山东省泰安第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份山东省泰安第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意写出集合的元素，再根据集合交运算即可求解.
【详解】即，
解得，
由题意得，
则.
故选：.
2. 某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将比赛得分从小到大重新排列，结合百分位数定义求其分位数.
【详解】将比赛得分从小到大重新排列：，
因为，
所以这组数据的分位数是第个数93.
故选：A.
3. 安排4名大学生到两家公司实习，每名大学生只去一家公司，每家公司至少安排1名大学生，则大学生甲､乙到同一家公司实习的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】4名大学生分两组，每组至少一人，有两种情形，分别为3，1人或2，2人；共有种实习方案，其中甲，乙到同一家实习的情况有种，则可得到甲､乙到同一家实习的概率.
【详解】4名大学生分两组，每组至少一人，有两种情形，分别为3，1人或2，2人,
即共有种实习方案，
其中甲，乙到同一家实习的情况有种，
故大学生甲､乙到同一家实习的概率为.
故选：D.
4. 已知椭圆的左､右顶点分别为，上顶点为，离心率为.若，则（ ）
A. 5B. 7C. 21D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】根据离心率及，得到a,b的两个关系式，解方程即可求解.
【详解】因为离心率，解得
因为分别为的左､右顶点，B为上顶点，
则.
所以，
因为.，
所以，
将代入
解得.
故选：B.
5. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将，构造函数，研究单调性，进而比较大小即可.
【详解】构造函数，可得，
当时，单调递减，
，
由，故，即.
故选：C.
6. 若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，令，讨论判别式，结合二次函数零点分布、极值点定义研究各项正误.
【详解】由，，得，
令，
若，此时单调，不存在极值点，所以，即，
由于有唯一极值点，故有正根，负根各一个，则，故，
结合选项一定成立.
故选：C.
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先正切化为正弦和余弦，再利用辅助角和二倍角公式化解得到，再利用角的变换表示，最后利用三角函数二倍角公式，即可求解.
【详解】根据题意，
，
.
故选：C.
8. 已知实数构成公差为的等差数列，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由实数构成公差为的等差数列，可得，构造函数，利用导数可得的最小值为，得，即可得到的取值范围.
【详解】因为实数构成公差为的等差数列，
所以，
所以，
构造函数，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以的最小值为，
所以.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的部分图象如图所示，令，则（ ）
A. 的一个对称中心是
B. 的对称轴方程为
C. 在上的值域为
D. 的单调递减区间为
【答案】ABD
【解析】
【分析】观察图象确定的最小值，周期求，结合对称性可得函数过点由此可求，通过三角恒等变换求，验证是否为的对称中心判断A，求的对称轴判断B，由条件求的范围，结合余弦函数性质判断C，结合余弦函数性质求函数的单调递减区间判断D.
【详解】由题图可得函数的最小值为，，
又，，，所以，
结合对称性可得函数的图象过点，
所以，解得，又，所以，
所以，
所以，
所以.
对于A，当，，所以是的一个对称中心，故A正确；
对于B，令，，可得，，故的对称轴方程为，，故B正确；
对于C，时，，所以，故在上的值域为，故C错误；
对于D，令，解得，
所以的单调递减区间为，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若满足，则
C. 若，且，则
D. 若满足，则在复平面内所对应点的轨迹是双曲线
【答案】AC
【解析】
【分析】A.首先设复数和，利用复数的乘法运算公式和模的运算公式，即可判断A；利用列举法判断B；根据复数相等的条件，即可判断C，结合复数相减的模的几何意义，即可判断D.
【详解】对于A选项，设，则，，
，，
所以，故A正确；
对于B选项，若，则，故B错误；
对于C选项，令，
因为，所以或；
，
因为，所以，因为或，所以，所以，故C正确；
对于D选项，令，因为6，所以，
由双曲线定义可得在复平面内所对应点的轨迹是双曲线的右支，故D错误.
故选：AC.
11 若函数，则（ ）
A. 的极大值点为2
B. 有且仅有2个零点
C. 点是的对称中心
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，直接求导，根据函数单调性与极值的关系即可判断；对于B，结合极值与0的大小关系即可判断；对于C，直接验算即可；对于D，由C选项结论即可验算.
【详解】
对于A，由题意知.
令f'x>0，解得或，所以在上单调递增，在上单调递增；
令f'x