高中数学上教版 (2020)必修第三册1 多面体完美版课件ppt

这是一份高中数学上教版 (2020)必修第三册1 多面体完美版课件ppt，共24页。PPT课件主要包含了V＋F－E＝２，①③⑤⑦等内容，欢迎下载使用。

本章前两节我们研究了一些重要的简单几何体，主要是棱柱、棱锥、圆柱和圆锥．这些几何体又可分为多面体与旋转体．
在１１．１节中，我们把多面体定义为由三角形或平面多边形围成的封闭几何体，我们还知道了棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体．本节将从多面体中面的数量和特点这个不同角度对多面体做一些探讨．
多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体．例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n棱锥有一个底面和n个侧面，所以是n＋１面体；n棱柱或n棱台有两个底面和n个侧面，所以是n＋２面体．
容易看出，一个多面体至少有四个面．这是因为，如果在一个多面体中任意选定一个面，那么这个面至少有三条边，即它的边界上至少有多面体的三条棱．每条棱还是这个面与另一个面的交线，于是得到了另外三个面．这三个面互不重合，否则有一个面与预先选定的面有两条公共棱，从而与选定的面重合，这是不可能的．于是，我们至少在这个多面体上找到了四个面．
由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥．四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用．例如，平面上的多边形都可以由三角形拼合而成，而空间中的多面体都可以由四面体拼合而成．
与平面上的正多边形类似，在空间中可以考虑正多面体．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体（ｒｅｇｕｌａｒｐｏｌｙｈｅｄｒｏｎ）．图１１３ １给出了五种不同的正多体．事实上，用本节“课后阅读”中所介绍多面体的欧拉定理，可以验证只有这五种正多面体．
虽然圆柱和圆锥也是常见的几何体，但它们具有与多面体完全不同的特征：组成这两类几何体的表面不全是平面多边形．我们在前两节中把圆柱（圆锥）定义成由一个矩形（直角三角形）绕它的一条边（一条直角边）旋转一周所形成的几何体．这里的关键词是“旋转”，由此我们抽象出一般旋转体的概念：由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体（ｒｅｖｏｌｖｉｎｇｓｏｌｉｄ）（图１１３２），这条直线叫做该旋转体的轴．
在车床加工零件或陶瓷工坊制作陶器时，我们都可以直观地体验旋转体和它的轴．
与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面．图１１３２右边的空间几何体的表面就是旋转面，它可由左边对应平面图形的外框线绕旋转轴旋转而得到．
旋转面是大学空间解析几何课程中的内容之一．我们这里只关注最简单的情况：一条直线a绕同一平面内的另一条直线l旋转一周所形成的曲面：圆柱面或圆锥面．当直线a与直线l平行时，得到的是圆柱面；当直线a与直线l相交（但不垂直）时，得到的是圆锥面（图１１３３）．直线a称为圆柱面或圆锥面的母线．在圆锥面的情况中，母线与转轴的交点旋转以后仍然是一个点（仍记为），这个点称为圆锥面的顶点．
多面体的世界是丰富多彩的，但会遵循一些非常简单的基本规律，多面体的欧拉定理就描述了这样一个规律．多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F有关系
这里首先要知道什么是“简单多面体”．要弄清这个概念，设想多面体的面都是用具有良好弹性的橡胶做成的．如果往这个多面体充足够多的气体以后能够使这个多面体膨胀成一个球体，那么这个多面体就是一个简单多面体．
我们迄今所见的多面体（如棱柱、棱锥、正多面体等）都是简单多面体．但要构造一个非简单多面体也不难．如图１１-３-４，这是一个中间有一个长方体空洞的十六面体，往这样的橡胶多面体充气，得到的是一个游泳圈，而不是球．算一算，对于图１１- ３- ４的多面体，V＋F－E等于多少．
多面体的欧拉定理的证明与中学数学教材中常见的几何证明有着本质的不同，它设想所讨论的多面体是用一种可随意变形但不会撕破或粘连的材料（如橡胶）做成的，于是可以把它拉伸或压缩，转换为一个能更好把握的几何体进行研究．这里我们不做深入讨论，但要指出，这个定理及其证明实际上归入一个新的几何学———拓扑学的域．拓扑学关注的是“相邻”状态与“连续”变形，而不是度量（长度、角度以及派生的面积、体积等），因此拓扑学常被人戏称为“橡皮筋上的几何学”．
多面体的欧拉定理及其推广是拓扑学中的重要定理，其所揭示的“欧拉示性数”已成为拓扑学的基础概念．
有了多面体的欧拉定理，再对正多面体的顶点数V、棱数E、面数F以及每面的边数和每顶点聚集的棱数之间的关系做一些分析，就可以证明正多面体只有图１１３１所示的５种，有兴趣的同学不妨一试．正多面体的相关数据如表１１１所示：
１．我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nà）”的几何体（见《九章算术》卷第五“商功”之一六），它指的是由四个直角三角形围成的四面体．用你学过的立体几何知识说明这种四面体确实存在
２．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是柱体吗？请给出你的理由或反例．
３．如图是一个置于地面上的救生圈，它是绕一条垂直于地平面的直线l旋转而成的旋转体．（１）如果用一个经过旋转轴l的平面去截这个救生圈，得到的截面是什么图形？请画出示意图．（２）如果用一个平行于地面的平面去截这个救生圈，得到的截面可能是什么图形？请画出示意图．
１．如图，以正方体ABCD-A１B１C１D１六个面的中心为顶点所构成的多面体有多少条棱和多少个面？设正方体的棱长为１，这个多面体的表面积和体积是多少？
１．如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？① 四面体；　　　　　　② 四棱锥；　　　　　　③ 四棱柱；④ 五棱锥；　　　　　　⑤ 五棱柱；　　　　　　⑥ 六棱锥；⑦ 七面体．　　　　　　　　（找出可能的结果，并将序号填在横线上）