2025高考数学一轮复习-2.8-函数与方程【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-2.8-函数与方程【课件】，共54页。PPT课件主要包含了知识诊断基础夯实，fx＝0，函数零点存在定理，fa·fb，fc＝0，考点突破题型剖析，当直线l经过点A时，当直线l经过点B时，嵌套函数的零点问题，－1＋∞等内容，欢迎下载使用。

ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
1.函数的零点(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使______________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②____________<0.(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝2x的零点为0.(　　)(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(　　)
解析　(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.
解析　根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误.
2.(多选)下列说法中正确的是(　　)A.函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)B.函数f(x)＝x＋1的零点为－1C.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点D.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
解析　f(0)＝－1，f(1)＝2，故f(0)f(1)＜0，由零点存在定理可知f(x)的零点所在的一个区间是(0，1).
3.函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)A.(0，1) B.(1，2)C.(－2，－1) D.(－1，0)
解析　由2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cs x＝1.又x∈[0，2π]，由sin x＝0，得x＝0，π，2π.由cs x＝1，得x＝0，2π.∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点.
4.函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　)A.2 B.3 C.4 D.5
解析　当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，故f(x)只有一个零点为－1.当a≠0，则Δ＝1＋4a＝0，
5.(易错题)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为__________.
且φ(1)＝0，φ(2)＝3.∴0＜k＜3.
6.函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是________.
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
因为f(－2)·f(－1)＜0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点.
1.(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)A.(－2，－1) B.(－1，0)C.(0，1) D.(1，2)
A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)
所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0解析　∵a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.
4.若a解析　由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再作出函数y＝|lg x|的图象，
例1 (1)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是(　　)A.9 B.10 C.11 D.18
由图可知，y＝f(x)与y＝|lg x|共有10个交点，故原函数有10个零点.
解析　由题意，函数f(x)＝2x|ln(x＋1)|－4的零点个数即为两个函数y＝2－x＋2与y＝|ln(x＋1)|的交点个数，两个函数的图象如图.
(2)函数f(x)＝2x|ln(x＋1)|－4的零点个数为________.
由图知，两个函数有2个交点，故函数f(x)＝2x|ln(x＋1)|－4的零点个数是2.
解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点.
A.3 B.2 C.7 D.0
法二　(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.
解析　由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，知周期T＝2，令f(x)－|x|＝0，得f(x)＝|x|.作出函数y＝f(x)与g(x)＝|x|的图象如图所示.
由函数的图象知，y＝f(x)－|x|有两个零点.
角度1　根据零点的个数求参数
解析　画出函数y＝f(x)的图象，如图.
由题意得f(x)有3个零点，等价于g(x)的图象与直线y＝a有3个交点.
∴g(x)的极大值g(－2)＝4，极小值g(1)＝－1，又g(0)＝0，03－3×0＋1＝1，故可作出此函数的图象，如图所示，∴a∈(－1，0)∪[1，4).
(－1，0)∪[1，4)
解析　依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，
例3 若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是___________.
角度2　根据零点的范围求参数
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
∴g(x)的单增区间为(1，＋∞)，单减区间为(－∞，0)，(0，1)，∴g(x)的图象如图所示，故a的取值范围为[0，e).
若a＜0时，显然y＝ex与y＝ax有交点，因此若f(x)无零点，必然有a≥0.当y＝ax与y＝ex相切时，设切点P(x0，ex0)，则a＝ex0且ex0＝ax0，∴a＝ax0，∴x0＝1，则切线斜率k＝ex0|x0＝1＝e.因此，要使曲线y＝ex与y＝ax不相交，则0≤a＜e.
所以0(3)若函数f(x)＝|lgax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则(　　)A.mn＝1 B.mn>1C.0函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
解析　当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，当01时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，作出函数f(x)的图象，
一、嵌套函数零点的个数问题
g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，可得3t2－10t＋3＝0，
当t＝3时，可得f(x)＝3有一个实根，即g(x)有一个零点，综上，g(x)共有四个零点.
解析　设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).
当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解.综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点.
二、由嵌套函数零点的个数求参数的范围
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
解析　当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋lg2x＝0，
又因为x>1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0.
A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
因为f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，所以f(2)·f(3)＜0，所以函数的零点所在的区间是(2，3).
且f(a)＝0，又0＜x0＜a，∴f(x0)＜f(a)＝0，即f(x0)＜0.
解析　易知函数f(x)单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，由f(a)＝0知00，由g(b)＝0知2>b>1，所以g(a)f(1)>0，故g(a)<04.设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)A.g(a)<0解得x1＝t2(t≥0)，2(x2＋1)－t＝0，
解析　∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数.
∴作出函数f(x)的图象如图所示.
∵x＝±10时，y＝lg|±10|＝1，∴由数形结合可得函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg|x|的图象交点个数为8.
解析　定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为2，所以A正确；
7.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，则以下结论成立的是(　　 )A.函数f(x)的周期T＝2B.f(2 021)＝f(2 022)＝0C.点(1，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心D.f(x)在[－2，2]上有4个零点
f(－1＋2)＝f(－1)，即f(1)＝f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝f(－1)＝0，所以f(2 021)＝f(1)＝0，f(2 022)＝f(0)＝0，所以B正确；f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，C正确；f(x)在[－2，2]上有f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝0，有5个零点，所以D错误.
解析　由g(x)＝0得f(x)＝－x－a，作出函数f(x)和y＝－x－a的图象如图所示.
当直线y＝－x－a的截距－a≤1，即a≥－1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[－1，＋∞).
解析　在同一平面直角坐标系内作出直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示.
9.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________.
解析　f(x)＝2sin xcs x－x2＝sin 2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin 2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin 2x与y2＝x2的图象如图所示.
由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.
解析　函数f(x)＝2lg x＋x－4在(0，＋∞)上为增函数，又∵f(3)＝2lg 3＋3－4＝2lg 3－1＝lg 9－1＜0，f(4)＝2lg 4＋4－4＝2lg 4＞0，即f(3)·f(4)＜0，则函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(3，4)上，即k＝3.
11.已知函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k＝________.
解析　x1，x2分别是函数y＝ex，
12.若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝________.
由图可知，x1＋x2＝－2，－2＜x1＜－1；
由f(x3)＝f(x4)，有|lg2x3|＝|lg2x4|，即lg2x3＋lg2x4＝0，所以x3x4＝1，则x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1).故选BCD.
解析　因为f(x)＝m的两根为x1，x2(x1＜x2)，
则g′(x)＝(x＋1)ex＋1－x＋1，x∈(－1，0].因为x∈(－1，0]，所以x＋1＞0，ex＋1＞e0＝1，－x＋1＞0，所以g′(x)＞0在(－1，0]上恒成立，从而g(x)在(－1，0]上单调递增.
解析　(1)若λ＝2，当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，解得1(2)令f(x)＝0，当x≥λ时，x＝4，当x<λ时，x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合如图函数的图象知，1<λ≤3或λ>4.
(1，3]∪(4，＋∞)