若，则.
10.如图，正方体的棱长为1，点在线段上运动，则下列选项中正确的是（）
A.的最小值为.
B.平面平面.
C.若是的中点，则二面角的余弦值为.
D.若，则直线与所成角的余弦值为.
11.在一种数字通讯中，信号是由数字0和1的序列组成的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（列如，若依次收到，则译码为1）（）
A.采用单次传输方案，若依次发送，则依次收到的概率为.
B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到的概率为.
C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为.
D.当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于第__________象限.
13.三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球体积等于__________.
14.在中，，则中最小角的余弦值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）如图，在直三棱柱中，分别是和的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
16.（本题满分15分）已知.
（1）若，求实数k的值；
（2）求与的夹角的余弦值.
17.（本题满分15分）在中，内角的对边分别为，已知.
（1）若，求角的大小；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
18.（本题满分17分）如图，在四棱锥中，平面为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本题满分17分）A校和B校是孝感市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取2000名A校学生和2000名B校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对A校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的满足函数关系（n为组数序号，）；关于B校学生成绩的频率分布直方图如下图所示（纵轴为），假定每组组内数据都是均匀分布的.
（1）求的值；
（2）若B校准备给前100名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？
（3）现在设置一个标准来判定某一学生是属于A校还是B校，将成绩小于的学生判为B校，大于的学生判为A校，将A校学生误判为B校学生的概率称为误判率A，将B校学生误判为A校学生的概率称为误判率B，误判率A与误判率B之和称作总误判率，记为.若，求总误判率的最小值，以及此时的值.
2024年高二9月起点考试
高二数学试卷参考答案
12.四13.14.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（1）证明取中点，连接.
因为是的中点，所以，且.
由直棱柱知，，而是的中点，所以且相等，
所以四边形是平行四边形.所以.
又为中点，，又三棱柱
为直三棱柱，，又平面，
故平面
（2）解，由（1）知，平面.
所以.
16.解：（1）由题意知，，又，所以，
由，得，即
又，所以，解得.
（2）
设与的夹角为，则
所以与的夹角的余弦值为.
17.解：（1），
又
，
或（舍），
.
（2）由题意及（1）得，在中，，
由正弦定理得，，
为锐角三角形，
解得：，
的取值范围为.
18.解：（1）取的中点，连接，
则，且，
又因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）证明：因为平面平面，
所以，又因为，
所以，因为平面，
所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（3）解：取的中点，连接，则，由（2）知平面，则平面，
所以为直线与平面所成的角.因为，
所以.所以.
直线与平面所成角的正弦值为
19.解：（1）由频率之和为1，故之和为，
解得：；
（2）根据B校学生成绩的频率分布直方图，设所求的分数为，
则，解得，所以应该奖励72分以上的学生；
（3），则时，
，
时，
由的单调性知，当最小，此时，所以总误判率最小为，此时.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
B
A
C
C
D
B
BD
ABC
AD
命题学校：安陆一中命题教师：陈汉荣李治国余华萍审题学校：安陆一中
考试时间：2024年9月5日下午14：30-16：30
试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多（）
A.20 B.30 C.40 D.50
2.已知复数满足：，则复数的虚部为（）
A. B.-2 C.2 D.
3.已知，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
4.已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（）
A. B. C. D.
5.掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现小于4的点”，“第二枚出现大于3的点”，则与B的关系为（）
A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等
6.在三棱锥中，三个侧面与底面所成的角均相等，顶点在内的射影为，则是的（）
A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心
7.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（）
A. B.34 C.52 D.
8.已知单位向量满足，则的最小值为（）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.关于向量，下列命题中正确的是（）
A.若，则. B.若，则.
C.若，则. D.若，则.
10.如图，正方体的棱长为1，点在线段上运动，则下列选项中正确的是（）
A.的最小值为.
B.平面平面.
C.若是的中点，则二面角的余弦值为.
D.若，则直线与所成角的余弦值为.
11.在一种数字通讯中，信号是由数字0和1的序列组成的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（列如，若依次收到，则译码为1）（）
A.采用单次传输方案，若依次发送，则依次收到的概率为.
B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到的概率为.
C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为.
D.当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于第__________象限.
13.三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球体积等于__________.
14.在中，，则中最小角的余弦值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）如图，在直三棱柱中，分别是和的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
16.（本题满分15分）已知.
（1）若，求实数k的值；
（2）求与的夹角的余弦值.
17.（本题满分15分）在中，内角的对边分别为，已知.
（1）若，求角的大小；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
18.（本题满分17分）如图，在四棱锥中，平面为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本题满分17分）A校和B校是孝感市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取2000名A校学生和2000名B校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对A校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的满足函数关系（n为组数序号，）；关于B校学生成绩的频率分布直方图如下图所示（纵轴为），假定每组组内数据都是均匀分布的.
（1）求的值；
（2）若B校准备给前100名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？
（3）现在设置一个标准来判定某一学生是属于A校还是B校，将成绩小于的学生判为B校，大于的学生判为A校，将A校学生误判为B校学生的概率称为误判率A，将B校学生误判为A校学生的概率称为误判率B，误判率A与误判率B之和称作总误判率，记为.若，求总误判率的最小值，以及此时的值.
2024年高二9月起点考试
高二数学试卷参考答案
12.四13.14.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（1）证明取中点，连接.
因为是的中点，所以，且.
由直棱柱知，，而是的中点，所以且相等，
所以四边形是平行四边形.所以.
又为中点，，又三棱柱
为直三棱柱，，又平面，
故平面
（2）解，由（1）知，平面.
所以.
16.解：（1）由题意知，，又，所以，
由，得，即
又，所以，解得.
（2）
设与的夹角为，则
所以与的夹角的余弦值为.
17.解：（1），
又
，
或（舍），
.
（2）由题意及（1）得，在中，，
由正弦定理得，，
为锐角三角形，
解得：，
的取值范围为.
18.解：（1）取的中点，连接，
则，且，
又因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）证明：因为平面平面，
所以，又因为，
所以，因为平面，
所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（3）解：取的中点，连接，则，由（2）知平面，则平面，
所以为直线与平面所成的角.因为，
所以.所以.
直线与平面所成角的正弦值为
19.解：（1）由频率之和为1，故之和为，
解得：；
（2）根据B校学生成绩的频率分布直方图，设所求的分数为，
则，解得，所以应该奖励72分以上的学生；
（3），则时，
，
时，
由的单调性知，当最小，此时，所以总误判率最小为，此时.题号
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答案
A
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B
A
C
C
D
B
BD
ABC
AD
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