2024-2025学年福建福州市台江区九年级数学第一学期开学联考模拟试题【含答案】

这是一份2024-2025学年福建福州市台江区九年级数学第一学期开学联考模拟试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若n边形的内角和等于外角和的2倍,则边数n为（ ）
A．n=4B．n=5C．n=6D．n=7
2、（4分）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．2B．-2C．2或-2D．0
3、（4分）如图，是等腰直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）下列各数中，是不等式的解的是
A．B．0C．1D．3
5、（4分）已知方程 无解，则m的值为( )
A．0B．3C．6D．2
6、（4分）下列各点中，在第四象限的点是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）
7、（4分）在平面直角坐标系内，点在第三象限，则m的取值范围是
A．B．C．D．
8、（4分）二次根式有意义的条件是（ ）
A．x>3B．x>-3C．x≥3D．x≥-3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_____．
10、（4分）如下图,用方向和距离表示火车站相对于仓库的位置是__________．
11、（4分）化简；÷（﹣1）=______．
12、（4分）对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当−1≤x≤1 时，−1≤y≤1，则称这个函数为“闭 函数”.例如：y=x，y=−x 均是“闭函数”. 已知 y  ax2 bx  c(a0) 是“闭函数”，且抛物线经过点 A(1，−1)和点 B(−1，1)，则 a 的取值范围是______________.
13、（4分）若n边形的内角和是它的外角和的2倍，则n= .
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP．
(1)求证：四边形CDEF是菱形；
(2)若AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，求BP的值．
15、（8分）一个三角形的三边长分别为5，，.
(1)求它的周长(要求结果化简)；
(2)请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
16、（8分）如图，菱形的对角线、相交于点，，，连接.
（1）求证：；
（2）探究：当等于多少度时，四边形是正方形？并证明你的结论.
17、（10分）如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，延长BE到F，使，连接AF、CF、DF．
求证：；
若，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
18、（10分）先化简，再求值：，其中，.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，已知在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝8，则▱ABCD的面积＝_____．
20、（4分）在甲、乙两名同学中选拔一人参加校园“中华诗词”大赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩分别是：甲：79，86，82，85，83；乙：88，79，90，81，72；数据波动较小的一同学是_____．
21、（4分）已知在同一坐标系中，某正比例函数与某反比例函数的图像交于 A，B 两点，若点 A 的坐标为（-1,4）， 则点 B 的坐标为___.
22、（4分）亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000用科学记数法表示为_____．
23、（4分）如图,是的斜边上的中线,,在上找一点,使得,连结并延长至,使得,连结,,则长为________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）定义：对于给定的一次函数y=ax+b（a≠0），把形如的函数称为一次函数y=ax+b（a≠0）的衍生函数.已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（1，2），C（-3，2），D（-3，0）.
（1）已知函数y=2x+l.
①若点P（-1，m）在这个一次函数的衍生函数图像上，则m= .
②这个一次函数的衍生函数图像与矩形ABCD的边的交点坐标分别为 .
（2）当函数y=kx-3（k>0）的衍生函数的图象与矩形ABCD有2个交点时，k的取值范围是 .
25、（10分）解分式方程：.
26、（12分）如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线BD向上折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）如图2，过点D作DG∥BE交BC于点G，连接FG交BD于点O，若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
由题意得（n-2）×180=360×2，解得n=6，
故选C.
2、A
【解析】
分式的值为0，分子为0，也就是x-2=0，即x=2，分母不能为0，x+2≠0，即x≠-2，所以选A.
【详解】
根据题意x-2=0且x+2≠0，所以x=2，选A.
本题考查分式的性质，分式的值为0，分子为0且分母不能为0，据此作答.
3、A
【解析】
解：如图：根据旋转的旋转可知：∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3，
根据勾股定理得：，故选A．
4、D
【解析】
判断各个选项是否满足不等式的解即可.
【详解】
满足不等式x>2的值只有3，
故选：D．
本题考查不等式解的求解，关键是明白解的取值范围.
5、B
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x=1，代入整式方程即可求出m的值．
【详解】
去分母得：x-2x+6=m，
将x=1代入得：-1+6=m，
则m=1．
故选B．
此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6、C
【解析】
根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数解答．
【详解】
解：纵观各选项，第四象限的点是（2，﹣3）．
故选：C．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
7、C
【解析】
由于在平面直角坐标系内,点在第三象限,根据点在平面直角坐标系内符号特征可得:,解不等式组可得:不等式组的解集是.
【详解】
因为点在第三象限,
所以,
解得不等式组的解集是,
故选C.
本题主要考查点在平面直角坐标系内符号特征,解决本题的关键是要熟练掌握点在平面直角坐标系内点的符号特征.
8、D
【解析】
根据二次根式被开方数大于等于0即可得出答案．
【详解】
根据被开方数大于等于0得，有意义的条件是
解得：
故选：D
本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、5
【解析】
根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°；然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.
【详解】
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，
在△ABE和△DAF中，∵AB=AD，∠BAE=∠D，AE=DF，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA=90°，
∴∠DAF+∠BEA=90°，
∴∠AGE=∠BGF=90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH=BF，
∵BC=8，CF=CD-DF=8-2=6，
∴BF==10，
∴GH=BF=5.
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键.
10、东偏北20°方向，距离仓库50km
【解析】
根据方位角的概念，可得答案．
【详解】
解：火车站相对于仓库的位置是东偏北20°方向，距离仓库50km，
故答案为：东偏北20°方向，距离仓库50km．
本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是注意是火车站在仓库的什么方向．
11、-
【解析】
直接利用分式的混合运算法则即可得出.
【详解】
原式，
，
，
.
故答案为.
此题主要考查了分式的化简，正确掌握运算法则是解题关键.
12、或
【解析】
分析：分别把点A、B代入函数的解析式，求出a、b、c的关系，然后根据抛物线的对称轴x=，然后结合图像判断即可.
详解：∵y  ax2 bx  c(a0)经过点 A(1，−1)和点 B(−1，1)
∴a+b+c=-1，a-b+c=1
∴a+c=0，b=-1
则抛物线为：y  ax2 bx –a
∴对称轴为x=
①当a＜0时，抛物线开口向下，且x=＜0，如图可知，当≤-1时符合题意，所以；当-1＜＜0时，图像不符合-1≤y≤1的要求，舍去；
②当a＞0时，抛物线的开口向上，且x=＞0，由图可知≥1时符合题意，∴0＜a≤；当0＜＜1时，图像不符合-1≤y≤1的要求，舍去.
综上所述，a的取值范围是：或.
故答案为或.
点睛：本题考查的是二次函数的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
13、6
【解析】
此题涉及多边形内角和和外角和定理
多边形内角和=180（n-2）, 外角和=360º
所以，由题意可得180(n-2)=2×360º
解得：n=6
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)证明见解析；(2)BP的值为．
【解析】
(1)利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求,可证得结论CD＝CF＝DE;
(2)过P作于PG⊥BC于G,在Rt△BPG中可求得PG和CG的长,则可求得BG的长,在Rt△BPG中,由勾股定理可求得BP的长.
【详解】
(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠EDF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CD＝CF，
同理可得CD＝DE，
∴CF＝DE，且CF∥DE，
∴四边形CDEF为菱形；
(2)解：如图，过P作PG⊥BC于G，
∵AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，且四边形CDEF为菱形，
∴CF＝EF＝CD＝AB＝2，∠ECF＝∠BCD＝∠A＝60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE＝CF＝2，
∴PC＝CE＝1，
∴CG＝PC＝，PG＝PC＝，
∴BG＝BC﹣CG＝3﹣＝，
在Rt△BPG中，由勾股定理可得BP＝＝，
即BP的值为．
本题考查的是平行四边形的综合运用，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的性质是解题的关键.
15、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）周长；
（2）当x=20时，周长=（或当x=时，周长=等）.
（答案不唯一，符合题意即可）
16、（1）见解析；（2）当时，四边形OCED为正方形,见解析.
【解析】
（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，由矩形的性质可得OE＝DC；
（2）当∠ABC＝90°时，四边形OCED是正方形，根据正方形的判定方法证明即可．
【详解】
解：（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE＝DC；
（2）当∠ABC＝90°时，四边形OCED是正方形，
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴DO＝CO，
又∵四边形OCED是矩形，
∴四边形OCED是正方形．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定和性质，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
17、（1）证明见解析（2）四边形AFCD是菱形
【解析】
(1)只要证明四边形ABDF是平行四边形即可；
(2)结论：四边形AFCD是菱形.首先证明四边形ADCD是平行四边形，再证明DA=DC即可.
【详解】
（1），，
四边形ABDF是平行四边形，
；
结论：四边形ADCF是菱形，理由如下：
，
，
，
，
四边形ABDF是平行四边形，
，，
，
四边形AFCD是平行四边形，
，
四边形AFCD是菱形．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形斜边中线等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
18、；．
【解析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：(-)÷
=
=
=
=，
当a=+，b=-时，
原式===．
本题考查分式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确分式化简求值的计算方法．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、．
【解析】
如图，作AH⊥BC于H．根据平行四边形ABCD的面积＝BC•AH，即可解决问题．
【详解】
如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，∵AB＝4，∠B＝60°，∠AHB＝90°，∴AH＝AB•sin60°＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AH＝16．
故答案为：16．
本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20、答案为甲
【解析】
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】
解： ＝83（分），
＝82（分）；
经计算知S甲2＝6，S乙2＝1．
S甲2＜S乙2，
∴甲的平均成绩高于乙，且甲的成绩更稳定，
故答案为甲
本题主要考查平均数、方差等知识，解题的关键是记住：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
21、 (1,−4)
【解析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称．
【详解】
∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标为(−1,4)，
∴它的另一个交点的坐标是(1,−4)，
故答案为：(1,−4).
本题考查反比例函数图象的对称性，解题的关键是掌握反比例函数图象的对称性.
22、4.4×1
【解析】
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
详解：44000000=4.4×1，
故答案为4.4×1．
点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
23、1
【解析】
根据直角三角形的性质求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：∵DE是Rt△ABD的斜边AB上的中线，AB=12，
∴DE=AB=6，
∴EF=DE-DF=6-2=4，
∵AF=CF，AE=EB，
∴EF是三角形ABC的中位线，
∴BC=2EF=1，
故答案为：1．
本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）①1，②（，2）或（，，0）；（2）1＜k＜1；
【解析】
（1）①x=-1＜0，则m=-2×（-1）+1=1，即可求解；②一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点位置在BC和AD上，即可求解；
（2）当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点，当直线在位置②时，函数和图象有1个交点，在图①②之间的位置，直线与矩形有2个交点，即可求解．
【详解】
解：（1）①x=-1＜0，则m=-2×（-1）+1=1，
故答案为：1；
②一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点位置在BC和AD上，
当y=2时，2x+1=2，解得：x=，
当y=0时，2x+1=0，解得：x=，
故答案为：（，2）或（，，0）；
（2）函数可以表示为：y=|k|x-1，
如图所示当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点，
当x=1时，y=|k|x-1=1|k|-1=0，k=±1，
k＞0，取k=1
当直线在位置②时，函数和图象有1个交点，
同理k=1，
故在图①②之间的位置，直线与矩形有2个交点，
即：1＜k＜1．
本题为一次函数综合题，涉及到新定义、直线与图象的交点等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
25、x=1.
【解析】
观察可得最简公分母是（x－2）（x＋2），方程两边同时乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解.
【详解】
方程两边同乘以，得
解得
检验： 当时，，∴是原方程的解
∴原方程的解为.
此题考查了分式方程的解法，需要掌握转化思想的应用，注意分式方程需检验.
26、（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；
（2）根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断四边形BFDG是菱形，再根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．
【详解】
（1）证明：根据折叠得，∠DBC=∠DBE，
又AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠DBE=∠ADB，
∴DF=BF；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴FD∥BG，
又∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∵DF=BF，
∴四边形BFDG是菱形；
∵AB=6，AD=8，
∴BD=1．
∴OB= BD=2．
假设DF=BF=x，∴AF=AD-DF=8-x．
∴在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2，即62+（8-x）2=x2，
解得x=，
即BF=，
∴，
∴FG=2FO=．
此题考查了四边形综合题，结合矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理解答，考查了翻折不变性，综合性较强，是一道好题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人