安徽省蚌埠市2024-2025学年高三上学期开学调研考试数学试题（解析版）

这是一份安徽省蚌埠市2024-2025学年高三上学期开学调研考试数学试题（解析版），共19页。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集为Z，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出补集，再求交集即可.
【详解】，则，则.
故选：B.
2. 已知i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先求出复数，再进行判断即可.
【详解】由题意：，
所以复数对应的点的坐标为：，在第一象限.
故选：A
3. 设，为夹角是锐角的单位向量，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用数形结合的方法确定向量的位置关系.
【详解】如图：
设，，四边形为平行四边形，则，.
因为，为夹角是锐角的单位向量，所以为菱形，故，
所以，即与的夹角为.
故选：D
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】两个式子两边平方后再相加即可.
【详解】因为,
两边平方得，
同理可得,
两边同时相加得,
即,
所以，
故选：C.
5. 设函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用分段函数的单调性及一次函数，二次函数的单调性计算即可.
【详解】由题意可得：，
故实数的取值范围是.
故选：A.
6. 在直角坐标平面中，平行直线与平行直线组成的图形中，平行四边形共有（ ）
A. 25个B. 36个C. 100个D. 225个
【答案】D
【解析】
【分析】从平行直线中选2条，再从平行直线选2条，即可确定1个平行四边形，从而确定平行四边形个数.
【详解】从平行直线中选2条，
再从平行直线选2条，即可确定1个平行四边形，
所以可确定平行四边形的个数为：个.
故选：D
7. 某圆台的下底面半径是上底面半径的3倍，一个半径为3的球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求圆台的上下底半径与高，再利用体积公式求解.
【详解】如图，作圆台的轴截面：

设，则，过作于，则，
又，，
在中，.
所以圆台的体积为：.
故选：C
8. 从解决一元二次方程到解决一元三次方程，人类历经数千年，直到公元16世纪，意大利数学家费罗（1465－1526）、塔尔塔利亚（1500－1557）等人出现，人们才彻底掌握实系数的一元三次方程的求根公式．其过程是先发现了形如的三次方程的求解方法，再将一般形式的一元三次方程转化为形如的三次方程．求解形如的三次方程的具体方法是利用恒等式，作变换：，转化为关于，的二次方程就可以得到，的值，进而求出未知数的值．利用此方法求解方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，则根据题意的，解方程得到的值，然后还原成即可.
【详解】因为，
令，则，
即
依题意
即，
所以，
整理得,即
解得或
当时，，即；
当时，，即
所以.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数．下列说法正确的是（ ）
A. 图象关于直线轴对称
B. 在区间内单调递增
C. 的图象关于点中心对称
D. 将图象上各点先横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位得到正弦曲线
【答案】AC
【解析】
【分析】根据三角函数的图象和性质可判断ABC 的真假，根据函数的图象变换判断D的真假.
【详解】对A：因为，是函数的最大值，所以是函数的对称轴，故A正确；
对B：由，，可得：，.
所以函数在上递增，在上递减，故B错误；
对C：因为，所以是函数的对称中心，故C正确；
对D：将图象上各点先横坐标扩大为原来的2倍，可得的图象，
再向右平移个单位得到的图象为正弦型曲线，不是正弦曲线，故D错.
故选：AC
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，两组成对数据的样本相关系数分别，，则组数据比组数据的线性相关性更强
B. 现有10个互不相等的样本数据，去掉其中最大和最小的数据后，剩下的8个数据的分位数大于原样本数据的分位数
C. 由样本数据点求得的回归直线至少经过其中一个样本数据点
D. 若随机变量，随机变量，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A,相关系数的绝对值越大，相关性越强，据此判断A;对于B,将数据从小到大排列后，原样本数据的分位数为第三位数，新样本数据的分位数为第二位、第三位数的平均数，由此可判断B;对于C,回归直线一定经过样本点中心，但不一定至少经过一个样本点;对于D,根据方差的性质计算即可.
【详解】对于A，因为,所以组数据比组数据的线性相关性更强，A正确；
对于B，将数据从小到大排列后，原样本数据的分位数为第三个数据，
新样本数据的分位数为第二、三位数的平均数，即原样本数据中的第三、四位数据的平均数，
因为这些数据互不相等，所以新数据的分位数大于原样本数据的分位数，B正确；
对于C，回归直线一定经过样本点中心，但不一定至少经过一个样本点，C错误；
对于D，因为,所以,
因为,所以，D正确.
故选：ABD.
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，线段的中点为．过点，分别向的准线作垂线，垂足分别为点，，过点向的准线作垂线，交抛物线于点，交准线于点，为坐标原点，则（ ）
A. 以为直径的圆与直线相切B.
C. 当时，点，，共线D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】设直线：，代入抛物线方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到各点的坐标，利用向量的方法进行判断各选项的真假.
【详解】如图：
设直线：，带入，并整理得：.
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，.
所以，，，， .
则，
.
所以，，所以以为直径的圆与直线相切，故A正确；
又，，所以，故B正确；
，，因为，所以直线与直线不平行，所以不成立，故D错误；
对D：如图：
当时，因为，所以为等边三角形，又，所以或，
当时，，则，，，
所以，，
因为,所以点，，共线；
当时，同理可证点，，共线.
故C正确.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：再选择填空题中，有关圆锥曲线的问题，一定要先考虑圆锥曲线定义的应用.该题就考查了抛物线的定义的应用.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 双曲线的实轴长与虚轴长的比为2，则该双曲线的离心率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的几何性质，结合离心率公式即可求解.
【详解】由题意可知，故，所以离心率为.
故答案为：.
13. 的展开式中的系数为_________．
【答案】80
【解析】
【分析】把已知多项式展开得，再利用二项式的通项求解即可.
【详解】，
二项式的通项为，
令得，，
的展开式中的系数为.
故答案为：.
14. 已知正方体的底面内有一个动点，初始位置位于点处，每次移动都会到达正方形的一个顶点，其中到达相邻顶点的概率为，到达对角顶点的概率为，则移动两次后，“为正方体的对角线”的概率是_________；对任意，移动次后，”平面”的概率是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意求出概率的递推关系，进一步求通项公式即可.
【详解】如图：
设移动次后，点移动到的概率分别为，，，，
则，，，，，
，
所以，
，又，所以.
所以.
所以
所以
又，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，
故
又，所以.
移动两次后，“为正方体的对角线”，表示点移动到点 ，所以概率为：；
移动次后，”平面”，表示点移动到点，所以概率为：.
故答案为：；
【点睛】方法点睛：可设移动次后，点移动到的概率分别为，，，，根据题意，先求数列的首项和数列的递推关系，解方程组，可求数列的通项公式.
四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
（2）设函数，求的最值．
【答案】（1）；
（2）最小值为，没有最大值．
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，
（2）求导，由函数的单调性，即可计算极值即可求解.
【小问1详解】
由，
则，又，
所求切线方程为，
即．
【小问2详解】
，定义域为0,+∞，
所以，
列表如下：
因此的最小值为，没有最大值．
16. 已知的内角的对边分别为，，，点是边的中点，，且的面积为2．
（1）若，求；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得，再用三角形面积公式可解得的值，在中，由余弦定理可求出的值，继而可求出；
（2）利用与的互补关系，在和中运用余弦定理，结合题意可得的值，由面积公式可得，再由余弦定理可得，从而可得的值，由的范围即可求解.
【小问1详解】
因为点是边的中点，所以．
而，
由，，解得．
在中，由余弦定理，，
解得，则．
小问2详解】
在中，由余弦定理，，
在中，由余弦定理，，
而，，，
所以，解得．
又，得，
在中，由余弦定理，，
得，
所以，
，
则．
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是正三角形，．平面平面，点在棱上．
（1）若平面与棱交于点，求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）运用线面平行判断得到平面，再用线面平行性质得到，进而得到线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，设，，根据题意得到平面的法向量为，而平面的法向量为，运用向量夹角公式求出．进而运用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
因为底面是菱形，所以，
又平面，平面，则平面．
点在线段上，平面与线段交于点，
所以平面平面，而平面，所以．
又平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
取的中点，连接，，如图所示，
由条件，正三角形，，
则，，，
而平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，则，
而，得．在中，，结合勾股定理易得．
以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则O0,0,0，A1,0,0，，，，，
设，，则
，
所以点，，，
设平面的法向量为，
由取，则，，
平面的法向量为，而平面的法向量为，
故，
解得（舍负），所以．
设直线与平面所成角为，
．
18. 已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．
①求证：点在定直线上；
②求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②．
【解析】
【分析】（1）根据椭圆过两个点，求椭圆方程.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系，得，点坐标的关系，进一步，的坐标，表示出直线与直线的方程，求其交点即可；再利用换元法，结合基本（均值）不等式可求面积的最大值．
【小问1详解】
设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，
得：，解得，所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
如图：
①设直线的方程为，并记点Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0，
由消去，得，
易知
则，．
由条件，，，直线的方程为，
直线的方程为，
联立解得，
所以点在定直线上．
②
而，所以，
则，
令，则，所以，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为．
19. 如果数列的任意相邻三项，，满足，则称该数列为“凸数列”．
（1）已知是正项等比数列，是等差数列，且，，．记．
①求数列的前项和；
②判断数列是不是“凸数列”，并证明你的结论；
（2）设项正数数列是“凸数列”，求证：，，
【答案】（1）①；②是“凸数列”，证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据的通项公式再应用错位相减即可求解；
（2）应用数列新定义即可得证；
（3）记，利用分析法，只需证，由数列an为对数性凸数列，得到，，再用基本不等式证明即可.
【小问1详解】
①设an的公比为，bn的公差为，
由题意可得解得或（舍去），，
因此，．故，
从而，（i）
，（ii）
（i）－（ii）得，，
即．
②由①，，
所以，
故数列是“凸数列”．
【小问2详解】
记，则原不等式等价于
，
即，
因而只需证明，
因为，所以，
故，
而
，
从而，
即，结论得证.
【点睛】方法点睛：解决数列新定义题型，需要耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，结合所学习过的知识点，逐一分析、证明、求解.0,2
2
－
0
＋