河南省2025届高三新未来九月大联考2024-2025学年高三上学期开学数学试题（原卷版）

这是一份河南省2025届高三新未来九月大联考2024-2025学年高三上学期开学数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了 已知角的终边经过点，则， 已知复数，则， 已知函数的最大值为1，则等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知单位向量的夹角为，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
2. 双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
3. 以点为圆心的圆截直线所得的弦长为，则圆的半径为（ ）
A. 1B. C. 2D.
4. 随着暑假的来临，中国各地旅游市场也迎来旺季.小明和小王都计划在南京､北京､西安､厦门､杭州这5个城市中选2个城市去旅游，则小明和小王不会去相同城市的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台构成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则函数图象的对称中心的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，则的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则（ ）
A.
B.
C. 复数是方程一个根
D. 复数在复平面内所对应的点位于第二象限
10. 已知函数的最大值为1，则（ ）
A.
B. 当时，
C.
D. 当时，
11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点且不与轴垂直的直线与抛物线相交于两点，过原点作直线的平行线与抛物线交于另一点，则（ ）
A.
B. 线段的中点和线段的中点的连线与轴平行
C. 以点为顶点的四边形可能为等腰梯形
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，若，则实数的取值范围为__________.
13. 已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数取值范围为__________.
14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），若平面，则点的轨迹的长度为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15. 已知函数在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求函数单调区间和极值.
16. 某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为.
（1）求与的样本相关系数；
（2）从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数.
附：①回归方程中：
②样本相关系数
③若，则
④
17. 如图，在正三棱柱中，.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
18. 已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点在椭圆上（点不在坐标轴上），证明：直线与椭圆相切；
（3）设点在直线上（点在椭圆外），过点作椭圆两条切线，切点分别为为坐标原点，若和的面积之和为1，求直线的方程.
19. 欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式唯一的.对于任意正整数，记为的所有正因数的个数，为的所有正因数的和.
（1）若数列，求数列的前项和；
（2）对互不相等的质数，证明：，并求的值.