2025高考数学一轮复习-10.2-排列与组合【课件】
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3.排列数、组合数的公式及性质
1.解受条件限制的排列、组合题,通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一,避免出现重复或遗漏.2.对于分配问题,一般先分组、再分配,注意平均分组与不平均分组的区别,避免重复或遗漏.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
解析 (1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列,故错误;(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序,元素相同即为同一组合,故错误;
2.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( )A.120种 B.90种 C.60种 D.30种
解析 根据题设中的要求,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,可分两步进行安排:
3.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
4.周六晚上,小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影,订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见,每个孩子至少有一侧有家长陪坐,则不同的坐法种数为( )A.8 B.12 C.16 D.20
5.(易错题)把5张不同的电影票分给4个人,每人至少一张,则不同的分法种数为________.
6.某人某天运动的总时长需要大于等于60分钟,现有如下表所示的五项运动可以选择,则共有________种运动组合方式.
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
例1 有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排;
(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;
(3)全体排成一排,女生必须站在一起;
再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,
(4)全体排成一排,男生互不相邻;
解 法一 (特殊元素优先法)先排甲,
(5)全体排成一排,其中甲不站最左边,也不站最右边;
法二 (特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人,
(6)全体排成一排,其中甲不站最左边,乙不站最右边;
解 由于甲、乙、丙的顺序一定,
(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
解析 根据题意知,要求这个五位数比20 000大,则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个,
(2)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20 000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数共有( )A.96个 B.78个 C.72个 D.64个
因此共有54+24=78(个)这样的五位数符合要求.
∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?
解 从34种可选商品中,选取3种,
(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
(3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种?
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
(4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种?
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
(5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?
训练2 (1)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈,其中甲企业有2人到会,其余5家企业各有1人到会,会上任选3人发言,则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )A.15 B.30 C.35 D.42
(2)(多选)在新高考方案中,选择性考试科目有:物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求,结合自身特长兴趣,首先在物理、历史2门科目中选择1门,再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门,考试成绩计入考生总分,作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目,下列说法正确的是( )
角度1 相邻与相间问题
则女领导人甲必须在A,B之间,此时共有6×2=12(种)排法(A左B右和A右B左),最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,∴共有12×4=48(种)不同排法.
例3 (1)北京APEC峰会期间,有2名女性和3名男性共5位领导人站成一排照相,则女性领导人甲不在两端,3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )A.12种 B.24种 C.48种 D.96种
(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72 B.120 C.144 D.168
解析 安排小品节目和相声节目的顺序有三种:“小品1,小品2,相声”“小品1,相声,小品2”和“相声,小品1,小品2”.
解 无序不均匀分组问题.
例4 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方法?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
角度2 分组、分配问题
解 有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
解 无序均匀分组问题.
(3)平均分成三份,每份2本;
(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
解 分成三份,1份4本,另外两份每份1本,这是部分均匀分组问题,
(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.
训练3 (1)把5件不同的产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.
解析 把6本不同的书分成4组,每组至少1本的分法有2类.
(2)将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少1本的不同分法共有________种.(用数字作答)
所以不同的分组方法共有20+45=65(种).
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
1.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A.8 B.24 C.48 D.120
A.{2,8} B.{2,6} C.{7,12} D.{8}
∴x2-19x+84<0,解得7
4.某班星期三上午要上五节课,若把语文、数学、物理、化学、外语这五门课安排在星期三上午,数学必须比化学先上,则不同的排法有( )A.60种 B.30种 C.120种 D.24种
5.互不相同的5盆菊花,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,现要摆成一排,要求红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法( )
解析 A是组合数公式;B是组合数性质;
6.(多选)下列等式正确的有( )
7.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144 B.120 C.72 D.24
8.(多选)若3男3女排成一排,则下列说法错误的是( )A.共计有720种不同的排法B.男生甲排在两端的共有120种排法C.男生甲、乙相邻的排法总数为120种D.男女生相间排法总数为72种
9.若把英语单词“gd”的字母顺序写错,则可能出现的错误方法共有________种(用数字作答).
解析 根据题意,分2种情况讨论:
10.某省高考实行3+3模式,即语文、数学、英语必选,物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三,今年高一的小明与小芳进行选科,假若他们对六科没有偏好,则他们至少有两科相同的选法有________种.
则两人至少有两科相同的选法有20+180=200(种).
11.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法种数为________.
12.某学校组织三个年级的学生到博物馆参观,该博物馆设有青铜器、瓷器、书画三个场馆.若该学校将参观时间分为三个时间段,每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同,并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复,则不同的安排方法有________种(用数字作答).
综上,每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法种数是120+90=210.故选C.
13.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是( )A.90 B.120 C.210 D.216
14.(多选)现有4个小球和4个小盒子,下面的结论正确的是( )A.若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子,则共有24种放法B.若4个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子,且恰有两个空盒的放法共有18种C.若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子,且恰有一个空盒的放法共有144种D.若编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子,没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种
解析 若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,共有44=256(种)放法,故A错误;
若编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子,没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同,若(2,1,4,3)代表编号为1,2,3,4的盒子放入的小球编号分别为2,1,4,3,列出所有符合要求的情况:(2,1,4,3),(4,1,2,3),(3,1,4,2),(2,4,1,3),(3,4,1,2),(4,3,1,2),(2,3,4,1),(3,4,2,1),(4,3,2,1)共9种放法,故D正确.故选BCD.
15.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在前三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有________种.
所以满足条件的共有48+36+12+24=120(种)排法.
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